专题三 高考易错点分类例析——最后的查缺补漏
集合、逻辑用语、函数与导数
易错点1 遗忘空集致误
例1 已知A ＝{x ∈R |x <－1或x >4}，B ＝{x ∈R |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取
值范围是________．
补偿练习1 (1)已知集合A ＝?
??
?
??－1，12，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组
成的集合是 ( )
A ．{0，－1,2} B.????
??－12，0，1
C ．{－1,2}
D.???
?
??－1，0，12 (2)已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R }，若A ∩R *＝?，则实数p 的取值范围为____________．
易错点2 忽视元素互异性致误
例2 已知集合A ＝{1，x,2}，B ＝{1，x 2}，若A ∪B ＝A ，则x 的不同取值有________种情
况．
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
补偿练习2 若A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 为________． 易错点3 忽视区间的端点致误
例3 记f (x )＝2－x ＋3
x ＋1
的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )] (a <1)的定义域为B .若
B ?A ，则实数a 的取值范围是________．
补偿练习3 设A ＝{x |1
例4 命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是
( )
A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数
B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数
C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数
D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数
补偿练习4 已知集合M ＝{x |a 2x ＋2x －3
ax －1<0}，若2D ∈/M ，则实数a 的取值范围是________．
易错点5 充分条件、必要条件颠倒致误
例5 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另
一个根小于零，则p 是q 的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
补偿练习5 已知条件p ：|x ＋1|＞4，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a
的取值范围是
( )
A ．(－3，＋∞)
B ．[3，＋∞)
C ．(－∞，3)
D ．(－∞，－3]
易错点6 忽视函数定义域致误
例6 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为____________．
补偿练习6 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函
数，则实数k 的取值范围是
( )
A ．(12，3
2)
B ．(1，3
2)
C ．(12，3
2
]
D ．[1，3
2
)
易错点7 忽视二次项系数为0致误
例7 函数f (x )＝(k －1)x 2＋2(k ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数k 的取值集合是
__________．
补偿练习7 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，0]∪{1}
C ．(－∞，0)∪{1}
D ．(－∞，1)
易错点8 分段函数意义不明致误
例8 已知：x ∈N *
，f (x )＝?
????
x －5 (x ≥6)f (x ＋2)(x <6)，求f (3)．
补偿练习8 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝?
????
log 2(1－x )，x ≤0
f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)的值为
( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
易错点9 函数单调性考虑不周致误
例9 函数f (x )＝?
???
?
ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax
，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________． 补偿练习9 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1) 13的x 的取值 范围是 ( ) A.????13，23 B.???? 13，23 C.????12，23 D.????12，23 12 易错点10 混淆“过点”与“切点”致误 例10 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程． 补偿练习10 已知曲线S ：y ＝－2 3 x 3＋x 2＋4x 及点P (0,0)，则过点P 的曲线S 的切线方程为 ____________． 易错点11 函数极值点概念不清致误 例11 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________. 补偿练习11 已知函数f (x )＝x 44＋b 3x 3－2＋a 2x 2＋2ax 在点x ＝1处取极值，且函数g (x )＝x 44＋ b 3 x 3－a －12x 2－ax 在区间(a －6,2a －3)上是减函数，求实数a 的取值范围． 易错点12 导数与函数单调性关系不准致误 例12 函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 补偿练习12 已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 __________． 三角函数与平面向量 易错点13 忽视角的范围致误 例13 已知sin α＝55，sin β＝10 10，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 补偿练习13 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0 (a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α， β∈????－π2，π2，则tan α＋β2的值是________． 