承诺书
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日期： 2014 年 9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
创意平板折叠桌
摘要
折叠型实用工具是创新商品中的典型代表，具有体型小巧便于使用的优点。本文主要在三维直角坐标系下，讨论平板折叠桌的折叠动态过程以及折叠桌优化设计的相关问题。
对于问题一，根据桌面边缘方程和桌高，利用距离公式与直线方程，以最外侧木条的折叠角度为变量，求得折叠过程中，钢筋所在的直线方程，进而获得钢筋与各木条的交点，从而给出了木条所在直线方程。依据木条长度进一步得到动态变化的钢筋点坐标，也求得最外 侧木条旋转角为
2
π
θ-时，第i 木条末端点坐标为：
1,3,i i x x =，
1,1,3,)i i i i y t y y =+，1,3,cos 2
i
i i i t z L z θ=-
由不同的旋转角度，即可获得各木条末端的动态变化图。在此基础上，可求得开槽长度
,k i L （见表格八）和桌角边缘线的参数方程。根据此模型，我们分别计算不同旋转角度下的
的端点数据（见表格五、六），由此得到各木条的动态旋转过程。该模型的动态变化过程见图六至八，桌角边缘线的空间曲线见图九至十二。
对于问题二，当最外侧木条旋转角
2
π
θ-时，以θ和a 为决策变量（其中a 为最外侧木
条钢筋点到上端点距离），求得各木条端点坐标及方程和木条下端点的动态坐标。进而得到目标函数：
min 2cos H l θ=
+
1)sin 1cos H
a θθ
+<
+ 0cos H a θ<<，
111836πθπ≤≤ 由此，我们建立了一个非线性优化模型，经过适当化简，运用MATLAB 软件，计算得以上模型中折叠桌最优设计加工参数为：木板长度170.9784l cm =，18
π
θ=
（即最外侧木
条折叠角为80?左右），54a cm =，开槽长度21.79len cm =。
对于问题三，我们以椭圆形桌面为例，建立与问题二相同的决策变量，先求得在某个旋转角度下的钢筋点位置，以及下端点的动态坐标：
1211(10)(
,,sin )10k a
y y y z θ--
再用类似问题二的目标函数与约束条件，获得非线性优化模型。最后，我们设定长轴为
25d cm =，短轴为15a cm =，高度为72cm 时，得到木板长度为110cm ，随之计算出不同角度下的开槽长度，其中最优为当
502
π
θ-=?时，桌面一侧总开槽长度为191.0472cm ，
并画出其折叠过程的动态示意图（见图十五）。
关键字：折叠椅、开槽长度、钢筋所在直线、非线性优化模型
一、问题重述
随着社会和科技的进步，消费者对于商品的要求越要越高，实用便捷又富有创意的商品往往受到大家的追捧，与此同时，丰厚的设计收益也不断推动着设计者的创新创作脚步。在这些新型商品中，可折叠的商品往往具有体型小巧便于携带，操作过程简单易懂，使用寿命较长，外形美观等优点，其中可折叠桌子就是一个突出创新成果。某公司的可折叠桌子，桌面呈圆形，桌腿由若干根木条组成，外形如直纹曲面，并且由于木条加工设有开槽，它随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
本题要求我们建立数学模型，描述折叠桌子的折叠过程，并设计别的创新折叠桌，具体如下：
cm cm cm；木条宽2.5cm；连接
1. 给定折叠桌的数据：长方形平板尺寸为120*50*3
木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置；折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述折叠桌的折叠动态过程，并求出它的设计加工参数：桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线。
2.在满足产品稳固性好、加工方便、用材最少的条件下，对于桌高70 cm，桌面直径80 cm而其他设定不做要求的折叠桌，要怎么确定长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。现要求设计这一软件的数学模型，并根据所建立的模型给出几个新设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
