高中数学复习函数专题练习题附答案
(2012年栟茶高级中学高三阶段考试)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ?，
（其中a b <），使得当[] x a b ∈，
时，()f x 的值域恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．如果函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数，则实数m 的取值范围
答案：3(1,)4
--
（2012年兴化）已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，5532
3=+-b b b ， 则b a +的值为 ▲ . 答案：2
说明：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数。 将已知等式变形为2)1(2)1(,2)1(2)1(3
3
=-+--=-+-b b a a ，
构造函数x x x f 2)(3
+=，这是一个单调递增的奇函数，因为2)1(,2)1(=--=-b f a f
所以)1()1()1(b f b f a f -=--=-，从而有b a -=-11，2=+b a 。
（2012年泰兴）方程在[0，1]上有实数根，则m 的最大值是 0 ；
析：可考虑,y m =与
3
3y x x =-在[0，1]上有公共点，数形结合。3(1,)4
--
033
=--m x x
（南师附中最后一卷）已知函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a ＞0且a ≠1)，如果函数f(x)在区间????－1
2，0内单调递增，那么a 的取值范围是____________．
答案：????
34，1
（泰州期末）13．设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+
-2
3
，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 . 解析：本题考查不等式的解法，数形结合。
当32a ≤
时，不等式a a x x ≥+-23
，对任意的实数[]2,1∈x
当32a >时，将不等式化为32||a x a x
--≥，作出函数2||,(12)a y x a y x x -
=-=≤≤的图像，如图， 不等式a a x x ≥+-2
3
，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立的条件是，函数||,y x a =-的图像全部落在函数
32(12)a y x x -=≤≤的图像的上方，由32223
12
a a a a ?
-?-≥???-≥-??解得52a ≥，
综上所述，实数a 的范围是3
5[1,][,)22
+∞。
（注：本题关键在于对不等式的合理变形，和由图考出题设成立的条件）
（泰州期末）14. 集合{)(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足})
1()()1(f t f t f +=+，下列函数
k c b a ,,,(都是常数）（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y ；（2）)0(2≠++=a c bx ax y ；（3）)10(<<=a a y x
；
（4）)0(≠=k x
k
y ；（5）x y sin =；属于M 的函数有 . (只须填序号)
解析：本题考查基本初等函数，解方程。
解法一：对函数（1），若(1)()()k t b kt b k b ++=+++，则0b =，与条件矛盾；
对函数（2），若22
(1)(1)()()a t b t c at bt c a b c ++++=+++++，解得2c
t a
=； 对函数（3），若1
t t a a a +=+，由于函数(01)x y a a =<<为减函数，故不成立；
对函数（4），若
1k k
k t t
=++，整理得210t t ++=，此方程无实数解； 对函数（5），显然(01)(0)(1)f f f +=+。 综上所述，属于M 的函数有（2）（5）。 解法二：(1)()(1)f t f t f +=+可化为
(1)()(1)0
(1)10
f t f t f t t +--=+--，
此式表示点(1,(1)),(,()),(1,(1)),(0,0)A t f t B t f t C f D ++满足AB CD k k =，
依次作出五个函数的图像，画出线段CD ，作CD 的平行线，判断能否作出弦长为1的平行线即可。
（注：解法二不是人人都能学会的，没这个智力的人需对自己合理定位）
（南京三模）.若函数222,0
(),0
x x x f x x ax x ?-≥?=?-+的x 的取值范围是 ▲ ．
答案:(13,)--+∞
（南通三模）若函数()|21|f x x =-，则函数()(())ln g x f f x x =+在(0,1)上不同的零点个数为 ▲ . 解析：考查数形结合法的应用、函数图象的作法。 考虑函数1122))((--==x x f f y 与x y ln -=的图象交 点的个数。
而函数?????
???
???
<
+-≤
≤-≤<+->-=--=41,142141,144
321,3443,341122x x x x x x x x x y ，由图象易见结
果为3．
另外，也可按如下步骤做出1122))((--==x x f f y 的图象： 先作1122--=x y 的图象，再作1122--=x y 的图象。
答案：3
（盐城二模）若()y f x =是定义在
R 上周期为2的周期函数, 且()f x 是偶函数, 当[0,1]x ∈时,
()21x f x =-, 则函数5()()log ||g x f x x =-的零点个数为 ▲ .