易错点14 图象变换混乱致误 例14 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝ 2 2 (cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 补偿练习14 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π 10 个单位长度，再把所得各点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ????2x －π 10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ??? ?12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π20 易错点15 解三角形多解、漏解致误 例15 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3. (1)若C ＝π 3，求A ； (2)若A ＝π 6，求b ，c . 补偿练习15 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 易错点16 向量夹角定义不明致误 例16 已知等边△ABC 的边长为1，则·＋·＋·＝________. 补偿练习16 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则·＝________. 答案 152 解析 方法一 在△ABD 中，由余弦定理得 AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， ∴AD ＝7， cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝57 14， ∴·＝||·||·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝15 2. 方法二 ∵＝＋， ∴·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋||||·cos 120°＝9＋3×1×????－12＝15 2. 易错点17 忽视向量共线致误 例17 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是 __________． 错解 ∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1. 因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1 >0?2λ＋1>0， 得λ>－1 2 ，λ的取值范围是????－12，＋∞. 错因分析 当向量a ，b 同向时，θ＝0，cos θ＝1满足cos θ>0，但不是锐角． 正解 ∵θ为锐角，∴0 |a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1， ∴0< 2λ＋1 5·λ2＋1且2λ＋1 5·λ2＋1≠1， ∴??? 2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2 ＋1，解得????? λ>－12，λ≠2. ∴λ的取值范围是? ??? ??λ|λ>－12且λ≠2. 易错突破 在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a ，b 为非零向量，a 与b 的夹角为θ，则①θ为锐角?a·b >0且a ，b 不同向；②θ为直角?a·b ＝0；③θ为钝角?a·b <0且a ，b 不反向． 补偿练习17 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π 3 .若向量2t e 1＋7e 2 与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的范围． 解 ∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0且2t e 1＋7e 2≠λ(e 1＋t e 2)(λ<0)． 由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0得2t 2＋15t ＋7<0， ∴－7 2. 若2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)， ∴(2t －λ)e 1＋(7－tλ)e 2＝0. ∴? ???? 2t －λ＝07－tλ＝0，即t ＝－142， ∴t 的取值范围为－7 2 . 数列与不等式 易错点18 运用公式“a n ＝S n －S n －1”不当致误 例18 已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n － 1a n ＝8－5n ，则数列{a n } 的通项公式为________． 错解 ∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n － 1a n ＝8－5n ， ∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n － 2a n －1＝8－5(n －1)， 两式相减，得2n － 1a n ＝－5， ∴a n ＝－5 2 n －1. 错因分析 当n ＝1时，由题中条件可得a 1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a 1＝－5，显然是错误的．其原因是：两式相减时，所适用的条件是n ≥2，并不包含n ＝1的情况．只有所求的通项公式对n ＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写． 正解 当n ≥2时，由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n － 1a n ＝8－5n ， 那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n － 2a n －1＝8－5(n －1)， 两式对应相减可得2n － 1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5， 所以a n ＝－5 2 n －1. 而当n ＝1时，a 1＝3≠－5 2 1－1＝－5， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝????? 3， n ＝1，－5 2 n －1， n ≥2. 易错突破 本题实质上已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n 与S n 的关系中，a n ＝S n －S n －1，成立的条件是n ≥2，求出的a n 中不一定包括a 1，而a 1应由a 1＝S 1求出，然后再检验a 1是否在a n 中，这是一个典型的易错点． 补偿练习18 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式为 __________． 答案 a n ＝???? ? 3，n ＝1，2n ，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝n 2＋n ＋1－(n －1)2－(n －1)－1＝2n ， ∴a n ＝? ??? ? 3，n ＝1，2n ，n ≥2. 易错点19 忽视等比数列公比的条件致误 例19 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( ) A ．150 B ．－200 C ．150或－200 D ．400或－50 错解 C 错因分析 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200. 正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0， ∴r ＝2，r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24) 1－2 ＝150. 