复数问题的题型与方法
复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等．
一、数学规律：
1．共轭复数规律，
2．复数的代数运算规律i4n 1=i，i4n 2= 1，i4n 3= i；
1）i 4n=1
n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 （3）i · i · i ·i = 1，i ＋i ＋i ＋i =0；
；
3．辐角的运算规律
（1）Arg（z1·z2）＝Argz1＋Argz 2
3）Argzn=nArgz （n∈N）
?，n 1。
或z∈R 。
要条件是|z|＝|a|。
（6）z 1·z 2 ≠0，则
4．根的规律
复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值
时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式
||z 1| |z 2 ||≤|z 1± z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |的运用。
即|z 1±z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |等号成立的条件是： z 1 ， z 2所对应的向量共线且同向。
|z 1±z 2 |≥|z 1| |z 2 |等号成立的条件是： z 1，z 2 所对立的向量共线且异向。
二、 主要的思想方法和典型例题分析：
1．化归思想
复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有 机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这 种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
分析】这是解答题，由于出现了复数 z 和 z ，宜统一形式，正面求解。
解】解法一 设 z ＝x ＋yi （ x ， y ∈R ），原方程即为 x 2 y 2 3y 3xi 1 3i
用复数相等的定义得：
∴ z 1= 1， z 2
= 1+3i.
代入①式得原方程的解是 z 1 = 1， z 2 = 1+3i.
例 2】 （1993·全国·理）设复数 z=cos θ ＋ isin θ（0<
cos(2 2 ) isin(2 2 ) tan2 2 2 tan2 cos( 4 ) isin( 4 ) 22
说明】 此题转化为三角问题来研究，自然、方便。
222
【例 3】 设 a ，b ，x ，y ∈R+，且 x 2 y 2 r 2（r >0），
求证：
分析 令 z 1 =ax+byi ， z 2 ==bx+ayi （ a ， b ， x ， y ∈ R+），则问题化归为证明：
| z 1 |+| z 2 |≥ r （ a+b ）。
证明 设 z 1 =ax+byi ， z 2 =bx ＋ayi （a ，b ，x ，y ∈R+），则
两边取模，得：
解】 ∵ z ＝cos θ +isin θ 4 z =cos4θ＋ isin4 θ
cos2 isin2 即 tan2 33 ，又∵0<θ<π，当 tan2 33 时， 12或
12 7
=|（a+b）x+ （a＋b）yi| =|（a＋b）（x+yi ）|＝（a＋b）·r。
解如图所示，设点Q，P，A 所对应的复数为：
即（x0 3a+y 0i ）·（i）＝（x 3a+yi ）
由复数相等的定义得
而点（x0，y 0 ）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为
【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。
2．分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。
【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z2＋2|z|=a。
分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ ＋isin θ ），若由z 2＋2|z|=a
转化为z 2=a 2|z|，则z 2∈R。从而z 为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。
总之，是一个需要讨论的问题。
【解】解法一∵z2 =a 2|z|∈R ，∴ z为实数或纯虚数。
∴ 问题可分为两种情况：
（1）若z∈R，则原方程即为|z|2 +2|z| a=0，
（2）若z 为纯虚数，设z=yi （y∈R 且y≠0），则原方程即为|y|2 2|y|＋a=0 当a=0 时，|y|=2 即z=± 2i。