高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球教案
内蒙巴盟奋斗中学傅裕东
教学目标
1．掌握球的定义．
2．掌握球的性质，并能熟练应用；
3．通过球的教学，培养学生分析问题解决问题的能力．
教学重点和难点
重点：球的截面性质．
难点：球面距离的计算．
教学设计过程
一、复习提问
师：圆柱是怎样定义的．
生：以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
师：是矩形的边为旋转轴吗？
生：是
师：同学们请读p．21定义，然后教师强调指出，是以矩形的一边所在的直线为轴．
师：同学们再考虑：圆锥、圆台是怎样定义的．教师要强调边所在的直线为轴．
二、讲课题
师：以上同学们清楚了圆柱、圆锥、圆台的形成过程．那么球是怎样形成的呢？是否也可以通过某一个几何体旋转而形成呢？学生经过思考不难发现，半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面围成的几何体．（待学生回答后）教师展示教具，（从而得出球面的旋转定义）（板书）半圆以它直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体（简称球），（接着教师画出下图并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别）
师：球面与球的区别是什么？
生：球是包括球面在内的一个几何体，球面是一个面．
师：在平面几何里，从点集的观点看圆是怎么定义的，我们是否也可用类似的方法定义球面．
生：在同一平面内，一动点到一定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为圆心，定长为半径的圆．
师：在空间到定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为球心的球面．
球的性质：
师：通过上面的讨论我们不难看出：球面两种定义和圆有联系．比如说：从点集的观点看圆与球面的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质，我们能否从圆的某些性质去推测并证明球的某些性质．
（显而易见，上面的引入和启发为学生对球性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维，教师要牢牢把握住既定的思维轨道去探索）
师：我们知道圆的割线在圆内的部分是一条线段，球被平面所截其截面是什么？
生：是圆面．
师：为什么是圆面，教师出示教具演示，并指出教材不做证明要求．（请有兴趣的同学下去完成证明）
（下面的证明仅供教师参考）
证明：设球的半径是R，下面分两种情况研究．
（1）设平面α与球面相交，如果点O∈α（如上图2），设A是球面和平面α的交线上的任意一点，因为A 在球面上，所以AO=R．
所以A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．因为OB=R，所以点B在球面上．
点B在球面上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上．
因此，平面α和球O的截面是一个圆面．
（2）如果点Oα（如图3），自点O作OK⊥α，垂足为K，
设A是平面α和球面交线上的任意一点，连结AK．因为OK⊥α，所
B在球O的球面上．
点B在平面α内，又在球O的球面上，那么点B就在它们的交线上．
因此平面α截球O的截面是一个圆面了．
师：球的截面在球中的地位类似于弦在圆中的地位，截面是圆面．（学生明确了球的截面是圆面之后，下面的问题便迎刃而解）
师：在圆中，圆心与弦的中点连线与弦有什么位置关系？
生：垂直．
师：那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面有什么位置关系．（教师画出示意图）
生：垂直于截面圆．（教师板书球的性质（1））（并展示实物或模型演示给学生，不作证明）
师：球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，那么不难看出，球半径R，球心与截面圆的距离d，及截面圆半径r之间有什么关系？
师板书球的性质（2）］
师：在圆中，弦心距的变化与弦长有什么关系．
生：当d=0时弦最长，随着弦心距的增大，弦在减小，当d=R时弦长为0，这时直线与圆相切．
师：在球中，球心到截面的距离d与截面圆的大小有什么关系？
生：（可类比圆的弦变化思考）当d=0时，截面过球心，这时R=r，截面圆最大，如图4．
师：这个圆叫做大圆．
生：当d增大时截面圆越来越小．
师：当0＜d＜R时截面是小圆，如图5．当d=R时，截面圆缩为一个点，这时称截面与球相切，如图6．
师：在地球仪中，纬线和径线是怎样规定的．
生：平行于赤道的小圆线是纬线，过南北极的半大圆是经线．
师：（下面对经度和纬度结合图形要讲清楚，这两个概念也是很难理解的）
