三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O 是ABC ?的重心0OC OB OA
=++;
若O 是ABC ?的重心，则
ABC AOB AOC BOC S 31
S S S ????=
==故
=++;
1()
3
PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心.
2．O 是ABC ?的垂心OA OC OC OB OB
OA ?=?=?;
若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则
C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=???
故C tan B tan A tan
=++
3．O 是ABC ?的外心||||||==(或2
2
2
OC OB OA ==)
若O 是ABC ?的外心则
C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：
故0OC C 2sin OB B 2sin OA
A 2sin =++
4．O
是内心ABC ?的充要条件是
|
CB ||
CA |(
|
BC ||
BA |(
AC
|
AB |(
=?=?=?
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才
O 是ABC ?内心的充要
条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是ABC ?内心的充要条件也可以
是0OC c OB b OA
a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则c
b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=???
故
0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;
||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
是ABC ?的内心;
向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r
u u u
r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；
(一)
将平面向量与三角形内心结合考查
例1．
O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+
+=λ，[)
+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（
）
（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u
r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则
原式可化为
)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC
?中，AP 平分BAC ∠，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB
PA ?=?=?，则P 是△ABC 的（D
）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析:由0=?-??=?PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=?=-?CA PB PC PA PB 即
则AB PC BC PA CA PB
⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ?的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中GE GC GB =+
连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ?BGCE 为平行四边形?D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，
得EG GA +=0?GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心?)(3
1
PC PB PA PG ++=
. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=?)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0?CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3
1
PC PB PA PG ++=
.（反之亦然（证略）
） 例6 若O 为ABC ?内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，则O 是ABC ? 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r
，
由平行四边形性质知12
OE OD =u u u r u u u r
，2OA OE
=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O 为ABC ?内一点，OA OB OC
==u u u r u u u r u u u r
，则O 是ABC ? 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
解析：由向量模的定义知O 到ABC ?的三顶点距离相等。故O 是ABC ? 的外心，选B 。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2
1
-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2
1-
， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.
反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，
1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |?点O 是正△P 1P 2P 3的中心.
例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：
112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （
、、 由题设可设1324,)(,)2
x Q y H x y （、, 122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ，
212(,)BC x x y =-u u u r
2212422142
()0()
AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴?=-+=-∴=-
u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r
2122232212
32()()0222
()22QF AC x x y
QF AC x y y x x x y y y ⊥∴?=-+-=-∴=+
u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r
1212212
24323()(,),22
x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y
21122122212
3212212212212
2()(,),)
3233223()23()1 (
,(,6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH
+--∴=--=------=--=--u u u r u u u
u r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r
，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2
例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OC OB OA OH ++=. 证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .
∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，
∴四边形AHCD 为平行四边形，
∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.
着名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 3
1
= 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心?)(3
1
OC OB OA OG ++=
按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 3
1
=
. 补充练习
1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
OP =
31 (
21OA +OB 2
1
+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ） 边中线的中点 边中线的三等分点（非重心） C.重心 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则
OM
OB OA 2=+，由
OP
=
3
1 (
2
1OA +
OB 2
1+2
OC
)可得
3MC OM OP 23+=，∴MC MP 3
2=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故
选B.
2．在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式：
2O A u u u u u r ＋2BC u u u u u u r ＝2OB u u u u u u r ＋2CA u u u u u r ＝2OC u u u u u u r ＋2
AB u u u u u u r
，则Ｏ为
ABC ?的 （D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0
PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r ，则P 为
ABC
?的
（C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：
0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P 点为三角形的 （D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=u u u r u u u r u u u r
，则
P 点为三角形的
（B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP
AB CB CA ?-=22
2，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
解析：非零向量与满足(||||
AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r )·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||
AB AC AB AC ?u u u r u u u r
u u u r u u u r =1
2 ，∠A =3π，
所以△ABC 为等边三角形，选D ．
8.ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 1
9.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB
OA ?=?=?，则点O 是ABC ?的（B
）
（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点
（C ）三条中线的交点
（D ）三条高的交点
10. 如图1，已知点G 是ABC ?的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u u v u u u v
， AN y AC =u u u v u u u v ，则11
3x y
+=。
证 点G 是ABC ?的重心，知GA GB GC
++=u u u v u u u v u u u v
O ，
得()()AG AB AG AC AG -+-+-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v O ，有1()3
AG AB AC =+u u u v u u u v u u u v
。又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN 上），
于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=u u u v u u u u v u u u v
且， 有AG x AB y AC λμ=+u u u v u u u v u u u v =1()3
AB AC +u u u v u u u v ，
得1
1
3x y λμλμ+=??
