杭州二中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分,考试时间100分钟. 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中)
1.集合A={1,2,3,4},B={x|(x-1)(x-a )<0},若集合A I B={2,3,4},则实数a 的范围是( ) A .45a << B .45a ≤< C .45a <≤ D .4a >
2.已知13
19a =(),91log 3
b =,1
93c =,则c b a ,,的大小关系是( ) A .c b a >> B .b a c >> C .b c a >> D .a b c >>
3.已知函数()23log 3,0,
12,0,
x x f x f x x +?>?
=???
+≤ ???
??则()2f -=( ) A. 13 B. 3 C. 19
D. 9
4.下列函数是偶函数,且在[]0,1上单调递增的是( ) A .sin 2y x π?
?
=+
??
?
B .2
12cos 2y x =- C .|ln |||y x = D .()sin y x π=+ 5.已知锐角α满足cos2cos 4παα??
=-
???
,则sin cos αα等于( ) A.
14 B. 1
4
-
C.
D.
6.若12,e e u r u u r 是一组基底,向量12m xe ye =+u r u r u u r ,则称(,)x y 为向量m u r
在基底12,e e u r u u r 下的坐标,
现已知向量a r 在基底(1,1),(2,1)p q =-=u r r
下的坐标为(2,1)-,则向量a r 在另一组基底
(2,1),(4,1)m n =-=--u r r
下的坐标为( )
A.()2,1-
B.()1,2-
C.()1,2-
D.()2,1- 7.函数21
()cos log 2
f x x x =+
的零点个数为 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 8.将函数)6
2sin(2)(π
+
=x x f 的图象向左平移
12
π
个单位,得到)(x g 的图象,若12()()4g x g x =-,且]2,2[,21ππ-∈x x ,则12x x -的最大值为( )
A .
32
π
B .
52
π
C .
72π D .92
π
9.P 为三角形内部一点,k n m ,,为大于1的正实数,且满足k n m =++, 若PBC PAC PAB S S S ???,,分别表示PBC PAC PAB ???,,的面积,则PBC PAC PAB S S S ???::为( ) A.m n k ::
B.m n k :)1:1-+()(
C.
1
1
:
11:1+-k n m
D.222::m n k
10.已知函数|ln |,02,
()(4),24,
x x f x f x x <≤?=?
-<
x 1,x 2,x 3,x 4(x 1 A . 112 B .22- C .176 D .1 2 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分,把答案填在答卷中相应横线上) 11.设扇形的半径长为cm 4,面积为24cm ,则扇形的圆心角的弧度数是__________. 12.已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ,则=--)2 3sin()5sin(θπ πθ . 13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且(1)f x +为奇函数.若(4)1f -=,则 (2018)f =__________. 14.若(sin 2)13sin 13cos 16f x x x =++,则=)169 120 ( f . 15.设单位向量12,e e u r u u r 对任意实数λ都有1212122 e e e e λ +≤+u r u u r u r ,则向量12,e e u r u u r 的夹角为 ____________. 16.在△ABC 中,A ∠为钝角,2,3AB AC ==,231AO AB AC λμλμ=++=u u u r u u u r u u u r 且,若 ||AB xAC -u u u r u u u r (其中x 为实数)的最小值为1,则||AO u u u r 的最小值为___________ 17.函数1()|2|,[0,1],()2x f x x t t x t =- +-∈为常数的最大值为32 ,则t 的取值范围为_____________. 三、解答题:本大题共4小题,共42分. 18.已知函数()()sin ,f x A x ω?=+ (0,0,)2 A π ω?>><的 部分图像如图所示,P 为最高点,且ΔPMN 的面积为 2 π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式并写出函数的对称轴方程; (Ⅱ)把函数()y f x =图像向右平移 12π个单位,然后将图像上点的横坐标变为原来的υ 1(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若函数()y g x =在]5,0[内恰有5个函数值为2的点,求υ的取值范围. 19.已知函数 . (Ⅰ)求函数()f x 在区间[,]22 ππ - 上的单调性; (Ⅱ)若C B A ,,为ABC ?的三个内角,且A ∠= ∠,6 B π 为锐角,13 5 )(= A f ,求C cos 的值. 20.已知OAB ?的顶点坐标为(0,0)O ,(2,3)A ,(2,1)B --, 点P 的纵坐标为2,且 //OP PB u u u r u u u r ,点Q 是边AB 上一点,且OQ AP ⊥u u u r u u u r . (Ⅰ)求点P 与点Q 的坐标; (Ⅱ)以OQ OP ,为邻边构造平行四边形OPMQ ,(M 为平行四边形的顶点),若F E ,分别 在线段MQ PM ,上,并且满足|MQ| |MF| |PM||PE|=,试求OE OF ?u u u r u u u r 的取值范围. 21.已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈ (Ⅰ)当2a =时,求函数()()g x f x x =-的零点; (Ⅱ)当1a >,求函数()y f x =在[]1,3x ∈上的最大值; (Ⅲ)对于给定的正数a ,有一个最大的正数()M a ,使()0,x M a ∈????时,都有()2f x ≤,试求出这个正数()M a ,并求它的取值范围. 参考答案: 一、选择题: 1-5 DBDDA 6-10ACCBA 二、填空题 11. 21 12.103 13.1- 14.1-或33 15.π3 2 16.426- 17.41-≥t 三、解答题 18. (Ⅰ)由题设图象知,2 2||21π=?= MN S ΔPMN ,周期T π=, 22T π ω∴==. ∵点5,012π?? ???在函数图象上, 52012Asin π??? ∴? += ??? 即5+2,6k k Z π?ππ=+∈ 又∵2 2 π π ?- << , 从而6 π ?= . 2A =. 故函数()f x 的解析式为()226f x sin x π? ?=+ ???. 令2,6 2 x k k Z π π π+=+ ∈,解得,26 k x k Z ππ = +∈即为函数()f x 图像的对称轴方程. (Ⅱ)依题意,得()()22g x sin x υ=,要使得()y g x =在]5,0[内有5个函数值为2 的点 只需满足: ∵1145544T T ≤<,即12124554242ππυυ≤<,解得17212020 ππυ≤< 19.解:(Ⅰ) . 令Z k k x k ∈+≤ -≤+-,22 6 222 ππ π ππ 得Z k k x k ∈+≤ ≤+- ,3 6 ππ ππ ,所以函数()f x 在区间[,]22 ππ - 上的增区间为 ]3 ,6[π π- 令Z k k x k ∈+≤ -≤+,22 36 222 ππ π ππ 得 Z k k x k ∈+≤ ≤+,653ππππ ,所以函数()f x 在区间[,]22 ππ -上的减区间为]23[ππ,和]6 ,2[π π--