第10章课后习题详解 曲线积分与曲面积分
例题分析
★★1. 计算
ds y x L
?+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。
知识点：第一类曲线积分.
思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分.
解： 如图L OA =AB +BO +
则
=+?ds y x L
)(?+OA
(?+AB
?
+BO
ds y x ))(
10,0:≤≤=x y OA ，dx dx y ds ='+=2)(1，
2
121)0()(1021
==
+=+∴??x dx x ds y x OA
10,1:≤≤-=x x y AB ，dx dx y ds 2)(12='+=， 2221)(1
01
0==?=+∴??x dx ds y x AB
注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f
10,0:≤≤=y x BO ，dy dy x ds ='+=2)(1
2
121)0()(1021
==
+=+∴??y dy y ds y x BO
212
1
221)(+=++=
+?
ds y x L
. 注：1)
??
+=+BA
AB
ds y x ds y x )()(，??+=+OB
BO
ds y x ds y x )()(
对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对
AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对
x （或对y ）的定积分.
★★2.计算?L yds ，其中L 为圆周4
)2(2
22
a a y x =-+.
知识点：第一类曲线积分.
思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.
解：L 的极坐标方程：πθθ≤≤=0,sin a r
θ
θθθθad d a a d r r ds =+='+=2222)cos ()sin ()(
θ
θ2sin sin a r y ==
∴
22020
22
2
2
1
2212sin 2sin a a d a
ad a yds L
ππθθθθπ
π=??==?=??
?
.
★3. 计算曲线积分
?Γ++ds z y x 2221，其中Γ为曲线t
t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,
应于t 从0到2的一段弧.
知识点：第一类曲线积分.
思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：dt e dt e t e t e dt z y x ds t t t t 3 )sin ()cos ()()()(222222=+'+'='+'+'=
∴
原式=
dt e dt e e t
t t
-?
?
=+?2
2
22t 2
331e 1
)1(2
3
23220
---=
-=e e t . ★★★1. 计算曲线积分
?
Γ
++ds xz z x 22，其中Γ为球面2222R z y x =++与平面
0=++z y x 的交线。
知识点：第一类曲线积分.
思路: Γ的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但Γ满足2
2
2
2
R xz z x =++，
故总有
2
22
2R xz z x =
++.
解：?
?
?=++=++Γ 0
:2
2
22z y x R z y x 即
???
??=++=++Γ 0
2:222z y x R xz z x
原式=
2
2 2R 22
22R R ds R ds R ππ=?==??
ΓΓ
注：1)利用被积函数xz z x z y x f ++=2
2
),,(定义在Γ上，故总有2
2
2
2
R xz z x =
++，
是常用的一种简化运算的方法.
2)
Γ为平面0=++z y x 上的一个圆，圆心)0,0,0(，半径为R .
课后习题全解
习题10-1
★1. 设在
y x 0面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点),(y x 处它的线密度为),(y x μ，用对弧长的曲线
积分分别表达： 1) 该曲线弧对x 轴、
y 轴的转动惯量x I 和y I ；
2) 该曲线弧的质心坐标x 和
y .
知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.
思路: xOy 面内的一段曲线L ，其线密度为),(y x μ，则
1)线段L 的质量为：?L
ds y x ),(μ
2)线段L 关于x 轴和y 轴的静力矩为：??==L
L
y x ds y x x M ds y x y M ),(,),(μμ
3)线段L 对x 轴和
y 轴的转动惯量：?=L
x ds y x y I ),(2μ，?=L
y ds y x x I ),(2μ
解：由第一类曲线积分的概念及物理意义得
(1)
?=L
x ds y x y I ),(2μ, ?=L
y ds y x x I ),(2μ
(2)
????=
=
==
L
L x
L
L y ds
y x ds y x y M M y ds
y x ds y x x M
M x ),(),(,),(),(μμμμ ★2. 计算
?
+L
ds y x 22，其中)2(0 sin ,cos :π≤≤==t x a y t a x L 。 解：法一：adt dt t a t a dt y x ds
=+-='+'=2222)cos ()sin ()()( 原式=
?
=?+π
π20
2222)sin ()cos ( a adt t a t a
法二：原式=
π222a ds a ds a L
L
==??