二、模型假设
1.假设长方形平板加工切割成桌腿木条时没有切割多余材料，即确定有20条桌腿木条。
2.假设折叠过程中和折叠后，木条都没有发生形变。
3.问题二中，假设长方形木板切割成木条的条数仍为20，木板的厚度仍为3cm
三、符号说明
四、问题分析
4.1问题一
4.1.1问题解读
据题意，同一块平板可由于桌面大小，桌子高度，桌腿条数，桌子稳定度等变量的参数不同而折叠成外形各不相同的折叠桌。（具体参数见图一）本问已经将这些影响因素设定了固定数据。在此问题中，我们应该选择一些变动点来体现动态过程。此外，折叠椅设计加工时需要在木条中某个区段开槽，以便折叠时中间的桌腿末端向内凹，而不至于因为钢筋而卡住。
（图一）
4.1.2解决思路
首先讨论折叠后的情形，折叠过程则再进一步由改变变动点的参数来实现。我们可以运用几何知识来将各个点的位置量化，建立空间直角坐标系。在坐标系中，根据桌面的平面方程，得到钢筋所在直线的方程和每一条桌腿木条所在直线的方程，进一步得到每根木条的末端点的坐标，这些末端点就是两条桌角边缘线。最后，桌腿木条开槽长度由木条旋转角度，利用图形边角关系就可以计算得到。
4.2问题二
4.2.1问题解读
这一问中，题目限定的数据只有桌高和桌面直径，而其他数据，如木条长度，桌腿宽度，钢筋点位置，开槽长度都没有明确要求。因此，考虑这些可变的量分别影响了折叠桌的哪些性能，反过来根据性能要求我们就可制定相应的参数。
4.2.2解决思路
在这个问题中，最重要的就是在保证稳固性好，加工方便的情况下，达到用材最少这一目标。所以需要假设木条钢筋点的位置，根据问题一的步骤，用包含有未知量a计算出木条上端点，末端点等坐标。同样，我们就可以利用边角关系，计算出开槽长度等。最后，用这些数据再列出关于木条长度的目标方程，以及相关约束条件，即可计算求解。
4.3问题三
由前面两问，我们可以找到折叠桌各个量之间的联系，如木条钢筋点和折叠过程角度的关系等，所以对于设计折叠桌的设计加工参数，我们的求解步骤基本一致。我们要设计的这款软件模型中，折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小等是可以用数学表达式表达的。那么，我们的模型只需要在问题二的基础上，再改变各个参数，使之可以根据给定的桌面方程等数学表达式，得到各个木条钢筋点位置，上端点位置，末端点位置。这样就可以进行求解。根据这个思想，我们给定一个高度，并设计一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，求出对应参数。
五、模型建立与求解
5.1问题一：折叠桌动态过程及相关参数
5.1.1建立模型
以桌面中心点为原点，以长方形平板宽的方向为x 轴方向，以长方形平板长的方向为y 轴方向，建立三维直角坐标系。为了体现动态过程，我们假设折叠过程桌腿与z 轴构成的夹角为θ，则随着θ的改变，各木条与钢筋的交点位置和木条的底端位置都随之改变。为了方便理解，作图如下（图二）：
（图二）
建立数学模型如下：
（1）设定桌面方程为222
x y a z ?+=?=?
（2）求左边各木条的顶端坐标1,1,(,,3)i i i A x y -，
计算公式为：111,1,1110
23.75,2,...,20(1),i i
r x i y x x i ?
??
=-=??=??
=+-，
其中r 为桌面半径。 （3
）计算各木条的长度1,...,20)2
i L L i =
=，其中L 为木板长度。 （4）求每根木条折叠时的旋转平面方程：1,(1,...,20)i x x i ==
（5）折叠某一角度后桌面左边最外侧的木条的末端坐标3,13,13,1(,,)x y z ，
3,11,13,11,13,1
sin 3cos i i x x y y L z L θθ
?=?
=-??=--? 其中θ为左边最外侧的木条与z 轴的夹角。
（6）折叠某一角度后桌面左边最外侧的木条的中点坐标2,12,12,1(,,)x y z ，其中
2,11,1
1,13,1
2,12,1213cos 2
i x x
y y y z L θ?=??+?=
=??
