PMP习题汇总及答案解析
第二章项目运行环境
1.以下哪项是对项目管理过程组和项目生命周期之间的关系的正确描述？
A.每个项目管理过程组都可以在项目生命周期的任一阶段开展
B.各项目管理过程组与项目生命周期的各阶段是一对一的对应关系
C.启动过程组只能在“开始项目“阶段开展
D.收尾过程组只能在“结束项目“阶段开展
答案A
【试题解析】B,C,D错误，因为项目管理过程组中的过程所包含的活动，可以在每个项目阶段火灾整体项目层面重复执行，因此并不是和阶段时一对一的关系，也不是只能在某个阶段开展。A正确，符合定义。
2.PMO最基本的职责是？
A.为项目制定项目管理计划
B.执行某个具体的项目
C.为项目提供咨询和知道
D.项目变更控制
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P49：PMO向项目经理提供的支持中有指导、辅导、培训和监督。其他三个都是项目经理的职责。
3.从组织过程资产中可以获得以下哪项信息？
A.组织文化
B.商业数据库
C.组织模板、标准
D.员工能力
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P40：组织过程资产的“过程、政策和程序”中有模板和标准。
4.在什么组织结构中可以见到全职的项目经理？
A.紧密矩阵
B.职能型
C.项目型
D.弱矩阵
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P47表2-1，强矩阵、项目型的有全职的项目经理。另注意“紧密矩阵”不是组织结构，是集中办公的另外一种说法。
5.在下列哪一种组织结构中，项目成员在收尾阶段最感到忧心忡忡？
A.职能型
B.矩阵型
C.项目型
D.紧密矩阵型
答案C
【试题解析】项目型组织结构中，项目结束后，由于不是固定回到原本的职能部门，而未来去哪个项目并不确定，因此项目成员会在项目结束时有无所适从感。
6.在以下哪种项目组织中，项目经理能对项目资源进行最有力的控制？
A.职能型组织
B.项目型组织
C.平衡式矩阵组织
D.强矩阵组织
答案B
【试题解析】PMBOK第六版书P47表2-1，在项目型组织中，资源的可用性是高到几乎全部的，所以项目经理能对资源进行最有力的控制。
7.项目应该在何时更新组织过程资产？
A.完成一个阶段时
B.完成一个里程碑时
C.项目全部完成时
D.项目全过程中
答案D
【试题解析】PMBOK第六版书P39：由于组织过程资产存在于组织内部，在整个项目期间，项目团队成员可以对组织过程资产进行必要的更新和增补。
8.项目目标、里程碑计划都制定好了，项目经理和职能经理正在讨论项目成员
人选，请问这是哪一类的组织形式？
A.职能型
B.矩阵型
C.项目型
D.紧密矩阵
答案B
【试题解析】项目有二位领导：项目经理、职能经理。他们要互相讨论决定结果，所以是互相有一定的职权，因此符合矩阵型的特征。
9.关于事业环境因素，以下哪个说法是错误的？
A.事业环境因素可能对项目产生积极或消极的影响
B.事业环境因素包括组织治理和组织结构
C.事业环境因素可以来自组织内部或外部
D.事业环境因素是项目团队不能控制的，一定会限制项目管理的灵活性的
因素
答案D
【试题解析】PMBOK第六版书P38：事业环境因素可能会提高或限制项目管理的灵活性。
10.你是一位项目经理，服务于一家专门从事高端技术产品开发的公司，你正在
为一个跨部门的新项目考虑合适的组织结构。可能选择的方案是？
A.职能型
B.紧密式矩阵
C.矩阵型
D.项目型
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P47表2-1，题目中关键字为“跨部门”，矩阵型的特征。
11.经过实地考察，项目经理发现当地的关税非常高，原材料进口很不划算。这
个发现应该被记录为
A.组织过程资产
B.风险
C.制约因素
D.事业环境因素
答案D
【试题解析】题干关键词：关税。PMBOK第六版书P39：关税属于组织外部的
事业环境因素中的“财务考虑因素”。
12.项目管理办公室（PMO）的主要职能通常包括以下几个方面，除了
A.控制分配给某具体项目的资源，并负责实现该项目的目标
B.识别与开发项目管理方法、最佳实践和标准
C.协调各项目之间的沟通
D.通过项目审计来监督对项目管理标准、程序、模板的履行情况
答案A
【试题解析】PMBOK第六版书P49，A的前半句错在不是仅控制分配给某具体项目的资源，是对全部项目的共享资源进行管理。A的后半句错在负责实现项目目标的人是项目经理，不是PMO。
13.项目经理即将完成一个项目，团队将经验教训，调查，风险和问题日志等项