?==??
，于是得113x y +=。 例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程： 1、课前练习
已知O 是△ABC 内的一点，若2
22
==，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心 在△ABC 中，有命题①
=-；②=++；③若()()
0=-?+，则△ABC
为等腰三角形；④若
0>?，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A 、①②
B 、①④
C 、②③
D 、②③④
2、知识回顾
三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 向量的有关性质
上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC
中，有0=??? ?+BC
21
=?,试判断△ABC 的形状。 练习1、已知△ABC 中，
=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O 是△ABC
+=+=+，则O 是△ABC 的
〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P
满足()+∞∈?
?++=,0,λλ，则动点P 一定
过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足()+∞∈??
?
??++=,0,21λλ，
则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P
满足()+∞∈?
?
?+=,0,λλOA OP ，则
动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练
习
3
、
已
知
O
是
△
ABC
所
在
平
面
内
的
一
点
，
动
点
P
满
足
()+∞∈?
? ?+++=,0,2λλOC OB ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且y x ?=?=,，求证：
31
1=+y
x 6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进
行转化是处理这类问题的关键。 7、作业
1、已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心 2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则?等于〔 〕
A 、
21 B 、0 C 、1 D 、2
1- 3、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 、所对的过分别是a 、b 、c 若=?+?+?c b a ，则O
是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心 4、已知P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的一点，满足
AP AC AB 3=+，则P 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、平面上的三个向量、、满足=++
1===，求证：△ABC 为正三
角形。
6、在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求)(+?
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，
最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。
一、“重心”的向量风采
【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r
，则G 是ABC △的重心．如图⑴.
A'
A
【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r
，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.
【解析】 由题意()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r 表示BC 边上的中线所在直线
的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若?=?=?，则P 是ABC △的垂心．
【解析】 由PA PB PB PC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，得()0PB PA PC ?-=u u u r u u u r u u u r ，即0PB CA ?=u u u r u u u r ，所以PB CA u u u r u u u r
⊥．同理可证PC AB u u u r u u u r ⊥，PA BC u u u r u u u r
⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.
【命题4】 已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足图⑴ 图⑵ 图⑶
图⑷
A
O
cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ??
?
=++ ??
?
uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r
，(0)λ∈+∞，
，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．
【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ?? ?=+ ?
??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ?? ?+?= ???
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 即0cos cos AB BC AC BC
BC CB AB B AC C
??+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u u r u u u u r u u u r u u u r
,所以AP u u u r 表示垂直于BC uuu r 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r
，
则I 是ABC △的内心．
【解析】 ∵IB IA AB =+u u r u u r u u u r ，IC IA AC =+u u
r u u r u u u r ，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=u u r u u u r u u u r ，
∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC
?? ?+=?+?=??+
??
?
u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴bc AB AC AI a b c AB AC
?? ?=
+
?++?
?
u u u r u u u r u u r u u u r u u u r ．∵AB AB u u u r u u u r 与AC
AC
u u u r
u u u r 分别为AB u u u r 和AC u u u r 方向上的单位向量， ∴AI u u r
与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．
同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.
【命题6】 已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ?? ?
=++ ???
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0)λ∈+∞，
，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心． 图⑸
图⑹
B
【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ??
?
=+ ?
?
?
u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r ，∴当(0)λ∈+∞，
时，AP u u u r 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222
OA OB OC ==u u u u r u u u u r u u u u r
，则O 是ABC △的外心．
【解析】 若222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，∴OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r
，则O 是ABC △的外
心，如图⑺。
【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
2
cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ???u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。 【解析】 由于2
OB OC +u u u r u u u r 过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ?? ?+ ???
u u u r u u u r u u u r u u u r
表示垂直于BC uuu r 的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，
如图⑻。
图⑺
图⑻
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.