答案：4
解析：数形结合，作出y=f(x)与5log ||y x =在x 轴右边图像，有2个交点，又2个函数为偶函数，根据对称性有4个交点
（2012年常州）对于函数，给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称； （2）若，则函数的图象关于直线对称； （3）若，则函数是周期函数；
（4）若，则函数的图象关于点（0,0）对称。 其中所有正确命题的序号是 。 答案：（3） （4）
（常州期末）11、设函数在R 内有定义，对于给定的正数，定义函数，
若函数，则当时，函数的单调减区间为 。
答案：(,-∞
（南通一模）如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数
，，的图象上，且矩形
的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：
第9题 A A D y x x ?=；A B B C C D y y x x y y =?=?=.
（天一）5.已知定义域为R 的函数121
()2x x f x a
+-+=+是奇函数，则a = ▲ .
答案；2
（天一）13.将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方
体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则a
b
的取值范围是 ▲ . 答案：)4
5,1(
()()y f x x R =∈(1)y f x =-(1)y f x =-0x =(1)(1)f x f x -=-()y f x =1x =(1)(1)f x f x +=-()y f x =(1)(1)f x f x -=--()y f x =()y f x =k (),(),
(),().
k f x f x k f x k f x k >?=?≤?3()log ||f x x =1
3
k =
()k f
x y x =12
y x
=x
y =
()
1124，
（第9题）
（天一）（天一）8.若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ▲ .
答案：0k <或4k =
（南师大信息卷）函数在定义域R 内可导，若，且当时，
，设，则的大小关系为c 提示：依题意得，当时，有，为增函数； 又，且，因此有， 即有,. （苏锡常一模）写出一个满足（，）的函数 . 答案：log 1a x + （苏锡常一模）已知，为正实数，函数在上的最大值为，则在 上的最小值为 . 答案：32 - （南师大信息卷）定义在D 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称是D 上的有界函数，其中M 称为函数 的上界.已知函数. (1) 当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由； (2) 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 解：(1)时， 上单调递增， 故函数在上的值域为 ()f x ()(2)f x f x =-(,1)x ∈-∞(1)'()0x f x -<1 (0),(),(3)2a f b f c f ===,,a b c 1x <'()0f x >()f x (3)(1)f f =-11012-<< <1(1)(0)()2 f f f -<<1 (3)(0)()2 f f f < bx ax x f 2)(3++=[]1,04)(x f []0,1-)(x f D x ∈0>M M x f ≤)()(x f )(x f 21)(ax x x f ++=1-=a )(x f ()0-，∞)(x f ()0-，∞)(x f []4,1∈x 1-=a ,4 5 )21(1)(22+--=-+=x x x x f )0,()(-∞∈∴x x f 在,14 5 )210()(2=+--<∴x f )(x f ()0-， ∞).1,(-∞ 又, 不存在常数，使都成立. 故函数在上不是有界函数. (2) 若函数在上是以3为上界的有界函数, 则在上恒成立. 即 即在上恒成立. 令 ， . 令，则. 令，则. ∴ 实数的取值范围为 （盐城二模）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF =50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离(cm)x 在区间[140,180]内. 设支架FG 高为(090)h h <<㎝, 100AG =㎝, 顾客可视的镜像范围为CD (如图所示), 记CD 的长度为y （y GD GC =-）. (1) 当40h =㎝时, 试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值； (2) 当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h 的取值范围. ),0[)(,1)(+∞∈∴ ∞)(x f []4,13)(≤x f []4,1,313,3)(32≤++≤-∴≤≤-ax x x f .242 2x x a x x -≤≤--x x a x x 1 21422-≤≤--[]4,1∈x .)1 2()14(min 2max 2x x a x x -≤≤--∴?? ????∈=1,41,1t t x 则?? ????∈-≤≤--∴1,41,)2()4(min 2max 2t t t a t t t t t g --=24)(??? ???--∈++-=21,5161)81(4)(2t t g t t t h -=22)(??? ???-∈--=1,8181)41(2)(2t t h a . 81,21??? ???-- 解: (1) 因为40FG =,100AG =,所以由 GC GC AG FG AB += ,即 10040GC GC x += ,解得4000 40 GC x =-, 同理,由GD GD AG EG AB +=,即10090GD GD x += , 解得9000 90 GC x =-…………………………………2分 所以2941000()5000,[140,180]90401303600 x y GD GC x x x x x =-=?-=?∈---+……… 5分 因为2 2 2 360050000(1303600) x y x x -'=?<-+, 所以y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时, y 取得最大值为140㎝………………………………………………………………8分 另法: 可得5000 ,[140,180]3600130y x x x = ∈+-, 因为3600130x x + -在[140,180]上单调递增, 所以y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时,y 取得最大值为140㎝…………………………8分 (2)由 100GC GC h x +=,得100h GC x h =-,由10050GD GD h x += +,得100(50) 50 h GD x h +=--,所以由题意知1 GC AG AG GD <=≤,即100100(50) 10050 h h x h x h +<≤---对[140,180]x ∈恒成立……………………12分 从而2502x h x h ? 