浸渍法
概述
以浸渍为关键和特殊步骤制造催化剂的方法称浸渍法，也是目前催化剂工业生产中广泛应用的一种方法。浸渍法是基于活性组分(含助催化剂)以盐溶液形态浸渍到多孔载体上并渗透到内表面，而形成高效催化剂的原理。通常将含有活性物质的液体去浸各类载体，当浸渍平衡后，去掉剩余液体，再进行与沉淀法相同的干燥、焙烧、活化等工序后处理。经干燥，将水分蒸发逸出，可使活性组分的盐类遗留在载体的内表面上，这些金属和金属氧化物的盐类均匀分布在载体的细孔中，经加热分解及活化后，即得高度分散的载体催化剂。
活性溶液必须浸在载体上，常用的多孔性载体有氧化铝、氧化硅、活性炭、硅酸铝、硅藻土、浮石、石棉、陶土、氧化镁、活性白土等，可以用粉状的，也可以用成型后的颗粒状的。氧化铝和氧化硅这些氧化物载体，就像表面具有吸附性能的大多数活性炭一样，很容易被水溶液浸湿。另外，毛细管作用力可确保液体被吸人到整个多孔结构中，甚至一端封闭的毛细管也将被填满，而气体在液体中的溶解则有助于过程的进行，但也有些载体难于浸湿，例如高度石墨化或没有化学吸附氧的碳就是这样，可用有机溶剂或将载体在抽空下浸渍。
浸渍法有以下优点：第一，附载组分多数情况下仅仅分布在载体表面上，利用率高、用量少、成本低，这对铂、铑、钯、铱等贵金属型负载催化剂特别有意义，可节省大量贵金属；第二，可以用市售的、已成形的、规格化的载体材料，省去催化剂成型步骤。第三，可通过选择适当的载体，为催化剂提供所需物理结构特性，如比表面、孔半径、机械强度、热导率等。可见浸渍法是一种简单易行而且经济的方法。广泛用于制备负载型催化剂，尤其是低含量的贵金属附载型催化剂。其缺点是其焙烧热分解工序常产生废气污染。
浸渍法工艺
浸渍法可分为粉状载体浸渍法和粒状载体浸渍法两种工艺，其特点可由流程图看出。粒状载体浸渍法工艺如图6—2所示。粒状载体浸渍前通常先做成一定形状，抽空载体后用溶液接触载体，并加入适量的竞争吸附剂。也可将活性组分溶液喷射到转动的容器中翻滚到载体上，然后可用过滤、倾析及离心等方法除去过剩溶液。粉状载体浸渍法与粒状载体浸渍法类似，但需增加压片、挤条或成球等成形步骤，其流程见图6—3。浸渍的方法对催化剂的性能影响较大，粒状载体浸渍时，催化剂表面结构取决于载体颗粒的表面结构，如比表面、孔隙率、孔径大小等，催化反应速率不同，对催化剂表面结构的要求也不同。
沉积在催化剂载体的金属的最终分散度取决于许多因素的相互作用，这些因素包括浸渍方法、吸附的强度，以吸留溶质形式存在的金属化合物相比于吸附在孔壁上的物种的程度，以及加热与干燥时发生的化学变化等。
虽然浸渍过程中，大多数金属试剂都可以不同程度地吸附在载体上，但是吸附过程相当复杂，不同类型的吸附都可能发生，可以是金属离子与含有羟基的表面吸附；也可以是含有碱金属及碱土金属离子的表面进行阳离子交换。载体的表面结构还可能因浸渍步骤不同加以改变，从而更改表面的吸附特性。这些在
工艺实施过程中必须加以考虑。若载体遭受浸蚀，情况会更复杂，在高pH值下硅胶要受浸蚀，而高表面积的氧化铝则无论在过高或过低pH值下都要受浸蚀，在用酸性液体浸渍氧化铝载体的过程中，部分氧化铝会首先发生溶解，并随着pH值的增高接着要发生沉淀，最好用缓冲剂来控制这个效应
载体原料载体原料粉状载体浸渍溶液↓↓↓↓
水→混合水→浸渍←沉淀剂↓↓
干燥过滤洗涤↓↓成型干燥↓↓浸渍焙烧分解↓↓干燥混合↓↓焙烧分解成型↓↓过筛包装过筛包装↓↓成品成品图6-2 粒状载体浸渍法工艺流程图图6—3 粉状载体浸渍法工艺流程图例如，铂试剂氯铂酸H2PtCl是常吸附在氧化铝或活性炭上，但在硅胶上
则不能吸附，采用初湿法(吸干浸渍)，可以使氧化铝颗粒的外部沉积上很薄的铂壳层，用于防止快速反应的扩散是很有好处的。如要取得更均匀的分散可以用竞争吸附的方法，即往溶液中加入硝酸或盐酸来降低氯铂离子的吸附性，由此造成更为均匀的沉积。另一方面，铂可以Pt(NH3)4C13形式与氧化铝作用，在此情况下，铂是处于阴离子形式。它不太容易吸附在氧化铝上，但可较强地吸附在硅胶上。如想制备不含卤素的催化剂，则可选用如二氨基二硝基铂Pt(NH3)2(N02)2这样的化合物，通过往浸渍液中加入有机酸，例如柠檬酸的方法，也能在催化剂颗粒的稍靠里边的地方埋置一层催化剂的物质，可抑制有毒物沉积在催化剂载体外壳表面，增加催化剂的寿命。用于汽车发动机排气污染物氧化的负载型铂催化剂就是一例。