本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期 三角形“四心”的向量特征及应用 浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353） 翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考. 1 三角形重心的向量特征 定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ== 证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(3 1?+?=?. 故0=++GC GB GA . 由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB . 即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=3 1, 故 .CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为 =++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论. 推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠??λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知, 点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S . 由于)''sin ''2 1(:)sin 21 (:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠??∠??=ΔΔ | |||1'21'λλ?=?=PB PB PA PA ,即||||21''λλ?=ΔΔPB A APB S S ,
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3.共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫 做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在 实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在 一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序 实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故C tan B tan A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA || BC || BA |AC | AB |( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分 线所在直线)； 二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1 ．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+ +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B
相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
向量知识点归纳与常见题型总结 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“a＞b”错了，而| a | ＞ | b | 才有意义 . ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量 . ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中 x 、y满足x2y2＝1 （可用（ cos ,sin）（ 0≤≤2π）表示） . 特别： AB 表示与 AB 同向的单位向量。|AB| 例如：向量直线)；( AB AC )(0) 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在|AB||AC| 例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足OP OA(AB AC )[0,). |AB|| AC 则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。 →→→→ → →→ 1 AB + AC AB · AC =, 则△ABC 为() (变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 (→→)·BC=0 且→→2 |AB ||AC ||AB ||AC | A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形(06 陕西 ) ⑸ 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 . ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是－ a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量 a 和 b 不共线时， a b 的方向与 a 、b 都不相同，且| a b |＜| a |＋| b |； ②当两个向量 a 和 b 共线且同向时， a b 、a 、b 的方向都相同，且 | a b || a || b |； ③当向量 a 和 b 反向时，若| a |＞| b |， a b 与 a 方向相同，且 |a b |=| a |-| b |； 若 | a | ＜ | b | 时 , a b 与 b方向相同，且 | a＋b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AB BC AC;AB AC CB 例 2： P 是三角形 ABC 内任一点，若CB PA PB,R ，则P一定在（）
相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A
三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用 知识点总结 1．O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 若 O 是 S BOC S AOC S AOB 1 S ABC OA OB OC 0 ; ABC 的重心，则 3 故 uuur uuur uuur uuur G 为 ABC 的重心 . PG 1 ( PA PB PC ) 3 2．O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S ： S tan A ： ： AOC AOB tan B tan C 故 tan AOA tan BOB tan C OC 0 2 2 2 3．