1 10.3 组合六教学目标: 1掌握组合数的性质并能应用组合数的性质解题. 2培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1有10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子?7?6要求每个盒子非空共有多少种放法?7?7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数共有多少种放法方法一:?7?6设xyz10 x≥y≥z 其正整数解为x8y1z1x7y2z1 x6y3z1x6y2z2
x5y4z1x5y3z2 x4y4z2x4y3z3 则放法有:.36443313AA ?7?7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子再按?7?6放入每个盒子的小球数gt 0 设xyz7 x≥y≥z 其正整数解为
x5y1z1x4y2z1 x3y3z1x3y2z2 则放法有:.1533313AA 方法二隔板法.如: 对应: ?7?63629C ?7?71526C 答:?6?7 练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队参加市中学数学应用题竞赛活动使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种611C462 练习2. 6人带10瓶汽水参加春游每人至少带1瓶汽水共有多少种不同的带法12659C 练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学每所小学至少得到2台共有种不同送法. 例2. 已知方程xyzw100求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x1x2x350求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号2 隔板法就是把“”当成隔板把考
察的对象分成若干份例3. 一座桥上有编号为123?6?710的十盏灯为节约用电又不影响照明可以把其中的三盏关掉但不能关掉相邻的两盏或三盏也不能关掉两端的路灯问不同的关灯方法有多少种练习5. 一条长椅上有9个座位3个人坐若相邻2人之间至少有2个空椅子共有几种不同的坐法例4. 一条长椅上有七个座位四人坐要求三个空位中有两个空位相邻另一个空位与这两个相邻空位不相邻共有几种坐法课堂小结 1. 隔板法2. 插入法3. 捆绑法. 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一主要用于解决quot相邻问题quot及quot不邻问题quot。总的解题原则是quot相邻问题捆绑法不邻问题插空法quot。在实际公务员考试培训过程中我发现学员经常碰到这样的困惑就是一样类型的题目不过表达的形式有所变化就很难用已解过的题目的方法去解决它从而降低了学习效率。下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式以实际例题详细讲解。quot相邻问题quot 捆绑法即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时先整体考虑也就是将相邻元素视作一个大元素进行排序然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题内部各元素间排列顺序的解题策略。例1 若有A、B、C、D、E五个人排队要求A和B两个人必须站在相邻位置则有多少排队方法【解析】题目要求A
和B两个人必须排在一起首先将A和B两个人quot捆绑quot 视其为quot一个人quot也即对quotABquot、C、D、Equot 四个人quot进行排列有种排法。又因为捆绑在一起的A、B 两人也要排序有种排法。根据分步乘法原理总的排法有种。例2 有8本不同的书其中数学书3本外语书2本其它学科书3本若将这些书排成一列放在书架上让数学书排在一起外语书也恰好排在一起的3 排法共有多少种结果用数值表示解把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书与其它3本书一起看作5个元素共有A55种排法又3本数学书有A33种排法2本外语书有A22种排法根据分步计数原理共有排法A55A33A221440种. 【解析】把3本数学书quot捆绑quot在一起看成一本大书2本外语书也quot捆绑quot在一起看成一本大书与其它3本书一起看作5个元素共有种排法又3本数学书有种排法2本外语书有种排法根据分步乘法原理共有排法种。【王永恒提示】运用捆绑法解决排列组合问题时一定要注意quot 捆绑quot起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是quot 先捆绑再排列quot。6个球放进5个盒子有多少种不同的方法其实由抽屉原理可知必然有两个球在一起。所以答案是C6 2X A55 其实就是6取2与5的阶乘的积1、有10本不同的书其中数学书4本外语书3本语文书3本。若将这些书排成一列放在书架上让数学书排在一起外语书也恰好排
