北辰教育学科老师辅导讲义
（3）联结P B ，当点P 是AB 的中点时，求△ABP 的面积与△ABD 的面积比
ABD
ABP
S S ??的值． 定圆结合直角三角形，考察三
角形相似，线段与三角形周长
的函数关系
2（2010上海）如图，
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连接DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ．
（1）当∠B=30°时，连接AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；
（3）若tan ∠BPD=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．
定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性问题
3．如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y ．
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径； （3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切
4（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）
在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．
（1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长；
（3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．
动圆结合直角梯形，考察圆相切和相似
5（14分）（2014金山区二模）如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=4，AD=3，sin ∠DCB=，P 是边CD 上一点（点P 与点C 、D 不重合），以PC 为半径的⊙P 与边BC 相交于点C 和点Q ． （1）如果BP ⊥CD ，求CP 的长；
（2）如果PA=PB ，试判断以AB 为直径的⊙O 与⊙P 的位置关系；
O
P
D C B
A
第25题图
备用图
O
C B
A
A
B
E F C
D
O
（第25题图1）
A B E
F C D O
解得5=x ，即⊙O 的半径为5．………………………………………………（1分） （2）过点O 作OH ⊥AD 于点H ． ∵OH 过圆心，且OH ⊥AD ． ∴x AP AH 2
1
21==
．………………………（1分） 在Rt △AOH 中，可得22AH AO OH -=
即21004252
2
x
x OH -=-
=．…………（1分） 在△AOH 和△ACD 中，
OHA C ∠=∠，CAD HAO ∠=∠，∴△AOH ∽△ADC ．……………………（1分）
∴AC
AH CD OH =
．即8242-1002x
y x =+． 得410082
--=
x
x y ．………………………………………………………（1分） 定义域为540< （3）∵P 是AB 的中点，∴AP =BP ．∵AO =BO ，∴PO 垂直平分AB ． 设α=∠CAB ，可求得α=∠ABO ，α2=∠COB ，α290-=∠οOBC ， α-=∠ο90AOP ，α+=∠ο90ABD ，α+=∠=∠ο902APO APB ． ∴APB ABD ∠=∠． ∴△ABP ∽△ABD ．…………………………（1分） ∴ABD ABP S S ??2 ??? ??=AB AP ．………………………（1分） D ABP ∠=∠． 由AP =BP 可得PAB ABP ∠=∠． ∴D PAB ∠=∠． ∴54==AB BD ，即54=y ．…………（1分） 由410082 --= x x y 可得510502-=x ，即510502-=AP ．………（1分） ABD ABP S S ??85 580510502 -=-= ?? ? ??=AB AP ．……………………………………（1分） 2考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。 专题：几何综合题；压轴题。 分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE 是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP 与△BDP 相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt △PEC 中求得CE 的长； （2）若BD=BC ，可在Rt △ABC 中，由勾股定理求得BD 、BC 的长；过C 作CF ∥DP 交AB 于F ，易证得△ADE ∽△AFC ，根据得到的比例线段可求出DF 的长；进而可通过证△BCF ∽△BPD ，根据相似三角形的对应边成比例求得BP 、BC 的比例关系，进而求出BP 、CP 的长；在Rt △CEP 中，根据求得的CP 的长及已知的CE 的长即可得到∠BPD 的正切值； （3）过点D 作DQ ⊥AC 于Q ，可用未知数表示出QE 的长，根据∠BPD （即∠EDQ ）的正切值即可求出DQ 的长；在Rt △ADQ 中，可用QE 表示出AQ 的长，由勾股定理即可求得EQ 、DQ 、AQ 的长；易证得△ADQ ∽△ABC ，根据得到的比例线段可求出BD 、BC 的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y 、x 的函数关系式． 