目文件资料存档，为什么很重要？
A.它应该是每个收尾阶段的组成部分
B.它会成为历史数据库的组成部分
C.它会改善实施组织中的团队激励
D.它会提高对未来项目的管理
答案D
【试题解析】PMBOK第六版书P47，经验教训属于组织过程资产中的“组织知识库”，在结束项目或阶段过程中，需要吧项目经验教训和项目信息归档，作为组织过程资产的积累，供组织未来项目作为参考使用，以提高未来项目成功的可能。
14.矩阵式组织结构最突出的优点是
A.有利于充分利用资源
B.需要向两个老板汇报
C.可兼顾项目工作与职能工作
D.项目经理权力大，对资源有控制权
答案A
【试题解析】选项B是矩阵型组织结构的缺点，选项C是职能型和矩阵型的实际情况，即成员既要做项目过那个字，又要做职能工作，但并不是有点；选项D 是项目型组织结构的有点，选项A是矩阵型组织结构的优点。
15.公司既有职能部门也有项目部，但职能经理对每个人的绩效考核输入占80%，
项目经理只有20%的绩效考核权，这很可能是哪种组织结构形式的公司？
A.职能型
B.弱矩阵型
C.强矩阵型
D.虚拟型
答案B
【试题解析】题干描述有职能部门也有项目部门，其中职能经理的绩效考核权要大于项目经理，因此综合判断是弱矩阵。
16.在管理具体项目时，项目管理团队应该根据具体需要裁剪
A.组织过程资产
B.事业环境因素
C.组织结构
D.组织文化
答案A
【试题解析】B、C、D都是事业环境因素，是项目团队不能控制的，所以不能进行裁剪，A正确，PMBOK第六版书P40：有些组织鼓励团队裁剪项目的模板、生命周期和核对单。在这种情况下，项目管理团队应根据项目需求裁剪这些资产。
17.信息技术软件属于下列哪一项？
A.事业环境因素
B.组织过程资产
C.变更控制系统
D.配置管理系统
答案A
【试题解析】PMBOK第六版书P38：“信息技术软件“属于组织内部的事业环境因素。
18.关于过程组和项目阶段的说法，正确的是？
A.过程组不同于项目生命周期的阶段，在一个阶段中可能会执行全部过程
组
B.过程组不同于项目生命周期的阶段，在一个过程组中可能会执行全部阶
段
C.过程组就是项目生命周期的阶段，在一个阶段中可能会执行全部过程组
D.过程组就是项目生命周期的阶段，在一个过程组中可能会执行全部阶段答案A
【试题解析】过程组不同于项目生命周期的阶段。在一个阶段中或在项目层面上都很可能会执行全部过程组。
19.某项目经理在管理项目的过程中，发现自己的项目管理知识和经验有所欠缺，
他应该向谁求助？
A.项目发起人
B.高级管理层
C.项目管理办公室
D.其他项目经理
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P49：PMO向项目经理提供的支持之一：“知道、辅导、培训和监督“。
20.项目经理刚刚结束的这个项目很不顺利，几乎每个步骤都遇到许多风险和问
题，于是他决定将这些信息记录下来，供未来的项目作参考，请问项目经理应该做什么？
A.更新项目管理计划
B.变更请求
C.经验教训总结
D.存档项目信息
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P41：题目说的记录信息供未来参考，就是留遗产，属于组织过程资产中历史信息与经验教训知识库的内容。
21.项目经理总结经验教训，将发生在以下哪个阶段？
A.规划阶段
B.执行阶段
C.收尾阶段
D.整个生命周期
答案D
【试题解析】PMBOK第六版书P41：经验教训属于组织过程资产中的组织知识库。PMBOK第六版书P31：在整个项目期间，项目团队成员可以对组织过程资产进行必要的更新和增补。
22.著名A公司的项目管理办公室（PMO）非常关注具体项目上的每一个变更，
这是一种生命类型的项目管理办公室？
A.支持型
B.控制型
C.指令型
D.授权型
答案B
【试题解析】PMBOK第六版书P48，指令型PMO直接管理和控制项目，题干描述已经关注每一个变更，因此控制程度非常高。
23.一位新上任的项目经理自己关注组织结构，让团队成员关注项目管理信息系
统，这是在关注什么？
A.事业环境因素
B.组织过程资产
C.组织知识库
D.经验教训
答案A
【试题解析】PMBOK第六版书P38：组织文化、结构和治理是组织内部的事业环境因素，项目管理信息系统属于内部事业环境因素的信息技术软件。
24.在强矩阵与弱矩阵结构中，权利均势可以通过改变（）转移到项目经理或职
能经理。
A.项目经理及参与项目的职能经理的报告级别
B.高层管理者对项目经理与职能经理的支持
C.项目所涉及人员在空间上的距离
D.上述所有选项
