天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）选题审批表
学生姓名顾鹏飞学号13583115
指导教师张筱玮职称教授所选题目名称：勾股定理的证明方法及应用研究
选题性质：（）A.理论研究（√）B.应用研究（）C.应用理论研究
选题的目的和理论、实践意义：
勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后
希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。
指导教师意见：
签字：年月日系领导小组意见：
签字：年月日备注：
天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）开题
报告
系别：理学系专业：数学与应用数学
论文题目勾股定理的证明方法及应用研究
指导教师张筱玮职称教授学生姓名顾鹏飞学号13583115 一、研究目的（选题的意义和预期应用价值）
勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础，
勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后希帕索斯根据勾股定
理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。
二、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所突破和创新的方面（文献综述）
中国：公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。
公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。
在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。
外国：在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。
公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）指导过程记录
天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）中期检查表
研究性开题报告范文 随着社会的进步，经济的发展，我国的教育事业也在不断的发展，一种新的教育理念棗研究性学习随之产生。这种新的学习方式注重学生学习的主体作用，以学生的自主性、探索性为基础，从学生生活和社会生活中选择和确定主题，以个人和小组合作的方式，通过亲身实践获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，提高综合运用所学知识解决实际问题的能力。 二、《人与环境》研究性学习的具体实施 1．研究动员、确定课题 研究性学习是一种新的学习方法，学生对此比较陌生，所以活动 的第一步即向学生介绍研究性学习这种新的学习方法及其优点、特点、开展的过程，然后，结合学生的实际情况。刚刚进入高一，所学知识较少，知识体系不够完善，从而选择学生比较熟悉而又与之息息相关的水作为研究的课题。 2．制定，分组调查 为了更充分的研究主题，根据我国环境污染的现状，以及关于环 境保护的一些热点问题，经过师生的共同研究，把研究的课题细化为
几个子课题：一水污染问题；二水的净化问题；三饮水与健康；四珍惜水资源。班级成员自由组合分别承担四个子课题。制定子课题的研究方案后，有小组成员查找和收集相关资料，为课题的研究寻求证据。 3．材料，交流信息，论证结果 小组成员对资料进行归类，筛选有用的材料，从多角度，以多种方式对相关课题进行具体的研究，同时针对有关问题小组之间进行交流研讨，以求对其地研究更深入。 4.评价审核 （1）各课题小组汇报研究情况，展示研究成果，得出研究结论。 （2）撰写实验报告，形成有一定学术价值的论文或经验。 三．研究内容 首先进一步研究“人与环境”的基本内涵和外显行为，再通过新一轮的教育教学实验，探索中学地理教育中培养学生地理基本素质和基本技能的原则和方法。课题研究的基本内容如下：
基于MOOC环境下的网络学习对大学生自主学习的影响 论文开题报告 一、选题背景及其意义 MOOC，即“Massive Open Online Course”，译为“大规模在线开放课程”，国内亦有人将MOOC译为“慕课”。“M”代表Massive（大规模），与传统课程只有几十个或几百个学生不同，一门MOOC课程动辄上万人，最多达16万人；第二个字母“O”代表Open（开放），以兴趣为导向，凡是想学习知识的人，都可以进来学，不分国籍；第三个字母“O”代表Online（在线），学习在网上完成，不受时空限制；第四个字母“C”代表Course，它既是一种在线课程开发模式，也代表着大规模的网络开放课程。它是过去两年来国际高等教育界热烈讨论的话题，也是IT技术市场高度关注的一个热点。在国内，北大和清华于2013年5月加入了edX（MOOC平台供应商，Harvard & MIT联合举办的一个非营利机构），复旦和上海交大于2013年7月加入了Coursera（MOOC平台供应商，Stanford两位教授办的一家公司）。为了体验多样化平台，北大于2013年9月也加入了Coursera。“MOOC”这一网络技术将会给高等教育带来新的机遇、挑战和冲击。在影响高等教育的同时，MOOC作为一种网络学习方式，对大学生的学习影响也是不容忽视的，尤其是对大学生的自主学习有很大的影响。自主学习是指以学生作为学习的主体，通过学生独立地分析、探索、实践、质疑、创造等方法来实现学习目标，完成知识的学习，是学习方式的一种。