如图7，纬度——P点的纬度，也是或∠POA的度数，即：某地的纬度就是经过该点的球半径和赤道平面所成的角度．
如图8，经度——P点的经度，也是或∠AOB的度数，即：某地点的径度就是经过这点的径线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数．
球面上两点间的距离．
（用地球仪边演示边发问）
师：如果我们把地球看成一个球，我们会遇到这样的问题，由A到B的球面上应如何走行程最短？我们知道平面上两点间最短的距离是连接这两点的线段的长度，而地球的表面是曲面，球面上A，B两点间的最短路程显然不是线段AB的长度，那么它又是什么呢？（这时教师把事先做好的连接A，B两段铁丝作成的圆弧由地球仪表面（见图9）搬在电教片上，并画图10．）指出这相当于在平面上连接A，B的劣弧中，怎样的劣弧的长度最短？就
图而言？哪一段弧较短？（要求学生答），这两段弧在本质上有什么区别？
生：所在圆半径不同．
师：可以看出，半径较大的劣弧反而短．这就启示我们，在球面由A到B的路程要尽量沿着所在圆半径较大的劣弧走．在连接A，B的劣弧中最大圆的半径存在吗？生：（学生相互议论，研究发现）最大圆半径存在．
师：它等于多少？
生：就是经过这两点的大圆半径R．
师：由以上讨论：最后我们知道，在球面上，两点间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度，把这个弧长叫做两点间的球面距离．（板书）例1（把例题抄在投影片上）
我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度约为多少千米（地球半径约6370km）．
师：怎样能把这个问题平面化呢？
生：做地球的截面大圆．
师：是截面大圆吗？任一个截面大圆能完成该题的要求吗？
生：（部分学生说能，另一部分说不能，经过讨论争执，最后统一了意见）是经过南北极的大圆截面．
师：（画图）请同学回答哪个角等于40°．
生：∠AOB=40°
师：请找出经过A点纬线圈的半径．
生：半径是AK．
师：过A点纬线圈的周长是多少？
生：C=2π·AK．
师：用半径R和40°表示AK的长．
生：AK=Rcos40°
师：故求出了北纬40°纬线的长度约为
C＝2π·Rocs40°=3.066×104km
练习：
（1）课本p．87 1．
（2）下列命题：
a．球的任意两个大圆的交点连线是球的直径．
b．球面上任意两点的球面距离，是过这两点的大圆弧长．
c．球面上任意两点的球面距离，是连接这两点的线段长．
d．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．
正确的
是
[ ]
A．a，b B．b，c
C．a，d D．d
作业：课本p．91．1．2．
课堂教学设计说明
本教案体现由浅入深、循序渐进的教学原则，充分体现了启发式、和类比思想的教学方法，培养学生独立思考、发现问题和解决问题的能力．
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？
3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业 课本P8 练习题1.1 B组第1题 课外练习课本P8 习题1.1 B组第2题
立体几何考点专题复习(一) ——多面体、旋转体 一、多面体和旋转体 （一）直观图（斜二测画法） 原则：1.x轴、y轴的夹角画成45°或135°，一般画45°。z轴竖直向上； 2.与坐标轴平行的直线依然平行； 3.与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原 来的一半。 （切记：除以上3条外没有任何可以确定的量） 画图步骤： 1.在原图上建立坐标系，画出直观图坐标系，定位图形与三坐标轴 的交点。 2.画与x轴平行的线段。 3.画与y轴平行的线段，长度变为原来的一半。 4.画与z轴平行的线段。 （二）面积和体积 公式：侧面积公式与体积公式。 求法：割补法或等体积法都常用。 例1．若某几何体的三视图单位：如图所示． 画出该几何体的直观图； 求此几何体的体积和表面积． 【答案】解：根据三视图画出直观图，如图所示； 该几何体可以看成是一个直三棱柱去掉两个等底的小三棱锥组成的 如图，直三棱柱的体积为， 两个小三棱锥的体积为，故几何体的体积为40． 在图中，作于点M，则，，，所以，．
