习题解答 习题1.1
1．一质量为m 的物体，从高度0s 处以初速度0v 铅直向上抛出．设空气的阻力与速度成正比，试求物体的运动规律所满足的微分方程，并写出初始条件．
解 如图建立坐标系，设时刻t 时物体的高度为()x t ．因物体所受的合力为
f m
g k dx dt =+，方向向下，由Newton 第二定律可得
22d x dx m mg k dt dt
=--（0k >为常数）， 化简后可得微分方程
220d x k dx
g dt m dt
++=． 若令dx dt v =，则得速度v 满足的一阶微分方程
0dv k
v g dt m
++=， 相应的初始条件为
0(0)v v =．
2．一高温物体在C
20的恒温介质中冷却．设在冷却过程中降温速度与物体和其所在介质的温度差成正比．已知物体的初始温度为0u ，试求物体的温度)(t u 所满足的微分方程，并写出初始条件．
解 设时刻t 时物体的温度为)(t u ，由Newton 冷却定律可得微分方程
(20)du
k u dt
=--（0k >为常数）
， 相应的初始条件为
0(0)u u =．
3．已知曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，试求这曲线所满足的微分方程．
解 如图所示建立坐标系，设所求曲线为()y y x =，曲线上的坐标为(,)x y ，过点(,)x y 处的切线上的坐标为(,)X Y ，则切线方程为
'()Y y y X x -=-，
易见该切线在纵轴上的截距为
'b y xy =-．
由条件可知
'2
x y
y xy +-=
， 整理可得微分方程
11
'02
y y x -
+=． 习题1.2
4．求下列两个微分方程的公共解：
24'2y y x x =+-，242'2y x x x y y =++--．
解 公共解当然满足关系式
2424222y x x x x x y y +-=++--，
化简，得
22()[2()1]0y x y x -+-=．
所以2
y x =和212
y x =-可能是两个方程的公共解．进一步验证可知前者是公共解，而后
者不是．
5．求微分方程2
''0y xy y +-=的直线解． 解 设直线解为y ax b =+，则
2()0a a x ax b +-+=．
比较同次幂系数得
a b =，2a a =，
故0a b ==，或1a b ==．亦即所求的直线解为0y =或1y x =+．
6．试求下列曲线族所满足的微分方程：
（1）2
y cx x =+， （2）12x x y c e c xe =+； （3）平面上的一切圆．
解 （1）从
2y cx x =+，'2y c x =+
消去c 可得微分方程2
'0xy x y --=．
（2）从
12x x y c e c xe =+，12'(1)x x y c e c x e =++，12"(2)x x y c e c x e =++
消去12,c c 可得微分方程"2'0y y y -+=．
（3）从
222()()x a y b c -+-=，()()'0x a y b y -+-=， 21'()"0y y b y ++-=，3'"()"'0y y y b y +-=
消去,,a b c 可得微分方程2
2
[1(')]"'3'(")0y y y y +-=．
7．给定微分方程2
2
2
3
4'x y y xy -=，证明其解曲线关于坐标原点(0,0)O 成中心对称的曲线，也是此微分方程的解曲线．
证明 设00(,)x y 是方程2223
4'x y y xy -=的积分曲线上任意一点，根据题意，我们只
需证明00(,)x y --也是方程2223
4'x y y xy -=的解即可．
事实上，设()y y x =为任意积分曲线，00(,)x y 为其上任一点，则
2223000004'()()()x y x y x x y x -=．
又设1()y y x =为与积分曲线()y y x =关于坐标原点成中心对称的曲线，则
010()()y x y x =--，010'()'()y x y x =-．
代入上式，得
2223010100104'()()()x y x y x x y x ---=--，
即
2223010100104()'()()()()x y x y x x y x ----=--，
即00(,)x y --也是方程2223
4'x y y xy -=的解．
习题1.3
1． 试用图像法作出如下微分方程的方向场和积分曲线的略图： （1）|
|'xy xy y =
； （2）2)1('-=y y ； （3）xy y +=1'； （4）22
'y x y =-． 解 （1）当0xy >时，(,)1f x y o，即在第一、第
三象限内任何点的方向斜率均为1；
当0xy <时，(,)1f x y ?
，即在第二、第四象限
内任何点的方向斜率均为1-．由此不难画出方向场及积分曲线的略图．
（2）易见2
(,)(1)f x y y =-满足解的存在唯一性条件．考察等斜线
2(1)y k -=（0k 3），
即 1y =?