答案D
【试题解析】PMBOK第六版书P47表2-1充分理解。A正确，强矩阵：项目经理向智能经理汇报；B正确，强矩阵，高层管理对项目经理支持高，项目经理职权大、资源和预算可控性高，弱矩阵则反之；C正确，空间距离的远近会直接影响对团队成员的行动指挥的有效性，距离越近，沟通越高效便捷，容易调动资源。
25.项目团队刚实施过一个和本项目非常类似的项目，但你发现某团队成员又出
现了和上次一样的失误。你应该要求团队成员
A.查阅他过去的工作总结
B.询问其他团队成员
C.查阅组织过程资产
D.接受培训
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P39：组织过程资产还包括来自组织以往项目的
经验教训和历史信息。是以前项目遗留下来的，可供当前项目参考及提高当前项目成功可能性。因此当发生和之前类似项目想通错误是，可查阅经验和教训来寻找改善现状的方式。
26.某公司建立了一个项目管理办公室（PMO），用于协调和管理其众多项目，
公司的PMO提出了一个具体的项目组织和建议，并作为标准在全公司实施。
该组织结构的特点是设置里享有中高级权利（包括控制项目预算）的全职项目经理和全职管理人员。PMO提出了何种组织结构？
A.强矩阵
B.弱矩阵
C.项目型
D.职能型
答案A
【试题解析】PMBOK第六版书P47表2-1，有全职项目经理，排出职能型和弱矩阵，又描述享有中高级权力，那么是强矩阵，项目型几乎全权。
27.项目经理在选择管理项目的方法时，应该？
A.采用《指南》中的项目管理过程
B.采用适应型生命周期
C.考虑项目执行组织的文化
D.采用尽量敏捷的方法
答案C
【试题解析】选项C的组织文化属于事业环境因素，是在项目实施中必须要考虑的。
28.某公司的PMO虽然不直接管控项目，但要求项目采用公司特定的项目管理
方法论。这是什么类型的PMO？
A.支持型
B.控制型
C.指令型
D.教练型
答案B
【试题解析】PMBOK第六版书P48：控制型PMO不仅给项目提供支持，而且通过各种手段要求项目服从。
29.项目团队成员向项目经理汇报，项目结束后团队成员会分配到其他项目中，
这个项目采用的是什么组织结构？
A.项目型组织
B.职能型组织
C.矩阵型组织
D.混合型组织
答案A
【试题解析】职能型只向职能经理汇报，矩阵型和混合型在项目结束后，团队成员会回到职能部门，项目型会再分配到其他项目，所以这个题目选A。
30.PMO提供了一份组织预先批准的供应商清单，项目经理可以参考它以缩短
供应商的筛选时间。这份清单对于项目经理是？
A.组织内部的事业环境因素
B.组织外部的事业环境因素
C.组织过程资产中的过程、政策和程序
D.组织过程资产中的组织知识库
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P40：预先批准的供应商清单和各种合同协议类型都属于组织用于执行项目工作的流程与程序。
31.以下关于组织过程资产的说法，不正确的是？
A.组织过程资产是来自项目执行组织的、有助于项目获得成功的任何产物、
实践或知识
B.以前项目的进度计划、风险数据和挣值数据都是组织过程资产的例子
C.只有在项目结束时，项目团队才需要更新组织过程资产
D.组织中的共享知识库是组织过程资产的组成部分
答案C
【试题解析】PMBOK第六版书P39：组织过程资产是执行组织所特有并使用的计划、过程、程序和知识库，会影响对具体项目的管理，组织过程资产可能还包括完成得进度计划、风险数据和挣值数据，在整个项目起价，团队成员可以对组织过程资产进行必要的更新和增补。所以，A、B、D都符合组织过程资产的定义。
32.以下关于项目阶段的说法，以下哪项是正确的？
A.阶段关口是项目阶段的一个关键组成部分
B.项目阶段是项目管理过程组的另一个名称
C.多阶段管理项目的方式会使项目管理工作陷于混乱
D.各种项目的项目阶段划分通常是一样的
答案A
【试题解析】阶段关口是为做出进入下个阶段、进行整改或结束阶段的决定，而开展的阶段末的审查，所以是项目阶段的一个关键组成部分；选项B错在项目阶段和项目管理过程组是不同的；选项C错在分为多个阶段的方式有助于更好地掌控项目管理；选项D错在不同的项目，阶段的划分是不一样的。
33.项目进展非常不顺利，新上任的项目经理非常关注所在组织内部的资源的可
用性，并要求查看所在组织与外部供应商的相关资源采购协议，他关注的焦点是什么？
A.组织过程资产
B.事业环境因素
C.流程和程序
D.经验教训知识库
答案B
【试题解析】PMBOK第六版书P38：资源可用性，是事业环境因素，例如包括合同和采购制约因素、获得批准的供应商和分包商以及合作协议。
