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高等数学知识点总结

导数公式：导数公式：

(tan x)′ = sec2 x (c tan x)′ = csc2 x (sec x)′ = sec x tan x (csc x)′ = csc x cot x (a x )′ = a x ln a 1 (loga x)′ = x ln a

基本积分表：基本积分表：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：

(arcsin x )′ =

1 x

2 1 (arccos x )′ = 1 x2 1 (arctan x )′ = 1+ x2 1 (arc cot x )′ = 1+ x2

∫ tan xdx = lncos x + C ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C ∫ cscxdx = lncsc x cot x + C

dx 1 x = arctan +C 2 +x a a dx 1 xa ∫ x 2 a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 x 2 = 2a ln a x + C dx x ∫ a 2 x 2 = arcsin a + C

∫ cos ∫ sin

x x

= ∫ sec 2 xdx = tan x + C = ∫ csc 2 xdx = cot x + C

∫a

∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx = csc x + C

x ∫ a dx =

ax +C ln a

∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫

dx x ±a

2 2

= ln( x + x 2 ± a 2 ) + C

I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =

0 0 2

n 1 I n2 n

∫ ∫ ∫

sinx =

x a2 2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x a2 x 2 a 2 dx = x 2 a 2 ln x + x 2 a 2 + C 2 2 x a2 x a 2 x 2 dx = a 2 x 2 + arcsin + C 2 2 a

2u 1 u2 x 2du ，x = cos，= tan ，= u dx 1+ u2 1+ u2 2 1+ u2

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一些初等函数：一些初等函数：

两个重要极限：两个重要极限：

ex ex双曲正弦: shx = 2 x e + e x 双曲余弦: chx = 2 shx e x e x 双曲正切: thx = = chx e x + e x arshx = ln( x + x 2 + 1）archx = ± ln( x + x 2 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1 x

三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：·诱导公式：函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式：和差角公式：

lim

sin

x x +

x →

1 = e

lim

x →

∞

1 ) x

sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα

coscosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα

tg -tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanα

ctg -cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα

·和差化积公式：和差化积公式：

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tan α ± tan β tan(α ± β ) = 1 m tan αtan β cot α cot β m 1 cot(α ± β ) = cot β ± cot α

sin α + sin β = 2 sin

α +β

2 2 α+β αβ sin α sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α β cos α + cos β = 2coscos 2 2 α+β α β cos α cos β = 2 sin sin 2 2

cos

α β

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·倍角公式：倍角公式：

sin 2α = 2 sin α cosα cos 2α = 2cos2 α 1 = 1 2 sin 2 α = cos2 α sin 2 α cot2 α 1 cot 2α = 2 cotα 2 tanα tan 2α = 1 tan2 α

·半角公式：半角公式：

sin 3α = 3sinα 4 sin3 α cos3α = 4 cos3 α 3 cosα 3 tanα tan3 α tan 3α = 1 3 tan2 α

sin tan

=± =±

α 1 cos α 1 + cos α cos = ± 2 2 2 α 1 cos α 1 cos α sin α 1 + cos α 1 + cos α sin α = = cot = ± = = 1 + cos α sin α 1 + cos α 2 1 cos α sin α 1 cos α

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

·余弦定理：c = a + b 2ab cos C 余弦定理：

2 2 2

·正弦定理：正弦定理：定理

·反三角函数性质：arcsin x = 反三角函数性质：

arccos x arctan x =

arc cot x

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：——莱布尼兹

k (uv) ( n ) = ∑ C n u ( nk ) v ( k ) k =0 n

= u ( n ) v + nu ( n1) v′ +

n(n 1) ( n2) n(n 1)L(n k + 1) ( nk ) ( k ) u v + L + uv ( n ) u v′′ + L + 2! k!

中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f (b) f (a) = f ′(ξ )(b a) f (b) f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理：= F (b) F (a ) F ′(ξ ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：曲率：

弧微分公式：ds = 1 + y ′ 2 dx , 其中y ′ = tg α K 平均曲率：= α .α : 从M 点到M ′点，切线斜率的倾角变化量；s：MM ′弧长。s y ′′ α dα M 点的曲率：K = lim = = .s → 0 s ds (1 + y ′ 2 ) 3 1 . a

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直线：K = 0; 半径为a的圆：K =

定积分的近似计算：定积分的近似计算：

矩形法：f ( x) ≈ ∫

ba ( y0 + y1 + L + y n1 ) n ba 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + L + y n1 ] n 2 ba [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + L + y n2 ) + 4( y1 + y3 + L + y n1 )] 3n

