人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元提高题检测试题
一、选择题
1．如图所示，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE ?的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：（1）AD BC =（2）BD 与AC 互相平分（3）四边形ACED 是菱形（4）BD DE ⊥，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图,在四边形ABCD 中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P 、Q 分别从A 、C 同时出发,P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动,Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动,多少s 时直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2或3
3．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF S
S .=⑤其
中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④⑤
D ．①③⑤
4．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ??≌；②ABE ?是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ??=；⑤CEF ABE S S ??=中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3, 4AB AD ==，那么( )
A ．125PE PF +=
B ．
121355PE PF <+< C ．5PE PF += D ．34PE PF <+< 6．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF ＝2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是12+82，其中正确的有（ ）个．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
7．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ?，连接OB .下列四个说法：
①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①∠EFH＝45°；
②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD＝45°；
④若
BE
EC
＝2
，则
11
13
=
BEH
AHE
S
S．其中结论正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
9．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为
（）
A．3 B．6 C．
37
D．
17
10．如图，在ABCD中，2,
AB AD F
=是CD的中点，作BE AD
⊥于点E，连接EF BF
、，下列结论:①CBF ABF
∠=∠；②FE FB
=；③2EFB
S S
?
=
四边形DEBC
；
④3
BFE DEF
∠=∠；其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，对角线长为1cm，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是_____．
12．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．
13．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．
14．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．
15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③
ABCD 19
CEF S S ?=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．
16．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
17．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．
18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）
19．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．
20．如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是
__________．
三、解答题
21．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如
果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．
22．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，△ADF的面积为
3
2
cm2；
（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．
23．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x 轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？
（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．综合与探究
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且
DF BE
=．CE和CF之间有怎样的关系．请说明理由．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果
45
GCE
∠=?，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD
=+．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=?，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=?，4BE =，求DE 的长．
25．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为 时，四边形BCEF 是菱形．
26．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ?沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．
图1 图2
（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．
①求证：BF AB DF =+．
②若3AD =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．
27．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明．．
）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ?沿AC 翻折至'AB C ?，连结'B D . 结论1：'AB C ?与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：'B D AC .
试证明以上结论.
（应用与探究）
在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ?沿AC 翻折至'AB C ?，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）
28．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ?∠= ．
()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；
()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-
()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足
,90,45,AB AD BAD BCD EAF ??=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．
29．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒3的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.
(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++?的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
30．如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ?是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.
【详解】
解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD
∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AD=AC=BC，故①正确；
由①可得AD=BC
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③正确
∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC
∴.四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC//DE
∴∠BDE=∠COD=90°
∴BD⊥DE，故④正确
综上可得①②③④正确，共4个.
故选：D
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线
互相垂直.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ 或CQ=PD ，计算即可求出t 值.
【详解】
根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形
则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t
要使构成平行四边形
则：AP=BQ 或CQ=PD
进而可得：62t t =- 或29t t =-
解得2t = 或3t =
故选D.
【点睛】
本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF S
S <．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，
BAE BAF 90∠∠∴+=，
BAE DAF ∠∠∴=，
BE DP ⊥，
ABE BPE 90∠∠∴+=，
又
ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，
ABE ADF ∠∠∴=，
在ABE 和ADF 中， BAE DAF AB AD
ABE ADF ∠=∠??=??∠=∠?
， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；
AE AF ∴=，BE DF =，
AEF ∴是等腰直角三角形，
过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，
点P 是AB 的中点，
AP BP ∴=，
在APM 和BPE 中，
90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠??∠=∠=??=?
，
APM ∴≌()BPE AAS ，
BE AM ∴=，EP MP =，
PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；
BE DF =，FM AM BE ==，
AM DF ∴=，
又
ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，
DAM CDF ∠∠∴=，
在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =??∠=∠??=?
，
ADM ∴≌()DCF SAS ，
CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确；
在Rt CDF 中，CD CF >，
BC CD =，
CF BC ∴≠，
BCF ∴不是等边三角形，故③错误；
CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，
又AM DF =，
APF CDF S S ∴<，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．
4．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则
∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠EAD=∠AEB ，
又∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∴∠BAE=∠BEA ，
∴AB=BE ，
∵AB=AE ，
∴△ABE 是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE ，BC=AD ，
在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABE EAD BC AD =??∠=∠??=?
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；
①正确；
∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），
∴S △FCD =S △ABC ，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高，
∴S △AEC =S △DEC ，
∴S △ABE =S △CEF ；
⑤正确；
若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ，
即EC=CD=BE ，
即BC=2CD ，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定正确；
故选C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
5．A
解析：A
【分析】
设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD 的面积，根据面积关系即可求出答案.
【详解】
设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，
∵3, 4AB AD ==,
∴BD=AC=5，
∴OA=OD=2.5， ∵1134344AOD ABCD S
S ==??=矩形， ∴3AOP DOP S S +=，
∵PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ， ∴112.5 2.5322
PE PF ?+?=， 15()322
PE PF ?+=， ∴125
PE PF +=
， 故选：A.