于是， ， 梯形 又矩形， 所以几何体的表面积为梯形矩形．【解析】本题考查了三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积以及体积的求法问题． 根据三视图得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，结合图中数据画出几何体的直观图； 结合图中数据计算该几何体的表面积和体积． 例2．已知一个几何体的三视图如图所示． 求此几何体的表面积； 如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长． 【答案】解：由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和底面圆半径长a，圆柱高为2a，圆锥高为a， ，圆柱侧，圆柱底，圆锥侧 所以表面． 分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示， 则， 所以P，Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为． 【解析】本题考查三视图、组合体表面积公式及旋转体上最短距离问题，属于基础题．由三视图可以还原几何体是上面一个圆锥加下面一个圆柱，即可求得表面积； 沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，直线距离最短，由勾股定理即可得到答案． 二、外接球和内切球 （一）外接球
部分 教学内容 重点难点 教学过程效果 目标 教师活动学生活动 基 本部 分40分钟 结束部分5分钟2、熟悉球性 3、乒乓球学 习反手推挡 球 四、放松练 习 1、上下肢肌 肉放松 2、腰背肌放 松 3、总结本次 课 4、布置课后 练习 握拍方法 乒乓球的握拍方法，基本上分直 拍握法和横握法两种。不同的握 拍方法，有不同的优缺点，从而 产生各种不同的打法。直握法的 特点是：正反手都用球拍的同一 面积球，出手较快；正手攻球快 速有利，攻斜、直线球时拍面变 化不大，对手不易判断。但反手 攻球因受身体阻碍，较难掌握； 防守时，照顾面积较小。 横握法的特点是：照顾面积比直 拍大，攻球和削球时的手法变化 不大；反手发球便于发力，也便 于拉弧圈球。但还击左右两面来 球时，需要转动拍面；攻直线时 动作变化明显、易被对方识破； 台内正手攻球较难掌握。 学习反手推挡技术 1. 反手对推斜线练习（见右图） 2. 教师纠正学生易犯错误 根据学生完成的情况，教师集体 讲解。 （1）推挡时拍面前倾不够，击 球时间过晚 （2）推挡时拍面前倾过多，击 球时间过早 （3）推挡时不是手臂迎前推出， 而是球撞拍 （4）推挡时肘部抬起 教法： 1、教师边示范边讲解 2、指导学生徒手模仿练习 3、纠正错误动作 4、有意识的引导学生改正动 作 要求：1、身体各部位放松 2、注意力要高度集中 易犯错误动作： 1、直握时拇指放松，食指压板， 横卧时不要吊腕，屈 腕 2、站位时双脚外撇，重心在后， 降不下来，膝关节没有弯曲 身体各部位略显紧张。 ●练习提示： ●难点练习方法： （1）持拍模仿推挡动作。 （2）技术水平不同的同学互帮 互助。 （3）一人抛球一人推挡。 （4）先对推斜线，再对推直线； 从一点推两点到推不同落点。 要求：1、放松练习态度认真 2、认真听取教师总结 3、做好课后练习。 培养 学生 集体 荣誉 感，和 团结 友爱 精神 放松 精神、 放松 身体 小结1、大多数同学能够掌握基本姿势、握拍方法 2、课下复习反手推挡球技术
课题：9. 2空间的平行直线与异面直线（一） 教学目的： 1. 会判断两条直线的位置关系. 2. 理解公理四，并能运用公理四证明线线平行? 3. 掌握等角定理，并能运用它解决有关问题? 4. 了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立+ 5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面； 6. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的 异面直线所成的角. 教学重点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时■ 教具：多媒体、实物投影仪 . 内容分析： 本节共有两个知识点，平行直线、异面直线■以平行公理和平面基本性质为 基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质.在这一节还由直线平行的性质学习异面 直线及其夹角的概念? 要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础+ 教学过程： 一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ （答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等 的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它 们的折痕是互相平行的J 你还能举出生活中的相关应用的例子吗？ 二、讲解新课： 1 +空间两直线的位置关系 （1）相交一一有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 2 -平行直线 （1）公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 + 推理模式：a//b,b//c= a//c .
