第二讲数列求和及综合应用
1 ?等差、等比数列的求和公式
(1)等差数列前n 项和公式:
(2)等比数列前n 项和公式： ① q = 1 时，S n = na i ; ② q M 1 时，S n = aU —1.
1— q 2 ?数列求和的方法技巧
(1) 转化法
有些数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形， 可转化为几个
等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并. (2) 错位相减法
这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n b n ｝的前 n 项和，其中｛a n ｝, ｛b n ｝分别是等差数列和等比数列. ⑶倒序相加法
这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列
(反序),
当它与原数列相加时若有公式可提， 并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相 加法求和. (4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消， 最后只剩下
有限项的和. 3. 数列的应用题
(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用 题，首先
Si = n a i +
n a i + a n
2
应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．
(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利
润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{ a n} ，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式．
1 . (2013课标全国I )设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S m -1 = — 2, S m = 0, S m +1 = 3,
等于
C . 5
答案 a
m = 2 , a m + 1 = 3,故 d = 1,
m m — 1
S m = 0,故 ma 1+ 2 d = 0,
因为 a m + a m +1= 5,
故 a m + a m +1 = 2a i + (2m — 1)d =—(m — 1)+ 2m — 1 = 5, 即 m = 5.
答案
. n n
-a n = ncos —,二 a 1 = 0, a 2=— 2, a 3= 0, a 4= 4, a 6=— 6, a 7= 0, a 8= 8, ?-
由此易知 a 4n —2 = — (4n — 2), a 4n = 4n , 且 a 1 + a 2 + a 3+ a 4= — 2+ 4 = 2, a 5+ a 6 + a 7 + a 8=— 6+ 8= 2, …，
a 4n —3+ a 4n —2+ a 4n —1+ a 4n =— (4n — 2)+ 4n = 2. 又 2 012= 4X 503,
解析
因为
故a i
m — 1 2 ,
2. （2012福建）数列｛a n ｝的通项公式a n =
ncos n n 其前 n 项和为S n ，则S 2 012 等于（
006
B . 2 012
C . 503
解析 用归纳法求解.
a5^ 0,
二 a i + a 2+ - + a 2 012= 2 + 2+ ??? + 2 = 2X 503= 1 006.
_ 丿 -- \ -----
503个
100项和为 100 99 99
101
A ----- A.101
B. 101
C.
100
D.
100
答案 A
解析 设等差数列 ｛a n ｝的首项为
a 1，公差为d.
? a 5= 5, S 5= 15,
a 1+ 4d = 5,
a 1= 1,
5 X 5— 1 _,i
4 r~
d = 1,
5a 1 十
2
d = 15,
--a n = a 1 + (n — 1)d = n.
. 1 = 1 = 1 1
a n a n +1 n n + 1 n n + 1
4.
（2012课标全国）数列｛a n ｝满足a n +1+ （— 1）n a n = 2n —1,贝U ｛a n ｝的前60项和为 __ 答案 1 830
解析 ??? a n +1+ (— 1)n a n = 2n — 1,
.a 2= 1 + a 1, a 3= 2— a 1, a 4= 7 — a 1, a 5 = a 1, a 6= 9+ a 1, a 7= 2— a 1, a 8= 15 — a 1, a 9 = a 1, a 10 = 17+ a 1, an = 2— a 1, a 12= 23 — a 1, …,a 57= a 1, a 58= 113+ a 1, a 59= 2— a 1, a 60 =119— a 1,
.a 1 + a 2 + …+ a 60 = (a 1 + a 2+ a 3+ a 4)+ (a 5 + a 6 + a 7 + a 8)+ …+ (a 57+ a 58 + a 59 + a 60)= 10 + 26 + 42+ - + 234
15 X 10+ 234 = 2 = 1 830.
1 *
5.