同时，自主学习因人而异，因学习方式而异，因学习目标而异，基于MOOC环境下的网络学习对大学生的自主学习有很大的影响，本文旨在通过阐述MOOC大规模开放网络课程与自主学习的基础上，分析基于MOOC环境下的网络学习对大学生的身体、心理、智力、能力等方面的影响，这对于探讨大学生的自主学习有重要的理论和实践意义。 二、研究现状 1、有关MOOC大规模开放网络课程的研究 MOOC——大型开放式网络课程，又称为慕课，是一种针对大众人群的在线课堂，人们可以通过网络来学习，它能为广大学生提供更高质、高效、便利的教育资源和学习机会，是一种新的教育、学习模式，是对高等教育的新挑战。慕课大型开放式网络课程将是未来几年世界上知名大学需要重点建设的课程。同时，MOOC作为一种新型在线教学模式闯入人们的视野，给互联网产业及在线学习、高等教育带来巨大影响。斯坦福大学校长将其比作教育史上“一场数字海啸”，《纽约时报》作者Laura Pappano将2012年称为“MOOC元年”。 目前，关于MOOC大规模开放网络课程的研究主要有以下几个方面： （1）MOOC的快速发展及原因 MOOC的理念是通过信息技术与网络技术将优质教育送到世界各个角落，它是开放教育资源运动发展十年的质性蜕变，不仅提供免费的优质资源，还提供完整的学习体验，展示了与现行高等教育体制结合的种种可能。正因如此，在过去的几年中慕课才能有如此快速的发展，这一类的研究主要是探讨慕课的发展状况以及它能够快速发展的原因。 （2）MOOC环境三个平台（Coursera、edX、Udacity） MOOC起源于开放教育资源运动和学习连接主义的思潮，现在已经有很多网站在提供MOOC了，而在以后，这样的网站还会越来越多。不过，Coursera、edX和Udacity却是
a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC 中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知 AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。
我们都喜欢把日子过成一首诗，温婉，雅致；也喜欢把生活雕琢成一朵花，灿烂，美丽。可是，前行的道路有时会曲折迂回，让心迷茫无措。生活的上空有时会飘来一场风雨，淋湿了原本热情洋溢的心。 不是每一个人都能做自己想做的事情，也不是每一个人都能到达想去的远方。可是，既然选择了远方，便只有风雨兼程。也许生活会辜负你，但你不可以辜负生活。 匆匆忙忙地奔赴中，不仅要能在阳光下灿烂，也要能在风雨中奔跑！真正的幸福不是拥有多少财富，而是在前行中成就一个优秀的自己！ 生命没有输赢，只有值不值得。坚持做对的事情，就是值得。不辜负岁月，不辜负梦想，就是生活最美的样子。 北大才女陈更曾说过：“即使能力有限，也要全力以赴，即使输了，也要比从前更强，我一直都在与自己比，我要把最美好的自己，留在这终于相逢的决赛赛场。” 她用坚韧和执着给自己的人生添上了浓墨重彩的一笔。 我们都无法预测未来的日子是阳光明媚，还是风雨如晦，但前行路上点点滴滴的收获和惊喜，都是此生的感动和珍藏。 有些风景，如果不站在高处，你永远欣赏不到它的美丽；脚下有路，如果不启程，你永远无法揭晓远方的神秘。 我们踮起脚尖，是想离太阳更近一点儿；我们努力奔跑，是想到达远方欣赏最美的风景。 我们都在努力奔跑，我们都是追梦人！没有伞的时候，学会为自己撑伞；没有靠山的时候，学会自己屹立成一座伟岸的山！ 远方有多远？多久能达到？勇敢往前冲的人，全世界都会向他微笑。相信，只要启程，哪怕会走许多弯路，也会有到达的那一天。
开题报告研究的五个方法 第一类调查法与实验法 1、调查法 调查法是科学研究中最常用的方法之一。它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解，并对调查搜集到的大量资料进行分析、综合、比较、归纳，从而为人们提供规律性的知识。 调查法中最常用的是问卷调查法，它是以书面提出问题的方式搜集资料的一种研究方法，即调查者就调查项目编制成表式，分发或邮寄给有关人员，请示填写答案，然后回收整理、统计和研究。 2、实验法 实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性。观察与调查都是在不干预研究对象的前提下去认识研究对象，发现其中的问题。而实验却要求主动操纵实验条件，人为地改变对象的存在方式、变化过程，使它服从于科学认识的需要。第二、控制性。科学实验要求根据研究的需要，借助各种方法技术，减少或消除各种可能影响科学的无关因素的干扰，在简化、纯化的状态下认识研究对象。第三，因果性。实验以发现、确认事物之间的因果联系的有效工具和必要途径。
第二类规范研究与实证研究 实证研究方法排斥价值判断，规范研究方法却以价值判断为基础。 1、规范研究方法 规范研究方法以某种价值判断为基础，说明经济现象及其运行 应该是什么的问题。规范研究方法研究客观现象的目的在于：提出一定的标准作为经济理论的前提，并以该标准作为制定经济政策的依据，以及研究如何使经济现象的运行符合或实现这些标准。 规范研究方法以某种价值判断为基础，解决客观经济现象“应 该是什么”的问题，即要说明所要研究的对象本身是好还是坏，对社会具有积极意义还是具有消极意义。规范研究方法研究经济现象的出发点和归宿离不开价值判断。规范研究方法，就是从价值判断出发来研究经济现象，并研究如何实现上述标准。 2、实证研究法 实证研究法是科学实践研究的一种特殊形式。其依据现有的科 学理论和实践的需要，提出设计，利用科学仪器和设备，在自然条件下，通过有目的有步骤地操纵，根据观察、记录、测定与此相伴随的现象的变化来确定条件与现象之间的因果关系的活动。主要目的在于说明各种自变量与某一个因变量的关系。 实证研究法是认识客观现象，向人们提供实在、有用、确定、 精确的知识的研究方法，其重点是研究现象本身“是什么”的问题。