一般来说，若试剂有充分时间扩散，及副反应不为主的话，使用过量溶液的浸渍法可使吸附物基本上均匀沉淀。倘若最初的吸附不均匀，并且不强的话，即使载体小球离开溶液，扩散还要继续，会使分布更均匀。
浸渍法分类
1.过量浸渍法本法系将载体泡人过量的浸渍溶液中，即浸渍溶液体积超过载体可吸收体积，待吸附平衡后，滤去过剩溶液，干燥、活化后便得催化剂成品。通常借调节浸渍溶液的浓度和体积控制附载量。附载量的计算有两种方法。
一是从载体出发，令载体对某一活性物质的比吸附量为W(每克载体的吸附量)，由于孔径大小不一，活性物质只能进人大于某一孔径的孔隙中，以y代表这部分孔隙的体积，设m为活性物质在溶液中的浓度，则吸附平衡后载体对该活性物质的附载量Wi为：Wi=Vm＋W
如果吸附量很小，则Wi=Vm
二是从浸渍溶液考虑，附载量等于浸渍前溶液的体积与浓度之乘积，减去浸渍后溶液的体积与浓度之乘积。然而，这两种计算方法不甚准确，仅供参考。
2.等体积浸渍法将载体浸入到过量溶液中，整釜溶液的成分将随着载体的浸渍而被改变，释放到溶液中的碎物可形成淤泥，使浸渍难于完全使用操作溶液。因而工业上使用等体积浸渍法(吸干浸渍法)，即将载体浸到初湿程度，计算好溶液的体积，做到更准确地控制浸渍工艺。工业上，可以用喷雾使载体与适当浓度的溶液接触，溶液的量相当于已知的总孔体积，这样做可以准确控制即将掺入催化剂中的活性组织的量。各个颗粒都可达到良好的重复性，但在一次浸渍中所能达到最大负载量，要受溶剂溶解度的限制。在任何情况下，制成的催化剂通常都要经过干燥与焙烧。在少数情况下，为使得有效组分更均匀地分散，可将浸渍过的催化剂浸入到一种试剂中，以使发生沉淀，从而可使活性组分固定在催化剂内部。
本法将载体与它可吸收体积的浸渍溶液相混合，由于浸渍溶液的体积与载体的微孔体积相当，只要充分混合，浸渍溶液恰好浸透载体颗粒而无过剩，可省略废液的过滤与回收。但是必须注意，浸渍溶液体积是浸渍化合物性质和浸渍溶液黏度的函数。确定浸渍溶液体积，应预先进行试验测定。等体积浸渍可以连续或间断进行，设备投资少，生产能力大，能精确调节附载量，所以工业上广泛采用。
3.多次浸渍法本法即浸渍、干燥、焙烧反复进行数次。采用这种方法的原因有两点。第一，浸渍化合物的溶解度小，一次浸渍不能得到足够大的附载量，需要重复浸渍多次；第二，为避免多组分浸渍化合物各组分间的竞争吸附，应将各别组分按秩序先后浸渍。每次浸渍后，必须进行干燥和焙烧，使之转化为不
溶性的物质，这样可以防止上次浸载在载体的化合物在下一次浸渍时又溶解到溶液中，也可以提高下一次浸渍时载体的吸收量。例如，加氢脱硫CO2O3-MoO3／A12()3催化剂的制备，可将氧化铝先用钴盐溶液浸渍，干燥、焙烧后再用钼盐溶液按上述步骤处理。必须注意每次浸渍时附载量的提高情况。随着浸渍次数的增加，每次附载增量将减少。
多次浸渍法工艺过程复杂，劳动效率低，生产成本高，除非上述特殊情况，应尽量少采用。
4.浸渍沉淀法本法是在浸渍法的基础上辅以均匀沉淀法发展起来的一种新方法，即在浸渍液中预先配人沉淀剂母体，待浸渍单元操作完成之后，加热升温使待沉淀组分沉积在载体表面上。此法可以用来制备比浸渍法分布更加均匀的金属或金属氧化物负载型催化剂。
5.硫化床喷洒浸渍法浸渍溶液直接喷洒到流化床中处于流化状态的载体中，完成浸渍以后，升温干燥和焙烧。在流化床内可一次完成浸渍、干燥、分解和活化过程。流化床内放置一定量的多孔载体颗粒，通人气体使载体硫化，再通过喷嘴将浸渍液向下或用烟道气对浸渍后的载体进行硫化干燥，然后升高床温使负载的盐类分解，逸出不起催化作用的挥发组分，最后用高温烟道气活化催化剂，活化后鼓人冷空气进行冷却，然后卸出催化剂。鼓风机送来的空气分两路，一路经加热器进人流化床，使载体颗粒硫化，废气在床顶接管3放空；另一路进入喷嘴的套管内，用以雾化浸渍液。载体由床顶加料口加人，催化剂由分布板上卸料口6卸出。该法适用于多孔载体的浸渍，制得的催化剂与浸渍法没有区别，但具有流程简单、操作方便、周期短、劳动条件好等优点。不足的是成品率低(在80％～90％以下)、催化剂易结块、性质不均匀等。