在一起的排法共有种。2、5个人站成一排要求甲乙两人站在一起有多少种方法4 3、6个不同的球放到5个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球一共有多少种方法4、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目4个舞蹈节目要排在一起有多少不同的安排节目的顺序1、有ABCDE共5个人并排站在一起如果AB必须相邻并B在A的右边那么不同的排法有多少种2、将袋子里面的所有球排成一排要求红色的球彼此相邻有种方法3、将袋子里面的所有球排成一排要求红色的球互不相邻有种方法部分题目答案2、【解】P55×P55 3、【解】P44×P55 1、将袋子里面的所有球分成三组每组至少一个有种方法2、将袋子里面的所有球分成三组每组恰好三个有种方法3、将袋子里面的所有球分成至多三组每组至少一个有种方法5 4、将袋子中的五个红球排成一排若要求1号球不在第一个位置3号球不在第二个位置5号球不在第三个位置7号球不在第四个位置9号球不在第五个位置有种方法quot不邻问题quot插空法即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时先将其它元素排好再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置从而将问题解决的策略。例3 若有A、B、C、D、E五个人排队要求A和B两个人必须不站在一起则有多少排队方法【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列有种排法若排成D C E则D、C、Equot中间
quot和quot两端quot共有四个空位置也即是D C E 此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置有种插法。由乘法原理共有排队方法。例4 在一张节目单中原有6个节目若保持这些节目相对顺序不变再添加进去3个节目则所有不同的添加方法共有多少种【解析】直接解答较为麻烦可根据插空法去解题故可先用一个节目去插7个空位原来的6个节目排好后中间和两端共有7个空位有种方法再用另一个节目去插8个空位有种方法用最后一个节目去插9个空位有方法由乘法原理得所有不同的添加方法为504种。例5 一条马路上有编号为1、2、?6?7?6?7、9的九盏路灯为了节约用电可以把其中的三盏关掉但不能同时关掉相邻的
两盏或三盏则所有不同的关灯方法有多少种【解析】若直接解答须分类讨论情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素然后用不亮的三盏灯去插7个空位共有种方法请您想想为什么不是因此所有不同的关灯方法有种。【王永恒提示】运用插空法解决排列组合问题时一定要注意插空位置包括先排好元素quot中间空位quot和quot两端空位quot。解题过程是quot先排列再插空quot。例6 练习一张节目表上原有3个节目如果保持这3个节目的相对顺序不变再添加进去2个新节目有多少种安排方法国考2008-57 A20 B12 C6 D4 6 7 8 解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题它联系实际生动有趣但题型多样思路灵活不易
掌握实践证明掌握题型和解题方法识别模式熟练运用是解
决排列组合应用题的有效途径下面就谈一谈排列组合应用
题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排列. 例1. 五人并排站成一排如果必须相邻且在的右边那么不同的排法种数有9 A、60种B、48种C、36种D、24种解析把视为一人且固定在的右边则本题相当于4人的全排列种选. 2.相离问题插空排:元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定的相离的几个元素插入上述几
个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行如果甲乙两个必须不相邻那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析除甲乙外其余5个排列数为种再用甲乙去插6个空位有种不同的排法种数是种选. 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序可用缩小倍数的方法. 例3. 五人并排站成一排如果必须站在的右边可以不相邻那么不同的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种解析在的右边与在的左边排法数相同所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半即种选. 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上可先把某个元素按规定排入第二步再排另一个元素如此继
续下去依次即可完成. 例4.将数字1234填入标号为1234的四个方格里每格填一个数则每个方格的标号与所填数字均
不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种解析先把1填入方格中符合条件的有3种方法第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格又有三种方法第三步填余
下的两个数字只有一种填法共有3×3×19种填法选. 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组可用逐
步下量分组法. 例5.1有甲乙丙三项任务甲需2人承担乙丙各需一人承担从10人中选出4人承担这三项任务不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析先从10人中选出2人承担甲项任务再从剩下的8人中选1人承担乙项任务第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务不同的选法共有种选. 212名同学分别到三个不同的路口