.(利用性质2)
★3. 计算
?+L
ds y x )(，其中L 为连接)0,1(，)1,0(两点的直线。
解：直线方程为：10,1≤≤-=x x y
dx dx y ds 2)(12='+=
原式= ?=?
1
221 dx
★★4．计算
?
+L
ds y x )(3/43/4，其中L 为内摆线)0( 3/23/23/2>=+a a y x 的弧。
解：摆线的参数方程为：π
20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x
dt
t t a dt t t a t t a dt y x ds cos sin 3 )sin cos 3()cos sin 3()()(222222=+-='+'=
原式
?+=π
20443/4cos sin 3)sin (cos dt t t a t t a
3
/72
062063
/720
520
5
3
/720
443/44]sin 6
161[12]cos sin sin cos [12cos sin 3)sin (cos 4a t t os c a
tdt t tdt t a tdt
t a t t a =+-=+=+=???π
ππ
ππ
★★5. 计算曲线积分
?Γ
++ds z y x
)(222
，
其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到π
2的一段弧。
解：dt z y x ds 222)()()('+'+'=
dt k a dt k t a t a 22222 )cos ()sin (+=++-=
原式
?++=++=πππ20222222222)43(3
2
))(( k a k a dt k a kt a ★★6. 计算曲线积分
?
Γ
zyds x 2，其中Γ为折线ABCD ,这里A ,B ,C ,D 依次为点)0,0,0(，
)2,0,0(，)2,0,1(，)2,3,1(.
解：如图， 原式=
?
++CD
BC AB zyds x 2
AB ：)20(,0,0≤≤===t t z y x
00 2=?=∴
??
AB
AB
ds zyds x
BC ：)10(2,0,≤≤===t z y t x ，00 2=?=∴??BC
BC
ds zyds x
CD ：)30(2,,1≤≤===t z t y x ，dt dt z y x ds ='+'+'=222)()()( 921 30
23
2
==??=∴??t
tdt zyds x CD
∴原式= 9900=++.
★★7. 计算
?
L
xds ，其中L 为对数螺线0)( >=k ae r k ?
在圆a r =的内部。 解：依题意： a ae
k ≤?
得0≤?
??????d k ae d ake ae d r r ds k k k 222221)()()(+=+='+=
∴
??-∞
+?=02
1cos ????d k ae ae xds k k L
?
∞
-+=0
22
2
cos 1???
d e
k
a
k 2
2
24112k k ka ++=
.
★★★8. 计算曲线积分
?
Γ
+ds z y 222，其中Γ为球面2222a z y x =++与平面y x =的交线。
解： ???==++Γ :2222y x a z y x 即 ?
??==+Γ 2:2
22y x a z y
法一： Γ的参数方程为：)20(sin ,cos 2
,cos 2
π≤≤==
=
t t a z t a y t a x
∴adt dt z y x ds ='+'+'=222)()()(
原式=
?
=??π
π20
2
2 2 a dt a a
法二： 原式=
22 2 2a a a ds a ds a ππ=?==??
Γ
Γ
★9. .求半径为a 、中心角为?2的均匀圆弧（线密度)1=ρ的质心.
解：取扇形的角平分线为x 轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则
圆弧的方程为：)(sin ,cos ?θ?θθ≤≤-==a y a x
θθθad d t a t a d y x ds =+-='+'=2222)cos ()sin ()()(
由图形的对称性和1=ρ
知0=y ，而
??
θ?
θθ?
?
?
?
?
?
sin sin 2 cos 212a
a
ad a a a xds M
M x L
y =
=
?=
==
--
??
故质心在（
0,sin ??
a
）.
★10. 求螺旋线
)20( ,sin ,cos π≤≤===t kt z t a y t a x ，对z 轴的转动惯量，设曲线的密度为
常数μ.
解： dt k t a t a dt z y x ds 222222)cos ()sin ()()()(++-='+'+'=
dt k a 22 +=
2
2220
22222 2 )(k a a dt k a a ds y x I z +=+=+=∴??πμμμπ
Γ
.
★11. 设螺旋形弹簧一圈的方程为
kt z t a y t a x ===,sin ,cos ，其中π
20≤≤t ，它的线密度
222),,(z y x z y x ++=ρ. 求：
(1) 螺旋形弹簧关于z 轴的转动惯量z I ; (2) 螺旋形弹簧的重心.