6.蒸气相浸渍法除了溶液浸渍之外，亦可借助浸渍化合物的挥发性，以蒸气相的形式将它附载到载体上。这种方法首先应用正丁烷异构化过程中的催化剂，催化剂为A1C13／铁钒土。在反应器内先装入铁钒土载体，然后以热的正丁烷气流将活性组分A1C13气温升，而有足够的AICl3沉淀在载体铁矾土上后气化，并使A1C13微粒与丁烷一起通过铁矾土载体的反应器，当附载量足够时，便转入异构化反应。用此法制备的催化剂，在使用过程中活性组分也容易流失。为了维持催化性稳定，必须连续补加浸渍组分。适用于蒸气相浸渍法的活性组分沸点通常比较低。
浸渍时间的计算，浸渍后载体的干燥怎么处理，如果浸渍2小时后是否直接进行烘干处理呢，还是自然干，那么这个时间怎么处理呢？
浸渍时间的计算：这个没有一定的要求，因为浸渍液一般正好被吸附，个人感觉要有一点点过量，就是浸渍后摇匀，底下残留一点点液体，半小时后再摇一次，就完了。干燥：干燥过程比较重要，浸渍后的催化剂放在透气的铁网上比较好，否则干燥过程中容易引起浸渍液迁移，浸渍不均匀，建议旋转蒸发。
意见1
烘干是焙烧的预处理，如果烘干没处理好，对活性组分的分布影响相当大，还有好像浸渍2小时好像不大够哦，因为是利用毛细现象对活性组分的固载化，所以吸附速度不会很快，如果过早的烘干会使大部分活性组分没充分进入孔道，很容易造成组分分布不均以及后期的活性。要是搂主时间够的话建议浸渍24小时。
焙烧是一个组分再分布的过程，可达到组分重新迁移分布的效果，但是迁移
不可能太明显，迁移最大的就是已经进入孔道内的组分，换句话说，进入内部孔道越多，就可获得更多不易流失的活性组分
意见2
我觉得等体积浸渍浸渍2小时可能不够，一般浸渍都在一夜左右，如果催化剂载体水（热）稳定性好，也就是说水不会破坏载体，浸渍时间应该稍微长些，7-8小时不为过，如果像MCM-41由于其结构在水中容易塌陷，一般是浸渍时间很短，然后快速干燥！！
意见3
不过浸渍之后一般都是先烘干，最后再焙烧
可以先晾干，目的应该是让活性组分更好的分散，烘干是为了除去表面物理吸附的溶剂，最好是在不太高的温度下真空干燥。
同上，浸渍最好时间长一点，7～8小时，24小时看浸渍液跟载体的具体性质而定。焙烧除了使活性组分再分布外还起到活化的作用，常常在H2等还原气氛下焙烧。
意见4
我前段时间刚好也在用等体积浸渍法制备Pt/Al2O3（自制介孔Al2O3）催化剂，一直觉得要像理论上那么标准等体积浸渍很难，而且负载的很不均匀。所以我一般让溶液稍微过量一点，然后把那糊装的东西搅拌均匀，再放在烘箱上面让其自然干燥（不管具体几小时）后，放入烘箱50度烘几小时100度烘几小时，然后需要的话再进行二次浸渍。。。然后在焙烧，还原。其实最后也不知均不均匀，但反应活性是很高的，准备再测一下分散度看看就基本清楚了！个人认
为如果不是要用贵金属的话最好还是用过量浸渍，再有就是等体积浸渍后的干燥很重要，不能浸渍后立马100度干燥，否则可能更不均匀了！以前好像有过关于等体积浸渍的帖子，那里提到的在一定的真空度环境下进行是个可取的方法！意见5
稍过量的浸渍方式在低温干燥时是需要隔一段时间搅拌一下，我是这样做的，感觉还行！
意见6
等体积浸渍法：首先测定（比如1g）载体的吸附水溶液的饱和量（直到载体表面刚好完全润湿为止，且不同载体有所区别），实验过程中根据载体质量要求换算出所需水溶液的体积或质量，这样含有活性组分的盐前驱体的浸渍液正好被吸附完全，在此过程中要搅拌一定时间，这样可以使浸渍液均匀的分散于载体上；然后室温放置12h左右后，80－120度（一般情况是100或110度下）干燥4－8小时后，再于300－600度下焙烧，自己根据需要定。焙烧后粉碎研磨，选取所需的目数或颗粒度，最后是催化剂前驱体活化即所谓的还原步骤：液相还原（用醇溶液或水合阱或甲醛等）或气相还原（用流动的氢气或氮氢混合气体等）。
顺便提一下焙烧过程建议采用程序升温或在氮气气氛中进行。
意见7
浸渍时间长短要根据实验来判断，因为载体和金属组分不同浸渍时间的长短是不相同的。比如氧化铝上担载镍钨浸渍时间以3小时为宜。一般来说加氢催化剂的浸渍时间在10小时之内，如果楼主做的是此中催化剂可选用3-4小时，