O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | (或 OA OB OC ) 若 O 是 ： ： sin ： ： ABC 的外心则 S BOC S AOC S AOB BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2C OC OA ( AB AC OB BA BC OC CA CB ) 0 4． O 是内心 ABC 的充要条件是 ) ( ) ( | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB | 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件 可以写成 OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) ， O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA b OB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ： b ： c 故 aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ; uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ; A | AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是 e 1 e 2 uuur uuur 向量 AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直 B C ( uuur uuur | AB | | AC | 线) ； P 范 例 ( 一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,则 AB AC P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ） （A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心 AB uuur uuur uuur 又 OP OA AP ，则原 解析：因为 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ， AB
相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=-
三角形四心的向量问题 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心??=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心， 则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |OC | BC || BA |( OB AC | AB |OA =-?=-?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则 刚 才 O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++
机械识图知识点总结 图之功能各国标准尺度比例线之种类与用途角法与视图 图之功能 1. 信息传递：把设计者之构想绘制成图，传递给加工制作人员、检验人员等。 2. 国际性：图为技术界的国际语言，即须具有国际语言之性格，如图形表法，标注方法或符号定义必须完全统一规格。 3. 泛用性：随着技术的发展，目前在各种产业上的互相关连加深，因此需画出各种行业均能了解之图。 TOP 各国标准 TOP 尺度比例 尺度单位 工至机械制图用基本长度单位，通常采用 mm ，可以不用在图中表示。儒需使用其它单位时，则必须注明单位符号。英制则以 in. 为基本长度单位，而不必标注。
常用比例 机械制图再绘图时，因尽量画出较大之圆形，以便于微缩影储存。通常以 2,5,10 之倍数为常用比例或按实物大小画出。 长用比例如下所列： 实大比例：1：1 缩小比例：1：2，1：2.5，1：4，1：5，1：10，1：20，1：50，1：100，1：200，1：500，1：1000 。 放大比例：2 ：1，5：1，10：1，20：1，50：1，100：1。 TOP 线之种类与用途
线之粗细与其使用 通常绘图时，粗实线之线宽须按图之大小与其复杂程度而订定，在同一张图中使用粗线之线宽必须均匀一致，中线与细线亦同理。 虚线之起讫与交会 虚线之起讫，如下图所示，虚线与其它线条交会时，除虚线无实线之延长外，其余应尽量维持相交。 1.实线与虚线相交 2.虚线与虚线相交 TOP
投影与视图 第一角法与第三角正投影法之比较 第一角投影法起于法国，盛行于欧洲大陆、德、法、义、俄等国，其中美、日及荷兰等国原先亦采用第一角投影法，后来改采用第三角法讫今。目前国内使用第一角投影法之机构约 35% ，而采用第三角投影法之机构约 65% 。因此为适应国内使用者之需求，于最新修订之 CNS3 ， CNS3-1 ， CNS3-2 ，…， CNS3-11 等工程制图国家标准规定“第一角法及第三角法同等适用”。唯于同一张图中，不的同时使用两种投影法，且每张图上均应于明显部位标示“投影法”，以资鉴别。 第一角投影法与第三角投影法之异同如下： (1) 对同一投影方向上而言，两者投影面之位置不同。第一角投影法之投影面在物体之后方，而第三角投影法之投影面则在物体前方。 (2) 两中投影法之各视图彼此完全相同。 (3) 两者之投影相于展开后视图排列，则因投影面之不同而有所分别，以前视图为基准而展开时，除前视图以外，其它各视图之位置相反。 (4) 判断视图为第一角或第三角时，可先假定为其中任一者，以侧视图之轮廓线判断误，表示假定正确，若虚实线相反，表示假定错误。 剖视图 对物体作假想剖切，以了结其内部形状，假想之割切面称为割面，而割面体所见之线，称为割面线，如图 1-1 所示。割面线可以转折，两端及转折处用粗实线画出，中间以细链线连接。转折处之大小如图 1-2 所示。 如有多个割面图时，应以大楷拉丁字母区别之，同一割面之两端以相同字母标示，字母写在箭头外侧，书写方向一律朝上。割面线箭头标示剖视图方向，割面线之两端需伸出视图外约10mm ，其箭头之大小形状如图 1-3 所示。 割面及剖面线 假想剖切所得剖面，须以细实线画出剖面线，剖面线虚为与主轴线或机件外形线成45 °之均匀并行线，（但应避免将剖面线画成垂直或水平）。若剖面线与轮廓线平行或近平行时，必须改变方向如图 1-4 所示。 同一机件被剖切后，其剖面线之方向与间隔必须完全相同。在组合图中，相邻两机件，其剖面线应取不同之方向或不同之间隔，如图 1-5 所示。机件剖面之面积较大时，其中间部分之剖面线可以省略，但画出之剖面线须整齐，如图 1-6 所示机件剖面之面积甚为狭小时，
相似三角形知识点梳理及经典练习 知识点1：有关相似形的概念 1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2.如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2：比例线段的相关概念 1.线段比：如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段 写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 2.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段 d c b a ,,,叫做成比 例线段，简称比例线段． d 叫比例后项， d 叫第四比例项.如果b=c ，即a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有 2b ad =。 3.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。 知识点3：比例的性质（注意性质成立的条件：分母不能为0） 1.基本性质： （1）bc ad d c b a =?=::；
（2）2::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，可化为： d c b a ::=，d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=， c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关 比例计算变形中一种常用方法． ②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：