?
=--?? 由对称性可得最外侧的木条的中点坐标2,202,202,20(,,)x y z ，其中
2,1
1,1
1,13,12,12,1213cos 2
i x x
y y y z L θ?=-??+?
=
=??
?
=--?? （7）折叠某一角度后钢筋所在的直线方程为
2,12,12,12,202,1
2,202,1
2,202,1
x x y y z z x x y y z z ---=
=
---。
（8）由联立方程1,2,12,12,12,202,1
2,202,12,202,1(1,...,20)i X x i x x y y z z x x y y z z
==??
---?==?---?，可求得折叠某一角度后钢筋与各
木头的相交点2,2,2,1,2,12,1(,,)(,,)i i i i x y z x y z =。
（9）求开槽长度,1,2,k i i i l d d =-。
其中1,i d =表示折叠后各木条
与钢筋交点到木条顶端的距离，
1,2,1,602
i
i i y d y -=+表示折叠前木条钢筋点与顶端连接点的
距离。
（10）折叠某一角度后，每根木条的所在方程1,2,1,1,2,1,1,2,1,()
()()
i i i i i i i i i x x t x x y y t y y z z t z z ?=+-?
=+-??=+-?
（11）折叠某一角度后，设桌面左侧每条木条的末端点坐标为()
3,3,3,,,i i i x y z ，则
2222
3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,2,1,2,1,2,1,()()()i i i i i i i
i i i i i i
i i
i i i i x x y y z z L x x y y z z x x y y z z
?-+-+-=?
---?==?---?
令i t =
对桌面左侧木条，有
3,1,3,1,1,3,1,)cos 2
i
i
i i i i i i i i x x
y y t y t z z L θ?=???
=+-??
?
=-?? 5.1.2模型算法
根据上述模型，为了更直观表现数据间的关系，现做出这个过程的算法框图（图三）：
（图三）
5.1.3模型求解过程
本问中给定了折叠椅的一些固定量，包括：（1）制造折叠椅的材料是固定形状和大小的。也即长方形平板，尺寸大小为120*50*3cm cm cm ；（2）每条桌腿木条宽度为2.5cm ，由此可得桌面两侧连接各20条桌腿木条；（3）连接桌腿木条的钢筋位置固定在最外侧木条的
1
2
处，不随桌子折叠而改变；（4）折叠后桌子高度不变，为53cm 。 那么折叠桌成型后，桌面两侧桌腿构成的曲面的形状是相同的，在坐标系中值体现在数据的正负不同而已，因此以下过程我们只讨论其中一侧的20桌腿木条，各木条分别按序记为第i 条木条，即1,2,...,20i =。桌面另一侧类似可得，就不再赘述。
（1）求桌面边缘方程。
在建立了三维指教坐标系之后，我们首先可以根据圆在空间中的方程列出此时的桌面方
程2220x y a z ?+=?=?，且其中的a 为桌面半径，即25a =。由此得到桌面空间方程为222
250
x y z ?+=?
=?。 （2）求每根木条上端点坐标。
由于桌腿木条本身具有2.5cm 的宽度，为了方便计算，在下文的整个过程中我们取木条顶端的这个顶点的中心位置坐标作为木条顶端坐标，并令这个木条顶点是在桌面边沿的圆形上的。到此，我们可以得到第一根木棒在x 轴方向上的坐标值为23.75-。根据（1）中的桌面边沿方程2
2
2
25x y +=，将23.75x =-代入，可计算出7.8062y =，另一方面，由于桌面厚度为3cm ，则这根木条顶端坐标的z 值为3-。
用相同的计算方式，由于20条桌腿木条顶端都在同一平面，则3z =-是固定不变的。在这个前提下，根据木条宽度为2.5cm 可推出这20各坐标点x 轴方向的值是等差的，数学上表示为1,1110
(1)i
r
x x i =+
-，接下来也依次计算出对应的1,i y
。以上过程整理后便是111,1,1110
23.75,2,...,20(1),i i
r x i y x x i ?
