第5节函数y=Asin(ωx+ )的图象及应用
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2017·山西月考)设k∈R,则函数f(x)=sin(kx+)+k的部分图象不可能是( D )
解析:k=0时,y=,图象为A,A正确;
k=2时,f(x)=sin(2x+)+2,图象为B,B正确;
k=-1时,f(x)=sin(-x+)-1,图象为C,C正确;
k=1时,f(x)=sin(x+)+1,x∈(0,),函数单调递增,D不正确.
故选D.
2.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( D )
(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位
长度,得到曲线C2
(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
解析:因为sin(2x+)=cos[-(2x+)]
=cos(2x+).
因此可以先将y=cos x即C1上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,变为y=cos 2x,
再将y=cos 2x向左平移个单位得到y=cos[2(x+)]=cos(2x+).故选D.
3.(2017·江西鹰潭一模)函数f(x)=sin(ωx+?)(x∈R)(ω>0,|?|<)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( C )
(A) (B) (C) (D)1
解析:由题图知,T=2×(+)=π,
所以ω=2,
因为函数的图象经过(-,0),则0=sin(-+?),
因为|?|<,所以?=,
所以f(x)=sin(2x+),
令2x+=+kπ,k∈Z,
取k=0得y轴右边第一条对称轴x=.
由f(x1)=f(x2)得x1+x2=2×=,
所以f(x1+x2)=sin=.
故选C.
4.(2017·安徽蚌埠一模)已知函数f(x)=2sin(ωx+?)(ω>0,0
(A)f(x)=2sin(x+)
(B)f(x)=2sin(x+)
(C)f(x)=2sin(2x+)
(D)f(x)=2sin(2x+)
解析:因为函数的图象上相邻两个最高点的距离为π,
所以函数最小正周期T==π,即ω=2,
即f(x)=2sin(2x+?),
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得,
f(x)=2sin[2(x+)+?]=2sin(2x++?),
由f(x)=2sin(2x++?)的图象关于y轴对称,
得+?=+kπ,k∈Z,
即?=+kπ,k∈Z,
因为0
所以当k=0时,?=,
即f(x)=2sin(2x+),
故选C.
f(x)=2sin ωx在区间[-,]上的最小值为-2,则ω的取值范围是( D )
(A)(-∞,-]∪[6,+∞)
(B)(-∞,-]∪[,+∞)
(C)(-∞,-2]∪[6,+∞)
(D)(-∞,-2]∪[,+∞)
解析:法一当ω>0时,-ω≤ωx≤ω,由题意知-ω≤-,即ω≥;当ω<0时,ω≤ωx≤-ω,由题意知ω≤-,所以ω≤-2.
综上可知,ω的取值范围是(-∞,-2]∪[,+∞).
故选D.
法二ω=时,f(x)在[-,]上单调递增,
f(x)的最小值为f(-)=-2,符合题意,排除A,C.
ω=-2时,f(x)在[-,]上最小值为-2,符合题意,排除B.
故选D.
6.(2017·广东汕头三模)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其
初始位置为A0(,),12秒旋转一周,则动点A的纵坐标y关于时间t(单位:秒)的函数解析
式为( C )
(A)y=sin(t+) (B)y=cos(t+)
(C)y=sin(t+) (D)y=cos(t+)
解析:设y关于t的函数为y=sin(ωt+θ),
因为12秒旋转一周,所以T==12,所以ω=,
因为当t=0时,初始位置为点A0(,),将该点代入,得到θ=,
所以y=sin(t+),
故选C.
7.(2017·广西玉林一模)为了得到函数y=cos 2x的图象,可以将函数y=sin 2x+cos 2x 的图象至少向左平移个单位.
解析:将函数y=sin 2x+cos 2x=cos(2x-)的图象向左平移个单位,可得到函数y=cos[2(x+)-]=cos 2x的图象.