立体几何同步训练14 多面体及欧拉公式 班级_______ 姓名___________ 一、选择题 1、关于正多面体的概念，下列叙述正确的是（） (A)每个面都是正多边形的多面体 (B)每个面都是有相同边数正多边形的多面体 (C)每个面都是相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体 (D)每个面都是具有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 2、一个凸n面体共有8条棱，5个顶点，则n等于（） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 7 3、一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角和为（） (A)54000 (B)64800 (C)72000 (D)79200 4、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是（） (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 5、一个凸多面体的面都是四边形，则它的顶点数与面数的差为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 6、已知一个简单多面体的每个面均是五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V分别等于（） (A) F=6 V=26 (B) F=20 V=12 (C) F=12 V=26 (D) F=12 V=20 二、填空题 7、一个简单多面体每个顶点处都有3条棱，则它的顶点数V和面数F的关系是___________。 8、每个面都是三角形的正多面体有_________个。 9、正四面体的外接球的球心到底面的距离与此正四面体高的比为_________。 10、命题（1）底面是正多边形，且侧棱章与底面边长相等的棱锥为正多面体。 （2）正多面体的面不是三角形就是正方形。（3）若长方体的各个侧面都是正方形时，这就是正多面体。（4）正三棱锥就是正四面体。其中正确的序号是_________。
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球教案 内蒙巴盟奋斗中学傅裕东 教学目标 1．掌握球的定义． 2．掌握球的性质，并能熟练应用； 3．通过球的教学，培养学生分析问题解决问题的能力． 教学重点和难点 重点：球的截面性质． 难点：球面距离的计算． 教学设计过程 一、复习提问 师：圆柱是怎样定义的． 生：以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆柱． 师：是矩形的边为旋转轴吗？ 生：是 师：同学们请读p．21定义，然后教师强调指出，是以矩形的一边所在的直线为轴． 师：同学们再考虑：圆锥、圆台是怎样定义的．教师要强调边所在的直线为轴． 二、讲课题 师：以上同学们清楚了圆柱、圆锥、圆台的形成过程．那么球是怎样形成的呢？是否也可以通过某一个几何体旋转而形成呢？学生经过思考不难发现，半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面围成的几何体．（待学生回答后）教师展示教具，（从而得出球面的旋转定义）（板书）半圆以它直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体（简称球），（接着教师画出下图并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别） 师：球面与球的区别是什么？ 生：球是包括球面在内的一个几何体，球面是一个面． 师：在平面几何里，从点集的观点看圆是怎么定义的，我们是否也可用类似的方法定义球面．
生：在同一平面内，一动点到一定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为圆心，定长为半径的圆． 师：在空间到定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为球心的球面． 球的性质： 师：通过上面的讨论我们不难看出：球面两种定义和圆有联系．比如说：从点集的观点看圆与球面的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质，我们能否从圆的某些性质去推测并证明球的某些性质． （显而易见，上面的引入和启发为学生对球性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维，教师要牢牢把握住既定的思维轨道去探索） 师：我们知道圆的割线在圆内的部分是一条线段，球被平面所截其截面是什么？ 生：是圆面． 师：为什么是圆面，教师出示教具演示，并指出教材不做证明要求．（请有兴趣的同学下去完成证明） （下面的证明仅供教师参考） 证明：设球的半径是R，下面分两种情况研究． （1）设平面α与球面相交，如果点O∈α（如上图2），设A是球面和平面α的交线上的任意一点，因为A 在球面上，所以AO=R． 所以A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．因为OB=R，所以点B在球面上． 点B在球面上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上． 因此，平面α和球O的截面是一个圆面． （2）如果点Oα（如图3），自点O作OK⊥α，垂足为K， 设A是平面α和球面交线上的任意一点，连结AK．因为OK⊥α，所
立体几何多面体与外接球问题专项归纳 1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是() ππππ 2、一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()ππ3ππ ; 3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
4.一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) π π 3π π ~ 历届高考外接球内切球问题 1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ． 4 3 3 B ．33 C ． 43 D ．123 答案 B 2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若 12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得3BC =由正弦定理,可得ABC ? / 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R =
故此球的表面积为2 420R ππ=. 3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 答案 8 4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A ． 3 B ．13π C ．2 3 π D ．3 答案 A ^ 【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8= 1a =，故选A 。 5.已知正方体外接球的体积是π3 32 ，那么正方体的棱长等于（ ） 2 B. 332 C.3 2 4 D.334 答案 D 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9 、 答案 C 7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案 3 4π 8. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π — 9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+
专题讲座 高中数学“立体几何初步”教学研究 袁京生北京市朝阳区教育研究中心 一、“立体几何初步”教学内容的整体把握 （一）“立体几何初步”内容的背景分析 1.从立体几何发展的历程看立体几何课程 （1）不同学段几何学习的特点 一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识. 在初中，课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力， 总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征. 总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识. 当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何. 当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论. （2）几何研究方法的发展
