{ 真题演练集训 }
1．[2017·天津卷]若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为________．
答案：4
解析：∵ a ，b ∈R ，ab ＞0，
∴ a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥2 4ab ·1ab ＝4，
当且仅当????? a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即??? a 2＝22，b 2＝24时取等号．
故a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为4. 2．[2017·江苏卷]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．
答案：30
解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x (万元)．
一年的总存储费用为4x 万元．
总运费与总存储费用的和为? ??
??3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x ＋4x ≥2
3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x
＝30时取等号，
所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
3．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．
答案：8
解析：由sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，得
sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，
两边同时除以cos B cos C ，得
tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，
令tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ＝m ，
因为△ABC 是锐角三角形，
所以2tan B tan C >2tan B tan C ，
则tan B tan C >1，m >2.
又在三角形中有
tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C
＝－m 1－12m
·12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4
≥2(m －2)·4
m －2＋4＝8， 当且仅当m －2＝4m －2
，即m ＝4时等号成立， 故tan A tan B tan C 的最小值为8.
4．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
答案：160
解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的
宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10? ??
??2x ＋2×4x ＝80＋20? ????x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，
所以该容器的最低总造价为160元．
5．[2013·天津卷]设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋
|a |
b 取得最小值．
答案：－2
解析：∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b
＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2 b 4|a |×|a |b ＝a
4|a |＋1.
当且仅当b 4|a |＝|a |b 且a <0，
即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b 取得最小值．