如果不是只有自己做了。
利用修正单纯形法解线性规划问题一软件示意：
二代码说明： Dim A(1 To 3, 1 To 6) As Double '矩阵A Dim a1(1 To 3) As Double '矩阵A的第一列向量 Dim a2(1 To 3) As Double '矩阵A的第二列向量 Dim a3(1 To 3) As Double '矩阵A的第三列向量 Dim a4(1 To 3) As Double '矩阵A的第四列向量 Dim a5(1 To 3) As Double '矩阵A的第五列向量 Dim a6(1 To 3) As Double '矩阵A的第六列向量 Dim B_(1 To 3, 1 To 3) As Double '基矩阵B的逆矩阵 Dim XB(1 To 3) As Double '基本可行解 Dim b(1 To 3) As Double '右端向量b Dim C(1 To 6) As Double '检验数 Dim CB(1 To 3) As Double '基本可行解对应的检验数 Dim π(1 To 3) As Double '单纯形乘子矢量 Dim r(1 To 6) As Double '检验矢量r Dim r_min As Double '检验矢量最小值 Dim k_sign As Integer '检验矢量最小值对应的位置 Dim Y(1 To 3, 0 To 6) As Double '矩阵y Dim just_vector(1 To 3) As Double Dim liji_min As Double '用于判断离基变量所用值 Dim r_sign As Integer '用于记录离基变量对应的位置 Dim main_yuan As Double '用于存放主元 Dim Erk(1 To 3, 1 To 3) As Double Dim Exchange_B(1 To 3, 1 To 3) '在矩阵Erk与矩阵B_进行乘法运算时，作为矩阵B_的替换矩阵
工程优化设计中单纯形法的基本原理 张云龙 （大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023) 摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。 关键词：线性规划图解法单纯形法大M法 THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGN ZHANG Y un-long (Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023) Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method. Key W ords: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method 1引言 在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。 虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。其原因是：有一部分实际问题，诸如运输问题，分配问题等，确实可以用线性规划问题来求解。尤为重要的是，对于几乎所有规划问题的讨论都与线性规划有关，有时用线性逼近法去直接求解非线性问题；有时则利用线性规划，作为求解在最优化过程中所提出的那些子问题的一个工具，例如，可用来求解可行方向法中的方向寻求问题等错误！未找到引用源。。 因此，深刻理解线性规划问题及其标准解法——单纯形法，显得尤为关键。 2线性规划问题 2.1数学模型 线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达到最优。例如，美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？ 表1-1 工时及利润简表