34.大多数项目的项目生命周期都具有以下特点？
A.成本和人力投入在开始时较多，在工作执行期间逐渐减少，并在项目快要
结束时迅速回落
B.项目大部分的预算都花费在启动和规划阶段
C.成本和人力投入在开始时较低，在工作执行期间逐渐增加，并在项目快要
结束时迅速回落
D.项目相关方对项目的影响力随项目的实施而逐渐提高
答案C
【试题解析】参考生命周期趋势图
35.你和项目团队正在判断应该将项目划分为多个便于管理的部分，这些部分被
确认为项目的“阶段”，关于项目阶段，以下说法都是错的，除了
A.项目阶段和项目管理过程是一个概念
B.一个阶段可能经历启动、规划、执行、监控、收尾过程
C.阶段的属性一般包括设计、原型、建造等
D.从管理学角度，项目阶段划分的越细越好，有利于团队理解和执行。答案B
【试题解析】每个阶段，都可能经历5大过程组。选项A错误，阶段和管理过程不相同；选项C错误，不同的项目可以划分成不同的阶段；选项D错误，不
是划分得越细越好，要根据项目的实际情况进行划分。
36.以下哪一项不是事业环境因素
A.你所在公司人员的等级制度和职权关系
B.你正在管理项目的项目管理信安全息系统
C.当地政府所要求的的生产安全许可说明
D.你所在公司PMO向你提供的项目管理计划模板
答案D
【试题解析】选项D属于组织过程资产中的过程、政策和程序。
37.关于组织过程资产，以下说法都正确，除了
A.组织过程资产是执行组织所特有，并使用的计划、过程、政策、程序和知
识库
B.组织过程资产包括任何项目执行组织的经验教训和历史信息
C.组织过程资产包括软件工具、配置管理系统
D.组织过程资产包括完成的进度管理计划、风险数据和挣值数据
答案C
【试题解析】因为C选项描述的软件工具、配置管理系统等都属于事业环境因素中的信息技术软件。
38.以下哪项不是项目经理的责任？
A.为客户的信息保密
B.决定公司的程序是否合法
C.确保利益冲突不会损害客户的合法利益
D.在估算成本中提供准确可信的说明
答案B
【试题解析】项目经理没有权利或能力觉得公司程序的合法性。注意：实务和程序有很明显的不同，应该报告所有不道德的实务，比如，项目经理必须报告欺诈行为，欺诈一般不是公司的程度，但是，项目经理不在其位，就不能决定公司程序是否依照现有的法律。PMBOK-2.2事业环境因素&2.2.2组织外部的事业环境因素，程序是否合法非项目团队可控的条件。
39.两位项目经理认识到他们处于弱矩阵组织中，且权利非常有限。其中一位认
为自己其实就是一名项目联络员，另一位则是一名项目协调员。项目联络员不同于项目协调员之处在于？
A.项目联络员不能做决定
B.项目联络员可以做很多决定
C.项目联络员向更高级经理汇报
D.项目联络员拥有一定权力
答案A
【试题解析】PMBOK02.4.4.1组织结构类型-表2-1组织结构对项目的影响，项目协调员向高层经理汇报工作，且拥有一定的决策权力，项目联络员无权做决定。
40.项目团队成员向项目经理汇报工作，项目收尾之后，项目团队解散并被分配
到另一个项目中去。这种组织属于下列哪一种组织结构？
A.复合型组织
B.职能型组织
C.项目型组织
D.矩阵型组织
答案C
【试题解析】此题分析的关键在于团队成员向PM汇报，PMBOK-2.4.4.1组织结构类型-表2-1组织结构对项目的影响。
41.一位经验不足的项目经理被分配到了一个新项目上做项目经理，因为将来他
所从事的项目为矩阵组织，那么他所面对的沟通形式为：
A.简单的
B.公开但准确的
C.复杂的
D.难以自动操作
答案C
【试题解析】矩阵组织结构中的项目成员来自于组织的各个部门，所以沟通很复杂，PMBOK-2.4.4.1组织结构类型-表2-1组织结构对项目的影响。
42.纯项目组织结构中项目团队
A.向多个老板汇报
B.对项目不忠诚
C.向职能经理汇报
D.总是没有家的感觉
答案D
【试题解析】项目组织的主要不足就在于项目结束时，团队成员被解散，没有一个职能部门（家）可以返回。PMBOK-2.4.4.1组织结构类型-表2-1组织结构对项目的影响。
43.下列哪一种组织结构允许项目经理拥有全部职权？
A.强矩阵
B.职能型
C.平衡矩阵
D.项目型
答案D
【试题解析】项目型组织中，项目经理拥有全部的权力，所以选D。PMBOK-2.4.4.1组织结构类型-表2-1组织结构对项目的影响。