第3章勾股定理知识结构： 勾股定理1.勾股定理 （1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 （2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明 （3）应用 1.在直角三角形中已知两边求第三边 2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高 2.勾股定理 的逆定理 （1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形 （2）勾股数 1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为 勾股数 2.常见的勾股数 （1）3,4,5 （2）5,12,13 （3）8,15,17 3.应用 （1）勾股定理的简单应用 求几何体表面上两点间的最短距离 解决实际应用问题 （2）勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角
形 勾股定理 一、求网格中图形的面积 求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。 二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。 （2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。 三、勾股定理的验证 运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。 （2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。 勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：
开题报告中研究方法范文 Research method model in proposal report 汇报人：JinTai College
开题报告中研究方法范文 前言：报告是按照上级部署或工作计划，每完成一项任务，一般都要向上级写报告，反映工作中的基本情况、工作中取得的经验教训、存在的问题以及今后工作设想等，以取得上级领导部门的指导。本文档根据申请报告内容要求展开说明，具有实践指 导意义，便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 一、如何选择问题 我一直萦绕于怀的，是在写博士论文开题报告的一年多 时间里，导师薛澜教授反复追问的一个问题：“你的 puzzle 是什么?”多少次我不假思索地回答“我的问题就是，中国的 半导体产业为什么发展不起来。”薛老师问题以其特有的储蓄，笑而不答。我在心中既恼火又懊丧：这么简单的道理，这么明显的答案，到底哪儿不对了?! 奥妙就在于提出问题的“层次”。不同于政策研究报告，学术文章聚集理论层面、解决理论问题。理论是由一系列前设和术语构造的逻辑体系。特定领域的理论有其特定的概念、范畴和研究范式。只有在相同的概念、视角和范式下，理论才能够对话;只有通过对话，理论才能够发展。极少有硕博论文是 创造新理论的，能这样当然最好，但难度很大。我们多数是在既有理论的基础上加以发展，因此，在提出问题时，要以“内行”看得懂的术语和明确的逻辑来表述。审视我最初提出的问
题“中国半导体产业为什么发展不起来”，这仅仅是对现象的探询，而非有待求证的理论命题。我的理论命题是：“中国产业政策过程是精英主导的共识过程吗?”在这个命题中，“政 策过程”、“精英政治”、“共识诉求”三个术语勾勒出研究的理论大体范围和视角。简历下载 其次，选择问题是一个“剥笋”的过程。理论问题总是 深深地隐藏在纷繁复杂的现实背后，而发现理论问题，则需要运用理论思维的能力。理论思维的训练是一个长期积累的过程。不过初学者也不必望而却步，大体上可以分“三步走”：第一步，先划定一个“兴趣范围”，如半导体产业、信息产业、农村医疗、高等教育体制等，广泛浏览相关的媒体报道、政府文献和学术文章，找到其中的“症结”或“热点”。第二步，总结以往的研究者大体从哪些理论视角来分析“症结”或“热点”、运用了哪些理论工具，如公共财政的视角、社会冲突范式等。第三步，考察问题的可研究性，也就是我们自己的研究空间和研究的可行性。例如，西方的理论是否无法解释中国的问题?或者同一个问题能否用不同的理论来解释?或者理论本身的前提假设、逻辑推演是否存在缺陷?通过回答这些问题，我 们找到自己研究的立足点。不过还要注意我们研究在规定的一到两年时间内，是否可能完成?资料获取是否可行?等等。
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 2 142 142 2 2 ? +=? ++， 整理得 2 2 2 c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 2 1. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF , ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于() 2 b a +. ∴ () 2 2 2 14c ab b a +? =+. ∴ 2 2 2 c b a =+. D G C F A H E B a b c a b c a b c a b c b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a
【】（） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ R t ΔEBF,
∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB.
勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【 证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
开题报告中研究思路与研究方法的写法 研究方法 （1）模糊层次分析法 本论文考虑到绿色造船评价指标既有定量指标又有定性指标，可以借助模糊评价方法的处理方式，将一些模糊的概念转化成定量的数据。此外，为了表达综合评价目标的层次性，考虑采用层次分析方法，建立评价对象和评价指标体系。因此，本文结合了层次分析法和模糊评价法的优点，采用模糊层次分析方法对船舶建造的绿色度进行综合评价。 （2）理论研究与实证研究相结合的方法 绿色造船评价指标体系的研究注重理论与实证两种研究方法的结合，对现实中改善船舶建造活动与环境的关系，具有一定的评价和指导意义。本文采用该方法，界定了绿色造船的定义以及综合评价目标等相关概念（第2、3章）；构建了绿色造船评价指标体系；结合模糊层次分析法，构建了数学评价模型（第4章）。最后，结合实例进行验证研究（第5章）。 （3）定性与定量分析相结合的方法
本文在研究过程中，重视并力求结合定性分析与定量分析进行研究。本文根据绿色造船的三大特征，构建了绿色造船评价指标体系（第3章）。采用模糊层次分析法确定了各个评价指标的权重，并结合专家打分法和中国节水技术政策大纲、《工业企业厂界噪声标准》、《大气污染物综合排放标准》等权威统计数据给予评价指标以定量的数值，最终得出定量的综合评价结果（第4章）。 （4）比较研究的方法 比较研究方法[32]是确定事物之间共同点和差异点的一种逻辑方法。在现实中，比较研究法几乎成为认识事物最常用的一种方法。本文在总结绿色造船定义中大量采用比较研究法，通过横向比较找出绿色造船和一般造船的共同点与不同点以及中、日、韩三国造船现状的比较（第2章）；然后，将众多绿色度评价方法进行比较，比较各个评价方法的优点和缺点，为绿色造船评价指标体系选择适当的评价方法，从而使综合评价结果更具科学性与合理性（第4章）。 （5）归纳与演绎相结合的方法 归纳与演绎相结合的方法是一种辩证逻辑的方法。本文归纳分析了绿色造船的四个流程（第2章）；在此基础之上，归纳了绿色造船的三个特征的研究并构建了绿色造船评价指标体系（第3章）。
2 证法 1】（课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即 证法 2】（邹元治证明） ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的 面积等于 c 2. ∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o. ∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积 等于 ∠HEF = 90 o. EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形，它的面积等于 1 ab 以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、C 三点在一条直 线上， 把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上 b 2 4 12 ab c 2 4 1 ab 2 整理得 c 2 1 4 ab 2 c 2 a 2 b 2 c 2 【证法 3】（赵爽证明） 以 a 、 b 为直角边（ b>a ）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab 三角形的面积等于 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 ∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ， ∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba
论文开题报告问题怎么写 在毕业生教育的整个过程中,毕业生论文质量的高低是衡量 毕业生培养质量的重要标志。而论文质量的高低,很大程度上取 决于论文开题报告做的细致程度。论文开题报告做的细致,前期 虽然花费的时间较多,但写起论文来就很顺手,能够做到胸有成竹,从而保证论文在规定的时间保质保量地完成;但如果不重视论文 开题报告,视论文开题报告为走过场,写起论文来就会没有目标, 没有方向,没有思路,就要多走弯路,很难保证毕业论文质量。 一、论文开题报告的意义 学位论文开题报告是毕业生在完成文献收集后写成的关于毕业生论文选题与如何实施的论述性报告。论文开题报告既是文献研究的聚焦点,又是毕业生论文研究工作展开的散射点,对研究工 作起到定位作用。 写论文开题报告的目的,是要请老师及专家们帮忙判断一下 所研究的选题有没有价值,研究方法是否奏效,论证逻辑有没有明 显缺陷。因此论文开题报告就要围绕研究的主要内容,拟解决的 主要问题(或阐述的主要观点),研究步骤、方法及措施为主要内容。但工作实践中发现有很多学生往往在论文开题报告中花费大量 笔墨叙述别人的研究成果,谈到自己的研究方法时,往往寥寥数语 一笔带过。这样,不便于评审老师指导。