??
=-=??=??
=+-。由于数据较多，我们用MATLAB 直接编写代码（附录1）计算1,i x 和1,i y ，得到折叠完成后变成桌子时，20个木条顶端坐标如下表：
（表格一：20个木条顶端坐标）
i=1,…,5
i=6,…，10 i=11,…，15 i=16,…，20
(-23.75,7.8062,-3)
(-11.25,22.3257,-3) (1.25,24.9687,-3)
(13.75,20.8791,-3) (-21.25,13.1696,-3) (-8.75,23.4187,-3)
(3.75,24.7171,-3)
(16.25,18.9984,-3)
(-18.75,16.5359,-3) (-6.25,24.2061,-3) (6.25,24.2061,-3) (18.75,16.5359,-3) (-16.25,18.9984,-3) (-3.75,24.7171,-3) (8.75,23.4187,-3)
(21.25,13.1696,-3)
(-13.75,20.8791,-3) (-1.25,24.9687,-3)
(11.25,22.3257,-3) (23.75,7.8062,-3)
（3）求每根桌腿木条的长度。
在折叠桌的折叠过程中，由于θ的改变，木条上各个点的位置都在改变，而只有木条长度是不变的，为了下面计算动态过程中的木条上各类点的坐标变化，我们先把木条长度求出。
在折叠前，长方形木板平铺时，我们可以在平面上利用两点间的y 值差表示桌腿木条长度，记为i L ，而这两个点分别是桌腿与桌面的连接点i A 以及平铺时桌腿的末端点（如图
四），记为2,2,(,,3)i i i B x y -，因此1,...,20)2
i L L i =
-=。
（图四）
由于平铺时，桌腿的末端点都在长方形木板的宽这条边上，所以2,60i y =-是不变的。根据上述方法，我们可计算出i L 的20组数据，具体如下：
（表格二：20条木条的长度） i=1,…,5 i=6,…，10 i=11,…，15 i=16,…，20 52.1938 37.6743 35.0313 39.1209 46.8304 36.5813 35.2829 41.0016 43.4641 35.7939 35.7939 43.4641 41.0016 35.2829 36.5813 46.8304 39.1209
35.0313 37.6743 52.1938
（4）求每根木条折叠过程的旋转平面。 为了求得每跟木条的与钢筋的相交点坐标，我们先必须求得没跟木条在折叠过程旋转出的平面方程，记为i X 。因为这些平面都平行于yoz 轴，因此可表示为1,(1,...,20)i X x i ==，这些平面方程具体如下：
（表格三：20个木条旋转出的平面方程）
（5）求最外侧和最里侧木条的末端点坐标。
木条折叠后桌腿与地面接触的两条木条末端点的坐标记为3,13,13,1(,,)x y z ，根据旋转时构成的旋转面上，由木条和z 轴构成了i 个三角形。根据三角形的三角函数，在已知每条木条长度和旋转角度θ的条件下，我们可以求得这个木条末端点的坐标中的y 值和z 值。这个切面的三角形如图（图五）：
θ
（图五）
在此，我们只先计算桌面一侧最边缘的两个木条与地面接触的末端坐标120,C C 。值得注意的是，y 轴方向上，第一根木条的y 是为7.8062而不是0，也就是说这个由木条构成的三角形的顶点并不是在原点上，所以计算出来的每一个y 值都需再加上1,7.8062i y =。所以就得到3,1,sin i i i y L y θ=-- ，另外，z 轴方向上，需注意桌面厚度占用了3cm 。最后则
得到随着θ变化的坐标的计算方程为3,11,1
3,11,13,1
sin 3cos i i x x y y L z L θθ
?=?