初一上学期动点问题练习 1.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； 解：（1）由题意得点B表示的数为－6；点P表示的数为8－5t； （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图） 则AC=5，BC=3， ∵AC－BC=AB ∴5－3="14" 解得：=7， ∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q； （3）没有变化．分两种情况： ①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB="7" ②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP－NP= AP－BP=(AP－BP)=AB="7" ∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7； 2.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=______，PC=______． （2）当点P运动到B点时，点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，当点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离． 解：（1）PA=t，PC=36-t； （2）当16≤t≤24时PQ=t-3（t-16）=-2t+48， 当24＜t≤28时PQ=3（t-16）-t=2t-48， 当28＜t≤30时PQ=72-3（t-16）-t=120-4t， 当30＜t≤36时PQ=t-[72-3（t-16）]=4t-120． 3.已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A 的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______；（2）用含t的代数式
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案） 在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中 没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形 状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与 交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。 求动点轨迹的常用方法 动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。 1. 直接法 （1）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。 依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN -=,所以 (x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45 。动点M 的轨迹是一条直线。 2. 定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点 的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出 轨迹方程。 例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：082 2=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹 方程。 解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。 若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以 ∣M C ∣-∣M P ∣=±4 动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。 动点的轨迹方程为： 3. 相关点法 若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则 将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。
专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.