二、如何写论文开题报告 (一)论文开题报告的前提——通过理论思维选择课题 在工作实践中,发现学位毕业生论文开题报告中存在的普遍问题是选题不合适。有的提出的问题太过“平庸”,有的选题范围太大,研究内容太多、太宽泛等。论文选题范围太大,研究内容对于一个学位生来说明显偏多,无法按时完成。因此应重新确定研究内容,注重项目的可操作性。 那么如何选择研究问题呢?这里要强调的是通过理论思维来发现研究问题。 理论是由一系列前设和术语构造的逻辑体系,特定领域的理论有其特定的概念、范畴和研究范式,只有在相同的概念、视角和范式下,理论才能够对话。只有通过对话,理论才能够发展。 其次,选择问题是一个“剥皮”的过程,理论问题总是深深地隐藏在复杂的现实背后,而发现理论问题,则需要运用理论思维的能力。这就需要我们不断锻炼和提高自己的理论思维能力,需要在日常的学习中,不断总结和分析以往的研究者大体是从哪些视角来分析和研究问题,运用了哪些理论工具和方法,通过学习和总结来不断提高自己的理论思维能力,从而选择具有学术理论价值和应用价值,并与国家经济建设及导师承担的科学研究项目紧密结合的研究问题。
【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)， 整理得到：a^2+b^2=c^2。 【证法2】 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2. ∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。
【证法3】 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2. ∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。 【证法4】 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.
v1.0 可编辑可修改 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.
v1.0 可编辑可修改 ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于()2a b-. ∴ ()2 2 2 1 4c a b ab= - + ? .
开题报告的5个研究方法 第一类调查法与实验法 1、调查法 调查法是科学研究中最常用的方法之一。它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解，并对调查搜集到的大量资料进行分析、综合、比较、归纳，从而为人们提供规律性的知识。 调查法中最常用的是问卷调查法，它是以书面提出问题的方式搜集资料的一种研究方法，即调查者就调查项目编制成表式，分发或邮寄给有关人员，请示填写答案，然后回收整理、统计和研究。 2、实验法 实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性。观察与调查都是在不干预研究对象的前提下去认识研究对象，发现其中的问题。而实验却要求主动操纵实验条件，人为地改变对象的存在方式、变化过程，使它服从于科学认识的需要。第二、控制性。科学实验要求根据研究的需要，借助各种方法技术，减少或消除各种可能影响科学的
无关因素的干扰，在简化、纯化的状态下认识研究对象。第三，因果性。实验以发现、确认事物之间的因果联系的有效工具和必要途径。 第二类规范研究与实证研究 实证研究方法排斥价值判断，规范研究方法却以价值判断为基础。 1、规范研究方法 规范研究方法以某种价值判断为基础，说明经济现象及其运行应该是什么的问题。规范研究方法研究客观现象的目的在于：提出一定的标准作为经济理论的前提，并以该标准作为制定经济政策的依据，以及研究如何使经济现象的运行符合或实现这些标准。 规范研究方法以某种价值判断为基础，解决客观经济现象“应该是什么”的问题，即要说明所要研究的对象本身是好还是坏，对社会具有积极意义还是具有消极意义。规范研究方法研究经济现象的出发点和归宿离不开价值判断。规范研究方法，就是从价值判断出发来研究经济现象，并研究如何实现上述标准。 2、实证研究法 实证研究法是科学实践研究的一种特殊形式。其依据现有的科学理论和实践的需要，提出设计，利用科学仪器和设备，在自然条件下，通过有目的有步骤地操纵，根据观察、