=-??=--?(1,20)i =，根据公式，运用代码
的计算得到折叠完成后，折叠椅一侧边沿桌腿木条与地面接触的末端点坐标为：
1C =(-23.75,-22.7792,-53) 20C = (23.75,-22.7792,-53)
（6）求最外侧和最里侧木条的钢筋点坐标。
由上一个步骤算得的折叠后的木条末端点位置和（1）算得的木条顶端点位置，我们可以算出桌面一侧最边缘的两个木条的中心坐标，也就是钢筋的位置。这个过程较简单，但也同样需注意（5）中提到的桌面厚度占用了3cm 和木条构成的三角形的顶点并不是在原点上这两个问题对,y z 值的影响。根据
2,11,1
1,13,12,12,1213cos 2
i x x y y y z L θ?=??+?
=
=??
?
=--?? 可以得到折叠完成后，折叠椅一侧两条边沿桌腿木条中心坐标
4,4,4,(,,),(1,20)i i i i D x y z i =为：
1D =(-23.75,15.2928,-28) 20D =(23.75,15.2928,-28)
（7）求钢筋所在直线方程。
到目前为止，我们已经得到桌面一侧最边缘的两个木条的中心坐标，由两点可以确定一条直线的方程，而这条直线也就是钢筋的所在的直线。也就是
2,1
2,1
2,1
2
,20
2,1
2
,
202,12,202,1
x x y y z z x x
y y z z ---=
=--
-
，变形后得23.7547.513cos 21
i x t
y z L i θ=-???=???=--??=?
（8）求每根木条的钢筋点坐标。 由木条旋转面和钢筋直线，一面一线可以确定面上的点，也就是各条木条的钢筋所在点。
所以联立木条旋转面和钢筋直线，得1,2,12,12,12,202,1
2,202,12,202,1(1, (20)
i X x i x x y y z z x x y y z z
==??
---?==?---?，即可求出木条
上的钢筋点6,6,6,(,,)i i i i M x y z 。所以可得到完成折叠后，木条上钢筋所在点的位置坐标如下：
（表格四：木条上钢筋所在点的位置坐标）
（9）求每根木条开槽长度。
由于木条随着与桌面的连接点旋转，随着θ的改变，木条上钢筋的位置也在改变。所以在制造折叠桌时，需要设计木条的开槽长度，长度太长时，折叠桌会不稳固，长度太短时，折叠桌无法完成整个折叠过程。而这个开槽长度，我们用其中折叠后木条钢筋点与顶端连接点的距离1,i d =和折叠前木条钢筋点与顶端连接点的距离
1,21,602
i
i y d y -=
+之差来计算即可。也就是开槽长度为12k l d d =-。利用相关代码计算，
可得各木条开槽长度。结果见5.1.4模型结果（2）。 （10）求每条木条的末端点坐标。
根据每根木条的所在方程1,2,1,1,2,1,1,2,1,()()()
i i i i i i i i i x x t x x y y t y y z z t z z ?=+-?
=+-??=+-?可算得每条木条与地面接触的末端点坐标
()3,3,3,,,i i i x y z 为2222
3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,
2,1,2,1,2,1,()()()i i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i
x x y y z z L x x y y z z x x
y y z z ?-+-+-=?
---?==?---? 5.1.4模型结果
（1）动态过程。
动态过程随着第i 条木条的旋转角为θ改变，我们用随之改变的木条与钢筋相交点位置和木条末端位置来表现， 随θ变化其钢筋点位置和木条末端点位置变化分别为：
1,2,1
2,12,12,202,12,202,12,202,1
(1,...,20)i X x i x x y y z z x x
y y z z ==??
---?==?---?3,1,3,1,1,3,1,)cos 2
i
i
i i i i i i i i x x
y y t y t z z L θ?=???
=+-??
?
=-??
根据上述模型，钢筋点具体坐标在模型求解中已得出，而各条木条的边缘点坐标因θ的改变而改变，此处我们计算出当30,45,60θ=???的数据，具体见附录2，求解代码见附录3。此处只展现第1i =和第20i =时，木条的钢筋点位置和末端点位置坐标。
（表格五：木条的钢筋点坐标位置变化）
i 30? 45? 60?