梯形法：f ( x) ≈ ∫

a b

抛物线法：f ( x) ≈ ∫

定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：

功：W = F s 水压力：F = p A m1m2 , k为引力系数r2 b 1 函数的平均值：= y f ( x)dx ba ∫ a 引力：F = k 1 2 均方根：∫ f (t )dtba a

空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 + ( z 2 z1 ) 2 向量在轴上的投影：ju AB = AB cos ,是AB与u轴的夹角。Pr v vvvPrju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Prja 2 v vvv a b = a b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角：θ = cosi v vv c = a × b = ax bx j ay by k a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z bx + b y + bz

2 2 2 2 2 2

v vvvvv a z , c = a b sin θ .例：线速度：v = w × r .

bz ay by cy azcz

ax v vv v vv向量的混合积：b c ] = (a × b ) c = bx [a cx 代表平行六面体的体积。

v vvbz = a × b c cos α ,α为锐角时，

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平面的方程：v 1、点法式：A( x x0 ) + B( y y 0 ) + C ( z z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程：+ + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2

x = x0 + mt x x0 y y 0 z z 0 v 空间直线的方程：= = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程：y = y0 + nt m n p z = z + pt 0 二次曲面：x2 y2 z 2 1、椭球面：2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面：+ = z（p, q同号）, 2 p 2q 3、双曲面：x2 y2 z2 单叶双曲面：2 + 2 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面：2 2 + 2 =（马鞍面）1 a b c

多元函数微分法及应用

全微分：dz =

z z u uu dx + dy du = dx + dy + dz z x y x y

全微分的近似计算：z ≈ dz = f x ( x, y )x + f y ( x, y )y 多元复合函数的求导法：dz z u z v z = f [u (t ), v(t )]= + dt u t v t z z u z v z = f [u ( x, y ), v( x, y )]= + x u x v x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时，du = u u v v dx + dy dv = dx + dy x y x y

隐函数的求导公式：F FFdydy d2y 隐函数F ( x, y ) = 0，= x ， 2 = ( x )＋( x ) x Fy y Fy dx dxFy dx Fy F z z隐函数F ( x, y, z ) = 0，= x ，= x yFzFz

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F F ( x, y , u , v ) = 0 ( F ,

G ) u 隐函数方程组：J = = G (u , v) G ( x, y, u , v) = 0 u u 1 ( F , G) v

1 ( F , G) = = x J ( x, v ) x J (u , x) u 1 ( F , G) v 1 ( F , G ) = = y J ( y, v) y J (u , y ) 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：

F v = Fu

G Gu v

FvGv

x = (t ) xx y y0 z z 0 空间曲线y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程：0 = = ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) z = ω (t ) 在点M处的法平面方程：′(t 0 )( x x0 ) + ψ ′(t 0 )( y y0 ) + ω ′(t 0 )( z z 0 ) = 0 v FyFzFzFxFx F ( x, y , z ) = 0 , 则切向量T = { , , 若空间曲线方程为：G y G z Gz G x Gx G ( x, y, z ) = 0 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 )，则：v 1、过此点的法向量：n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x x0 y y0 z z0 3、过此点的法线方程：= = Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )

方向导数与梯度：方向导数与梯度：

FyGy

}

2、过此点的切平面方程：Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z z 0 ) = 0

f ff函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为：= cos + sin l x y 其中为x轴到方向l的转角。f v f v i+ j x y v v f v v它与方向导数的关系是：= grad f ( x, y ) e ，其中e = cosi + sin j ，为l方向上的l 单位向量。f ∴是gradf ( x, y )在l上的投影。l 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度：gradf ( x, y ) =

多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：

设f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0，令：f xx ( x 0 , y 0 ) = A , f xy ( x 0 , y 0 ) = B , f yy ( x 0 , y 0 ) = C A < 0 , ( x 0 , y 0 )为极大值2 AC B > 0时，A > 0 , ( x 0 , y 0 )为极小值2 则：AC B < 0时，无极值AC B 2 = 0时, 不确定

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重积分及其应用：重积分及其应用：

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ

D D′

曲面z = f ( x, y )的面积A = ∫∫

z z 1 + + dxdy x y

M 平面薄片的重心：x = x = M

∫∫ xρ ( x, y)d?

∫∫ ρ ( x, y)d?

D 2 D

, y =

My M

∫∫ yρ ( x, y)d?

∫∫ ρ ( x, y)d?

D D

平面薄片的转动惯量：对于x轴I x = ∫∫ y ρ ( x, y )d? , 对于y轴I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a ), (a > 0)的引力：F = {Fx , Fy , Fz }，其中：Fx = f ∫∫

ρ ( x, y ) xd?