当0k =时，1y =（容易验证它是一条积分曲线）。再取1k =可得直线0y =和2y =，过它们上面各点的方向相同，斜率均为1．画出这三条等斜线．
又见当1y >或1y <时，均有'0y >，故过这两个区域内每一点的积分曲线都是单调上升的．又
3''2(1)'2(1)y y y y =-=-．
令''0y =得1y =，因它是一条积分曲线，由解的
唯一性知其它积分曲线不可能穿过它，因此不是拐点曲线．而当1y >时，''0y >，故过该区域内每一点的积分曲线都是下凸的；当1y <时，''0y <，故过该区域内每一点的积分曲线都是上凸的．由此不难画出方向场和积分曲线略图．
（3）易见(,)1f x y xy =+满足解的存在唯一性条件．考察等斜线
1xy k +=
即1xy k =-，它是一族双曲线，可以验证它们都不是积分曲线．
令0k =，得等斜线：1xy =-，它将平面分成三部分，在外部'0y <（故解递减），在内部'0y >（故解递增），所以1xy =-在第二象限的一支为极小值点曲线，在第四象限的一支为极大值点曲线．
再令1k =，得0x =及0y =，故在两个坐标轴
上，方向的斜率均为1．
令2k =得双曲线1xy =，在其上方向的斜率为2．
令1k =-得双曲线2xy =-，在其上方向的斜率为1-．
画出以上各等斜线． 又
"'(1)y xy y x xy y =+=++，
令"0y =得曲线：
(1)0x xy y ++=．
易知它不是积分曲线，它将平面分成两部分．在上方，"0y >，过其中每一点的积分曲线均下凸；在下方，"0y <，过其中每一点的积分曲线均上凸．积分曲线穿过该曲线，积分曲线的凸性改变，故为积分曲线的拐点曲线．由此可以画出方向场和积分曲线族的略图． （4）2
2
(,)f x y x y =-满足解的存在唯一性条件．考察等斜线
22x y k -=（都不是积分曲线）．
令0k =，得零等斜线y x =?，它们将平面分
成四块．上下两块内，'0y <，过其内每点的积分曲线均单调下降；左右两块内，'0y >，过其内每点的积分曲线单调上升．当积分曲线穿过y x =?时，积分曲线的单调性改变，故
y x =?为积分曲线的极值点曲线．
再令1k =?，作出相应的等斜线．又
22"22'22()y x yy x y x y =-=--．令
"0y =，得
2222()0x y x y --=（不是积分曲线），
它将平面分成上下两部分．在上方，"0y >，积分曲线下凸；在下方，"0y <，积分曲线上凸．由此可以作出方向场和积分曲线族的得略图．
习题2.1
1． 求解下列微分方程：
（1）)1(3
2x y x dx dy +=； （2）0sin 2
=+x y dx dy ； （3）2
30y x dy e dx y
++=； （4）(1)(1)0x ydx y xdy ++-=； （5）tan cot 0ydx xdy -=． 解 （1）分离变量得
23
1x ydy dx x =+，
33
1
(1)3(1)
ydy d x x =
++， 积分之，得通积分
232
ln |1|3
y x c =
++（c 为任意常数）
． （2）当0y 1时，分离变量得
2
sin dy
xdx y -=， 积分之得通积分
1
cos x c y
=-+ 或
1
cos y c x
=
-（c 为任意常数）．
又见0y =是方程的特解，它不含在通解中．
（3）分离变量得
2
3x y
y dy e dx e -=，
积分得通积分
2
3112
3
y x e e c -
=
+（c 为任意常数）
． （4）分离变量得
110x y
dx dy x y
+-+=， 积分得通积分
ln ||x y xy c -+=．
另有特解0y =和0x =．
（5）当sin cos 0y x ≠时，分离变量得
tan cot 0xdx ydy -=，
积分得
ln |sin cos |ln ||y x c =（0c ≠）
， 即通积分为
sin cos y x c =．
当sin cos 0y x =时得特解y k =p ，或2
x k p =p +
，0,1,2,k =北L ．
2． 求解下列微分方程的初值问题： （1）03cos 2sin =+ydy xdx ，3
)2
(π
π=
y ；
（2）32
1xy dx
dy
x
=+，1)0(=y ； （3）0)()(2
2
2
2
=+-+dy y x x dx xy y ，(1)1y =-． 解 （1）分离变量得
sin 2cos3xdx ydy -=，
积分之得通积分
112
3
cos 2sin 3x y c =
+（c 为任意常数）
． 利用初始条件23()y ππ=可得1
2
c =-，故初值问题的解为
111
cos 2sin 3232
x y =-． （2）当0y 1时，分离变量得
3
dy
y =，
积分之，得通积分
2
12c y
-
=（c 为任意常数）． 利用初始条件1)0(=y 可得32
c =-
，故初值问题的解为
2
1322
y -=， 即
23)10y +=．
又易见0y =不是初值问题的解．
（3）分离变量得
22
11x y dx dy x y ++=（0xy 1）， 积分之得通积分
11
ln ||ln ||x y c x y
-
+=-++（c 为任意常数）. 利用初始条件(1)1y =-得2c =-，故初值问题的解为