解: dt k t a t a dt z y x ds 222222)cos ()sin ()()()(++-='+'+'=
dt k a 22 +=
(1)??++=+=π
ρ20
222222Γ
2
2
)()(dt k a t k a a ds y x I z
)382()3( 22222220
322
222
πππ
k a k a a t k t a k a a ++=++=.
(2)==?Γ
ρds y x M
),( ?++π20
22222)(dt k a t k a
)38
2()3( 2222220
32
222πππ
k a k a t k t a k a ++=+
+= 螺旋形弹簧关于
xOy zOx yOz ,,平面的静力矩分别为：
?=Γ
ρds y x x M x ),(?++?=π
20
22222)(cos dt k a t k a t a
2
2220
20
22220
2202222220
22220
2224)]cos cos (20[]
sin 2sin )(0[]
cos )(cos [k a k a tdt t
t k k a a tdt t k t t k a k a a tdt t k a tdt a k a a +=-++=-+++=+++=????ππ
ππ
ππ
π
同法得：?=Γ
ρds y x y M y
),(?++?=π
20
22222)(sin dt k a t k a t a
2
22220
20
2222220
2202222220
22220
2224)]
sin sin (24[]
cos 2cos )(0[]
sin )(sin [k a k a tdt t t k k k a a tdt t k t t k a k a a tdt t k a tdt a k a a +-=-+-+=-+-+=+++=????πππ
ππ
ππ
π
?=Γ
),(ds y x z M z ρ?++=π
20
22222)(dt k a t k a kt
)2(2)42( 22222220
4
2
22
22πππ
k a k a k t k t a k a k ++=++=. 2
22
2
436πk a ak M M x x +==∴,
==M M y y
2
22
2
436ππk a ak +-
=
=M M z z 2
2222243)2(3πππk a k a k ++. 提高题
★★★1. 计算
ds e
L
y x ?+2
2，其中L 为正向圆周222 a y x =+，直线x y =及x 轴在第一项限内所围
成的扇形的整个边界.
解：x y =与2
22 a y x =+在第一象限的交点为)2
2,22(a a . 如图：321L L L L
++=
;0,0:1a x y L ≤≤= dx dx y ds ='+=2)(1 20,:2a x x y L ≤
≤=;
dx dx y ds 2)(12='+=
a x a x a y L ≤≤-=2
,
:223; dx x
a a dx y ds 2
2
2)(1-=
'+=.
则 原式???+++++=
32
222
212
2L y x L y x L y x ds e
ds e
ds e
dx x
a a
e dx e
dx e a
a a a
x
a x
2
22
2
20
2-?
++=???
a a a
a
x
a x a
x
arc ae e
e
2
2
20
sin
++=
.2)4
2()42(
)1(2-+=-+-=a e ae e a a a π
ππ
★★★★2. 计算?Γ
zds ，其中Γ为圆柱面4
)2(22
2a y a x =+-与锥面2
2 y x z
+=的交线.
解：??
???+==
+- 4)2(:22222y x a z a y a x Γ，参数方程为22 cos sin cos cos :2ππΓ
≤≤-??
?
??===t t
a z t t a y t
a x
dt t a dt z y x ds 2222sin 1+='+'+'=
?
?
?
??+=+?=+?=+?=∴-20
22
20
22
20
22
22
2
Γ
sin sin 12sin 1cos 2sin 1cos 2sin 1cos π
ππ
π
πt
d t a
dt t t a
dt
t t a
dt t a t a a zds
?+=1
2212 sin du u a t u
又?
??
?+++-=+-+=+=1
2
10
21
2
210
2
1
21112111du u
du u du u
u u
u du u I
2
)
21ln(2)
21ln(2)1ln(211221
2
1
2
++=
++=+++=++=?I u u du u
I
故
?
Γ
zds 22
)]21ln(2[2
)
21ln(22a a ++=++?=.(此题请核查)
§10.2 第二类曲线积分
内容概要
例题分析
★★1. 计算
?
-++L
dy y x dx y x )()(2222，其中L 是)1,1()2,0()1,1(),0,0(-C B A O 为顶点的正
方形的正向边界.
知识点：第一类曲面积分.