1 (-23.75,-20.8547,-25.6006) (-23.75,-26.2595,-21.4533) (-23.75,-30.4068,-16.0484) 20 (23.75,-20.8547,-25.6006) (23.75,-26.2595,-21.4533) (23.75,-30.4068,-16.0484)
（表格六：木条的末端点坐标位置变化）
i 30? 45? 60?
1 (-23.75,-33.1781,-35.3182) (-23.75,-38.0867,-27.86) (-23.75,-43.6739,-20.5787) 20 (23.75,-33.1781,-35.3182) (23.75,-38.0867,-27.86) (23.75,-43.6739,-20.5787)
所以，折叠动态过程30,45,60θ=???时的动态图（图六）如下（代码见附录3）：
（图六）
而整个变化过程，可以用MATLAB 画成，旋转得多角度图（图七、八）如下（代码见附录4）：
（图七）（图八）（2）桌子高为53cm时的参数。
当桌子高为53cm时折叠完成，此时20条木条末端点位置坐标为：
（表格七：各木条末端点位置坐标）
当桌子高为53cm时，各条桌腿木条开槽长度如下：
（表格八：各木条开槽长度）
其中，由数据可知桌腿曲面中最中间的那条桌腿木条开槽长度最长，为，而最边沿的桌腿木条的开槽长度最短，为0，也就符合了题中所说的钢筋固定在最边沿的桌腿木条上这一说法。
（3）桌腿边缘线由木条的末端点位置坐标点得到。
由y和z的两个柱面方程
11
1
1
sin
2102
3
2
l l
y r
l
l
z
θ
θ
?
=--
?
?
?
?
=--
?
?
我们可以得到这条边缘曲线的方程为
1
1
1
10
2
[sin
2
2
3cos
t
t
t
x r r
l l
y
l
l
z
l
θ
θ
?
=-
?
?
?
=+
?
?
?
=--
?
?
，
其中t为参数，1
3,1
sin0.436
l
y
θ==，
1
50
cos0.958
l
θ==
用MA TLAB进行绘图，并对图形进行旋转，在不同坐标系下的不同角度单侧边缘线如下（见图九、十），代码如附录5。
为了观看更直观，我们把另一测桌腿的边缘线也画出，也对图形进行旋转，在不同坐标系下的不同角度双侧边缘线如下（见图十一、十二）。代码如附录1：
（图十一） （图十二）
5.2问题二：设计折叠桌加工参数
5.2.1建立模型
（1）假设a 为第一根木条上端点到钢筋的距离，先计算出开槽长度k k len m m '=-，其
中k
m '表示折叠后第k 根木条与钢筋交点到木条上端点的距离，k m 表示折叠前第k 根木条与钢筋交点到木条上端点的距离。
（2）假设()f l 为第一根木条在桌子高度为70H =的情况下随角度θ的变化下的木条长
度，则根据折叠前后的边角关系，则1()(cos 2H f l l θ=
=-，所以目标方程就是min l
2cos H l θ=
+（3）考虑到稳固性以及其他现实情况，列出约束条件。假设n 为折叠前钢筋点到下端点
的距离，则<1>开槽长度小于折叠前钢筋点到下端点的距离：len n ；<2>钢筋点位置不能超出木条：0cos H a θ
；<3>考虑现实情况，我们给θ设定的可变范围：11
1836
πθπ≤≤。
（4）根据第（2）和第（3）步的目标函数和约束条件求解,,l a θ。
5.2.2模型求解
在问题一的基础上，我们需要求出本问的钢筋点的位置，木条的长度l 。首先，木条宽度影响到加工过程是否方便，也影响到桌面边沿的外观；其次，钢筋的位置直接影响到桌子的稳固性能和用材多少，若钢筋位置在木条的中上方，则在保证桌子等高的情况下，桌腿的倾斜度大，可以承受的重量也减小，且所用材料增加，而当钢筋位置在木条的偏下方时，则可能造成桌腿集中在桌面正下方位置，导致桌子不稳。最后，开槽长度也是决定桌子高度的一个因素。根据这些影响因素，我们进行优化设计。
首先假设a 为第一根木条的上端点到钢筋点的距离，由于坐标点较多，为了方便计算，我们先依次计算出折叠前和折叠后木条上各点的坐标，方便求解开槽长度。（各参数具体表
示标记如图十三）
（图十三）
（1）先求出折叠前各个数据，表示为：（0,...,10k =）
<1>第
k
根木条的长度11(()22k l l l =-=-
<2>第k
根木条上端点坐标k A (,3)10k r r -- <3>第k 根木条上的钢筋点的坐标
K
B (,(,,3)1010k k r a r a -
-=--- <4>第k
根木条上末端点到钢筋的距离k
L 12210
l l a a r =
-=-- （2）折叠后各个数据表达为：（最外侧木条旋转角度为2
π
θ-，1,...,10k =）：
<1>
第二十根木条的钢筋点坐标为
201(,sin ,3cos )10C r r a a θθ-+
-- <2>根据第一根和第二十根的坐标，可以求得钢筋所在方程为：
13cos 1020210
x r r z a r r θ-+
++==-+ <3>旋转后钢筋与第k 根木条的交点
3sin 102021010r x r z a r r
k x r r θ?-+?++?==
?-+???=-??