(2013湖南)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，S n = (— 1)n a n —歹，n € N *，则: (1) a 3 = _______ ；
(2) S 1 + S 2 +…+ S 100 = ________ . 答案(1)—末⑵才强—1
1 1
解析 ? a n = S n — S n — 1 = ( — 1)"a n — n — ( — 1)"咕 n -1 + 门 1 ,
2 2n —
I n
n 1
1
??? a n = (— 1) a n — (— 1) —
1a n —1 + 尹
当n 为奇数时，2a n + a n —1=刃,
I
当n 为偶数时，a n — 1 =—歹,
（2012大纲全国）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 5= 5, S 5= 15,则数列
1
a n a n +1
的前 1
a n a n +1
的前100项和为 1 1 1 1 — 一+ 一— 一+ …+ 2+ 2 3+ +
1 100 1 1 101= 1 — 101 100
101.
1 1
???当n= 4时，a3=—~4=—一
2416'
根据以上｛a n｝的关系式及递推式可求.
丄 1 丄丄
a1 = —22, a3=—24，a5= —尹，a7= —^8,
1111
a2 = 22, a4= 24, a6 =茅，a s=衣.
1 丄丄
…a2—a1 = 2，a4—a3=段,a6 —a5=戸，…，
? G111 1 …S1+ S2+ …+ S1oo= (a2—a1)+ (a4 —a3)+ …+ (a1oo—a99)— ~+ 尹+ 〒+ …+
1 1丄1 丄丄
=2+戸+…+尹—2+戸+…+ 2竹°
1丄1
=3 2100 —I .
题型一分组转化法求和
1 等比数列｛a n｝中，a i, a2, a3分别是
i23.
(1)求数列｛ a n｝的通项公式；
⑵若数列｛b n｝满足：b n= a n + (—1)“1 n a n,求数列｛b n｝的前n项和S n.
审题破题(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得a*；(2)可以分组求和: 将｛ b n｝前n项和转化为数列｛a n｝和数列｛( —1)n ln a n｝前n项的和.
解(1)当a1= 3时，不合题意；
当a1 = 2时，当且仅当a2= 6, a3= 18时，符合题意；
当a1= 10时，不合题意.
因此a1 = 2, a2 = 6, a3= 18所以公比q = 3.
故a n= 2 3n—1 (n€ N*).
⑵因为b n= a n+ (—1)n ln a n
=2 3n—1+ (—1)n ln(2 3n—1)
=2 3n—1+ (—1)n[ln 2 + (n—1)ln 3]
=2 3n—1+ (—1)n(ln 2 —In 3) + (—1)n nln 3,
所以S n= 2(1 + 3+ - + 3n—1) + [ —1 + 1 —1+…+ (—1)n] (ln 2—In 3) + [ —1 + 2 —3+ "?+ (—1)n n]ln 3.
1 —3n n
所以当n为偶数时，S n= 2X +》n 3
1 —3 2
n n
=3n+ ?ln 3 — 1 ；
n — 1
=3n —-^ln 3 — In 2 — 1.
3n +》n 3 — 1,
n 为偶数，
综上所述，S n =
n — 1
3n —~^ln 3 — In 2 — 1, n 为奇数.
反思归纳 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而 求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分 解转化?特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
变式训练1在等差数列｛a n ｝中，a 3 + a 4 + a 5= 42, a 8= 30.
(1) 求数列｛ a n ｝的通项公式；
(2) 若数列｛b n ｝满足b n = ( ,3)a n
+2 +入疋R),则是否存在这样的实数 入使得｛b n ｝为等比数列;
2n — 1, n 为奇数
⑶数列｛ C n ｝满足C n = 1
「为数列｛C n ｝的前n 项和，求T 2n .
^a n -1, n 为偶数 解(1)因为｛a n ｝是一个等差数列， 所以 a 3 + a 4+ a 5= 3a 4 = 42,二 a 4= 14.
设数列｛a n ｝的公差为d ,贝U 4d = a 8— a 4= 16,故d = 4. 故 a n = a 4 + (n — 4)d = 4n — 2. (2) b n = ( , 3)9n
2
+ = 9n + 入
假设存在这样的 入使得｛b n ｝为等比数列，则b ^+ 1= b n b n +2, 即(9n +
1+ N= (9n + 为(9n +2 + 为,
整理可得 =0,即存在 入=0使得｛b n ｝为等比数列.