进行流量的调查若每个路口4人则不同的分配方案有A、
种B、种C、种D、种答案. 6.全员分配问题分组法: 例6.14名优秀学生全部保送到3所学校去每所学校至少去一名则不同的保送方案有多少种解析把四名学生分成3组有种方法再把三组学生分配到三所学校有种故共有种方法. 说明分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先
分组再分配. 10 25本不同的书全部分给4个学生每个学生至少一本不同的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种答案. 7.名额分配问题隔板法: 例710个三好学生名额分到7个班级每个班级至少一个名额有多少种不同分配方案解析10个名额分到7个班级就是把10个名额看成10个相
同的小球分成7堆每堆至少一个可以在10个小球的9个空位中插入6块木板每一种插法对应着一种分配方案故共有不同的分配方案为种. 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设其中甲同学不到银川乙不到西
宁共有多少种不同派遣方案解析因为甲乙有限制条件所以按照是否含有甲乙来分类有以下四种情况①若甲乙都不
参加则有派遣方案种②若甲参加而乙不参加先安排甲有3种方法然后安排其余学生有方法所以共有③若乙参加而
甲不参加同理也有种④若甲乙都参加则先安排甲乙有7种方法然后再安排其余8人到另外两个城市有种共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种. 9.多元问题分类法元素多取出的情况也多种可按结果要求分成不相容的几类情况
分别计数最后总计. 例91由数字012345组成没有重复数字的六位数其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种解析按题意个位数字只可能是01234共5种情况分别有个个合并总计300个选. 2从123…100这100个数中任取两个数使它们的乘积能被7整除这两个数的取法不计顺序共有多少种解析被取的两个数
中至少有一个能被7整除时他们的乘积就能被7整除将这100个数组成的集合视为全集I能被7整除的数的集合记做共有14个元素不能被7整除的数组成的集合记做共有86
个元素由此可知从中任取2个元素的取法有从中任取一个又从中任取一个共有两种情形共符合要求的取法有种. 3从123…100这100个数中任取两个数使其和能被4整除的取法不计顺序有多少种解析将分成四个不相交的子集能被4整除的数集能被4除余1的数集能被4除余2的数集能被4除余3的数集易见这四个集合中每一个有25个元素从中任取两个数符合要从中各取一个数也符合要求从中任取两个数也符合要求此外其它取法都不符合要求所以符合要求的取法共有种. 10.交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集可用集合中求元素个数公式. 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛如果甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有多少种不同的参赛方案解析设全集6人中任取4人参赛的排列A甲跑第一棒的排列B乙跑第四11 棒的排列根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有种. 11.定位问题优先法某个或几个元素要排在指定位置可先排这个或几个元素再排其它的元素。例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念若老师不站两端则有不同的排法有多少种解析老师在中间三个位置上选一个有种4名同学在其余4个位置上有种方法所以共有种。. 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑再分段处理。例12.16个不同的元素排成前后两排每排3个元素那么不同的排法种数是A、36种B、120种C、720种D、1440
种解析前后两排可看成一排的两段因此本题可看成6个不同的元素排成一排共种选. 28个不同的元素排成前后两排每排4个元素其中某2个元素要排在前排某1个元素排在后排有多少种不同排法解析看成一排某2个元素在前半段四个位置中选排2个有种某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种其余5个元素任排5个位置上有种故共有种排法. 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台其中至少要甲型和乙型电视机各一台则不同的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种解析1逆向思考至少各一台的反面就是分别只取一种型号不取另一种型号的电视机故不同的取法共有种选. 解析2至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况甲型1台乙型2台甲型2台乙型1台故不同的取法有台选. 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素再安排到一定的位置上可用先取后排法. 例14.1四个不同球放入编号为1234的四个盒中则恰有一个空盒的放法有多少种解析先取四个球中二个为一组另二组各一个球的方法有种再排在四个盒中每次排3个有种故共有种. 29名乒乓球运动员其中男5名女4名现在要进行混合双打训练有多少种不同的分组方法解析先取男女运动员各2名有种这四名运动员混和双打练习有中排法故共有种. 15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中只有一部分合条件可以从