解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠BAC=60°． ∵AD=AE ， H O P D C B A ∴∠AED=60°=∠CEP， ∴∠EPC=30°． ∴△BDP为等腰三角形． ∵△AEP与△BDP相似， ∴∠EPA=∠DPB=30°， ∴AE=EP=1． ∴在Rt△ECP中，EC=EP=； （2）设BD=BC=x． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得： （x+1）2=x2+（2+1）2， 解之得x=4，即BC=4． 过点C作CF∥DP． ∴△ADE与△AFC相似， ∴，即AF=AC，即DF=EC=2， ∴BF=DF=2． ∵△BFC与△BDP相似， ∴，即：BC=CP=4． ∴tan∠BPD=． （3）过D点作DQ⊥AC于点Q． 则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1﹣a． ∴且， ∴DQ=3（1﹣a）． ∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2 即：12=a2+[3（1﹣a）]2， 解之得． ∵△ADQ与△ABC相似， ∴． ∴． ∴△ABC的周长， 即：y=3+3x，其中x＞0． 3考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。 专题：代数几何综合题；分类讨论。 分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域； （2）当BD=OB 时，根据（1）的函数关系式求得y=，x=6．分两种情况来解答O 1A 的值①当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE ﹣OO 1=2；②当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6； （3）当点C 为AB 的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB= ，然后由三角形的 内角和定理求得 ∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC ．根据相似三角形的判定定理AA 证明△DCB ∽△DOC ． 解答：解：（1）过⊙O 的圆心作OE ⊥AC ，垂足为E ， ∴AE= ，OE= ． ∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°﹣∠EOD=∠AOE ，∴△ODE ∽△AOE ． ∴ ，∵OD=y+5，∴ ． ∴y 关于x 的函数解析式为：． 定义域为： ．（1分） （2）当BD=OB 时，， ． ∴x=6． ∴AE= ，OE= ． 当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE ﹣OO 1=2，． 当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6，． ⊙O 1的半径为 或 ． （3）存在，当点C 为的中点时，△DCB ∽△DOC ． 证明如下：∵当点C 为 的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°， 又∵OA=OC=OB ，∴∠OCA=∠OCB= ， ∴∠DCB=180°﹣∠OCA ﹣∠OCB=45°． ∴∠DCB=∠BOC ．又∵∠D=∠D ，∴△DCB ∽△DOC ． ∴存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ． 点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE ⊥AC ，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解． 4．解：（1）联结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ．………………（1分） ∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF = AE 21=)(2 1 OE AO +．…………………（1分） ∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ．………………………（1分） ∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =42164222 2-=-= -x x OC CE .…（1分） ∴42)424(2 1 22-+=-+= x x y . 定义域为2≥x ．……………（1+1分） （2）当点F 在⊙O 上时，联结OC 、OF ，EF =42 1==OF CE ，∴OC =OB =21 AB =4．（分） ∴DF =2+442 -=2+23．………………………………（1分）（3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵ 222CO OE CE =-， ∴,4)4()2(222=+-x x 032832=--x x ， ∴= 1x 3744+，=2x 舍去(37 44-）．……………………………（1分） ∴DF =3 7214)37448(21)(21+= ++=+BE AB ．…………………（1分） 当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-， ∴,4)4()2(2 22=--x x 032832=-+x x ， ∴= 1x 3744+-，=2x 舍去(37 44--）．………………………………（1分） ∴DF =3 7214)37448(21)(21-= +--=-BE AB ．