11
ln ||ln ||2x y x y
-
+=-+-． 又易见0x =和0y =都不是初值问题的解．
3．试证明：若()y x 是方程'()sin y p x y =的满足初始条件(0)0y =的解，其中()p x 是区间(,)-∞+∞上的连续函数，则()0y x ≡．
证明 当sin 0y 1时，对方程分离变量可得
()sin dy
p x dx y
=， 积分后，得通积分
ln tan
()2x y
p x dx c =+?． 显然，其中没有满足条件(0)0y =的解．
当sin 0y =时，可得方程的特解
y k =p ，0,1,2,k =北L
显然，只有解()0y x ≡满足初始条件(0)0y =．
4． 已知0
()
()1x
f x f t dt =?
（0x ≠），试求函数()f x 的一般表达式．
解 对方程两边关于x 求导得
20
'()()()0x
f x f t dt f x +=?，
另外，由已知条件得
1
()()
x
f t dt f x =
?
， 所以
21
'()()0()
f x f x f x ?
+=， 即
3()
()df x f x dx
=-． 分离变量，积分得
21
()2()
f x x c =
+，
c 为积分常数，且0x c +>，从而
()
f x =．
注意到，当1x =时，已知条件变为
1
1=，
不难得到0c =．所以()f x 的一般表达式为()
f x =． 5． 求具有性质
()()
()1()()
x t x s x t s x t x s ++=
-
的函数()x t ，已知'(0)x 存在．
解 首先，令0s =．由已知可得
()(0)
()1()(0)
x t x x t x t x +=
-，
化简得
2(0)(1())0x x t +=，
所以(0)0x =．
另外，由函数导数的定义，我们有
0()()
'()lim
t x t t x t x t t
???→+-=，
又因为
()()
()1()()
x t x t x t t x t x t ???++=
-，
所以
22000()(1())()(0)1()
'()lim lim lim (1()())1()()t t t x t x t x t x x t x t t x t x t t
x t x t ?????????→→→+-+==?--
2'(0)(1())x x t =+，
变形为
2()
'(0)1()
dx t x dt x t =+，
两边同时积分得
arctan ()'(0)x t x t c =+，
其中c 为积分常数．当0t =时，得0c =．所以满足条件的函数为()tan('(0))x t x t =．
6．求一曲线，使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两段．
解 取坐标系如图所示，设所求曲线为
()y y x =．由条件可知过点(,)P x y 的切线的斜切
线与两坐标轴的交点可设为(2,0)x 与(0,2)y ．于是切线的斜率为
2002y y
k x x
-=
=--，
于是得方程
dy y
dx x
=-， 其通积分为
xy c =．
7．跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿
x 轴正向前进；同时某B 从点),0(b 开始跟踪A ，
即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．
解 取坐标系如图所示，设所求曲线为
()y y x =．则过点(,)B x y 的切线方程为
'()Y y y X x -=-
其中(,)X Y 为切线上的坐标，切线与x 轴的交点为
(,0)'
y
A x y -
．由题设条件知||AB b =，即 222
2
'y y b y +=， 由题意可知
'y =-
分离变量得
dx =-， 故通积分为
x =-
ò
sin (sin csc )[cos ln(csc cot )][ln([.y b t b t t dt b t t t c b
b c y b c =-=---+=--+=-+ò令 利用条件()0x b =，得0c =，故所求轨迹的函数为
x b =
上式可改写为
ln x b =
两式相加并除以2后，可得另一个表达式
ln 2b x =
习题2.2
1．求解下列微分方程： （1）
x xe y dx dy -=+2； （2）x y dx dy x sin 2=+； （3）x n dy n
y e x dx x
-=（n 为常数）
；
（4）
1dy ay x dx x x
+=+（a 为常数）； （5）3dy y dx x y =+； （6）0()x x
y e y t dt =+?． 解 （1）由通解公式可得
2222()()[(1)].dx
dx
x x x x x y e xe e
dx c e xe dx c e e x c ----蝌=+=+=-+蝌
（2）由通解公式可得
2
222sin 11
()(sin )(sin cos ).dx dx x
x
x
y e
e
dx c x xdx c x x x c x
x
x
-
蝌=+=
+=
-+蝌 （3）通解为
()=().n n
dx
dx x n
n x x
x y e c e x e dx x c e ---?