思路: 如图L 由四段直线段组成，故要分段积分.
解： 如图L OA =AB +CO BC ++
则
?-++L
dy y x dx y x
)()(2
222
?+
=OA
(?
+
AB
?
?-+++BC
CO
dy y x dx y x )()()2222
x x x y x x OA (,10 ,,
:≤≤???== 变化从0到)1
3
2
2)()(21
2
2
2
2
=
=-++∴??dx x dy y x dx y x OA
x x x y x x AB (,10 ,
2,
:≤≤???+-== 变化从1到)0
3
14
)2(312)2(2)}1]()2([])2({[)()(0132
1
22220
12222-
=-?-=-=---+-+=-++∴?
??x dx x dx
x x x x dy y x dx y x AB
(, 01,2:x x x y BC ≤≤-+= 变化从0到)1-
3
23
1
22}1])2([])2({[)()(10
3
2
1
22221
2222-
=?==?+-+++=-++∴---?
??x dx x dx
x x x x dy y x dx y x BC
x x x y CO (, 01,:≤≤--= 变化从1-到)0
3
2
3
1
22])([)()(01
3
2
1220
1
2
222=?==-+=-++∴---???x dx x dx
x x dy y x dx y x CO
43
2
3231432)()(2222-=+--=
-++∴?L
dy y x dx y x . ★2．计算曲线积分
?++++-Γ222z y x dz xdy ydx ，其中Γ为曲线t
t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上对应
于t 从0到2的一段弧.
知识点：第一类曲面积分.
思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：原式?+++++--=
2
22222sin cos )cos sin (cos )sin cos (sin t t t t t t t t t t e t e t e dt
e dt t e t e t e dt t e t e t e
)3(21)(21)1(2122
20202
22----=-=+=+=
??
e e t dt e dt e
e e t t t t t .
课后习题全解
习题10-2
★1.计算
?
+L
xdy ydx sin ，其中L 为0( sin =x y
线，依顺时针方向.
解：如图21L L L +=
其中x x y L , sin :1=变化从0到π
，
x y L , 0:2=变化从π
到0,
?+=1
sin 1L xdy ydx I
?
+-=?+=π
π
2)sin 21
cos (cos sin sin x x xdx x xdx 2=
??=+=+=0
200sin 0 sin 2
π
xd dx xdy ydx I L
原式2
sin 212
1=+=+=
?
+I I xdy ydx L L
★2.计算
?
+L
xdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应于t 从0
到
2
π
的一段弧. 解： 原式?
?
=?+-?=
20
2
202cos cos cos )sin (sin π
π
tddt R
tdt R t R dt t R t R
02sin 220
2
==π
t R
★★3.计算曲线积分
?-+L
x x dy ye xdx 2
2，其中L 为从)0,0(O 经2
2x x y -=到点
)1,1(B 的那一段.
解：x
x x y L , 2:2
-=
变化从0到1
原式??
-+=---+=
--1
22
21
2)1(222222
2
dx x e xdx dx x x x e x x xdx x x x
x
e e x x x 21
)2121(1
222=+=-.
★★4.计算曲线积分
?+--+L
y
x dy y x dx y x 22)()(，其中L 为圆周 2
22a y x =+（按逆 时针方向绕行）.
解：圆的极坐标方程为： sin ,cos θθa y a x ==，θ从0变到π2
原式=
?
?---?+π
θ
θθθθθθθ20
2
cos )sin (cos )sin ()sin (cos a d a a d a a
π
θπ2120
-=?-=?d .
★★★5.计算
?Γ
-+-dz x yzdy dx z y
222
2)(，设1)t (0 ,,32≤≤===t z t y t x ，式中Γ
方向依参数增加的方向.
解：原式??-=?-??+-=
1
461
2
23264
)23(322)(dt t t dt t t tdt t t dt t t
3515273)5273(1
57=-=-=t t .
★★★6.计算
?
Γ
-+ydz zdy dx x 2，其中Γ为θθθsin z ,cos ,a a y k x ===上对应
于θ从0到π的一段弧.
解：原式??--?+?=π
θ
θθθθθθθ0
2
2 cos cos )sin (sin d a a d a a kd k
ππθθθθπ
π
2330
2
330
2233)31()( a k a k d a k -=-=-=?