易错突破 在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，S n 中q ≠1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比为q 10>0. 补偿练习19 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q ＝________. 答案 1或－1 解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9， 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q ∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 易错点20 数列最值意义不清致误 例20 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n 的最小值为________． 错解 233－1 错因分析 忽视了n 为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意和函数最值的区别． 正解 a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n －1. 又f (x )＝x ＋33 x －1(x >0)在[33，＋∞)上为增函数，在(0，33]上为减函数． 又n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝21 2 ， ∴????a n n min ＝f (6)＝212 . 易错突破 研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决．关于正整数n 的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值． 补偿练习20 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列{na n }中数值最小的 项是第________项． 答案 3 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2＋10(n －1)＝2n －11. 可以统一为a n ＝2n －11(n ∈N *) 故na n ＝2n 2－11n ， 该关于n 的二次函数的对称轴是n ＝114 ， 考虑到n 为正整数，且对称轴离n ＝3较近，故数列{na n }中数值最小的项是第3项． 易错点21 数列递推关系转化不当致误 例21 已知函数f (x )＝2x x ＋1，数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝f (a n )，b n ＝a n 1－a n ，n ∈N *，求数列 {b n }的通项公式． 错解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a n a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0，a n (a n ＋1－2)＋a n ＋1＝0. 错因分析 递推关系转化不当，无法求出b n . 正解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a n a n ＋1 ， ∴1a n ＋1＝12＋12a n . ∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又b n ＝a n 1－a n ， ∴1b n ＝1a n －1，∴1b n ＋1＝12·1b n ， ∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1 1－a 1 ＝2， ∴{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴b n ＝2n . 易错突破 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化．掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率． ①a n ＋1＝qa n ＋k 形式可用待定系数法：a n ＋1＋λ＝q (a n ＋λ)； ②a n ＋1＝ma n a n ＋n 形式可用取倒数法； ③观察法，如a n ＋1＝2(1＋1n )2a n ?a n ＋1(n ＋1) 2＝2·a n n 2. 补偿练习21 已知数列{a n }满足a 1＝1 3，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n ，S n 表示数列{a n }前n 项和．求证： S n <1. 证明 由a 1＝1 3 ≠0，易知对于任意的n ，a n ≠0. a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n 可化为2a n －1 a n ＋1 ＝1， 1 a n ＋1－1＝2????1a n －1. 令b n ＝1 a n －1，则 b 1＝2，b n ＋1＝2b n .所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． b n ＝1a n －1＝2n ，所以a n ＝1 2n ＋1 ， 则S n ＝121＋1＋122＋1＋123＋1＋…＋1 2n ＋1 <121＋122＋…＋12 n ＝1－12n <1. 易错点22 忽视基本不等式的应用条件致误 例22 函数y ＝x ＋2 x －1 的值域是________． 错解 [22＋1，＋∞) 错因分析 错解中直接使用基本不等式，而忽视了应用条件x －1>0时的情况被忽视． 正解 当x >1时，y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2x －1＋1≥2 (x －1)·2 x －1＋1＝22＋1，当且 仅 当x －1＝2 x －1 ， 即x ＝1＋2时等号成立； 当x <1时，－y ＝－x ＋21－x ＝1－x ＋2 1－x －1 ≥2 (1－x )·2 1－x －1＝22－1，∴y ≤1－22； 当且仅当1－x ＝2 1－x ，即x ＝1－2时等号成立． ∴原函数的值域为(－∞，1－22]∪[1＋22，＋∞)． 易错突破 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等” 的条件．本例由于忽视了x －1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式a ＋b 2≥ ab 时，首先应考虑a ，b 是否为正值． 补偿练习22 函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2 ＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1 n 的最小值为________． 答案 2 解析 因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)， 由题意，知点A 在直线mx ＋ny －2＝0上， 所以，m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12(1m ＋1 n )×(m ＋n ) ＝12(2＋n m ＋m n )， 因为mn ＞0，所以n m ＞0，m n ＞0. 