?=++?
（4）当0a =时，方程是变量可分离的，其解为ln ||y x x c =++；当0a 1时，方程是线性的，其解为
(1)11()
(()1(ln ||),1,11(),1,1ln ||1,1,11, 1.1a
a dx dx x
x
a a
a a a a a x y e
c e dx x
x c x
x dx
x c x a x x c x x a a a cx x x a cx x a a a ---+--+蝌=+
=+
+ì??+-=??=í??+-???-??ì+-=???=í?+-???-?
ò
ò （5）将方程改写为线性方程
21
dx x y dy y
-=， 其通解为
1
1
2231
3
()()().dy
dy
y y x e
c y e
dy y c y dy y c y ??=+=+=+??
另有特解0y =．
（6）方程两边求导得线性方程
'x y e y =+，
其通解为
()x y e c x =+．
由原方程可得初始条件(0)1y =，代入上式得1c =，于是原方程的解为(1)x
y e x =+．
2．试证明：形如
[()()]
()dy
xf y g y h y dx
+= 的方程是关于x 的线性方程，并写出通解公式．同时，据此结果求解方程：
（1）4
(3)0ydx x y dy -+=； （2）2
2(2)
0dy
x xy y y dx
--+=； （3）2
(6)
2dy
y x y dx
-=-； （4）(1sin )[2cos (sec tan )]y dx y y x y y dy +=-+． 证明 将方程改写为
()()()()
dx f y g y x dy h y h y -=， 这是一个线性方程，其通解为
()
()
()()()()()
f y f y dy
dy h y h y g y x e
c e dy h y -??=+?．
利用该公式可得上述方程的通积分：
（1）3
()x y y c =+； （2）12
(1)y
x y ce =+； （3）2
32
y x cy =+； （4）2
(sec tan )x y y y c +=+． 3． 试证明：当且仅当通解形如
()()y c x x ?ψ=+
时，它所适合的微分方程是一阶线性微分方程，其中c 是任意常数，而()x ?与()x ψ均是x 的确定的可微函数．
证明 先证必要性．事实上，消去
()()y c x x ?ψ=+，''()'()y c x x ?ψ=+
中的参数c ，可得曲线族满足的微分方程
'()'()'()()()'()y x x y x x x x ??ψ?ψ?-=-，
这是一个一阶线性微分方程．
由一阶线性方程的通解公式可知充分性是显然的．
4． 设函数()t ?于t -∞<<+∞上连续，'(0)?存在且满足关系式
()()()t s t s ???+=，
试求此函数．
解 令0s =，则
()()(0)t t ???=．
因为上式对任意t -∞<<+∞都成立，所以(0)1?=．由函数的导数定义，得
00()()()()()
'()lim
lim t t t t t t t t t t t
????????????→→+--==
00()1()(0)
lim
()lim ()
'(0)(),
t t t t t t t t
t ?????????????→→--=?=?= 即()t ?满足微分方程
'() '(0)()t t ???=．
直接解得
'(0)()t t ce ??=．
考虑到(0)1?=，得出1c =，所以所求函数为'(0)()t
t e
??=．
5． 设()y x 在区间[0,)+∞上连续可微，且
lim['()()]0x y x y x →+∞
+=，
试证明：lim ()0x y x →+∞
=．
证明 当x 充分大时，设'()()()y x y x f x +=，由条件可知lim ()0x f x →+∞
=．设()y x 满
足初始条件0(0)y y =，则
00
()(())x
x x y x e y f x e dx -=+?．
因
()|()|x
x
x x f x e dx f x e dx ≤?
?，
若0
lim
|()|x
x
x f x e dx →+∞?
收敛，则易见结论成立．否则，有0
lim
|()|x
x x f x e dx →+∞=+∞?