天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）选题审批表 学生姓名顾鹏飞学号13583115 指导教师张筱玮职称教授所选题目名称：勾股定理的证明方法及应用研究 选题性质：（）A.理论研究（√）B.应用研究（）C.应用理论研究 选题的目的和理论、实践意义： 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。 它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后 希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。 指导教师意见： 签字：年月日系领导小组意见： 签字：年月日备注：
天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）开题 报告 系别：理学系专业：数学与应用数学 论文题目勾股定理的证明方法及应用研究 指导教师张筱玮职称教授学生姓名顾鹏飞学号13583115 一、研究目的（选题的意义和预期应用价值） 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础， 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后希帕索斯根据勾股定 理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。 二、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所突破和创新的方面（文献综述） 中国：公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。 公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。 在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。 外国：在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。 公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
开题报告研究方法有哪些 开题报告研究方法有哪些 题，优化整合效果的手段，从而能更好地提高语文课堂教学效率，全面提高教学质量。我校购置了大量的、先进的信息化硬件设施，为学科教学与信息技术的整合提供了基础条件，学校在信息技术应用方面逐步形成一定的氛围，为学科整合提供了肥沃的土壤，加之我校领导高度重视这一课题的研究，全体教师在观念上能够接受课堂教学与信息技术的整合，这又为学科教学与信息技术的整合提供了前提条件，并且从现状来看，全校师生已基本具备了信息技术与学科整合所需的技能，这为推进整合工作奠定了较好的操作基础。㈡选题意义语文是最重要的交际工具，是人类文化的重要组成部分，是学好其他学科的重要基础。长期以来，学校语文教学与学生生活实际脱节现象比较 1严重。研究表明： 人们的大脑获得信息有几种方式，当我们接受信息时，采用的方式越多，学习和记忆就越容易。在现代化的教学手段下，让计算机进入教室，成为教师得心应手的教学工具，把传统的“以教为主”变为“以学为主”，让学生真正成为学习的主人，这是信息时代对学校教育发展的需要，信息技术引入语文教学之中，无疑是语文教学的一场重大改革，信息技术所蕴含的超大信息量正符合了“大语文观”的要求。 ㈢研究价值本课题的研究价值在于： 应用现代化信息技术对现行教育系统进行全方位改造，创造出一个全新的教育时空，使每个学生都能在信息的海洋中选择最适合自己
兴趣爱好和个性特征的学习和发展方式，充分展示每一个人的聪明才智和创造潜能，从而大大提高教育的质量和效益。这也是素质教育的最终目的。 二、理论依据以计算机为核心的信息技术之所以得到了人们的关注，是因为它可以使学科教学声情并茂、知情并重、化繁为简、化难为易，在有限的时间内，大大提高教学效率，加大课堂信息容量，有利于学生思维能力、想象能力、认识能力和综合能力的培养，有利于学生学习潜力的开发，为学生的发展创造了良好的课业环境和时空条件。因此，许多专家都认识到，信息技术与学科课程的整合是改革传统教育模式、教学方式和教学手段的重要途径。第一，信息技术与语文学科整合，丰富了语文学习情境。多媒体计算机教学具有形象直观、内容丰富、动态呈现、信息容量大等特点，它所提供的外部刺激——图片、图像、动画、声音、文字等等是多样而丰富的， 2小学生对具体形象事物感兴趣的心理特点，应该说是非常有利于他们知识的获取与建构，有利于知识的存储。教师在教学中，根据学生实际情况和教材特点及教学需要，运用现代信息技术——计算机、实物站台、网络技术等创设教学的情境，让学生走进情境、体验学习。在美好的情境中去阅读、发现、质疑、思考、探究，领会文章的内容，品位语言文字，体会文本的表达的思想感情，感受学习语文的乐趣。第二，信息技术与语文学科整合，为语文课堂教学提供学习“媒介”。小学生的认知由于受年龄、生活经验等多方面的影响，他们理解、感受语言的能力比较弱，尤其对一些抽象的语言文字——离学生生活实际较远的内容，理解就更加困难。那么就需要教师为学生提供