.
★★★7.计算
?
Γ
-+ydz x dy zy dx x 2233，其中Γ是从点)1,2,3(A 到点)0,0,0(B 的直线AB .
解：Γ直线的方向向量s
为{}1,2,3---，
故其参数方程为： , z ,2,3t t t y t x
-=-=-=从1-变到0
原式?--?-?---?--+-?-=0
1
2
23)1()2()3()2()2)((3)3()3(dt t t dt t t dt t
4
87
4
87
87 0
1
4
3
1-
===--?t dt t . ★★★8.计算
dz y x dy x z dx z y )()()(-+-+-?
Γ
，其中Γ为圆柱面 222a y x =+与
0)h 0,( 1>>=+a h
z
a x 的交线l ，从x 轴正向看Γ为逆时针方向. 解：Γ的参数方程为：)cos 1(z ,sin ,cos θθθ-===h a y a x ,θ从0变到π2
原式[]?---=
π
θθθθ20
)sin ()cos 1(sin d a h a
[]θθθθθθθθd h a a d a a h sin )sin cos ()cos (cos )cos 1(-+--+
()
()
π
π
θθθθθθθ20
2202)
cos (sin )cos (sin - -+--=++-=?ah ah a d ah ah a
)(22ah a +-=π
★★★9.在过点)0,0(O 和
)0,(πA 的曲线族)0(sin >=ααx y 中，求一条曲线L ，该
曲线从O 到A 的积分
?+++L dy y x dx y
)2()1(3
的值最小。
解：L ：x x y )0(sin >=αα从0变到π,
??+++=+++=π
αααα0
333
)cos )(sin 2()sin 1()2()1()(dx
x x x dx x dy y x dx y I L
?++
++=π
π
αα
αα0
330
22
s i n )s i n 2
2s i n 2(x d x x o s x c x x x
33
4
4ααπ+-=
244)(αα+-='I
令0)(='αI 得1±=α（负号舍去）
+∞=+-=+∞-==+∞→)3
4
4(lim )(,322)1(,)0(3ααπππαI I I
3
2
2)1(min -=∴πI
x y sin =为所求曲线。
★★★10.计算
?-+L
dy x y xydx )(，其中L 分别为路线：
(1) 直线
AB ; (2)抛物线ACB : 1)1(2 2+-=x y ; (3)三角形ADB ?
解：（1）直线AB 方程：21 1
31
121
≤≤--=--x y x , 即x x y 12 -=从1变到2,
原式dx x x dx x x 2)12()12( 2
1
?--+-=
?
dx x x )22( 22
1-+=?625
)22132(2
1
23=-+=x x x (2) 抛物线ACB : x x y 1)1(2 2+-=从1变到2
原式()()
dx x x x dx x x )1(4)1)1(21)
1(2 22
2
1
-?-+-++-=
?
()2
12342
3
2
1
21)1(32)1(410))1(2)1(10 x x x dx x x x +---=+---=?
3
10=
(3)
DB AD ADB += , x y AD 1:=从1变到2
y x DB 2:=从1变到3
原式=
dy y xdx dy x y xydx dy x y xydx DB
AD
)2( )()(3
1
2
1
-+=-++-+????
23
)221(213
1
22
12=-+=y y x ★★★11.设
Γ为曲线 ,,32t z t y t x ===上相应于t 从0变到1的一段曲线弧,把对坐标的曲线积分
?Γ
++Rdz Qdy Pdx 化为对弧长的曲线积分。
解：dt y x dt t t dt z y x ds t t t 2242222941941++=++=++=
3,2,2dt t dz tdt dy dt dx ===
2
29411cos y x ds dx ++==
∴α,
ds y
x dx 2
2
9411++=
2
22294129412cos y x x y x t ds dy ++=++==
β,
ds y
x x dy 2
2
9412++=
2
222294139413cos y x y
y x t ds dz ++=
++==γ,
ds y
x y dz 2
2
9413++=
?
?
++++=++∴
Γ2
2Γ
94132ds y
x yR xQ P Rdz Qdy Pdx
★★★12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分
?Γ
xyzdz ，其中Γ是 1 222
=++z y x
与z y =相交的
圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。
解：Γ的参数方程：θθθθ,sin 2
1,sin 2
1,cos =
=
=z y x 从0变到π
2,
θ
θθθθθθπ
π
d d xyzdz )sin (sin 4221
cos 21sin cos 212042220
??