，于是
由L ’Hospital 法则，可知
00
00
|||()|lim |()|lim
|()||| lim lim x
x x
x x x
x
x x x x y f x e dx
y x e f x e dx y e e
→+∞
→+∞
→+∞→+∞+≤=+??
|()|0lim 0.x
x
x f x e e →+∞=+=
6． 设12(),()y x y x 是方程
'()()y p x y q x +=
的两个相异解．试证明方程的任一解()y x 必满足下述恒等式
121()()
()()
y x y x k y x y x -=-（k 是某常数）．
证明 由解的性质可知，21()()y x y x -与1()()y x y x -均为相应齐次方程的解，再由线性齐次方程的解的公式可知上述两解必然是线性相关的，故必存在某常数k ，使得
121()()[()()]y x y x k y x y x -=-．
7．考虑方程
)()(x q y x p dx
dy
=+， （﹡） 其中)(x p 和)(x q 都是以0>ω为周期的连续函数．试证：
（1）若0)(≡x q ，则方程（﹡）的任一非零解以ω为周期，当且仅当函数)(x p 的平均值
0)(1
==
?ω
ωdx x p p ；
（2）若)(x q 不恒为零，则方程（﹡）有唯一的ω周期解，当且仅当0≠p ．试求出此解．
解 （1）由通解公式
()x
p t dt
y Ce
-
ò=（C 为任意常数）
可知
()()()()()()x x x x
p t dt
p t dt p t dt
p t dt
y x Ce
Ce
e
y x e
+w
+w
w -
--
-
蝌蝌+w ===，
易见方程（﹡）的任一解为周期解，当且仅当0)(1
==
?
ω
ωdx x p p ．
（2）通解公式
()()0
(())x
t x p t dt
p d y e
q t e
dt C -
x x
蝌=+ò．
易见()y x +w 仍为解，从而()()y x y x +w -为相应齐次方程的解．由齐次方程解的性质知
()y x 为w 周期解，即
()()0y x y x +w -=，当且仅当()(0)0y y w -=，即
()()()0
()(1)0t
p t dt
p d p t dt
e
q t e
dt C e
w
w
w
-
x x
-
蝌?+-=ò
．
当且仅当0
1()0p p x dx w
=?w ò时，可由上式确定出唯一的解C ，换句话说有唯一周期解。
8．设连续函数)(x f 在区间+∞<<∞-x 上有界．证明：方程
)('x f y y =+
在区间+∞<<∞-x 上有并且只有一个有界解．试求出这个解，并进而证明：当)(x f 还是以ω为周期的周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数．
解 通解
(())x
x t y e e f t dt C -=+ò．
设|()|f x M ￡，因0
|()||1|x
t x e f t dt M e ?ò
，所以对任意的C ，当x ??时，y 有
界；而当x ??时，一般y 无界，除非0
()t C e f t dt -?
=
ò
（该积分绝对收敛）
．此时对 应的解为
()x
x
t y e
e f t dt --?
=ò
，
因
||x
x
t y e M e dt
M --?
?ò，
故该解有界．
若()f x 以w 为周期，则()()f x f x +w =，令t z =+w ，则
()
()()x x t y x e
e f t dt +w
-+w -?+w =ò
()
()()(),
x
x z x
x
z e e f z dz
e
e f z dz
y x -+w +w -?
--?
=+w ==ò
ò
即上述解也是以w 为周期的周期函数．
9．解习题1.1中第2题所得到的微分方程．又若物体在20分钟内由C
100冷却至C
60，那么，在多长时间内，这个物体的温度达到C
30？
解 初值问题方程
(20)du
k u dt
=--，0(0)u u = 的解为
020(20)kt u u e -=+-．
由条件可知
206020(10020)k e -=+-，
所以ln 2
20
k =
．从而 ln 2
20
2080t u e
-=+．
若物体温度降到C
30，则所需时间由
ln 220
302080t e
-
=+
确定，即60t =分钟．
10．质点沿x 轴运动，且只受一个与速度成正比的阻力．设它从原点出发时，初速度为10米／秒，而当它到达坐标为5.2米的点时，其速度为5米／秒．试求质点到达坐标为4米的点时的速度．
解 由Newton 第二定律可得微分方程
dv
m
kv dt
=-， 即
dv k v dt m
=-，
其中m 为质点的质量，v 为速度．利用dv dv
v dt dx =可将方程化为以x 为自变量的方程
dv k
dx m
=-． 该方程在初始条件(0)10v =的条件下的解为
10k
v x m
=-+． 由条件可知
5 2.510k m
=-?