18050402 h h ? <=????≥-=??,故h 的取值范围是[)40,70…14分 (注: 讲评时可说明, 第(2)题中h 的范围与AG 的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解) （盐城二模） 已知函数|21| ||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈. (1) 若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； (2) 若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； (3) 求函数1212()()|()()| ()22 f x f x f x f x g x +-= - 在∈x [1，6]上的最小值. 第17题 A B C D E F G A 1 · 20．解:(1)因为2=a ,且∈x [2，3], 所以3|3| |2|1 31 ()2x x x x x x e e f x e e e e e e e --+--=+=+=+≥=, 当且仅当x =2时取等号,所以() f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e …………………………………4分 (2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21| ||1x a x a e e -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立……………… 6分 所以|21|1x a x a -+≤-+,即2 232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立, 则由22 20 232a a a a ≥? ? ≥-?,得所求a 的取值范围是02a ≤≤……………………………………………9分 (3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点 开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±. ①当1216a ≤-≤,即712 a ≤≤ 时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为0 1(21)1f a e -==……10分 ②当a <1时,可知2a －1 (ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为221(1)a f e -=…11分 (ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,() g x 在∈x [1，6]上的最小值为22(1)a f e -=………12分 ③当7 2 a > 时,因为2a －1>a ,可知216a ->, (ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即742 a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为27 1(6)a f e -=…13分 (ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为1 2()f a e e == ………14分 (ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小值 为5 2(6)a f e -=………………………………………………………………………………………… 15分 综上所述, 函数()g x 在∈x [1，6]上的最小值为222275001 7112 7 42 466 a a a a e a e a a e a e a a e ----? ?? ? ?<≤??<≤??>?………………………………16分 （天一）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污 染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()[]22 2,0,2413 x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数， 且1 [0,]2 a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ． （1）令21 x t x =+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围； （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标？ 17. 解：（1）当0x =时，t ＝0； 当024x <≤时，1 2x x + ≥（当1x =时取等号） ， ∴2 110,112x t x x x ?? ==∈ ?+?? +， 即t 的取值范围是10,2?? ???? ． ……………………4分 （2）当10,2a ?? ∈???? 时，记()223g t t a a =-++ 则()23,0321,32t a t a g t t a a t ? -++≤≤??=??++<≤?? ……………………6分 ∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ?? ??? 上单调递增， 且()()2171103,,0232624g a g a g g a ????? ?=+=+-=- ? ? ???????． 故()()1171,0,024********,0,34242g a a a M a a a g a ????≤≤+≤≤ ???????==????+<≤ <≤? ???. ……………………12分 ∴当且仅当4 9a ≤时，()2M a ≤. 故当409a ≤≤时不超标，当41 92 a <≤时超标． ……………………14分 （南京三模）17．（本小题满分14分） 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平 均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2 cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2 v (米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数; (2)设0 （南通三模）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上点1P 后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD 、DA 和AB 上的2P 、3P 、4P 处。 （1）若4P 与0P 重合，求tan θ的值； （2）若4P 落在A 、0P 两点之间，且02AP =。设tan t θ=，将五边形01234P PP P P 的面积S 表示为t 的函数，并求S 的最大值。 