即
(,sin ,3cos )10k r r a a θθ-
--
（3）求第k 根木条的下端点坐标。 第k 根木条下端坐标，设为3,3,3,(,,)
k k k x y z ，设上端点坐标为
1,1,1,(,,)k k k x y z ，
旋
转
后
钢
筋
与该
木
条
交
点
为
2,
2
,(,,)
k
k k
x y
z
，
则
3,1,3,1,3,1,2,
1,2,1,2,1,2
3,1,)k k k k k k k k k k k k k k k x x y y z z t x x y y z z z l ---?===?----=（k l 是第k 根木条的长度）
得，
t =
，（取
3,2,1,k k k
z z z ，于是0t ）
即
k
l t a
=
=，故第k 根木条的下端点坐标为
3,3,3,10
sin 3cos k
k k k k k x r r l y a a l
z a θθ
?
=-????=+????
??=--?
（4）因此，可以求得第k 根木条上钢筋点到上端点的距离，记为k m ，则
10k m a a r =+，
第k 根木条钢筋点到木条上端点的距离，记为k
m '，则
k
m '= （5）求开槽长度。
由上面的步骤（4），可以计算得开槽长度：k
k len m m '=-
a =
（6）设计目标函数和约束方程。
计算完各个坐标、直线方程以及长度之后，我们便可以设计优化的约束方程和要求得目标方程。要使稳固性越好，则需要θ越小越好；要使加工方便，也就是开槽长度尽量短，那么θ也越小越好；而用材最小也就是使木条长度最小。那我们就以木条最短为目标，求出θ在满足实际的约束下，最小的度数是多少。
假设()f l 为第一根木条在桌子高度为70H =的情况下随角度θ的变化下的木条长度，
则根据折叠前后的边角关系，则1()(cos 2H f l l θ=
=-，所以目标方程就是min
l
2cos H l θ=
+ 接着，考虑到稳固性以及其他现实情况，列出约束条件。假设n 为折叠前钢筋点到下端
点的距离，则<1>开槽长度小于折叠前钢筋点到下端点的距离：len n ；<2>钢筋点位置不
能超出木条下端点：
0cos H a θ ；<3>考虑现实情况，给θ设定可变范围：11
1836
πθπ≤≤。
根据目标函数和约束条件，我们就可以用MATLAB 软件编写代码求解，求解过程中为
了找出最合适的θ，我们对θ进行遍历，求出l 。
5.2.3模型结果
由于第11根木条的开槽长度是最长的，只要这个最小的开槽长度小于折叠前钢筋点到下端点的距离，那么其他的也就满足。所以我们只用这条最长的开槽长度来计算约束条件len n 。根据上面目标函数和约束函数，我们把40r =代入计算并进行化简，得到：
min
l 2cos H l θ=
+
1)sin 1cos 0cos 111836H a H a θθθπθπ+?
??
?≤≤??