(x2 + y 2 + a )

3 2 2

，Fy = f ∫∫

ρ ( x, y ) yd?

(x2 + y 2 + a )

3 2 2

，Fz = fa ∫∫

ρ ( x, y ) xd?

(x2 + y2 + a2 ) 2

柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：

x = r cosθ柱面坐标：y = r sin θ , f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r ,θ , z )rdrdθdz , ∫∫∫ z=z 其中：F (r ,θ , z ) = f (r cosθ , r sin θ , z ) x = r sin cosθ球面坐标：y = r sin sin θ ，dv = rd r sin dθdr = r 2 sin drddθ z = r cos

2 ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ F (r , ,θ )r sin drddθ = ∫ dθ ∫ d 0 0 2π

r ( ,θ )

∫ F (r , ,θ )r

sin dr

重心：x =

1 M

∫∫∫ xρdv, y = M ∫∫∫ yρdv, z = M ∫∫∫ zρdv，其中M = x = ∫∫∫ ρdv

2 2 2 2 2 2

转动惯量：I x = ∫∫∫ ( y + z ) ρdv，I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρdv，I z = ∫∫∫ ( x + y ) ρdv

曲线积分：曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x = (t ) 设f ( x, y )在L上连续，L的参数方程为：, ≤ t ≤ β ), 则：(α y = ψ (t )

∫ f ( x, y )ds = α f * (t ),ψ (t )+ ∫

′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t ) dt< β ) 特殊情况：(α

x=t y = (t )

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第二类曲线积分（对坐设L 的参数方程为

标的曲线积分）：x = (t ) ，则：y = ψ (t )

∫

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy =

∫ , P * ( t ), ψ

( t )] ′ ( t ) + Q * ( t ), ψ ( t )+ψ ′ ( t )} dt

两类曲线积分之间的关

系：∫ Pdx + Qdy =

∫ ( P cos

α + Q cos β ) ds ，其中α 和β 分别为

Q P ) dxdy = y = 1 2

L 上积分起止点处切向量的方向角。Q P 格林公式：∫∫ ( ) dxdy = ∫ Pdx + Qdy格林公式：x y D L 当P = y , Q = x ，即：·平面上曲线积分与路径1、G 是一个单连通区域；2 、P ( x , y )，Q ( x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在注意方向相反！：，且Q P = 2 时，得到x y 无关的条件：D 的面积：

∫∫ ( x

∫ Pdx

+ Qdy

A =

∫∫ dxdy

∫ xdy

ydx

Q P ＝。注意奇点，如x y

( 0 , 0 )，应

Q P ＝时，Pdx + Qdy才是二元函数x y

(x,y)

u ( x , y )的全微分，其中：x 0 = y 0 = 0。

u ( x, y ) =

∫ P ( x , y ) dx

( x0 , y0 )

+ Q ( x , y ) dy，通常设

曲面积分：曲面积分：

对面积的曲面积分：∫∫ f ( x , y , z ) ds =

∑

∫∫ f * x , y , z ( x , y )]

D xy

2 2 1 + z x ( x , y ) + z y ( x , y ) dxdy

对坐标的曲面积分：∫∫ P ( x , y , z ) dydz + Q ( x , y , z ) dzdx + R ( x , y , z ) dxdy，其中：∑

∫∫ R ( x , y , z ) dxdy

∑

= ± ∫∫ R* x , y , z ( x , y )+ dxdy，取曲面的上侧时取正号；

D xy

∫∫ P ( x , y , z ) dydz

∑ ∑

= ± ∫∫ P[ x ( y , z ), y , z ]dydz，取曲面的前侧时取正号；

D yz

∫∫ Q ( x , y , z ) dzdx = ± ∫∫ Q* x , y ( z , x ), z +dzdx，取曲面的右侧时取正

D zx

号。

两类曲面积分之间的关系：Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫

∑

∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds

高斯公式：高斯公式：

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∫∫∫ ( x + y

R ) d v = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds z ∑ ∑

高斯公式的物理意义——通量与散度：v P Q R v 散度：div ν = + + ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div ν < 0, 则为消失... x y z v v通量：A n ds = ∫∫ An ds = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds ，∫∫ v 因此，高斯公式又可写成：div A dv = ∫∫ An ds ∫∫∫

∑ ∑ ∑ ∑

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：——曲线积分与曲面积分的关系

∫∫ ( y z ) dydz + ( z x ) dzdx + ( x

∑

P ) dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz y Γ cos β y Q cos γ z R

dydz上式左端又可写成：∫∫ x ∑ P

dzdx y Q

dxdycos α = ∫∫ z x ∑ R P

R Q P R Q P 空间曲线积分与路径无关的条件：= ，= ，= y z z x x y i j k v 旋度：rot A = x y z P Q R v vv向量场A 沿有向闭曲线Γ 的环流量：Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A t ds ∫