分析：为了刻画点43210,,,,P P P P P 位置，设00x B P =，通过四个相似的直角三角形结合角θ表示 A P A P D P D P C P C P B P 4332211,,,,,,,再由题意分别推算3 2 tan = θ和多边形的面积， 在得出多边形面积时用A B C D P 1 P 0 P 2 P 3 P 4 （第18题） 矩形面积减去四个直角三角形的面积. 解 ：（1）设，则，． =，． ，， ．由于与重合，，所以，即． （2）由（1），可知． 因为P 4落在A 、P 0两点之间，所以，即． S =S 四边形ABCD ． 由于 ，所以 故S 的最大值为． （南通一模）将 52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植． （1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时.应如 何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继 续种植，求植树活动所持续的时间. 解：（1）设A 组人数为，且，， 则A 组活动所需时间； B 组活动所需时间． 令，即，解得． 00P B x =10tan PB x θ=1 02tan PC x θ=-01 22tan tan tan x PC P C θθθ-= =02tan x θ-2023tan P D x θ =+- 30(3)tan 2P D x θ=+-304(3)tan P A x θ=-+404(3)tan AP x θ= -+4P 0P 403AP P B +=46tan θ=2 tan 3 θ=44 4tan AP θ =-2tan 13θ<<2 13 t <<-01P BP S ?12 2334PCP P DP P AP S S S ???---1126tan (2tan )122tan θθθ??=---- ???12144(4tan 2)(44tan )42tan 2tan θθθθ???? ------ ? ????? 245834tan tan θθ??=-+ ???123217t t ? ?=-+ ?? ?213t <<123217t t ? ?-+ ?? ?32-≤=32-32-2512 25 23x 052x < 150605()f x x x ?==1 2001002()5252g x x x ?= =--()()f x g x =6010052x x =-392 x = 所以两组同时开始的植树活动所需时间 而故． 所以当A 、B 两组人数分别为时，使植树活动持续时间最短． （2）A 组所需时间为1+（小时） B 组所需时间为（小时）， （南京一模） 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每 一个都成立,则称函数是“()型函数”. (1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由； (2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时, ,若,试求的取值范围. 19．解: (1)函数是“()型函数” 因为由,得,所以存在这样的实数对,如 (2) 由题意得,,所以当时, ,其中, 而时,,且其对称轴方程为, ① 当,即时,在上的值域为,即,则在上的值 域为,由题意得,此时无解 ②当,即时,的值域为,即,所以则在 上的值域为,则由题意得且 ,解得 **6019()10020. 52x x x F x x x x ?∈?=? ?∈-?N N ≤， ，，，≥，60(19)19F =，25(20)8 F =，(19)(20)F F >20 32，2150201 6532067 ?-?=-220032123133263 ?-?+=+()f x b a ,b x a f x a f =-?+)()(x ()f x b a ,()4x f x =b a ,() g x [0,2]x ∈1()3g x ≤≤[0,1]x ∈2()g x x =(1)1m x --+(0)m >m ()4x f x =b a ,b x a f x a f =-?+)()(16a b =1,16a b ==(1)(1)4g x g x +-=[1,2]x ∈4 ()(2) g x g x = -2[0,1]x -∈[0,1]x ∈22 ()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>2 m x =12 m >2m >()g x [0,1][(1),(0)]g g [2,1]m +()g x [0,2]44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++13 411 m m +≤???≥?+?1122m ≤≤12m ≤≤()g x [(),(0)]2 m g g 2 [1,1]4m m m +-+()g x [0,2]2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++- 2431413 m m m ? ≤?? +-??+≤??2114411 m m m ?+-≥??? ?≥?+?12m ≤≤ ③ 当,即时,的值域为,即,则在上的值域为= , 则,解得. 综上所述,所求的取值范围是 （苏州期末）已知函数()||f x x m =-和函数2 ()||7g x x x m m m =-+-. (1) 若方程()||f x m =在[4,)+∞上有两个不同的解,求实数m 的取值范围; (2) 若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[3,)x ∈+∞,使得12()()f x g x >成立,求实数m 的取值范围. 1022m <≤01m <≤()g x [(),(1)]2 m g g 2 [1,2]4m m +-()g x [0,2]224[1,2][2,]414m m m m +-+-224[1,]414 m m m m +-+- 2 2 11 44 314 m m m m ?+-≥?? ?≤??+- ?21m -≤≤m 22m -≤≤ 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 （数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1) 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． 2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 例1设a＞0，求函数 ) ln( ) (a x x x f+ - =(x∈(0，＋∞))的单调区间． 分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式 ()0 f x '≥ (递增)及 ()0 f x '< (递减)。 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。 易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。 