（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）
圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． A B C P E M 第25题图1 D A B C M 第25题图2 N
25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长． A B E F C D O A B E F C D O
25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1 的半径； （3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
七年级上学期期末动点问题专题 1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|． （1）求线段AB的长． （2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值． （3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN 的值不变，②|PM﹣PN|的值不变． 2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）PA=_________；PB=_________（用含x的式子表示） （2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由． 3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点， AB=14． （1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度； （2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关； （3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；② 的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．
4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C 在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200． （1）若BC=300，求点A对应的数； （2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）； （3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动 到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．
中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半
径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D．
动点例题解析及答案
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初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。
初中数学动点集 一、线段和、差中的动点 （一）利用垂线段最短的性质解决最大（小）值的问题 1.如下图所示，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P 为AB 上的一动点，且PE⊥AC 于E，PF ⊥BC 于F，则线段EF 长度的最小值是。 2.如图所示，在菱形ABCD 中，过A 作AE⊥BC 于E，P 为AB 上一动点，已知 13 5 AB BE ，EC=8，则线段PE 的长度最小值为。 3.如图所示，等边△ABC 的边长为1，D、E 两点分别在边AB、AC 上，CE=DE，则线段CE 的最小值为。 4.如右图所示，点A 的坐标为（0,22-），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时， 点B 的坐标为。
5.在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+m与y轴交于点A，与直线y=-x+4交于点B（3，n），p为直线y=-x+4上一动点。 （1）求m，n的值 （2）当线段AP最短时，求点p的坐标。 2。 6.已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=30 试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最短，则此时AM+NB=。 （二）利用三点共线的特征解决最大（小）值的问题 1.如图所示，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且BE=1，P是对角线AC上任意一点，则 PE+PB的最小值是。 2.如图所示，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM+PN 的最小值是。
3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是。 4.如图1所示，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA上两个动点（不与C、D、A重合），满足DF=AE。直线BE、AF相交于点G，则有BE=AF，BE⊥AF；如图2所示，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA延长线上的两个动点（不与D、A重合），依然有BE=AF，BE⊥AF； 若在上述的图1与图2中，正方形ABCD的边长为4，随着动点F、E的移动，线段DG的长也随之变化。在变化过程中，线段DG的长是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由。（要求：分别就图1、图2直接写出结论，再选择其中一个图形说明理由）
动点问题专题训练 1、如图，已知A B C △中，10A B A C ==厘米，8B C =厘米，点D 为A B 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P D △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿A B C △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在A B C △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10A B =厘米，点D 为A B 的中点， ∴5B D =厘米． 又∵厘米， ∴835P C =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴P C B D =． 又∵A B A C =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ························································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433 B P t ==秒， ∴51544 3Q C Q v t = ==厘米/秒． ············································································ （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 1532104 x x =+?， P
初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类 开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题. 关键: 动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 例1：（2013 年上海市虹口区中考模拟第25 题）如图1，在Rt△ABC 中，∠ A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点 D 为边BC 的中点，DE⊥BC 交边AC 于点E，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠ PDQ ＝90°． （1）求ED 、EC 的长； （2）若BP＝2，求CQ 的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△ PDF 为等腰三角形，求BP的长． 思路点拨 1．第（2）题BP＝ 2 分两种情况． 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ ．解答：（1）在Rt△ ABC 中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 3 15 25 在Rt△CDE 中，CD ＝5，所以ED CD tan C 5 ，EC ． 4 4 4 （2）如图2，过点 D 作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN 是△ABC 的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠ PDQ ＝90°，∠ MDN ＝90°，可得∠ PDM ＝∠ QDN ． 因此△ PDM∽△ QDN． ①如图3，当BP＝2，P在BM 上时，PM＝1． 3 3 3 19 此时QN 3PM 3．所以CQ CN QN 4 3 19． 4 4 4 4 ②如图4，当BP＝2，P在MB 的延长线上时，PM＝5． 所以 PM QN DM 4．所以QN 3PM ，PM 4QN． DN 3 4 3 图2图3