《高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析 立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1.高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2.复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3.重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。 4.在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算”。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。 二、学情分析 在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想 在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就是应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段
§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学. 【教学目标】： （1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系. （2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。 （3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势. 【教学重点】： 平面的法向量. 【教学难点】： 用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系. 【教学过程设计】：
答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为 247 2 29 。 四、训练与 提高 1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 (2,1,4) AB=-，(4,2,0) AD=，(1,2,1) AP=-- （1）求证：AP是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积． （1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0 AP AB ?=--?--=， (1,2,1)(4,2,0)0 AP AD ?=--?=， ∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A =，AP⊥平面ABCD， ∴AP是平面ABCD的法向量． （2）222 ||(2)(1)(4)21 AB=+-+-=，222 ||42025 AD=++=， ∴(2,1,4)(4,2,0)6 AB AD ?=--?=， ∴ 63105 cos(,) 105 2125 AB AD== ? ， ∴ 932 sin1 10535 BAD ∠=-=， ∴||||sin86 ABCD S AB AD BAD =?∠=． 引导学生进行应 用. 对法向量作理解. 巩固以往知识，培 养运算技能. 五、小结1．点、直线、平面的位置的向量表示。 2．线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 反思归纳 六、作业A，预习课本105～110的例题。 B，书面作业: 1， 2， 练习与测试： （基础题） 1，与两点和所成向量同方向的单位向量是。 解：向量，它的模 则所求单位向量为。 2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。 解：设点坐标为，由题设有； )4,4 ,6( ), 5,2,2 ( )1(- = - =v u )4,4 ,2 ( ), 2 ,2,1( )2(- - = - =v u )4 ,1,3 ( ), 5,3 ,2( )3(- - = - =v u 的一个单位法向量。 求平面 已知点 ABC C B A),5,0,0( ),0,4,0( ),0,0,3( . ),0,1 ,1 ( ),1,0,1( , 的大小。 所成的锐二面角的度数 求这两个平面 的法向量分别是 若两个平面 - - = =v u β α
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的
平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=2 22rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2 r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B
《乒乓球》教案 课次:1 一、课的内容: 1、复习基本步法、姿势与基本站位 2、复习平击发球、平击球 3、学习推挡 4、学习正手攻球 二、课的目标: 1．掌握乒乓球握拍法、基本步法、姿势与基本站位 2．掌握平击发球和平击球 3．使学生初步掌握推挡 4．使学生初步掌握正手攻球 5．培养学生参与学习的积极性,养成互帮互助、共同提高的良好品质。 三、课的重点、难点： 1、学习推挡 2、学习正手攻球 四、场地器材：球台18张、乒乓球拍18副、乒乓球40个 课的教学组成 1.准备部分 10′1．1课前常规 体育委员集合，报告人数，师生问好。宣布本次课的教学内容，提出目标要求。检查服装，安排见习生。 ♀♀♀♀♀♀♀♀♀ ♀♀♀♀♀♀♀♀♀ ♀♀♀♀♀♀♀♀♀ ♀♀♀♀♀♀♀♀♀ ▲
1．2徒手操（6－8节） 1．3热身运动（慢跑、游戏等） 2．基本部分 65′2．1复习基本步法、姿势与基本站位 10′2．1．1乒乓球基本步法 ①跨步 来球同侧脚先向侧跨1大步，后跟着地，另一脚随即跟进移动。常用来对付来球急、角度大、离身体稍远的球。 ②并步 来球远侧方的脚先向近侧方靠1步，然后近侧方的脚再向来球方向迈1步。在小范围内移动，常使用此步法。 ③交叉步 来球反方向的脚向来球方向移动1小步，另一脚迅速向来球方向迈1步。主要用于对付离身体较远的来球，如快攻在侧身进攻后扑空当常用此步法。2．1．2乒乓球基本姿势与站位 两脚平行站立比肩稍宽，两膝微屈稍内扣，前脚掌内侧着地、提踵、上体略前倾，收腹、含胸，重心置于两脚之间，下颌稍向后收，两眼注视来球。执拍手臂自然弯曲，置于身体右侧，手腕放松持拍于腹前，离身体约20-30厘米。 乒乓球运动员的基本站位，应当根据不同类型打法及个人打法特点来决定。这样才会有利于技术特长的发挥，正是由于乒乓球运动员的类型打法不同，所以不同类型打法的运动员基本站位也略有不同。左推右攻打法运动员的基本站位在近台中间偏左；两面攻打法运动员的基本站位在近台中间；弧圈球打法运动员的基本站位在中台偏左；横板攻削结合打法运动员的基本站位在中台附近；以削为主打法运动员的基本站位在中远台附近。 2．2复习平击发球、平击球15′2．2．1正手平击发球动作要点：左手向上抛球，右手同时向后引拍。球拍从身体右后方向前挥动，拍形稍前倾，击球中上部。难点：球上抛同时向后引拍。2．2．2平击球动作要点：近台站位，右手握拍置于身体右侧；重心在两脚中间，借助对方来球的反弹力将球击回；击球后，还原击球前的准备便于再次击球。