证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2 函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 函数基本知识 抽象函数： 1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立. 证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数. 2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1( )()()1,1(,xy y x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数； 3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有 )12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________. 4. 已知定义在R + 上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时. （1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R + 上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(-- 函数专题训练（一） 一、选择题 1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f (2x )x 的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2) (理)(2013·湖北荆门期末)函数f(x)＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) 2．(文)(2012·江西文，3)设函数f(x)＝????? x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1.则f(f(3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.139 (理)已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x>0， 则f(2014)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 3．已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1， 若f[f(0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 4．(2013·银川模拟)设函数f(x)＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0， 则不等式f(x)>f(1)的解集是( A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3) 5．(文)函数f(x)＝22x －2 的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) (理)若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x ) 的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103] 6．a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f(x)＝x ，则a ＋b 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0 )2()(2 ≥? ? ? ? ? =x f x f , 又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x)的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ---- ,1 2)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用 （2） :)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.23 2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0 2)x (x f 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12 =++=-与已知得得代换用，. 23 2 |)x (f |,024)x (9f 02 ≥ ∴≥?-≥?得由 3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值； （2）对任意的11 (0,)2 x ∈，21(0,)2 x ∈，都有f (x 1)+2 高中数学函数专题 1．已知在实数域R 上可导的函数)(x f y =对任意实数21,x x 都有 ),()()(2121x f x f x x f ?=+若存在实数b a ,，使0)(0)(>'≠b f a f 且， 求证：（1）0)(>x f ；（2）),()(+∞-∞=在x f y 上是单调函数 证明：（1）2 )]2 ([)2()2()22()(x f x f x f x x f x f =?=+= 又()[()]()()0,()022222x x x x x f a f a f f a f =+-=?-≠∴≠,0)(0)]2 ([2 >>∴x f x f 即 （2）x x f b f x b f x f b f x b f x b f b f x x x ?-?=?-?=?-?+='→?→?→?1 )(lim )()()()(lim )()(lim )(000 即)() ()(]1)()[(lim )()()(1)(lim 00b f b f x f x x f x f x f b f b f x x f x x '?=?-?='∴'=?-?→?→? 0)(0)(,0)(,0)(>'∴>>'>∴x f b f b f x f )(x f ∴在R 上是单调递增函数. 2．已知抛物线C 的方程为F x y ,42 =为焦点，直线()00:1>=+-k k y kx l 与C 交于A 、 B 两点，P 为AB 的中点，直线2l 过P 、F 点。 （1）求直线2l 的斜率关于k 的解析式)(k f ，并指出定义域； （2）求函数)(k f 的反函数)(1 k f -；（3）求1l 与2l 的夹角θ的取值范围。 （4）解不等式()()1,0121log 1 ≠>>????? ?+-a a x xf a 。 解：（1）()???+==142x k y x y ???>>-=??=+-?0 0161604422 k k k y ky 10<-+= -k k k k f （3）?? ? ??∈∴<<∴<<=+-=4,0,10,10,)(1)(3πθθθtg k k k kf k k f tg Θ （4）4124121)(221 +=+=+-x x x xf ，∴原不等式为 ()0241log 2>>??? ? ? +x x a 当1>a 时，41,41222->∴->a x a x ；当10< 抽象函数问题专题 抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。 