2n
—1
, n 为奇数
(3) T C n =
2n — 3, n 为偶数
??? T 2n = 1 + (2 X 2— 3) + 22 + (2X 4— 3) + 2 +…+ 22n
— 2
+ (2 X 2n — 3) =1 + 22+ 24+ …+ 22n
— 2
+ 4(1 + 2 + …+ n)— 3n
1 — 4n n n + 1
=
+ 4 X
— 3n
1 — 4
2
当n 为奇数时, 1 - 3n
S n = 2X — (In 2 — ln 3) +
1 — 3 n — 1
In 3
4n—1
3 + 2n2—n.
题型二错位相减法求和
2 已知公差不为0的等差数列｛a n｝的首
111
项a i = 2,且一，一，一成等比数列.
' a i a2 a4
⑴求数列｛ a n｝的通项公式；
⑵若数列｛b n｝满足b i + 2b2+ 22b3+…+ 2厂3= a n，求数列｛n b n｝的前n项和T n.
审题破题⑴列方程求｛a n｝的通项公式；⑵先求b n(两式相减)，再用错位相减法求T n.
解⑴设等差数列｛a n｝的公差为d,
丄1 2 丄1 m 2
由a2= ai a4，得(ai+ d) = ai(a1+ 3d).
因为d z 0,所以d = a i = 2,
所以a n= 2n.
(2) b i + 2b2+ 4b3+- + 2n—1b n= a n ①
b i + 2b2+ 4b3 + …+ 2n_ 1b n+ 2n b n+1= a n+1 ②
②一①得：2n b n+1 = 2.
??? b n+ 1 = 21—n.
当n= 1 时，b1 = a1 = 2, /? b n= 22—n.
1 2 3 n
Tn= 尹+2°+刃+…+ 尹,
1 1
2
3 n
2T n=刃 + 尹+ 护+???+ 2^ ,
上两式相减得
*T n= 2 + 20 + *+ ??? + 1 n
?n— 2 2门-
1
n
2“ —1,
n+ 2
二Tn=8-2—'.
反思归纳错位相减法适用于求数列｛a n b n｝的前n项和，其中｛a n｝为等差数列，｛b n｝为等比数列; 所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比
数列的和, 此时一定要查清其项数.
变式训练2 （2013山东）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且$ = 4S2, a2n= 2a n+ 1.
⑴求数列｛ a n｝的通项公
式;
⑵设数列｛ b n｝的前n项和为T n，且T n+ =人入为常数）.令C n = b2n, n €N*,求数列
{c n}的前n项和R n.
解⑴设公差为d,令n = 1,则a2= 2a i+ 1, a i= d —1,
又S4= 4S2,即2a1 = d,
由①②得：a1= 1, d= 2,所以a n= 2n—1(n € N ).
⑵由题意知，T n=入一 ~~ , ???当n > 2 时，b n= T n —
T n— 1 = 2口- I n—
1
n—2
石.「? Cn
n —1 *
=b2n = 4^(n€ N ).
1 2 n —1 --R n= C1 + C2+ …+ C n—1+ C n= 0 + 匚 + 奉+ …+ ~, 1 12 n—2 n —1
4Rn= F+ 7+…+厂+〒,
①一②得:
3_ 1 1 1 n—1
4Rn=4+*+…+厂—〒
1 1
丄1 一
n— 1
4 4 n—
1
—沙
1 4
1—
11—丄
nzl
=
3 4n -
1 — 4n
1 3n +1 =3 1 —
， 3n + 1
1 . 3n +1 — 4 —
4n
9 4n —1
题型三裂项相消法求和
(1)已知数列｛ a n ｝的前10项和为45,求数列｛a n ｝的通项公式； 1 1 1
⑵若b n = ，且数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,若T n =；— ，求数列｛a n ｝的公差.
a n a n +1 9 n + 9 审题破题 (1)列方程组(两个条件)确定a n ； (2)不可以采用裂项相消法求得，应该和已知
解 设数列｛a n ｝的公差为d ,由a 1, a 4, a 8成等比数列可得
3
a 8成等比数列.