高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议立体几何内容的设计： 1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。 2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→ 点、线、面→ 侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→ 柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质． 3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。 4.教学内容增减： 删除（或在选修课内体现的）： （1）异面直线所成的角的计算。（2）三垂线定理及其逆定理。（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）． 增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端． 立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设 的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通 过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图 形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 一、考纲要求： （1）空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
1.2.2 空间几何体的直观图（1课时） 一、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 （2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 2．过程与方法 学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3．情感态度与价值观 （1）提高空间想象力与直观感受。 （2）体会对比在学习中的作用。 （3）感受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点 重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。 三、学法与教学用具 1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2．教学用具：三角板、圆规 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。 （二）研探新知 1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 练习反馈 根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。 2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因
必修2 第一章空间几何体 本章教材分析 柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体，复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的.有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础.本章研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等.运用直观感知、操作确认、度量计算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质. 本章中的有关概念，主要采用分析具体实例的共同特点，再抽象其本质属性空间图形而得到.教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念. 本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的.例如，对于棱柱，在义务教育阶段直观认识正方体、长方体等的基础上，进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积.因此，在教材内容安排中，特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接. 值得注意的是在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透空间想象能力面的训练.由于受有关线面位置关系知识的限制，在讲解空间几何体的结构时，少问为什么，多强调感性认识.要准确把握这方面的要求，防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技术在学习中的重要作用.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生的实际,合理地进行取舍. 1.1 空间几何体的结构 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 整体设计 三维目标 1.掌握柱、锥、台、球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观 能力. 2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想. 重点难点 教学重点：柱、锥、台、球的结构特征. 教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征. 课时安排：1课时 课前准备：多媒体课件 教学过程 导入新课 思路1.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等.它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？引出课题：柱、锥、台、球的结构特征. 思路2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评价.引出课题：柱、锥、台、球的结构特征. 推进新课 1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？ （展示幻灯片图1） 2.你能给出多面体和旋转体的定义吗？ 活动：让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的学生，教师予以提示. 1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类. 2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体. 讨论结果：
高考立体几何知识点总结 一、空间几何体（一）空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其 中，这条直线称为旋转体的轴。 （二）几种空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 棱柱 底面是四边形四棱柱 底面是平行四边形平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行 六面体 底面是矩形 长方体底面是正方形 正四棱柱棱长都相等 正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 1.3棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面=c ·h+2S 底V 棱柱=S 底·h 2、棱锥的结构特征2.1棱锥的定义 （1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形， 并且顶点在底面的投影是底 图1-1 棱柱
面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高）体积：1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。对棱间的距离为 a 2 2 （正方体的边长）正四面体的高 a 36（正方体体对角线l 3 2 =）正四面体的体积为 3122a （正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61= ）3、棱台的结构特征 3.1棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。3.2正棱台的结构特征 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； （2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；（4）各侧棱的延长线交于一点。4、圆柱的结构特征 4.1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 A B C D P O H