高二数学选修2-1测试卷

高二数学选修2-1测试卷

满分100分，时间2小时

一、选择题 1．抛物线2

81x y -

=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32

1

=y D ． 2-=y

2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹

方程是

（ ）

A ．

22

1169x y += B ．

22

11612x y += C ．22

143x y += D ．22

134

x y += 3．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形 4．设a R ∈，则1a >是

1

1a

< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 5．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点， 则

BD BC AB 2

121++等于（ ） A ．AD B ．GA

C ．AG

D ．MG

6．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622

2

=++-+y x y x 的圆心的抛物线 的方程是（ ）

A ．2

3x y =或2

3x y -= B ．2

3x y =

C ．x y 92

-=或2

3x y = D ．2

3x y -=或x y 92

=

C

B

7．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A ．)45,23(

B ．(1，1)

C ．)4

9

,23( D ．(2，4) 8．向量)2,1,2(-=a ，与其共线且满足18-=?x a 的向量x 是 （ ）

A ．)4

1,31,21(- B ．（4，－2，4） C ．（－4，2，－4） D ．（2，－3，4）

9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 点P 是平面ABCD 上的动点，点M 在棱AB 上，

且1

3

AM =

，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的 距离的平方差为4，则动点P 的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．抛物线

C ．双曲线

D ．直线

10．过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2

212

x y +=交于A 、C 与B 、D ，

则四边形ABCD 面积最小值为( ) A 、

8

3

B 、

C 、

D 、

43

11.已知抛物线2

1x y =+上一定点(1,0)A -和两动点,P Q ,当PA PQ ⊥时,点Q 的横坐标的取值范围是( )

A .(,3]-∞-

B .[1,)+∞

C .[3,1]-

D .(,3]

-∞-[1,)+∞

12.双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=3|PF 2|,

则双曲线离心率的取值范围为 （ ）

A.(1,2)

B.(]1,2

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

安庆一中选修2-1综合测试

一．选择题（3×12=36分） 姓名--------

二、填空题（4×3=12分）

13．命题“存在有理数x ，使2

20x -=”的否定为 。

14．M 是椭圆22

1259

x y +

=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=，则12F MF ? 的面积等于 ．

15. 在棱长为1的正方体1AC 中， 则平面1C BD 与平面CB 1D 1所成角余弦值 为 ．

16．设椭圆

22

12516

x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1

()2

OM OP OF =

+，则||OM = ． 三、解答题（本大题共五题，共52分。解答题应有适当的文字说明、证明过程或演算步 骤，在答题卷上相应的答题区域内作答。）

17. （本小题满分8分）已知命题p ：“直线y=kx+1与椭圆152

2=+a

y x 恒有公共点” 命题q ：只有一个实数x 满足不等式2

220x ax a ++≤. 若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．

18. （本小题满分10分）双曲线C 的中心在原点，右焦点为???

?

??0,332F ，渐近线方程为

x y 3±=.

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线l ：1+=kx y 与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB

为直径的圆过原点；

19.（本小题满分10分）

如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ?中 0

90,1=∠==BCA CB CA ，棱21=AA ，N M 、分别为A A B A 111、D 的中点. （I ）求 11,cos CB BA <>的值； （II ）求证：MN C BN 1平面⊥ （III ）求的距离到平面点MN C B 11.

A

B

C

A 1

B 1

N

M

C 1

20．（本小题满分12分）

已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，

⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且

1

2

PA AD DC ===

， 1AB =，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小余弦值。

21．（本小题满分12分）

已知1212(2,0),(2,0),||||2

F F P PF PF --=点满足，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点.

（i ） 无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使M P ⊥MQ 恒成

立，求实数m 的值.

（ii ）过P 、Q 作直线21

=

x 的垂线P A 、QB ，垂足分别为A 、B ，记|

|||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围.

参考答案

一、选择题：

二．填空

13 任意有理数x ，使2

20x -≠ 14． 33 15 1/3或-1/3 ． 16 2

三、解答题：

17. a<0或0

=-y x

.

（Ⅱ）① 由22

1,

31,

y kx x y =+??-=?

得

()02232

2

=---kx x

k ，

由03,02≠->?k 且，得,66<<-k 且

3±≠k .

设

()11,y x A 、()22,y x B ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OB OA ⊥， 所以

12120x x y y +=.

又12223k x x k -+

=

-，122

2

3

x x k =-， 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=，

所以

22

103

k +=-，解得

1±=k .

19：以C 为原点，CA 、CB

、CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系O －xyz

（I ）依题意得)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11B C A ,∴ )2,1,0(),2,1,1

(11=-=CB BA ∴

3221)1(0111=?+?-+?=?CB

5

6== ,

∴11,cos CB <

10

30

=

(II) 依题意得)1,0,1(),2,1,0(),2,0,0(),2,0,1(111N B C A ∴ )2,2

1

,21(M , ∴ )0,2

1

,21(1=M

C ,)1,0,1(1-=N C ,)1,1,1(-=BN

∴ 001)1(2

1

1211=?+-?+?=?C

01)1()1(0111=?-+-?+?=?BN

N C

∴ C ⊥1,C ⊥1

∴ N C BN M C BN

11,⊥⊥

∴ MN

C BN 1平面⊥ (Ⅲ)

3

3

20．.证：以

A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2

A B C D P M .

（Ⅰ）证明：因

.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=?==所以故

由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==

.

510

|

|||,cos ,2,5||,2||=?>=<=?==PB AC PB AC 所以故

（Ⅲ）几何法：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,λ= ..21

,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x

要使14

,00,.25

AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得

),5

2

,1,51(),52,1,51(,.

0),5

2

,1,51(,54=?-===?=N 有此时能使点坐标为时可知当λ

ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为

所求二面角的平面角.

30304||,||,.555

2

cos(,).

3||||2

arccos().

3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN =

==-∴==-?-故所求的二面角为

法2：分别求出两面的法向量，易求之 21 解：（1）由||2||||

2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由

3,22,22

=∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(13

2

2

≥=-x y x

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为

),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联

立消y 得0344)3(2222

=++--k x k x k

，

???

?

?

??

??>-+=?>-=+>?≠-∴0

3340340

0322212

2212k k x x k k x x k 解得k 2 >3

（i ）2121

))((y y m x m x MQ MP +--=?

212122222

1212222222

22222

()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)4333(45).3

x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k

k k m k m k =--+--=+-+++++++=-++---+=+-

0,=?∴⊥MQ MP ，

故得0)54()1(3222

=--+-m m k m

对任意的

32>k 恒成立，

.1,0

540122

-=?????=--=-∴m m m m 解得

∴当m =－1时，MP ⊥MQ .

当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立， 综上，当m =－1时，MP ⊥MQ .

（ii ）21

,2,1=

∴==x c a

直线 是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：||2

1

|||,|21||1||222QF QB PF PF e PA ===，

方法一：|

|2||1||2|

|12122y y x x k AB PQ --+=

=∴λ

.1

121||21|)(|2||12212122k

k k x x k x x k +=+=--+=

3321,3

110,322<

<<<

∴>λ故k k ，

注意到直线的斜率不存在时，2

1

|,|||=

=λ此时AB PQ ， 综上，.33,

21

?????

??∈λ 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点， 3

23

πθπ

<

<∴，过Q 作QC ⊥PA ，垂足为C ，则

.sin 21

)

2

cos(21|

|2|

|||2|||,2

|

θ

θπ

λθπ

=

-=

==

∴-=∠CQ PQ AB PQ PQC

由

,1sin 23

,323≤<<<θπθπ

得 故：.33,21???

????∈λ