在公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 1, a 4,
'对比求得公差.
1
a 2 3 = a i a 8,即(a i + 3d)2= a i (a i + 7d), 二 a 2+ 6a i d + 9d 2= a i + 7a i d , 而 0, ??? a i = 9d.
(1)由数列｛a n ｝的前10项和为45可得 10X 9
S io = 10a i + 2~d = 45,
1
即 90d + 45d = 45,故 d = 3, a i = 3,
1 1
故数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 3 + (n — 1) 3 = §(n + 8).
则数列｛b n ｝
的前n 项和为 1 1 1
1
1 丄-J — T n =
￡— a ； + ￡— ￡ +…+ a n — a n +1 ]
=1丄—丄
=d ai a n +1 =1 丄—^_ =d 9d 9d + nd —丄1—丄 =d 2 9 n + 9 _ 1 1 =9 n + 9.
故数列｛a n ｝的公差d = 1或一1.
反思归纳 裂项相消法的基本思想就是把通项
a n 分拆成a n =
b n +k — b n (k > 1,k € N *)的形
式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 ｛a n ｝的通项公式，使之符合裂项相消的条件. 变式训练3 等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且
2a i + 3a 2= 1, a 3= 9a 2a 6.
(1) 求数列｛ a n ｝的通项公式；
(2) 设 b n = log 3a i + log 3a 2+^+ log 3a n ，求数列 ~ 的前 n 项和. 解(1)设数列｛a n ｝的公比为q.
1
由 a 2= 9a 2a 6，得 a 2 = 9a 4，所以 q 2= 9.
1
由条件可知q>0，故q = 3.
1
2
故数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 3^. (2) b n = log 3a i + log 3a 2 + …+ log 3a n
n n + 1
=—(1 + 2+…+ n)=—
1
⑵b n =
a a 11—丄 d an a n + 1
由2a i+ 3a2= 1，得2a i + 3a i q = 1，所以a i = 3.
1
题型四数列的综合应用
4
1 3
在函数f(x)= *4 5+ *的图象上.
4 求数列｛a n ｝的通项； a n | a n + 1
5 右C n = + ，求证:
a n +1 a n
审题破题 (1)由Sn 求a n 可考虑a n = S n — S n -1 ； (2)利用不等式放缩、数列求和分析.
1
b n
2
n n + 1
=-2
1 1
+ —+ …+ b 1+ b 2 +
1—11
b n =- 2[ ― 2 +
2
1
] 2n n + 1
n + 1.
所以数列 1的前n 项和为一
b n
2n n + 1
已知S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，点(n , 3)
2n<&+ C 2+???+ c n <2 n +
1 (1)解因为点(n, S n)在f(x)的图象上，
1 3
所以S n = 2? + 2门.
当 n 》2 时，a n = S n — S n — 1= n + 1. 当n = 1时，a i = S i = 2,适合上式. 所以a n = n + 1对任意n € N *都成立.
a n
a n +1 (2)证明 C n = +
a n + 1 an
所以 C 1 + C 2+ …+ c n >2n.
又因为c n =吐1 +旦=2 +丄一丄
n + 2 n + 1 n + 1 n + 2 斗
11
11
1
1
1
1
1
故 C 1 + C 2+…+ c n = 2n + [( —-)+ (： — )+??? + ( — )] = 2n +~— <2n + -.