单纯形法演算 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 无穷 0 4x 24 6 2 0 1 0 4 0 5x 5 1 1 0 0 1 5 j j z c -（检验数） 2 1 首先列出表格，先确定正检验数最大值所在列为主列，然后用b 除以主列上对应的同行数字。除出来所得值最小的那一行为主行，根据主行和主列可以确定主元（交点）。接着把主元化为1并把X4换成X1. ??? ??? ?≥=++=++=+++++=0,,524261550002max 5152 14213 25 4321x x x x x x x x x x x x x x x z ??????? ≥≤+≤+≤+=0 ,5 24261552max 21212122 1x x x x x x x x x z
j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5 1 1 0 0 1 j j z c - 2 1 这时进行初等行列变换，把主列换单位向量，主元为1。也就是X5所在行减去X1所在行。并且重新计算检验数。 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5-4 1-1=0 1-2/6 =4/6 0-1/6=-1/6 1 j j z c - 2-2*1-0*0-0*1=0 1-0*5-2*2/6-0*4/6=1/3 0-0*0-2*1/6-0*-1/6=-1/3 再次确定主元。为4/6。然后把X5换成X2。并且把主元化成1。
多目标规划 multiple objectives programming 数学规划的一个分支。研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为VMP。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克尔、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。 1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年，H.W.库恩和A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题，引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963年，L.A.扎德从控制论方面提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。 化多为少 即把多目标规划问题归为单目标的数学规划（线性规划或非线性规划）问题进行求解，即所谓标量化的方法，这是基本的算法之一。 ①线性加权和法对于多目标规划问题（VMP），先选取向量 要求λi>0(i=1,2，…,m) 作各目标线性加权和
单纯形法求最优解问题 题目（老师布置的那道作业题）：2153m ax x x f +=，其中 ??? ??? ?=≥=++=+=+5,4,3,2,1,0182312245214 231j x x x x x x x x j ，求2153m ax x x f +=的最大值。 这张表是根据题目画的，Cj （行向量）为5432100053m ax x x x x x f ++++=中各个变量的系数，Ci （列向量）为与X B （列向量）相对应的各项的系数，X B 称为基变量（3列，由题目中的方程个数决定），起初的基变量由构造的变量x3、x4、x5组成，b 为对应三个方程等式右边的常数，z j 为Ci 各列与xj 各列乘积的和，如z1=0*1+0*0+0*3=0。i θ为判别将哪个基变量换出的依据，根据c j -z j 为正，要先将x2换入XB 中，关键是判断x3、x4、x5哪个跟x2换，这就要根据各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，如上表可知x2跟x4换，换完之后注意原来x4所对应的列向量为[0 1 0]T ,故要将x2所对应的列向量变换为为[0 1 0]T ，注意b 也要跟着变化，于是得下表.