，
故2k m =．于是
210v x =-+．
于是质点到达坐标为4米时的速度为2．
习题2.3
1． 求解下列微分方程：
（1）(ln ln )0x x y dy ydx --=； （2）y
x x y y --=
22'； （3）1421
2'-+++=y x y x y ；
（4）2
2'21y y x y ??+= ?
+-??
； （5）33
'y x y xy =-． 解 （1）将方程改写为
ln dy y x
dx x y
=， 这是一个齐次方程．令y xu =，则方程化为
ln du u
u x
dx u
+=-
， 分离变量后得
111
()(1ln )du dx u u u x
-=-+， 积分，得
1ln xu
c u
=+．
代回原变量得原方程的通积分
(1ln )y
y c x
=+．
（2）将方程变形为
21
'2y x y y x
-=-． 令
y
u x
=，则方程化为 21
'2u xu u u
-+=
-． 整理并分离变量得
221
1u du dx u x
-=-（1u 贡）
， 即
13211du dx u u x
骣÷?-=÷?÷?桫-+． 积分之，得
2
3
1(1)
u cx u -=+． 换回原变量可得方程的通积分
3()y x c x y =++（c 为任意常数）．
由1u =?可得方程的两个特解y x =?，其中y x =-不含在通积分中．
（3）将方程改写为
21
'2(2)1
x y y x y ++=
+-，
令2u x y =+，对x 求导可得
1
12
21
du u dx u +=+-， 分离变量得
3
4(1)841
du dx u -=+（当410u +?时）， 积分之，得
43ln |41|8u u x c -+=+（c 为任意常数）
． 换回原变量可得方程的通积分
843ln |841|y x y x c --++=．
当410u +=时得方程的特解
11
28
y x =--． （4）因方程组
20y +=，10x y +-=
有交点(3,2)-，作变换
3x u =+，2y v =-，
则方程化为
2
2dv v du u v ??= ?+??
， 即
2
112du u dv v ??
=+ ???
（0v ≠）
， 这是一个齐次方程．令u v t =，则上面方程化为变量可分离方程
2
21dv dt
v t
=+， 积分并代入原变量得原方程的通积分
32arctan
2
(2)x y e
c y -+=+．
另有特解2y =-．
（5）将方程改写为
33'y xy x y +=，
这是一个Bernoulli 方程．两边同乘3
y
-，则
323'y y xy x --+=（0y 1），
即
22312dy xy x dx
---+=，
亦即
2
2322dy xy x dx
---=-， 故方程的通积分为
22
2
2
2
2
2
2223322
2
2
(2)(2)
()[(1)](1),
xdx
xdx
x x x x x x x y e x e
dx c e x e dx c e x e
dx c e x e
c x ce -------蝌=-+=-+=-
+=++=++蝌ò
其中c 为任意常数．
另外，方程还有特解0y =． 2． 利用适当的变换，求解下列方程：
（1）)cos('y x y -=； （2）0)()3(2
2
=+++dy xy x dx y xy ；
（3）2
2
'(1)(41)81y x y xy =+++++； （4）2
22
(3)
2(2)dy x x y x y dx y
++=-； （5）62
522
22dy y x dx xy x y -=+． 解 （1）令u x y =-，对x 求导得
1cos du
u dx
=-， 分离变量得
1cos du
dx u
=- （1cos 0u -?）
， 积分之，得
cot
2
u
x c =-+（c 为任意常数）
． 换回原变量可得方程的通积分
cot
2
x y
x c -=-+． 当1cos 0u -=，即2u k =p （0,1,2,k =北L ）时，得特解
2y x k =-p ．
（2）将方程变形为
223dy xy y dx x xy
+=-+ （2
0x xy +?）， 或
2
31y y dy x x y dx x
骣÷?+÷?÷?桫=-+． 令y
u x
=
，代入上式并整理得 2
12
2u du dx u u x
+=-+， 即
2
214[(1)1](1)1d u dx u x
+-=-+-，
积分之，得
24ln |(1)1|ln ln ||u x c +-=-+ （0c 1），
即
42[(1)1]x u c +-=，
换回原变量得通积分
2232x y x y c +=．
当2
0x xy +=得特解0x =，在通解中. （3）令41u y =+，则原方程变为
221(1)2(1)14du
x u x u dx
=+++-+， 即
24()8du
u x dx
=++， 再令v u x =+，则上面方程化为
2()
48d v x v dx
-=+， 即
249dv
v dx
=+， 分离变量并积分，得
2
arctan()63
v x c =+．
换回原来的变量得原方程的解为
2
tan(6)(41)3
x c x y +=
++．
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：
第十二章微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答： arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1) (22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。 第一节 微分方程的基本概念 定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如： 12=+'+''xy y y 二阶方程；0 2 =+'xy y 一阶方程； x y ='''三阶方程，等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之， x y ='''，方程两边三次积分，得方程的解 322 14 21241C x C x C x y +++=（321,,C C C 为任意常数） 。当4 24 1x y =时，也满足方程。可见 322 14 2 124 1C x C x C x y +++ = 包括了所有的解的形式。则称它为通解。 定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。 注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),, (='y y x F ，从这个方程种有可能解出y '，也有可能解不出来；一阶显 式方程： ),(y x f y ='；对称形式： ) ,(),(y x Q y x P dx dy = 或0=+Qdy Pdx 注3：在一阶方程种， x 和y 的关系是等价的.