总数中减去不符合条件数即为所求. 例15.1以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种B、64种C、58种D、52种解析正方体8个顶点从中每次取四点理论上可构成四面体但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体所以四面体实际共有个. 12 2四面体的顶点和各棱中点共10点在其中取4个不共面的点不同的取法共有A、150种B、147种C、144种D、141种解析10个点中任取4个点共有种其中四点共面的有三种情况①在四面体的四个面上每面内四点共面的情况为四个面共有个②过空间四边形各
边中点的平行四边形共3个③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种. 16.圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列顺
序例如按顺时钟不同的排法才算不同的排列而顺序相同即
旋转一下就可以重合的排法认为是相同的它与普通排列的
区别在于只计顺序而首位、末位之分下列个普通排列在圆排列中只算一种因为旋转后可以重合故认为相同个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排其它的元
素全排列. 例16.5对姐妹站成一圈要求每对姐妹相邻有多少种不同站法解析首先可让5位姐姐站成一圈属圆排列有种然后在让插入其间每位均可插入其姐姐的左边和右边有2种方式故不同的安排方式种不同站法. 说明从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法. 17.可重复的排列
求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象元素不受位置的约束可逐一安排元素的位置一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法. 例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法解析完成此事共分6步第一步将第一名实习生分配到车间有7种不同方案第二步将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案依次类推由分步计数原理知共有种不同方案. 18.复杂排列组合问题构造模型法: 例18.马路上有编号为123…9九只路灯现要关掉其中的三盏但不能关掉相邻的二盏或三盏也不能关掉两端的两盏求满足条件的关灯方案有多少种解析把此问题当作一个排对模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法所以满足条件的关灯方案有10种. 说明一些不易理解的排列组合题如果能转化为熟悉的模型如填空模型排队模型装盒模型可使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例19.设有编号为12345的五个球和编号为12345的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同问有多少种不同的方法解析从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3个球与3个盒子序号不能对应利用枚举法分析如果剩下345号球与345号盒子时3号球不能装入3号盒子当3号球装入4号盒子时45号球只有1种装法3号球装入5号盒子时45号球也只有1种装法所以剩下三球只有2种装
法因此总共装法数为种. 20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.130030能被多少个不同偶数整除解析先把30030分解成质因数的形式300302×3×5×7×11×13依题意偶因数2必取3571113这5个因数中任取若干个组成成积所有的偶因数为13 个. 2正方体8个顶点可连成多少队异面直线解析因为四面体中仅有3对异面直线可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个所以8个顶点可连成的异面直线有3×58174对. 21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 例21.1圆周上有10点以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个解析因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形显然有个所以圆周上有10点以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个. 2某城市的街区有12个全等的矩形组成其中实线表示马路从到的最短路径有多少种解析可将图中矩形的一边叫一小段从到最短路线必须走7小段其中向东4段向北3段而且前一段的尾接后一段的首所以只要确定向东走过4段的走法便能确定路径因此不同走法有种. 排列组合问题的求解策略本周回顾方肇飞归纳版1.计数原理①加法原理
Nn1n2n3?6?7nM 分类②乘法原理Nn1·n2·n3·?6?7nM 分步2. 排列有序与组合无序排列一般为总元素中选部分然后对选出元素进行安排要各得其所。一对一 3.公式和性质自己写4. 排列组合混合题的解题原则先选后排先分.