Γ Γ

常数项级数：常数项级数：

1 qn 1 q ( n + 1) n 等差数列：1 +

2 +

3 + L + n = 2 1 1 1 调和级数：1 + + + L + 是发散的2 3 n 等比数列：1 + q + q 2 + L + q n 1 =

级数审敛法：级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法

——根植审敛法（柯西判

别法）：

ρ < 1时，级数收敛设：ρ = lim u n ，则ρ > 1时，级数发散n→∞ ρ = 1时，不确定2、比值审敛法：设：ρ = lim ρ < 1时，级数收敛U n +1 ，则ρ > 1时，级数发散n→∞ U n ρ = 1时，不确定3、定义法：s n = u 1 + u 2 + L + u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发

n→ ∞

散。

交错级数u1 u 2 + u 3 u 4 + L (或u1 +u 2 u 3 + L, u n > 0)的审敛法——莱布尼兹定理：u n ≥ u n+1 如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s ≤ u1 , 其余项rn的绝对值rn ≤ u n+1。lim u n = 0 n → ∞

绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：

(1)u1 + u 2 + L + u n + L，其中u n 为任意实数；( 2 ) u1 + u 2 + u 3 + L + u n + L 如果( 2 )收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果( 2 )发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1 ( 1) n 调和级数：发散，而∑ 收敛；∑n n 1 级数：∑ n 2 收敛；ｐ≤１时发散1 p 级数：∑ n p p> 1时收敛

幂级数：幂级数：

1 + x + x + x + L + x + L

2 3 n 2

x < 1时，收敛于x ≥ 1时，发散

1 1 x

对于级数(3) a0 + a1 x a2 x + L + an x n + L ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全+ x < R 时收敛数轴上都收敛，则必存在R ，使x > R 时发散，其中R 称为收敛半径。x = R 时不定

ρ ≠ 0时，R =

a 求收敛半径的方法：设lim n +1 = ρ ，其中a n，an +1是(3)的系数，则n→∞ a n

ρ = 0时，R = +∞ ρ = +∞ 时，R = 0

函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：

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函数展开成泰勒级数：余项：R n =

f ( x ) = f ( x 0 )( x x 0 ) +

f ′′( x 0 ) f (n) ( x0 ) ( x x0 ) 2 + L + ( x x0 ) n + L 2! n! 充要条件是：lim R n = 0

n→ ∞

f ( n +1) (ξ ) ( x x 0 ) n +1 , f ( x )可以展开成泰勒级数的( n + 1)! f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x +

x 0 = 0时即为麦克劳林公式：

f ′′( 0 ) 2 f ( n ) (0) n x +L + x +L 2! n!

一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：m ( m 1) 2 m ( m 1) L ( m n + 1) n (1 + x ) m = 1 + mx + x +L + x + L 1 < x < 1) ( 2! n! x3 x5 x 2 n 1 sin x = x + L + ( 1) n 1 + L ∞ < x < +∞ ) ( 3! 5! ( 2 n 1)! 欧拉公式：欧拉公式：

e ix + e ix cos x = 2 = cos x + i sin x 或e ix e ix sin x = 2

e ix

三角级数：三角级数：

∞ a0 + ∑ ( a n cosnx + b n sin nx ) 2 n =1 n =1 其中，a 0 = aA 0，a n = A n sin n，b n = A n cos n，ω t = x 。

f ( t ) = A0 +

∑A

∞

sin( n ω t + n ) =

正交性：1, sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x L sin nx , cosnx L 任意两个不同项的乘积上的积分＝0。在* π , π +

傅立叶级数：傅立叶级数：

f (x) = a0 + 2

∑ (a

n =1

∞

cosnx + b n sin nx )，周期

= 2π

1 an = π 其中b = 1 n π

∫

f ( x ) cosnxdx n = 0 ,1, 2 L ) ( f ( x ) sin nxdx n = 1, 2 , 3 L ) ( 1+

∫

π2 1 1 1+ 2 + 2 +L = 8 3 5 π2 1 1 1 + 2 + 2 +L = 2 2 4 6 24

正弦级数：余弦级数： a n = 0， b n = b n = 0， a n =

π2 1 1 1 + 2 + 2 + L = （相加）6 22 3 4 π2 1 1 1 1 2 + 2 2 + L = （相减）2 3 4 12

∫

f ( x ) sin n xdx n = 1, 2 , 3 L f ( x ) = f ( x ) cosnxdx n = 0 ,1, 2 L f ( x ) = ∑b

sin nx是奇函数

∫

a0 + 2

∑a

cosnx是偶函数

的周期函数的傅立叶级数：周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：

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f ( x) =

a0 + 2

∑ (a

n =1

∞

cos

nπx nπx + b n sin )，周期= 2 l ll

l 1 nπx dx n = 0 ,1, 2 L ) ( a n = ∫ f ( x ) cos l ll其中l b = 1 f ( x ) sin n π x dx n = 1, 2 ,3 L ) ( n ∫ l ll