由上表知c 1-z 1=3>0，故仍需将x1换入XB 中，用各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，结合i θ可知，x1跟x5换，于是得下表。 由上表可知c j -z j 均非正，故5432100053m ax x x x x x f ++++=取最大值时，????? ?? ?????????=00662x ， 对应的最大值36max =f . 系统工程导论知识点整理： 系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分(要素)结合的具有特定功能的有机整体。 系统的特征：整体性、相关性、目的性、环境适应性。 系统的功能是指系统与外部环境相互作用所反映的能力。 结构是功能的内在根据，功能是结构的外在表现。 系统功能的特性：易变性、相关性。 系统工程就是用科学的方法规划和组织人力、物力、财力，通过最优途径的选择，使人们的工作在一定期限内收到最合理、最经济、最有效的效果。 科学的方法：从整体观念出发，通盘筹划，合理安排整体中的每一个局部，以求得整体的最优规划、最优管理和最优控制，使每个局部都服从一个整体目标，力求避免资源的损失和浪费。
分数: ___________任课教师签字：___________ 课程作业 学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号： 提交时间：
一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差，
三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表. ）（1）把原线性规划问题化为标准形式； ）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵； ）（3）目标函数非基化； ）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取 得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划 问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. ，并确定所在列的非基变量为进基变量. （1）找到最大正检验数，设为 （2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号. 主元是最大正检验数 所在列，用常数项与进基变量所对应的列向 量中正分量的比值最小者； 替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在 （3）换基：用进基变量 （4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表； （5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止. 例3 求.
解（1）化标准型：令 ，引进松弛变量 ，其标准型为 求 （2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中 的系数构成单位矩阵，故取 为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8
（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为 目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出 ，, 代入目标函数 , 经整理后，目标函数非基化了. 作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）. 最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变出基，非基变量进基. 换，基变量
分数: ___________ 任课教师签字：___________ 课程作业 学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号： 提交时间：
一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差，而且寻优的效率特别低下。
线性规划——单纯形法 设计文档 ——《通用优化模块》 编写人：徐天爽 编写时间：2010年06月完成 2010年06月整理
目录 第一部分功能概述 (1) 第二部分理论知识 (2) 2.1 线性规划标准型 (2) 2.2单纯形法 (4) 2.2.1修正单纯形法 (4) 2.2.2Bland规则 (7) 第三部分程序主要内容 (9) 第四部分程序测试 (10) 备注 (17) 参考文献 (18)
第一部分功能概述 单纯形法是线性规划算法的一种。由于若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解，因此单纯形法是通过沿着可行集的边界，从一个顶点转移到改善当前目标函数值的相邻定点，以此来寻找最优解。 程序编写了加入Bland规则的修正单纯形法，只需用户给定设计变量个数、约束条件个数、约束条件系数，委托矩阵操作类MatrixOperation进行矩阵运算，即可实现线性规划问题的优化。
第二部分 理论知识 线性规划问题具备以下性质： 定理1 若线性规划问题的可行域X 非空，则X 是一个凸集。 定理2 线性规划问题的每一个基本可行解x 都对应于可行域X 的一个顶点。 定理3 若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解。 定理4 若线性规划问题有最优解，则目标函数的最优值一定可以再可行域 X 的某个顶点上达到。 2.1 线性规划标准型 定义1 如果目标函数是设计变量的线性函数，且约束条件也是关于设计变量的线性等式或线性不等式，则相应的数学问题就称为一个线性规划问题。 单纯形法计算问题的最优值需要将原问题统一为标准形式。定义线性规划问题的标准形式为： 定义2 给定线性规划问题的标准型为 ()()1 1min .. 1,2,,01,2,,n j j j n ij j i j j z c x s t a x b i m x j n ==? =?? ? ==?? ?≥=?? ∑∑ (1) 其中()01,2, ,i b i m ≥=。即对目标函数一律求最小值；设计变量均非负；约束 条件除非负约束条件之外一律为等式约束；约束条件的右端项一律非负。 定义3 如果约束条件中含有不等式1n ij j i j a x b =≤∑且0i b ≥，则可引入一个新 的变量i x '，称为松弛变量；如果约束条件中含有不等式1 n ij j i j a x b =≥∑且0i b ≥，则 可引入一个新的变量i x ''，称为剩余变量。