隔板法在解排列组合问题中的应用 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法. 解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔 板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球 放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数 原理，共有222C ×1=231种不同的方法. 点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法， 再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？ 分析：本题是名额分配问题，用隔板法. 解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故 隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于 一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有
“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种 例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3 本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法
【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目 去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57） A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求
数算]排列组合问题之插板法应用小结！ 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 =================================================== 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 ------------------------------------------------- 例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？ （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？ （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？ 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3 11C =165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C =种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C =种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C =种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3 15455C =种。 （3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。 法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C = 由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。 例2、（1）方程123410x x x x +++=的正整数解有多少组？ (2) 方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少组？ （3）方程1231023x x x x ++++=L 的非负整数整数解有多少组？
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合 技巧，如排除法、插板法等． 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某 项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的 组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321 m m n n m m P n n n n m C m m m P ?-?-??-+==?-?-????（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式． 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个 元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法． 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n n C =，01n C =． 7-5-4.组合之插板法 知识要点 教学目标
插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法 隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。应用隔板法必须满足3个条件: 这n个元素必须互不相异 所分成的每一组至少分得1个元素 分成的组别彼此相异 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方 法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法( 2.分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(
3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件( 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步 与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C3 1 然后排首位共有C4 3 最后排其它位置共有A4 113 由分步计数原理得C4C3A4?288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法, 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解, 下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 （2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种 （3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11 个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“ 1”看成隔板，则如图00 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4 四个盒子相应放入2个，4个，4个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。 1 （2）法1 （分类）①装入一个盒子有C4 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小 21 球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C111 66种; ③装入三个盒子，即12个相同 的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C：Gi=220种;④装入四个盒子，即12个 相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131 165种;由加法原理得共有 4+66+220+165=455 种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C135 455 种。 （3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有C41C4210 种。 法2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310 由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