由基本不等式，可得n m ＋m n ≥2 n m ×m n ＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12×(2＋n m ＋m n )≥1 2×(2＋2)＝2， 即1m ＋1 n 的最小值为2. 易错点23 解含参数不等式讨论不当致误 例23 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 错解 原不等式化为a (x －1 a )(x －1)<0. ∴当a >1时，不等式的解集为???? 1a ，1. 当a <1时，不等式的解集为??? ?1，1a . 错因分析 解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a ＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a 时，若a <0，忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合． 正解 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}． 当a ≠0时，不等式化为a ??? ?x －1 a (x －1)<0. 当a <0时，原不等式等价于????x －1a (x －1)>0，不等式的解集为{x |x >1或x <1a }； 当0 a }； 当a >1时，1a <1，不等式的解集为{x |1 a 当a ＝1时，不等式的解集为?. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为????－∞，1 a ∪(1，＋∞)； 当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； 当01时，不等式的解集为???? 1a ，1. 易错突破 解形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式，应对系数a 分a >0，a ＝0，a <0进行讨论， 还要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集． 补偿练习23 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ?[1,4]，求实数a 的取值范围． 解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， 有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)． ①当Δ<0，即－1 若a ＝－1，则M ＝{－1}?[1,4]，若a ＝2，则M ＝{2}?[1,4]； ③当Δ>0，即a <－1或a >2时，设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1 f (1)≥0，f (4)≥0，10， 解得2 7 . 综上，可得M ?[1,4]时，a 的取值范围是????－1，187. 易错点24 线性规划问题最值意义不明致误 例24 设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝ 2 2 围成的三角形区域(包含边界)为D ，点P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 错解 32 2 错因分析 没有理解线性规划中目标函数的几何意义，认为目标函数一定在最高点处取到最大值，最低点时取到最小值． 正解 －2 2 易错突破 对于线性规划问题中的目标函数z ＝ax ＋by ，可以化成y ＝－a b x ＋z b 的形式， z b 是直线的纵截距，当b <0时，z 的最小值在直线最高时取得． 补偿练习25 已知－1 解析 画出不等式组? ??? ? －1 行域内平移直线z ＝2x －3y ，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的 交点A (3,1)时，有z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝ －1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，有z max ＝2×1＋3×2＝8， 故z 的取值范围为(3,8)． 立体几何 易错点25 三视图识图不准确致误 例25 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________． 错解 4 0003 错因分析 没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系． 正解 如图所示，作几何体S －ABCD 且知平面SCD ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，作SE ⊥CD 于点E ，得SE ⊥平面ABCD 且SE ＝20. ∴V S －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SE ＝8 0003 ； ∴这个几何体的体积是8 000 3 . 易错突破 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑． 补偿练习25 (2013·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等 于________ cm 3. 答案 24 解析 由三视图可知，其直观图为： AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5. 作AH ⊥BC 于H ， AH ＝AB ·AC BC ＝125 . 作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N .连接MN . V ＝13×(5×3)×125＋(3×4)×1 2×2＝24. 易错点26 线面关系定理条件把握不准致误 例26 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点． (1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C . 错解 (1)连接BD 1， ∵E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．∴EF ∥D 1B ， ∴EF ∥平面ABC 1D 1. (2)AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1，∴EF ⊥AC . 错因分析 推理论证不严谨，思路不清晰． 正解 (1)连接BD 1，如图所示， 在△DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，则EF ∥D 1B . ? ????EF ∥D 1B D 1B ?平面ABC 1D 1EF ?平面ABC 1D 1 ?EF ∥平面ABC 1D 1. (2)ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体?AB ⊥面BCC 1B 1 ??????B 1C ⊥AB B 1 C ⊥BC 1 AB ，BC 1 ?平面ABC 1 D 1 AB ∩BC 1 ＝B ? ??? ??B 1C ⊥平面ABC 1D 1 BD 1?平面ABC 1D 1 ? ??? ??B 1C ⊥BD 1 EF ∥BD 1?EF ⊥B 1C . 