修正单纯形法求解约束优化问题 姓名王铎 学号 2007021271 班级机械078 日期 2010/6/23
一．问题分析 求解约束优化问题中，假如目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束函数和目标函数都是线性函数的优化问题称作线性规划问题。从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤： 1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量； 2.由决策变量和所在大道目的之间的函数关系确定目标函数； 3.有决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条 件； 求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，而本文研究的是修正单纯形法。1965 年由J.A.Nelder 等提出。是在基本单纯形优化法的基础上，引入了反射、扩展与收缩等操作规则，变固定步长推移单纯形为可变步长推移单纯形，在保证优化精度的条件下，加快了优化速度。是各种单纯形优化法在分析测试中应用最广的一种。 二．数学模型 1、线性规划问题的formalization 问题(1.1)称为线性规划问题： x= arg min_x c^T x s.t. Ax=b x>=0 (1.1) 其中x为n维列向量，A为m*n的矩阵，b和c分别为m,n维的常数向量。 任意一个线性不等式组约束下求解线性函数的最大最小值问题
都可以归结到问题(1.1)来。 比如 A(i,:) x <= b(i) <=> A(i,:) x + y(i) = b(i) y(i)>=0 (1.2) A(i,:) x >= b(i) <=> A(i,:) x - y(i) = b(i) y(i)>=0 (1.3) x <=> x=x'-x" x'>=0 x">=0 (1.4) 2、单纯形法 设m
单纯形法 需要解决的问题： 如何确定初始基本可行解； 如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降； 如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约 束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为 初始基本可行解中的一部分基本变量。 例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵 中可以看出其中有个标准基，即 与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：
F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。 由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否 为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为 两步进行： 第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量； 第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。 选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。 在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。 当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10
班级：优化1班授课老师：庞丽萍姓名：学号： 第二章 12.（1）用修正单纯形法求解下列LP问题: >>clear >>A=[121100;123010;215001]; [m,n]=size(A); b=[10;15;20]; r=[-1-2-31]; c=[-1-2-31]; bs=[3:3]; nbs=[1:4]; a1=A(:,3); T=A(:,bs); a2=inv(T)*a1; b=inv(T)*b; A=[eye(m),a2]; B=eye(m); xb=B\b; cb=c(bs); cn=c(nbs); con=1; M=zeros(1); while con M=M+1; t=cb/B; r=c-t*A; if all(r>=0) x(bs)=xb; x(nbs)=0; fx=cb*xb; disp(['当前解是最优解，minz=',num2str(fx)]) disp('对应的最优解为,x=') disp(x) break end rnbs=r(nbs); kk=find(rnbs==min(rnbs)); k=kk(1); Anbs=A(:,nbs); yik=B\Anbs(:,k); xb=B\b;%yi0 if all(yik<=0)
disp('此LP问题无有限的最优解，计算结束',x) disp(xb) break else i=find(yik>0); w=abs(xb(i,1)./yik(i,1)); l=find(w==min(w)); rr=min(l); yrrk=yik(rr,1); Abs=A(:,bs); D=Anbs(:,k); Anbs(:,k)=Abs(:,rr); Abs(:,rr)=D; F=bs(rr); bs(rr)=nbs(k); nbs(k)=F; AA=[Anbs,Abs]; EE=eye(m); EE(:,rr)=-yik./yrrk; Errk=EE; Errk(rr,rr)=1/yrrk; BB=Errk/B; B=inv(BB); cb=c(:,bs); xb=Errk*xb; x(bs)=xb; x(nbs)=0; fx=cb*xb; end if M>=1000 disp('此问题无有限最优解') break end end %结果 当前解是最优解，minz=-15 对应的最优解为,x= 2.5000 2.5000 2.50000