?-?=?=Γ
πππ16
2
)22143221(
2=-=
注：利用2
,1,1cos sin 01220
n 20
n
π
θθθθπ
π
==-=
==-??I I I n n d d I n n
★13.设
z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所
作的功。
解： F={0,0,mg},g 为重力加速度;记dr=),,(},,,{111z y x A dz dy dx , ),,(222z y x B ,
则功
??-==?=AB
z z z z mg mgdz dr F W )(122
1
★★★14.质点
p 沿以AB 为直径的半圆周，从点)2,1(A 运动至点)4,3(B 的过程中，受到变力F 的作用，
F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP ，且与y 轴正向的夹角小于
2
π
，求
变力F 对质点所作的功。
解：依题意j x i y F +-=，},{dy dx dr =
从A 点到B 点半圆周的方程：
θ
θθ,sin 23,cos 22+=+=y x 从π
4
3
-变到4
π
则功
??+-=?=AB
AB
xdy ydx dr F W
?-?++-?+-=ππθθθθθθ4143 cos 2)cos 22()sin 2()sin 23(d d
ππππθ
θθθθθ414
3414
3sin 22cos 232 )cos 22sin 232(--+-=++=?
d
12-=π
提高题
★★★1.计算?+L dy xy x )2(2
，其中L 为上半椭圆周)0(1 22
22≥=+y b y a x （按逆
时针方向）.
解：L 的参数方程为： θθsin ,cos b y a x ==,θ从0变到π
原式[]??+=
π
θθθθθ0
2
2
)cos ()sin cos 2cos d b b a a
()2
20
22
22
022323
43
1
2cos cos 2sin cos 2sin cos 2cos ab s co ab d ab
d ab d ab b a =?-=-==+=?
?
?π
ππ
π
θ
θθθ
θθθθθθ
注：此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.
§10.3 格林公式及其应用
内容概要
例题分析
1. 计算
★★★1)
?
-+-ABOA
x x dy y e dx y y e )1cos ()sin (;
★★★★2) ?
-+-AB
x x dy y e dx y y e )1cos ()sin (.
其中
),0(a A , )0,(a B ,)0,0(O , ABOA 是折线，AB 是由A 到B 的直线段，如图.
知识点：格林公式.
思路: 1)1cos Q y -siny -==y e e P x
x
1
=??-??∴y
P
x Q ，应用格林公式方便. 2) 这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分. （如图）.
解：1)
?
-+-ABOA
x
x dy y e dx y y e )1cos ()sin (
???
-??--??-=-+--=D x
x AOBA
x x dxdy
y y e y y e x dy
y e dx y y e )]sin ()1cos ([)1cos ()sin ( 22
11a d x d y D
??-=?-
= 2) 如图
?
??????-=+=ABOA
OA
BO
BOA
BOA
AB
AB
- -
其中
22
1)1cos ()sin (a dy y e dx y y e ABOA
x
x -=-+-?（见本题1） ,0,0:
==dy y BO 0)1cos ()sin (=-+-∴?Bo
x x dy y e dx y y e
y dx x OA ,0,0:== 由0变到a ，
a
a
y
y
dy
y
dy
y
e
dx
y
y
e a
a
OA
x
x-
=
-
=
-
=
-
+
-
∴?
?sin
)
(sin
)1
(cos
)1
cos
(
)
sin
(
a
a
a
a
a
a
ABOA OA
BO
AB
sin
2
)
(sin
2
-
2
2
-
-
=
-
-
-
=
-
=
∴??
?
?.
注：应用格林公式?
??+
=
??
?
?
?
?
?
?
-
?
?
L
D
Qdy
Pdx
dxdy
y
P
x
Q
时，除
x
Q
y
P
y
x
y
x
P
?
?
?
?
,
),
,
Q(
),
,
(连续
条件外，还要求：
1) D和L是正向关系，本题1)的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式.
2) 注意公式中)
,
Q(y
x前是"
"+号，如本题改写成?-
-
-
ABOA
x
x dy
y
e
dx
y
y
e)
cos
1(
)
sin
(，此时不能误认为y
e x cos
1
Q-
=，而应是1
cos
Q-
=y
e x.