微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y ′ = f ( x , y ) 或P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g ( y ) dy = f ( x ) dx 的形式，解法：

∫ g ( y ) dy = ∫

f ( x ) dx 得：G ( y ) = F ( x ) + C 称为隐式通解。程可以写成

dy y = f ( x , y ) = ( x , y )，即写成的函数，解法：dx x y dy du du dx du y 设u = ，则=u+x，u + = ( u )，∴= 分离变量，积分后将代替u ，x dx dxdx x (u ) u x 齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dy + P (x) y = Q (x) dx

P ( x ) dx y = Ce ∫

当Q ( x ) = 0 时, 为齐次方程，当Q ( x ) ≠ 0 时，为非齐次方程，2、贝努力方程：

y = ( ∫ Q ( x )e ∫

P ( x ) dx

P ( x ) dx dx + C ) e ∫

dy + P ( x ) y = Q ( x ) y n ，n ≠ 0 ,1 ) ( dx

全微分方程：全微分方程：

如果P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0中左端是某函数的全微分方程，即：u u du ( x , y ) = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0，其中：= P ( x , y )，= Q ( x , y ) x y ∴u ( x , y ) = C 应该是该全微分方

程的通解。

二阶微分方程：二阶微分方程：

f ( x) ≡ 0时为齐次d2y dy + P( x) + Q( x) y = f ( x)，2 dx dx f ( x) ≠ 0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y ′′ + p y ′ + qy = 0，其中p , q 为常数；求解步骤：

、写出特征方程：( ) r 2 + pr + q = 0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是2、求出( ) 式的两个根r1 , r2 (*) 式中y ′′, y ′, y 的系数；

3、根据r1 , r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式

两个不相等实根( p 2 4q > 0) (*)式的通解

y = c1e r1x + c2 e r2 x

2 / 13

两个相等实根( p 4q = 0)

y = (c1 + c2 x)e r1x y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)

一对共轭复根( p 2 4q < 0)

r1 = α + iβ，r2 = α iβ

α = ，β =

p 2

4q p 2 2

二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程

y ′′ + py ′ + qy = f ( x)，p, q为常数f ( x) = e λx Pm ( x)型，λ为常数；f ( x) = e λx * Pl ( x) cosωx + Pn ( x) sin ωx+型

13 / 13

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+22 22；（旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程 1、一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

高数部分知识点总结

高数部分知识点总结 1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法 0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0, 0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0, 1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。 (1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,, 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答, 案中少写这个C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加 f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，, f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了, 这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下 a f(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,a aaa f(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0 ,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利 aaa 奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。在处理完积分上下,,,,a,a0 限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用 E、(AB)C、以下这组逻辑公式来作模型:假如有逻辑推导公式A:,, DE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的(C::, 证明题，其中一个可以是这样的:条件给出A、B、D，求证F成立。为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类:1.已知的逻辑推导公式太多，难以 E就从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A,可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同时存在，有的逻辑::,,,

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+2222；（旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高等数学知识点归纳

第一讲: 极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=,

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。极限一、求极限的方法 1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。

(完整版)高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册）函数：绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性反函数：定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单值、单调的。基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ）收敛数列的有界性：定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：（1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)(

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正数δ,（或存在X ）使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时）恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限，记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学各章知识点总结——第9章

一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离： ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点，是某一正数，与点0P 距离小于的点P 的全体称为点0P 的邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的邻域去掉中心点0P 就成为0P 的空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集，则称E 为闭集。区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5）无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学知识点(重点)

高等数学知识点总结空间解析几何与向量代数一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要） ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考）空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= ，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

高等数学高数知识点总结

高数重点总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

高等数学基础知识点归纳

第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高数部分知识点总结

1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞ ∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞ 1型的题目则是先转化为00 型或∞ ∞ 型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim =→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，

把它折弯后就是?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a a dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有 ?-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于 ? 2 )(π dx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -= 2 π 的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=?-a a 奇函数、??=-a a a 02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。

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