易错突破 证明空间线面位臵关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等． 补偿练习26 如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行 四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD . 证明 (1)方法一 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 在△ABD 中，由余弦定理，得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD . 又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2. 所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD . 又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1?平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . 方法二 因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥D 1D . 如图，取AB 的中点G ，连接DG . 在△ABD 中，由AB ＝2AD ， 得AG ＝AD . 又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形， 所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB . 又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°， 所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD . 又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1?平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC 、A 1C 1. 设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1. 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC . 由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1 知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1. 又因为EA 1?平面A 1BD ，CC 1?平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD . 易错点27 空间向量概念不清致误 例27 在△ABC 中，已知＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________. 错解 cos 〈，〉＝＝－2＋1225·10＝2 2 . ∴∠ABC ＝45°. 错因分析 概念混淆，没有搞清〈，〉和∠ABC 的区别． 正解 ∵＝(－2，－4,0)，＝(－1,3,0)， cos 〈，〉＝＝2－1225·10＝－2 2， ∴∠ABC ＝135°. 易错突破 弄清向量夹角与几何图形中的角的区别与联系．在用向量表示角的时候，一定要特别注意向量的起点是否相同，以此决定二者是相等还是互补． 补偿练习27 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠b ，记|a －b |＝m ，求a －b 与x 轴 正方向的夹角的余弦值． 解 设a －b 与x 轴正方向的夹角为θ，取x 轴上一点P ，令＝(1,0,0)，则由题意可得： cos θ＝＝a 1－b 1 m ， 所以a －b 与x 轴正方向的夹角的余弦值为a 1－b 1 m . 易错点28 混淆空间角与两向量夹角致误 例28 如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为 a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点． (1)求异面直线P A 与DE 所成角的余弦值； (2)求AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 错解 如图所示，取DC 的中点O ，连接PO ， ∵△PDC 为正三角形， ∴PO ⊥DC . 又∵平面PDC ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD . 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ， 则P (0,0，32a )，A (a ，－a 2，0)，B (a ，a 2，0)，C (0，a 2，0)， D (0，－a 2 ，0)． (1)E 为PC 的中点，∴E (0，a 4，3 4 a )， 33a 3 ∴·＝34a ×(－a 2)＋34a ×(－32a )＝－34 a 2， ||＝2a ，||＝3 2 a ， cos 〈，〉＝＝－34a 2 2a ×3 2a ＝－6 4. ∴异面直线P A 与DE 所成角的余弦值为－64 . (2)∵平面ABCD 的法向量n ＝(0,0， 3 2 a )， ∴cos 〈，n 〉＝＝ －34 a 22a ×3 2 a ＝－64. ∴AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为－ 64 . 错因分析 (1)异面直线P A 与DE 所成的角为锐角或直角，余弦值一定非负．(2)直线AP 与平面ABCD 所成的角不是与平面ABCD 的法向量所成的角． 正解 (1)在求出cos 〈，〉＝－6 4后， ∵异面直线P A 、DE 所成的角是锐角或直角， ∴异面直线P A 、DE 所成角的余弦值是6 4 . (2)cos 〈，n 〉＝－6 4 ， ∴直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为6 4 . 易错突破 本题失分的根本原因是概念不清，混淆了空间角与向量所成角的概念，当然运算错误也是常见的一种失分原因．要避免失分，首先要理解空间角与向量所成角是两个不同的概念；其次要理清向量的夹角与空间角的关系，如：异面直线P A 与DE 所成 的角的取值范围是(0，π 2 ]，向量与所成的角〈，〉的取值范围是[0，π]， ∴cos θ＝|cos 〈，〉|.线面角θ的范围是[0，π 2]， sin θ＝|cos 〈，n 〉|＝. 补偿练习28 如图，正方形ABCD 的边长为2，将四条边对应的等腰三角形折起构成一个 正四棱锥P —ABCD . (1)当Q 为PC 的中点时，证明：P A ∥平面BDQ ； (2)当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线P A 与BC 所成的角为60°； (3)当侧棱与底面所成的角为60°时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值． (1)证明 连接AC 交BD 于点O ，连接OQ ， ∵点O ，Q 分别是AC ，PC 的中点， ∴OQ ∥AP ， 又OQ ?平面BDQ ，P A ?