初一数学动点问题集锦 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为 AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与 CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =．
又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间 4 33BP t = =秒， ∴ 515 443Q CQ v t = ==厘米/秒． （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15 32104x x =+?， 解得 80 3x = 秒． ∴点P 共运动了80 3803?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过80 3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． （12分） 2、直线 3 64y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时 从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；
动点问题专题训练 1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后， 与 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵秒， ∴ 厘米， ∵厘米，点为的中点， ∴厘米． 又∵厘米， ∴厘米， ∴． 又∵， ∴， ∴． ··············································································（4分） ②∵， ∴ ， 又∵， ，则， ∴点，点 运动的时间 秒， ∴ 厘米/秒． ···································································（7分） （2）设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得 ， A Q D B
解得秒． ∴点共运动了 厘米． ∵， ∴点、点 在 边上相遇， ∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇． ·········································· （12分） 2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发 ，同时到达 点，运动停止．点 沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点 沿路线→ → 运动． （1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒， 的面积为 ，求出 与之间的函数关 系式； （3）当 时，求出点的坐标，并直接写出以点 为顶点的平行 四边形的第四个顶点的坐标． 解（1）A （8，0）B （0，6） ················ 1分 （2） 点由 到 的时间是 （秒） 点的速度是（单位/秒） ·· 1分 当 在线段 上运动（或0）时， ··········································································································· 1分 当 在线段 上运动（或 ）时， , 如图，作 于点 ，由 ，得 ， ······························· 1分 ········································································ 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．） （3） ····························································································· 1分 x A O Q P B y
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 ①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形； ③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式； ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题（动点）
动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、 射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活 运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/ 秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当t=时，四边形是平行四边形；6 当t=时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1， N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为5 3、如图，在中，，．点是的 中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边 于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为． （1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长 为； ②当度时，四边形是直角梯形，此时的长 O E C B D A l
为； （2）当 时，判断四边形 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300. ∴AB =4,AC =2 . ∴AO = = .在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等 C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3
中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”，“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型:饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点. 问题：在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ＡBCD是正方形,△ABE是等边三角 形，M为对角线BD（不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、ＡM、CＭ. （1)求证:△ＡMB≌△ENB; （2)①当M点在何处时,ＡM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3）当ＡM+BM+CＭ的最小值为时,求正方形的边长。 A B A'′P l
例2、如图13,抛物线y＝ax2+bx＋ｃ(a≠0)的顶点为（1,4)，交x轴于A、B，交y轴于D,其中B点的坐标为（3,０) (１）求抛物线的解析式 (2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点Ｅ,交y轴于点Ｆ,其中Ｅ点的横坐标为２,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为ＰQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使Ｄ、G、Ｆ、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、Ｈ的坐标;若不存在，请说明理由. （３)如图１5,抛物线上是否存在一点Ｔ，过点T作ｘ的垂线，垂足为M,过点M作直线M N ∥BD，交线段AD于点N，连接MD,使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在,说明理由.
初中数学动点问题及练习题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解 题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路, 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容动点问题反映的是一种函数思想, 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系, 这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么, 我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点-- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查; 四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