……………………（1分） 当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵222CO OE CE =-， ∴,4)4()2(2 22=--x x 032832=-+x x ， ∴= 1x 3744+-，=2x 舍去(37 44--）．……………………………（1分） ∴DF =3 27221-=AE ．……………………………………………………………（1分） 5.：（1）作DH ⊥BC 于H ，如图1， ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=4，AD=3， ∴DH=4，BH=3， 在Rt △DHC 中，sin ∠DCH==， ∴DC=5， ∴CH= =3， ∴BC=BH+CH=6， ∵BP ⊥CD ， ∴∠BPC=90°， 而∠DCH=∠BCP ， ∴Rt △DCH ∽Rt △BCP ， ∴ = ，即= ， ∴PC=； （2）作PE⊥AB于E，如图2， ∵PA=PB， ∴AE=BE=AB=2， ∵PE∥AD∥BC， ∴PE为梯形ABCD的中位线， ∴PD=PC，PE=（AD+BC）=（3+6）=， ∴PC=BC=， ∴EA+PC=PE， ∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切； （3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF， 设PC=x，则DP=5﹣x， ∵PF∥DH， ∴△CPF∽△CDH， ∴=，即=，解得CF=， ∴CQ=2CF=， ∴BQ=BC﹣CQ=6﹣， ∵PQ=PC， ∴∠PQC=∠PCQ， ∵AD∥BC， ∴∠ADP+∠PCQ=180°， 而∠PQC+∠PQB=180°， ∴∠ADP=∠PQB， 当△ADP∽△BQP， ∴=，即=， 整理得2x2﹣25x+50=0，解得x1=，x2=10（舍去），经检验x=是原分式方程的解． ∴PC=； 当△ADP∽△PQB， ∴=，即= 整理得5x2﹣43x+90=0，解得x1=，x2=5（舍去）， 经检验x=是原分式方程的解． ∴PC=， ∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为或． J 8.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；相交两圆的性质；正多边形和圆。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）过点M作MN⊥AC，垂足为N，可得，再根据PM⊥AB，又AB是圆O的直径，可得，在Rt△PNM中，再利用即可求得y关于x的函数解析式； （2）设圆M的半径为r，利用勾股定理求出OM，根据△OMA∽△PMC，可得△PMC是直角三角形．然后可得∠CPM、∠PCM都不可能是直角．又利用∠AOM=2∠P≠∠P，可得即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应．从而求得OM，然后即可求得⊙M的半径长． （3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，连接OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM 相交于点G，由正五边形求得∠AMB和∠BAC，再利用AB是公共弦，OM⊥AB，∠AMO=36°，从而求得∠AOM=∠AMO，在求证△MAQ∽△MOA，利用相似三角形对应边成比例即可求得． 解答：解：（1）过点M作MN⊥AC，垂足为N， ∴， 由题意得：PM⊥AB，又AB是圆O的直径， ∴OA=OP=1， ∴∠APO=45°，， ∴， 在Rt△PNM中，， 又PM=1+x，∠NPM=45°， ∴， ∴y关于x的函数解析式为（x＞1）， （2）设圆M的半径为r， ∵OA⊥MA， ∴∠OAM=90°， 又∵△OMA∽△PMC， ∴△PMC是直角三角形． ∵OA=OP，MA=MC， ∴∠CPM、∠PCM都不可能是直角． ∴∠PMC=90°． 又∵∠AOM=2∠P≠∠P， ∴∠AMO=∠P， 即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应． ∴，即，解得， 从而OM=2， ∴OM=2，圆M 的半径为． （3）假设存在⊙M ，使得AB 、AC 恰好是一个正五边形的两条边， 连接OA 、MA 、MC 、AQ ，设公共弦AB 与直线OM 相交于点G 由正五边形知 ，∠BAC=108°， ∵AB 是公共弦， ∴OM ⊥AB ，∠AMO=36°， 从而∠P=18°，∠AOM=2∠P=36° ∴∠AOM=∠AMO ∴AM=AO=1，即圆M 的半径是1， ∵OA=OQ=1，∠AOM=36° ∴∠AQO=72° ∴∠QAM=∠AQO ﹣∠AMO=36° ∴△MAQ ∽△MOA ， ∴ ∵AM=1，MQ=OM ﹣1 ∴，解得：（负值舍去） ∴ ， 所以，存在⊙M ，使得AB 、AC 恰好是一个正五边形的两条边， 此时的 ，圆M 的半径是1． 9/．(1)两边一夹角 (2)解：设OP=x ，则OB=x-1，OA=x+m ， OP= 1-m m ，OB=1 1 -m OA/OC=OC/OB 设圆O 与线段AB 的延长线相交于点Q ，当点c 与点P 、点Q 不重合时，△CAO ∽△BCO ． AC/BC=OC/OB=OP/OB=m ；当点C 与点P 或点Q 重OB 合时，可得AC/BC=m ， ．。．当点C 在圆O 上运动时，AC:BC=m (3)解：由(2)得，AC>BC ，且AC-BC=(m-1)BC(m>1)， AC+BC=(m+1)BC ，圆B 和圆C 的圆心距d=BC ， 显然BC<(m+1)BC ，．．．圆B 和圆C 的位置关系只可能相交、内切或内含． 当圆B 与圆C 相交时，(m-1)BC 当圆B 与圆C 内切时，(m-1)BC=BC ，得m=2； 当圆B 与圆C 内含时，BC<(m-1)BC ，得m>2．
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