平面BDQ ， ∴P A ∥平面BDQ . (2)解 建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示， 不妨设高OP ＝x ， 则A (1，－1,0)，P (0,0，x )， 所以＝(－1,1，x ) 而＝(－2,0,0)， 所以cos 〈，〉＝＝ 22＋x 2·2＝1 2＋x 2 ， 要使异面直线AP 与BC 所成的角为60°，只需12＋x 2＝cos 60°＝1 2，解得x ＝2， 此时侧棱长也就是三角形的腰长为2. (3)解 侧棱与底面所成的角为60°时，也就是∠PBO 为60°时，OP OB ＝3，而OB ＝2， 所以OP ＝ 6. 所以＝(－1,1，6)，＝(0,2,0)， 不妨设平面P AB 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有 ， 即? ?? －x ＋y ＋6z ＝02y ＝0，不妨令x ＝6，可得 n 1＝(6，0,1) 同理可得平面PBC 的一个法向量n 2＝(0，6，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝17·7＝1 7 ， 所以相邻两个侧面所成的二面角的余弦值为－1 7 . 解析几何 易错点29 忽视倾斜角的范围致误 例29 经过点(－2,3)，倾斜角是直线3x ＋4y －5＝0倾斜角一半的直线的方程是________． 错解 设所求直线的倾斜角为α， 则tan 2α＝－34，∴tan α＝－1 3 或tan α＝3. 故所求直线的方程为x ＋3y －7＝0或3x －y ＋9＝0. 错因分析 错解中只注意了直线倾斜角的关系，而忽视了直线倾斜角的范围，导致增解． 正解 由tan 2α＝－34，可得π 2 <2α<π， ∴π4<α<π2，故tan α＝－1 3(舍去)或tan α＝3， 因此所求直线的方程为3x －y ＋9＝0. 易错突破 在求直线倾斜角的过程中，如果遇到一些不确定的变量(如斜率、字母、角度等)时，要根据倾斜角的范围进行合理的分类，确定出相应的倾斜角． 补偿练习29 已知点P 在曲线y ＝4 e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取 值范围是__________． 答案 3π 4 ≤α<π 解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ， 则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝－4 e x ＋1 e x ＋2 ， 因为e x >0，所以由基本不等式得k ≥－4 2e x ·1 e x ＋2 ＝－1.又k <0，所以－1≤k <0，即－1 ≤tan α<0，所以3π 4≤α<π. 易错点30 忽视直线斜率的特殊情况致误 例30 a 为何值时，(1)直线l 1：x ＋2ay －1＝0与直线l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行？ (2)直线l 3：2x ＋ay ＝2与直线l 4：ax ＋2y ＝1垂直？ 错解 (1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0的方程可变形为y ＝－12a x ＋ 1 2a 与y ＝3a －1a x －1a ， ∴当－12a ＝3a －1a 且12a ≠－1 a ， 即a ＝1 6 时，两直线平行． (2)当－2a ???? －a 2＝－1时，两直线垂直，此方程无解，故无论a 为何值时，两直线都不垂直． 错因分析 (1)没考虑斜率不存在即a ＝0的情况；(2)没有考虑l 3的斜率不存在且l 4的斜率为0也符合要求这种情况． 正解 (1)①当a ＝0时，两直线的斜率不存在，直线l 1：x －1＝0，直线l 2：x ＋1＝0，此时，l 1∥l 2. ②当a ≠0时，l 1：y ＝－12a x ＋1 2a ， l 2：y ＝3a －1a x －1 a ， 直线l 1的斜率为k 1＝－1 2a ， 直线l 2的斜率为k 2＝3a －1 a ， 要使两直线平行，必须??? －12a ＝3a －1a ，12a ≠－1 a ， 解得a ＝1 6 . 综合①②可得当a ＝0或a ＝1 6 时，两直线平行． (2)方法一 ①当a ＝0时，直线l 3的斜率不存在，直线l 3： x －1＝0，直线l 4：y －1 2 ＝0，此时，l 3⊥l 4. ②当a ≠0时，直线l 3：y ＝－2a x ＋2a 与直线l 4：y ＝－a 2x ＋12，直线l 3的斜率为k 3＝－2 a ， 直线l 4的斜率为k 4＝－a 2 ，要使两直线垂直，必须k 3·k 4＝－1， 即－2a ·???? －a 2＝－1，不存在实数a 使得方程成立． 综合①②可得当a ＝0时，两直线垂直． 方法二 要使直线l 3：2x ＋ay ＝2和直线l 4：ax ＋2y ＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A 1A 2＋B 1B 2＝0，即2a ＋2a ＝0，解得a ＝0，所以，当a ＝0时，两直线垂直． 易错突破 求直线方程，特别是研究含参数的直线方程问题时，一定要对直线斜率的存在性进行讨论，这是避免出错的重要方法． 补偿练习30 已知直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和直线l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使 得：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2. 解 (1)A 1B 2－A 2B 1＝0，即1－2sin 2θ＝0，∴sin 2θ＝12 ， ∴sin θ＝±2 2 .由B 1C 2－B 2C 1≠0，即1＋sin θ≠0， 即sin θ≠－1，∴θ＝k π±π 4 ，k ∈Z ， ∴θ＝k π±π 4，k ∈Z 时，l 1∥l 2. (2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0，即2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0. ∴θ＝k π，k ∈Z ，∴θ＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 易错点31 忽视曲线中的隐含条件致误 例31 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，且过定点A (1,2)作圆的 切线有两条，求a 的取值范围． 错解 将圆C 的方程配方有 (x ＋a 2)2＋(y ＋1)2 ＝4－3a 24 . ∴圆心C 的坐标为(－a 2，－1)，半径r ＝4－3a 22. 当点A 在圆外时，过点A 可以作圆的两条切线， ∴|AC |>r ，即(1＋a 2)2＋(2＋1)2 >4－3a 22， 化简得a 2＋a ＋9>0，Δ＝1－4×9＝－35<0， ∴a ∈R . 错因分析 错解中只考虑了点A 在圆C 外部，而忽视了圆C 的方程是圆的一般式方程，x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0表示圆的条件没有考虑． 正解 将圆C 的方程配方有(x ＋a 2)2＋(y ＋1)2 ＝4－3a 24 ， ∴4－3a 24 >0，① ∴圆心C 的坐标为(－a 2，－1)，半径r ＝4－3a 22. 当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，∴|AC |>r ， 即(1＋a 2)2＋(2＋1)2 >4－3a 22， 化简得a 2＋a ＋9>0.② 由①②得－233 3 ，