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD的面积是解题的关键. 6．B
解析：B
【分析】
①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数，从而求得∠AGD；
②证△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；
③先计算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得证；
④设OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF22a，从而可证得BF＝EF＝GF2；
⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，
由折叠的性质可得：∠ADG＝1
2
∠ADO＝22.5°，
∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，
故①错误；
由折叠的性质可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，
在△AEG和△FEG中，
AE FE
AEG FEG
EG EG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△AEG≌△FEG（SAS），
∴AG＝FG，
∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，
∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；
∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，∴∠AGE＝∠AED，
∴AE＝AG，
又∵AE＝FE，AG＝FG，
∴AE＝EF＝GF＝AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确；
设OF ＝a ，
∵△AEG ≌△FEG ，
∴∠EFG ＝∠EAG=45°，
又∵∠EFO ＝90°，
∴∠GFO ＝45°，
∴在Rt △OFG 中，GF ，
∵∠EFO ＝90°，∠EBF ＝45°，
∴在Rt △EBF 中，BF ＝EF ＝GF a ，即BF OF ，故④正确；
∵S △OGF ＝1， ∴12OF 2＝1，即12
a 2＝1， 则a 2＝2，
∵BF ＝EF a ，且∠BFE ＝90°，
∴BE ＝2a ，
又∵AE ＝EF ，
∴AB ＝AE+BE +2a ＝)a ，
则正方形ABCD 的面积是)2a 2＝(6+＝12+
故⑤正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了四边形的综合，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形、菱形的判定与性质等知识是解题的关键.
7．B
解析：B
【分析】
根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416?=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动，
∴OP=AQ ，
∵OQ+AQ=OA=8，
∴OQ+OP=8，①正确；
由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化， 当4t =时，如图：
则AQ=OP=4，
∴OQ=844-=，
∴点B 的坐标为：（4，4），②正确；
此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，
∴四边形PBQO 的面积为：4416?=，③正确；
∵四边形PBQO 是正方形，
∴PQ=OB ，
即当4t =时，PQ=OB ，故④错误；
∴正确的有：①②③，共三个；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P 、Q 的运动情况，进行讨论分析来解题.
8．A
解析：A
【分析】
①根据正方形的性质证明∠ADB ＝45°，进而得△DFG 为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH ＝12
∠EFD ＝45°，故①正确； ②根据矩形性质得AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，再证明△AFH ≌△EGH 得EH ＝AH ，进而证明△EHF ≌△AHD ，故②正确；
③由△EHF ≌△AHD 得∠EHF ＝∠AHD ，怀AH ＝EH 得∠AEF +∠HEF ＝45°，进而得∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；
④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52
x ，由勾股定理得AH 2，再由三角形的面积公式得BEH AHE S S
，便可判断④的正误．
【详解】
证明：
①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，∵EF∥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴四边形EFDC是矩形．
在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，
∴FD＝FG，
∵H是DG中点，
∴∠EFH＝1
2
∠EFD＝45°
故①正确；
②∵四边形ABEF是矩形，
∴AF＝EB，∠BEF＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴BE＝GE，
∴AF＝EG．
在Rt△FGD中，H是DG的中点，
∴FH＝GH，FH⊥BD，
∵∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH＝∠EGH，
∴△AFH≌△EGH（SAS），
∴EH＝AH，
∵EF＝AD，FH＝DH，
∴△EHF≌△AHD（SSS），
故②正确；
③∵△EHF≌△AHD，
∴∠EHF＝∠AHD，
∴∠AHE＝∠DHF＝90°，
∵AH＝EH，
∴∠AEH＝45°，
即∠AEF+∠HEF＝45°，
∵∠HEF＝∠HAD，
∴∠AEF +∠HAD ＝45°，
故③正确；
④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，
设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，
∴BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝
12x ，AM ＝52x ，HN ＝52x ， ∴22225113222AH x x x ????+= ? ?????
＝， ∴2
11021132BEH AHE BE HN S =S AH ?=， 故④错误；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道几何综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的性质进行求解即可．
9．C
解析：C
【分析】
连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，则四边形ABEH 是矩形，求出FH ＝1，AF 2237+=AH FH ASA 证得△RFP ≌△RCQ ，得出RP ＝RQ ，则点R 与点M 重合，得出MN 是△CAF 的中位线，即可得出结果． 【详解】
解：连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，如图所示：
则四边形ABEH 是矩形，
∴HE ＝AB ＝1，AH ＝BE ＝BC+CE ＝2+4＝6，
∵四边形CEFG 是矩形，
∴FG ∥CE ，EF ＝CG ＝2，
∴∠RFP ＝∠RCQ ，∠RPF ＝∠RQC ，FH ＝EF ﹣HE ＝2﹣1＝1，
在Rt △AHF 中，由勾股定理得：AF 22226137+=+=AH FH ，