1．搜索方法 我们这里以二维为例说明搜索方法 在二维情况下的单纯形有3个顶点： X G X L 二维情况：三个顶点 计算各点的函数值，设好点为x L, 最坏点为x H, 次坏点为x G 求除x H（最坏点）以外的其余各点的几何中心x C x C= ∑ ≠ = n H j j xj n & 1 单形替换法主要有以下集中搜索方法 （1）反射 以x C为中心，将x H按一定比例反射，得x R; x R=x C+α( x C―x H) (通常α=1) （2）扩张 若f(x R)< f(x L),则搜索方向正确，应扩张，（比最好点还要好）x E=x R+r ( x R―x C) r扩张系数r=1.2~2.0
?? ?? ?≥ 《运筹学》课程标准 一、课程概述 运筹学是数学的一门分支学科，也是管理科学的一个分支学科。它是一门应用性、综合性强的科学。它是实现管理现代化的有力工具，在生产管理、工程技术、军事作战、科学试验、财政经济以及社会科学中得到广泛应用。 运筹学通过建立数学模型或模拟模型运用数学方法对于要求解的问题得到合理的决策。二、课程目标 1．知道《运筹学》这门学科的性质、地位和独立价值。知道这门学科的研究范围、应用领域、研究方法、学科进展和未来方向。 2．理解这门学科的主要概念、基本原理和基本方法。 3．初步学会运用一些具体的方法与技术，如单纯形法、对偶单纯形法、修正单纯形法等解决线性规划问题。 三、课程内容和教学要求 这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。这四个层次的一般涵义表述如下： 知道———是指对这门学科的内涵与外延的认知。 理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理的说明和解释。 掌握———是指课程涉及的方法的理论根据、适应范围、所需条件等的理性认识。 学会———是指能运用该课程的基本原理、基本方法分析、处理和解决实际问题。 教学内容和要求表中的“√”号表示对知识和方法的教学要求层次。 本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。（一）绪论 （二）线性规划 （三）修正单纯形法 （四）对偶单纯形法 （五）线性规划的特殊类型及目标规划 （六）整数规划 （七）动态规划 （八）非线性规划 （九）库存论 （十）排队论 四、课程实施 （一）课时安排与教学建议 ?运筹学?是数学与应用数学、信息与计算科学的专业限选课，共54课时，具体课时安排如下： （二）教学组织形式与教学方法要求 1、教学班是主要的教学组织，班级授课制是目前教学的主要组织形式。 2．注意教学方法的灵活性，组织学生自我讨论、分析、提出问题教学、阅读指导等。。 3．充分发挥学生的主动性，运用启发式教学，引导学生自我进行方法的发现与总结。 五、教材编写与选用 《运筹学》教材要在课程标准的统一要求下，实行多样化。可以选用普通高校重点教材。也可以选用21世纪教材。 六、课程评价 1．这门学科的评价依据是本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。该门课程采用平时考核（80%）、和集中考试（20%）相结合的形式进行。 单纯形法原理及步骤 单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。 概述： 根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止 目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。 求解步骤： （1）确定初始基可行解 ①从线性规划标准形的系数矩阵中能直接找出m个线性独立的单位向量； ②对约束条件全为“<=”连接的LP，化为标准形，左端添加松弛变量后即形成一个单位子矩阵； ③约束条件中含有“<=”或“=”连接的方程，在插入剩余变量后找不到单位矩阵，则必须采用 单纯形算法的一般原理 单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。 考虑到如下线性规划问题： 其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。 根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。 Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解 （即可行域顶点）中。 其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优， 则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解， 然后转会到步骤（2）。 求解思想如下图所示： maxZ=CX AX=b X 0??≥? 确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定 为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即 Ａ=（ＢＮ），其中 Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基， Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。 那么约束方程AX=b 就可表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解 B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ?? ???-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-?? ???-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→运筹学课程标准
单纯形法原理
单纯形算法一般原理
相关主题
文本预览