★★★★2. 计算?+
-
L y
x
xdy
ydx
)
(22
2
，其中L为圆周2
)1
(2
2=
+
-y
x的逆时针方向.
知识点：格林公式.
思路:0=
?
?
-
?
?
y
P
x
Q
，应用格林公式方便,.但因L围的区域内含被积函数不连续的点)0,0(，故要把不连续的点)0,0(挖掉.
解：在L包围的区域内作顺时针方向的小圆周
θ
θ
ε
θ
ε,
sin
,
cos
:
1
=
=y
x
L变化从π2到0
在L与1L包围的区域D上，
[]x
Q
y
x
x
xy
y
y
P
?
?
=
+
-
-
=
?
?
4
8
4
2
2
2
2
2
及格林公式，有
)
(
4
)
(
)
4
(
1
2
2
=
?
?
-
?
?
=
+
-
+
+
??
?+dxdy
y
P
x
Q
y
x
dx
y
x
dy
y
x
D
L
L
?
?
+
-
+
+
-
=
+
-
+
+
=
∴
1
2
2
2
24
)
(
)
4
(
4
)
(
)
4
(
L
L y
x
dx
y
x
dy
y
x
y
x
dx
y
x
dy
y
x
I
π
θ
θ
θ
ε
θ
θ
ε
θ
ε
θ
ε
θ
ε
θ
ε
π
π
π
=
=
=
-
?
-
+
?
?
+
=
?
?
2
2
2
02
2
1
2
1
)
sin
(
)
sin
2
(
cos
(
cos
2
)
sin
2
4
cos
(
d
d
注：因L 围的区域内含被积函数不连续的点)0,0(，故此题不能直接用格林公式。
课后习题全解
习题10-3
★★1. 利用格林公式计算积分
?
-+++L
y y dy y xe xy dx e yx )2()(33
其中L 为正向圆周曲线 222
a y x
=+.
解：y xe xy e yx P y
y
2Q 3
3
-+=+=
2 ,2 3333--=??-??-+=??+=??∴
x y y
P x Q e y x Q e x y P y y 原式=
?
???
--=--≤+π
θθθ20
3
3330
33)2cos sin ()2(222d r r rdr dxdy x y a a
y x
20
2)4( a rdr a
ππ-=-=?
★★2. 利用格林公式计算积分
?
-+-L
dy xy y dx xy x )2()(232，其中L 顶点为)
2,2(),0,2(),0,0(和)2,0(的正方形区域的正向边界。
解：设L 围的区域为D: 20,20 ≤≤≤≤y x
xy y xy x P 2Q 232-=-=
y x Q xy y P 2 32-=??-=??∴
, 232 xy y y
P
x Q +-=??-?? 原式=????
+-=+-2
220
2)32()32(dy xy y dx dxdy xy y D
8)44()84()( 2
22
20
2
32=+-=+-=+-=??x x dx x dx xy y .
★★3. 计算
?+L
y xdy dx e 2
，其中L 是沿逆时真方向的椭圆 84 2
2x y x =+。 解：设L 围的区域为D
x e P y ==Q 2
1 2 2=??=??∴
x
Q
ye y P y ，
y P x Q ??-??
原式=
π
2)21(2
==-????
D
D
y dxdy dxdy ye
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有
022
=??
D
y dxdy ye .
★★4. 利用曲线积分，求星形线t a y t a x
33sin ,cos ==所围成图形的面积。
解：由公式?-=
L
ydx xdy 21
A
[]
d t t t a t a t t a t a ?
--?=π20
2323
)sin cos 3(sin cos sin 3cos
??=?=
ππ2022202222sin 8
3
sin cos 23tdt a dt t t a
π
π20
2202)
4sin 41(16324cos 183t t a dt t a -=-=?
22 8
3
2163a a ππ=?=
★★5. 求双纽线 )-() (222222
y x a y x
=+所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：θ2cos 2
2
a r =
21 )sin cos (sin )cos sin (cos 21
21
sin )(,cos )( 2???=-'-+'=-=∴==L
L L d r d r r r d r r r ydx
xdy A r y r x θ
θθθθθθθθθθθθ 由图形的对称性知：
244
24422sin 2
12cos 212a a d a A =?=?