排列组合问题之插板法： 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？ 例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法? 【解析】：题目中球的分法共三类： 第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为C37=35。 第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数2*C27=42。第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数C17=7。 所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84：。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下3个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空得数量) 【基本题型】 有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？ 图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得, 【总结】?需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。? 注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。 插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法. 应用插板法必须满足三个条件: (1) 这n个元素必须互不相异 (2)所分成得每一组至少分得一个元素?(3)分成得组别彼此相异 举个很普通得例子来说明 把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？ 问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用 e二次插板法?例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？?－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种 【基本解题思路】 将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到m组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* “隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？ （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？ 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12个相同 的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即 12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四 个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球
巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练:
隔板法题型总结 隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用隔板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须相同（2）所分成的每一组至少分得一个元素 （3）分成的组别彼此相异 组合不排列的情况可以用隔板法 例如：某校组建一球队需16人，该校共10个班级，且每个班至少分配一个名额, 共有几种情况？ 解:C[（16-1），（10-1）]=C（15，9）=1816214400种例1. 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 [分析]将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C92=36（个）。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明。 技巧一：添加球数用隔板法。 ○ ○ ○∣○ ○ ○∣○ ○ ○ ○ 例2. 求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数。 [分析]注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解的个数了，故解的个数为C122=66（个）。 [点评]本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。 技巧二：减少球数用隔板法： 例3. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C133=286（种）。 解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有C133=286（种）。 [点评] 两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。
关于隔板法的原理和应用 一：原理 隔板法是一种排列组合中的一种解题应用模型，是将“实际分配问题”或较复杂的数学“球盒问题”转化为“球板模型”的一种重要方式。其中用球代表相同元素，用板所隔出的几个部分代表相应的分配集合，也就是“球”。通过隔板的不同插入方式，得到不同的分配结果。这里需注意的是，既然是插隔板，那么每个空只能插一个，即两个隔板间至少一个元素。（而板的插入方式则可由简单的计数原理插空法计算得出） 二：应用（为方便叙述，以下以球盒模型进行分析） ●应用条件 必须是相同元素分配到不同集合的相关问题，即’同球异盒’问题。具体说，主要有 两种。一种是“每盒至少一个球”，另一 种是“允许有盒子是空的”，前者较为常 见相对简单，是隔板法最原始的原理体 现。下面分别介绍。 ●模型应用 每盒至少有一个元素 允许有盒子空 此时实际已经超出原始隔板法的研究范围，但仍可通过转化，化为隔板法能解决的 问题。
●解题应用 1.求正整数范围内的不定方程解得组数。 例：在正整数范围内方程X＋Y＋Z＝5有几组解。 解析：由于在正整数范围，则可联系到计数原理，转化为：将5个球分给 X,Y,Z这三个“盒”。即转化为了上述的例一的球盒模型问题。 ?拓展：若是a＋b＋c＋3d＋3e＋4f＝23该怎么解（提示：合并同系项， 分类讨论后结合隔板法解） 2.求有关盒序号问题。 例：将18个相同的球全部装入编号分别为1,2，3的三个盒子中，要求每 个盒子的球数不少于其编号数，则有几种不同装法？ 解析：由于球是相同的，可将1,2,3中先分别放入0,1,2个球，转化为，每个 盒至少一个球的隔板法模型来解，即有14空插2板，91种。（也可先放1,2,3 个球，用“允许盒空”模型解）
行测答题技巧：插板法解决排列组合问题 一、直接使用插板型 例1、把9个苹果分给5个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法一共有多少种?()(2010年河南政法干警考试A卷第41题) A.30 B.40 C.50 D.60 答案：D。该问题用分类计数法较复杂，但可以将9个苹果排成一行,9个苹果中间就出现8个空挡，再用,4个挡板把9个苹果分成有序的5份，每个人就依次按序分到对应的n个苹果(可能是1个﹑2个﹑3个﹑4个、5个)。即在8个空挡中插入4个挡板，由4个挡板把球分成5份,共有C84种方法。 在这道题目中，直接符合了使用插板法的2点要求：(1)每个苹果都相同;(2)每个人都至少拿到1个苹果。 二、一组多元素型 例2、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?()(2010年国家公务员考试行测第46题) A.12 B.10 C.9 D.7 答案：B。先拿出24份材料，每个部分发8份，这时变成"6份材料发给3个部门，每个部门至少发1份"，再利用插板法，在5个空中插上2个挡板：C52=10(种)发放办法。 在这道题中，显然不符合使用插板法的第二点要求："每组中至少分得一个元素"。题目要求"每个部分至少发放9份材料"，因此可以把题目稍作变形，先给每个部分发8份材料，题目就变成了"每个部分至少发1份材料"，符合使用插板法的2个要求，可以使用插板法。 三、允许空组型
例3、6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共有多少种分配方法?() A.16 B.20 C.24 D.28 答案：D。先"借"给每个小朋友一个苹果，现在一共有6+3=9个苹果。我们现在将这9个苹果分给3个小朋友，为了偿还刚才"借"的苹果，要求现在分配的时候"每个小朋友至少得到1个苹果"，在8个空中插上2个挡板：C82=28(种)方法。 这道题中，题目要求"6个相同的苹果分给3个小朋友"，允许有空组的存在，显然不符合使用插板法的第二点要求："每组中至少分得一个元素"，因此，先"借"给每个小朋友一个苹果，之后要求每个小朋友至少分得1个苹果，再把分得的苹果中拿出一个偿还，这就使题目变形符合使用插板法的2点要求，可以使用插板法。 从上面几道题目中不难看出，元素分组问题使用插板法后能变得较为简单。而使用插板法有2个要求：①元素相同;②每组中至少分一个元素。如果题目中的要求不符合其中一项，可将题目变形，使题意符合这2个要求，再使用插板法。
在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。 例1. 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 ［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C92=36（个）。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明。 技巧一：添加球数用隔板法。 ○ ○ ○∣○ ○ ○∣○ ○ ○ ○ 例2. 求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数。 ［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解的个数了，故解的个数为C122=66（个）。 ［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法： 例3. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由
例1知方法有C133=286（种）。 解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有C133=286（种）。 ［点评］ 两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。 例4. 为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ ［分析］ 记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例2知有C51种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同理知有C61种方法。故由分步计数原理知，方法共有C51* C61 (种)。［点评］ 对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。 解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。