2 3 3 4 n +1 n + 2 6 7 n + 2 2
1
所以2n 反思归纳数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有： ①作差 法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法. n 1 + a n * ｛ a n ｝的前n 项和为S n , S n = 2 ，门€ N . (1)求证：数列｛a n ｝为等差数列； ⑵若a 2= 3,求证：当n € N *时, 1 + a 1 证明 (1)由 S 1 = —2- = a 1 知 a 1= 1. 当 n 》2 时，a n = S n — S n — 1 n 1 + a n n — 1 1 + a n — 1 =2 — 2 ， 化简得(n — 2)a n — (n — 1)a n — 1+ 1 = 0,① 以 n + 1 代替 n 得(n — 1)a n +1 — na n + 1 = 0② 两式相减得(n — 1)a n +1 — 2(n — 1)a n + (n — 1)a n — 1 = 0. 则 a n +1 — 2a n + a n —1 = 0，其中 n 》2. 所以，数列｛a n ｝为等差数列. ⑵由 a 1= 1, a 2= 3, 结合(1)的结论知a n = 2n —1(n € N *). 6 1 1 + +…+ 1 x 3 3X 5 2n — 1 2n + 1 1 1111 1 1 1 7(1-3)+2(3—5)+…+ 2(2百— 市) 变式训练4 已知各项全不为零的数列 1 1 _L 1 a 1a 2+ a 2a 3+^+ a n a n +1<2 于是 1 a 1a 2 + a 2a 3 1 a n a n +1 n + 1 n + 2 + >2 n + 2 n + 1 n + 1 n + 2 n + 2 n + 1 1 1 1 =2（1-启）＜2? （12分）已知数列｛a n｝的各项均为正 数, 记 A(n) = a i + a 2+…+ a n , B(n)= a 2 + a 3 + …+ a n +i, C(n) = a 3+ a 4+…+ a n +2, n = 1,2,…. (1)若a i = 1, a 2= 5,且对任意n € N *，三个数A(n), B(n), C(n)组成等差数列，求数列 ｛a n ｝的通项公式; ⑵证明：数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列的充分必要条件：对任意 n € N *，三个数A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列. 规范解答 (1) 解 对任意n € N ，三个数A(n),B(n), C(n)成等差数列, 即 a n +1 — a 1 = a n + 2 — a 2, 亦即 a n + 2 — a n +1 = a 2— a 1 = 4. 故数列｛a n ｝是首项为1,公差为4的等差数列. 是 a n = 1 + (n — 1) x 4 = 4n — 3.[5 分] ⑵证明 ①必要性：若数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列, 由a n >0知，A(n), B(n), C(n)均大于0,于是 Bn a 2+ a 3+…+ a n +1 q a 1+ a 2+…+ a n = = =q , An a 1+ a 2+…+ a n a 1 + a 2+…+ a n C n a 3 + a 4+…+ a n +2 q a 2+ a 3+…+ a n +1 =q , a 2+ a 3+ …+ a n +1 C(n)组成公比为q 的等比数列. N *，三个数A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列，则 B(n) = qA(n), C(n)= qB(n), 于是 C(n)— B(n) = q[B(n)— A(n)], 得 a n +2— a 2= q(a n +1 — a 1)，即 a n +2— qa n +1 = a 2 — qa 1. 由 n = 1 有 B(1) = qA(1)，即 a 2 = qa 1, 从而 a n + 2— qa n + 1 = 0. a n + 2 09 因为a n >0，所以 =；=q. a n +1 a1 故数列｛a n ｝是首项为a 1,公比为q 的等比数列.[11分] 综上所述，数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列的充分必要条件： 对任意n € N *，三个数A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列.[12分] 评分细则 (1)得到｛a n ｝是等差数列给3分；(2)证明中没有写出必要性、 充分性的不扣分； ⑶证明必要性时没有指明 a n >0扣1分；(4)最后结论不写扣1分. 阅卷老师提醒 本题背景新颖，考查转化能力.用到的知识很简单，失去信心是本题失 分的主要原因.第(1)问根据B(n) — A( n)= C(n)— B( n)即可轻松解决；第(2)问需分充分性 和必要性分别证明，其依据完全是非常简单的等比数列的定义，其关键是要有较好的推 理论证能力. 所以 B(n) — A(n)= C(n) —B(n), 则对任意n € N *,有a n +1= a n q. Bn a 2 + a 3+ …+ a n +1 即黔=計=q. 所以三个数A(n), B(n), ②充分性：若对任意 n € [8分]
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