=-
-?πππ
πθθθ
★★6. 计算
?+-L y x ydx x dy xy 2
222，其中L 为圆周 2
22a y x =+的顺时针方向。 解：L 参数方程为：t t a y t a x ,sin ,cos ==变化从π2到0
原式?-??-??=0
2
2
2222)sin (sin cos cos sin cos
π
a dt t a t a t a tdt a t a t a
2202220
2
2
2
2
1
2sin 21sin cos 2a tdt a dt t t a
πππ
-=-=?-=??
注：因L 围的区域内含被积函数不连续的点)0,0(，故此题不能用格林公式。
★★7. 计算
?+--L
dy y x dx y x
)sin ()(22
，其中L 是在圆周2
2 x x y -=上由
)0,0(到)1,1(的一段弧。
解：设)0,0(O ,)1,1(A ,)0,1(B 连接BO AB ,则BO AB L ,,围区域D
y x y x P 2
2sin Q - --==
0 ,1 1 =??-??-=??-=??∴
y
P x Q x Q y P
00)sin ()(22=-=+--???
++D
BO
AB L dxdy dy y x dx y x
???---++--=+--∴OB
BA
L
dy
y x dx y x dy y x dx y x dy
y x dx y x )sin ()()sin ()()sin ()(2
22222
10,0,1:≤≤==y dx x BA ,
?+--∴BA dy
y x dx y x )sin ()(222sin 4123)2sin 4123()22cos 11()sin 1(1
1
01
02+-=--=-+-=+-=??y y dy y dy y 10,0,0:≤≤==x dy y OB ，
?---∴OB dy y x dx y x )sin ()(223
131)0(1
031
02==-=?x dx x 原式2sin 4
1
67312sin 4123+-=++-=
★★8. 计算
?--+L
y
dx y dy e x )2
1()(sin ，其中L 是位于第一象限中的直线 1 =+y x 与位于第二象限中的圆弧 1 22
=+y x
构成的曲线，方向是由)0,1(A 到)1,0(B 再到)0,1(-C .
解：连接CA 则CA L ,围区域D ,
y e x y P sin Q 2
1
- +=+=
2 ,1 1 =??-??=??-=??∴
y
P x Q x Q y P
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312 cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是 tan sin ??==
∵ 22 22 ,, z z x y x a y b ?? =-=- ?? ∴ 22 22 z l a b ? ? =--= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y); (3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2) 22 () e x y -+ ; (5)z=xy(a－x－y),a≠0. 解：（1）解方程组 2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=? ? =-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6 在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. (2)解方程组 22 2 e(2241)0 2e(1)0 x x x y z x y y z y ?=+++=? ? =+= ?? 得驻点为 1 ,1 2 ?? - ? ??. 22 2 2 4e(21) 4e(1) 2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++ =+ = 在点 1 ,1 2 ?? - ? ??处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值 e 1 ,1 2 2 z??=- - ? ??. (3) 解方程组 2 2 (62)(4)0 (6)(42)0 x y z x y y z x x y ?=--=? ? =--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx=－2(4y-y2), Z xy=4(3－x)(2－y) Z yy=－2(6x－x2) 在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点. (4)解方程组 22 22 ()22 ()22 2e(1)0 2e(1)0 x y x y x x y y x y -+ -+ ?--=? ? --=?? 得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1， 在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0. 再讨论函数z=u e-u
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==； 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(102231 0=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解 y 2 x 4 过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a . 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 同济版高等数学课后习题 解析 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(2 1+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！ 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上 述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? L =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++≤≤=+L 而且 21lim 0n n →∞=，2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++= ?+? ?L . （2）因为22222240!1231n n n n n < =<-g g g L g g ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得高数课后习题及答案 第二章 2.3
高等数学课后习题及解答
高等数学上复旦第三版 课后习题答案
高等数学课后习题答案第六章
微积分课后题答案习题详解
同济版高等数学课后习题解析
大学《高等数学A》课后复习题及解析答案
高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解
同济版高等数学课后习题解析
高数课后题答案及详解
精品高数课后题答案及详解
微积分课后题答案习题详解
相关主题
文本预览