由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。 一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数 【例1】⑴（04全国IV ）设函数f (x )（x ∈R ）为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ········································································································································· （ ） A ．0 B ．1 C ．52 D ．5 ⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足 f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ······························································································· （ C ） A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数 ⑶（2011广东文10）设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g )(x )和(f ?g )(x )；对任意x ∈R ，(f g )(x )＝f (g (x ))；(f ?g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ） A. ((f g ) ?h ) (x )＝((f ?h )(g ?h ))(x ) B. ((f ?g ) h ) (x )＝((f h )?(g h ))(x ) C. ((f g ) h ) (x )＝((f h )(g h ))(x ) D. ((f ?g ) ?h ) (x )＝((f ? h )?(g ?h ))(x ) 【例2】⑴已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x ＋2)的定义域是 ； ⑵已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x 2)的定义域是 ； ⑶已知函数f (x ＋2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑷已知函数f (x 2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑸已知函数f (x )的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x )＋4f (x )的值域是 . 【例3】已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ). .word 格式. 2.1 映射与函数、函数的解析式 一、选择题： 1．设集合A{ x | 1x2}，B{ y | 1y 4} ，则下述对应法则 f 中，不能构成 A 到B 的映射的是（） A ．f : x y x2B． f : x y 3x 2 C ．f : x y x 4 D ．f : x y 4 x 2 2．若函数f (32x) 的定义域为[－1，2]，则函数 f (x) 的定义域是（） A．[5 1]B． [ －1， 2]C．[ －1，5] 1 ,D．[ ,2] 22 3，设函数 f (x) x1(x1) ）( x ，则 f ( f ( f ( 2))) =（ 11) A． 0B． 1C． 2D．2 4．下面各组函数中为相同函数的是（） A．f ( x)( x 1) 2 , g( x)x 1 B．C．f ( x)x 21, g( x)x 1 x 1 f ( x)( x 1) 2 , g( x)( x 1) 2 D ．f ( x)x 2 1 , g( x)x21 x2x2 5. 已知映射 f ：A B ，其中，集合A3,2, 1,1,2,3,4 ,集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f下的象，且对任意的 a A, 在B中和它对应的元素是 a ，则集合B中元素的个 数是( ) (A) 4(B) 5(C) 6(D) 7 7．已知定义在[0,) 的函数f ( x)x2(x2) x2(0x 2) 若 f ( f ( f (k )))25 ，则实数 k 4 2.2 函数的定义域和值域 1．已知函数 1 x 的定义域为 N ，则 M ∩ N= . f ( x) 的定义域为 M ， f[f(x)] 1 x 2. 如果 f(x) (0,1) ， 1 0 ，那么函数 g(x)=f(x+a)+f(x-a) 的定义域为 a 的定义域 2 为 . 3. 函数 y=x 2-2x+a 在 [0,3] 上的最小值是 4，则 a= ；若最大值是 4，则 a=. 2 ） 4．已知函数 f(x)=3-4x-2x , 则下列结论不正确的是（ A ．在（ - ∞， +∞）内有最大值 5，无最小值， B ．在 [-3 ，2] 内的最大值是 5，最小值是 -13 C ．在 [1 ， 2）内有最大值 -3 ，最小值 -13 ， D ．在 [0 ， +∞）内有最大值 3，无最小值 5．已知函数 y x 3 , y x 2 x 2 9 的值域分别是集合 P 、 Q ，则（ ） x 4 7 x 12 A ． p Q B ． P=Q C ．P Q D ．以上答案都不对 6．若函数 y mx 1 的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围是（ ） mx 2 4mx 3 A ． (0, 3 ] B ． (0, 3 ) C ．[0, 3 ] D ．[0, 3 ) 4 4 4 4 7．函数 y 2 x 2 4x ( x [ 0,4]) 的值域是（ ） A ．[0 ， 2] B ．[1 ，2] C ．[ －2，2] D ．[－ 2， 2] 8. 若函数 f ( x) 3x 1 的值域是 { y | y 0} { y | y 4}, 则f (x) 的定义域是 ( ) x 1 A ． [1 ,3] B ． [ 1 ,1) (1,3] C ． ( , 1 ]或[3, ) D ．[3,+ ∞ ) 3 3 3 9．求下列函数的定义域： ① y 1 x 2 x 1 2x 2 10．求下列函数的值域： ① y 3x 5 ( x 1) ② y=|x+5|+|x-6| ③ y 4 x 2 x 2 5x 3 x ④ y x 1 2x ⑤ y x 2 2 x 4 1 11．设函数 f ( x) x 2 x . 4 （Ⅰ）若定义域限制为 [0 ，3] ，求 f ( x) 的值域； （Ⅱ）若定义域限制为 [ a, a 1] 时， f ( x) 的值域为 [ 1 1 , ] ，求 a 的值 . 2 162014高中数学抽象函数专题
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