因此，有时可将x 看成函数， y 看做变量。 第二节 可分离变量方程 定义1：称能改写为形式： dx x g dy y f )()(=的一阶方程为可分离变量方程。 注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理1：若 )()(y f y F ='，)()(x g x G =，则dx x g dy y f )()(=的通解为C x G y F +=)()( 证： （1）先证C x G y F +=)() (是方程的解。 两边对 x 求导，得)()(x g dx dy y f =，即dx x g dy y f )()(= 故 C x G y F +=)()(是方程的解 （2）设) (x y ?=是方程的任一解，则 dx x g dx x x f )()()]([='?? 两边关于 x 积分，得 ? ?= 'dx x g dx x x f )()()]([?? 又 )(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(x g 的一个原函数 则 C x G x F +=)()]([?，即 )(x y ?=在C x G y F +=)()(中 所以， C x G y F +=)()(为 dx x g dy y f )()(=的通解。
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
第十二章微分方程 一、微分方程的基本概念（A:§12.1; B:§6.1） Ⅰ、内容要求－了解微分方程及其解，阶，通解，初始条件和特解等概念． Ⅱ、基本题型： （ⅰ）有关微分方程基本概念的客观题。 1．（4）下列微分方程为二阶微分方程是---------------------------------------------------（ C ） （A）（B）（C）（D） 2．（4）函数（为任意常数）是微分方程的----（ D ） （A）通解（B）特解（C）非解（D）是解，但不是通解，也不是特解． （ⅱ）验证题。 3．指出给出的函数是否为微分方程的解 （1）（4）， 解： 即是原方程的解。 （2）（4）， 解： 而 故，即是原方程的解。 （ⅲ）由通解及初始条件确定特解。 4．（4）若是某二阶微分方程通解，求其满足的特解。 解： 由得 二、一阶微分方程（A:§12.2,§12.3,§10.4; B:§6.2,§6.3,§6.4） Ⅰ、内容要求： （ⅰ）掌握以及型一阶方程解法。 （ⅱ）自学齐次方程，自学伯努利方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想。 （ⅲ）知道全微分方程（自学）。 Ⅱ、基本题型： （ⅰ）型方程的求解。 5．求下列微分方程的解：（每题6分）
（1）（2） 解：（1） （2） 由代入得 故 （ⅱ）型方程的求解。 6．求下列微分方程的通解：（每题6分）（1）（2） （3） 解：（1） （2） 即 （3） 即 7．求下列微分方程的特解：（每题6分）（1）（2） 解：（1） 即 由得 故原方程的特解为 （2） 由得 故原方程的特解为 （ⅲ）型的简单微分方程。 8. 求下列微分方程的通解：（每题7分）（1）（2） 解：（1）令则 故原方程可化为 （2）令则 故原方程可化为
《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版) 高等教育出版社
习题 1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 12 22 121c x y += 即 c y x =-22 (2) y y dx dy ln = 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时， dx y y dy =ln ， 积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即x ce e y = (3) y x e dx dy -= 解： 变形得 dx e dy e x y =积分，得c e e x y =- (4) 0cot tan =-xdy ydx 解：变形得 x y dx dy cot tan = ，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=, 即0,cos sin 1 ≠=±=c c e x y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1) 1)0(),1(=-=y y y dx dy 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时，dx dy y y =--)1 11( ， 积分，得 0,1 ,1 ln 11≠=±=-+=-c ce e e y y c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。 (2) 1)0(,02)1(2 2 ==+'-y xy y x 解： 0,1 222 =--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时， dx x x y dy 1 222--=， 积分，得 c x y +--=- 1ln 1 2
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x
3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
, 第12章 MATLAB Simulink系统仿真 习题12 一、选择题 1．启动Simulink后，屏幕上出现的窗口是（）。A A．Simulink起始页 B．Simulink Library Browser窗口 C．Simulink Block Browser窗口 D．Simulink模型编辑窗口 2．模块的操作是在（）窗口中进行的。D A．Library Browser B．Model Browser ( C．Block Editer D．模型编辑 3．Integrator模块包含在（）模块库中。B A．Sources B．Continuous C．Sinks D．Math Operations 4．要在模型编辑窗口中复制模块，不正确的方法是（）。B A．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Ctrl键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 B．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Shift键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 C．在模型编辑窗口选择Edit→Copy命令和Edit→Paste命令 D．右键单击要复制的模块，从快捷菜单中选择Copy命令和Paste命令 | 5．已知仿真模型如图12-41（a）所示，示波器的输出结果如图12-41（b）所示。 （a）仿真模型
（b ）示波器输出结果 图12-41 习题仿真模型及仿真结果 则XY Graph 图形记录仪的输出结果是（ ）。C A ．正弦曲线 B ．余弦曲线 C ．单位圆 D ．椭圆 】 二、填空题 1．Simulink （能/不能）脱离MATLAB 环境运行。 2．建立Simulink 仿真模型是在 窗口进行的。模型编辑窗口 3．Simulink 仿真模型通常包括 、系统模块和 三种元素。 信号源（Source ），信宿（Sink ） 4．由控制信号控制执行的子系统称为 ，它分为 、 和 。 条件执行子系统，使能子系统，触发子系统，使能加触发子系统。 5．为子系统定制参数设置对话框和图标，使子系统本身有一个独立的操作界面，这种操作称为子系统的 。封装（Masking ） % 三、应用题 1．利用Simulink 仿真来实现摄氏温度到华氏温度的转换：9325f c T T = +。 2．利用Simulink 仿真)5cos 2513cos 91(cos 8)(2t ωt ωt ωπ A t x ++= ，取A=1，ω=2π。 3．设系统微分方程为 '(1)2y x y y =+??=? 试建立系统模型并仿真。 4．设计一个实现下面函数模块的子系统并对子系统进行封装。 Output = (Input1+ I nput2)×Input3-Input4
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是。 ２、称为黎卡提方程，它有积分因子。 ３、称为伯努利方程，它有积分因子。 ４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。 ５、形如的方程称为欧拉方程。 ６、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应的奇点称为。 二、计算题（６０％） 1、3 ()0ydx x y dy -+= ２、 sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求
４、32( )480dy dy xy y dx dx -+= ５、 求方程2 dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近 似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型与稳定 性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30% 1、 形如的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ?分别为的连续函数。 2、 形如的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0 3、 如果存在常数 使得不等式 ,0 L 对于所有 称为利普希兹常数。都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在 R 上关于y 满足利普希兹条件。 4、 形如的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21a a 5、 设是 的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解， 则它的任一解可表为)(t γ。 一、 计算题40% 1.求方程的通解。26xy x y dx dy -= 2.求程xy e x y dx dy =+的通解。 3.求方程t e x x x 25'6''=++的隐式解。
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
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常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、 3 ()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt ４、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2 dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=-
习题12-4 1. 求下列微分方程的通解: (1)x e y dx dy -=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+?=+???=-----? ?. (2)xy '+y =x 2+3x +2; 解 原方程变为x x y x y 2 31++=+'. ])23([1 1 C dx e x x e y dx x dx x +??++?=?- ])23([1 ])23([1 2C dx x x x C xdx x x x +++=+++=?? x C x x C x x x x +++=+++=22331 )22331(122 3. (3)y '+y cos x =e -sin x ; 解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +???=?-- )()(s i n s i n s i n s i n C x e C dx e e e x x x x +=+?=---?. (4)y '+y tan x =sin 2x ; 解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +???=?- )2s i n (c o s ln cos ln C dx e x e x x +?=?- ?+?=)c o s 1 c o s s i n 2(c o s C dx x x x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0; 解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y . )1c o s (1221222C dx e x x e y dx x x dx x x +??-?=?--- )(s i n 11 ])1(1c o s [112222C x x C dx x x x x +-=+-?--=?.