第2章初等数学建模方法示例
公平的席位分配问题
席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：
某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为
系名甲乙丙总数
学生数 100 60 40 200
学生人数比例 100/200 60/200 40/200
席位分配 10 6 4 20
后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：
系名甲乙丙总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 20
按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 21
按惯例席位分配 11 7 3 21
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。
模型构成
先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 人数 席位数 每席代表人数
单位A 1p 1n 1n
单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有
若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 )
若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2
211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式
有不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为 1021==n n ，1201=p ，1002=p ， 算得 2=p 另两个单位的人数和席位为 1021==n n ，10201=p ，10002=p , 算得 2=p 虽然在两种情况下都有2=p ，但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式： 若2211n p n p >，则称11
2212
22211-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为：),(21n n r A ， 若2211n p n p <，则称 12
1121
11122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值，记为),(21n n r B ； 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设21n n >，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于1n ，2n 的关系可能有
1. 211n n >+ ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;所以这一席显然分给A
方；
2. 211n n <+,说明此一席给A 后,对B 还不公平, 相对不公平值为:
1)1(),1(1
22121-+=+p n p n n n r B ; 3. 121+>n n ,说明此一席给B 后,对A 不公平, 相对不公平值为:
1)1()1,(2
11221-+=
+p n p n n n r A ;
上面的分配方法在第1种情况可以确定新席位的分配，但在第2种和第3情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有：
)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B
则增加的一席应给A ，反之应给B 。对不等式)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B 进行简单处理，可以得出对应不等式
)
1()1(11212222+<+n n p n n p 引入公式：)
1(2+=k k k k n n p Q 于是知道增加的席位分配可以由k Q 的最大值决定，且它可以推广到多个组
的一般情况。用k Q 的最大值决定席位分配的方法称为Q 值法。
对多个组（m 个组）的席位分配Q 值法可以描述为：
1．先计算每个组的Q 值：
k Q , k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q 值i Q （若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q 值i Q 对应的第i 组。
这种分配方法很容易编程处理。（请大家就一般情况根据上面的算法编写相应的程序）
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q 值分配。 本问题的整数名额共分配了１９席，具体为：
甲 101=n
乙 62=n
丙 33=n
对第２０席的分配，计算Q 值
45.96111010321=?=Q ; 5.94766322=?=Q ; 33.964
3342
3=?=Q 因为1Q 最大，因此第２０席应该给甲系; 对第２１席的分配，计算Q 值
37.80121110321=?=Q ; 5.94766322=?=Q ; 33.9643342
3=?=Q
因为Q3最大，因此第２1席应该给丙系
最后的席位分配为：
甲 １１席 乙 ６席 丙 ４席
注：若一开始就用Q 值分配，以1321===n n n 逐次增加一席，也可以得到同样的结果。
简评：本题给出的启示是对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般的规律，这也是科学研究的常用方法。请对一般情况编程。
商人们怎样安全过河
三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢
对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里用数学模型求解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。
由于这个虚拟的问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，
都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商人多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。
模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k x k ,,2,1L =，
3,2,1,0=k y . 将二维向量()k k k y x s ,=定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为
允许状态集合，记作S .
(){
}2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0,=======y x y x y x y x S (1)
不难验证，S 对此岸和彼岸都是安全的。 记第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v . 将二维向量()k k k v u d ,=定义为决策。允许决策集合记作D ，由小船的容量可知
(){}2,1,0,,21,=≤+≤=v u v u v u D (2)
因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是
()k k
k k d s s 11-+=+ (3) (3)式称状态转移律。这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型： 求决策D d k ∈()n k ,,2,1 =，使状态S s k ∈按照转移率(3)，由初始状态()3,31=s 经有限步n 到达状态()0,01=+n s .
模型求解 根据(1)~ (3)式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。不过对于商人和随从人数不大的简单状况，用图解法这个模型更为方便。
图2 安全渡河问题的图解法
在Oxy 平面坐标系上画出图2那样的方格，方格点表示状态()y x s ,=. 允许状态集合S 是用圆点标出的10个格子点。允许决策k d 是沿方格线移动1或2格，k 为奇数时向左、下方移动，k 为偶数是向右、上方移动。要确定一系列的k d 使由()3,31=s 经过那些圆点最终移至原点()0,0.
图2给出了一种移动方案，经过决策1121,,,d d d ，最终有()0,012=s . 这个结果很容易翻译成渡河的方案。
评注 这里介绍的是一个规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义。譬如当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍可方便地求解。读者不妨考虑四名商人各带一个随从的情况（小船同前）。
适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法，在以后的章节中还要用到。
货物存储模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，而当产量大于需求时要付存储费，该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某种产品的日需求量100件，生产准备费5000元，储存费每日每天1元，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多，使总费用最小
1 问题的分析
计算一下：
若每天生产一次，每次100件，无贮存费，生产准备费5000元，每天费用5000元。
若10天生产一次，每次1000件，贮存费4500元，生产准备费5000元，平均每天950元。
若50天生产一次，每次5000件，贮存费122500元，生产准备费5000元，平均每天2550元。
从上面的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小。显然，应该建立一个优化模型。
2 不允许缺货模型, 备货时间很短
问题假设
为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。根据问题性质作如下假设：
1.缺货费用无穷大
2.单位存储费不变；
3.每次生产准备费不变；
4.
购买单位货物本身的费用不变； 5. 需求是连续的、均匀的，每天的需求量为常数r ；
6. 生产能力为无限大，当贮存量降到零时，可以立即得到补充，即
不允许缺货；
符号说明
)(T C ……………每天的平均费用
1C …………… 每次生产准备费用
2C …………… 每天每件产品贮存费
Q …………… t=0时的生产量
T …………… 生产周期
r …………… 每天的需求量，即需求速度
k …………… 单位货物本身的费用
模型的建立
由于可以立即得到补充，所以不会出现缺货，在研究这种模型时不在考虑缺货费用。这些假设条件只是近似的正确，在这些假设条件下要用总平均费用用来衡量存储策略的优劣。为了找出最低费用的策略，首先想到在需求确定的情况下，每次准备货量多，则准备货的次数可以减少，从而减少了准备费。但是每次准备货量多，会增加存储费用。为研究费用的变化情况需要导出费用函数。
假定每隔T 时间补充一次存储，那么准备货量必须满足T 时间的需求rT ，准备货量为Q ，rT Q =；
准备费用为1C ，货物单价为k ，总的准备费用为krT C +1；
T 时间的平均准备费用为
kr T C +1， T 时间内的平均存储量为rT rtdt T T 2
110=?， 单位时间内单位物品的存储费用为2C ，T 时间内所需平均存储费用为22
1rTC 。 T 时间内总的平均费用为)(T C
rT C kr T C T C 212
1)(++= 上式为这个优化模型的目标函数。
模型的求解
只需对上式利用微积分求最小值的方法可求出。 令：0)(=dT
T dC 得准备周期：r
C C T 212= 因0)(22>dT T C d ，即每隔T 时间准备一次货可使得准备批量为2
12C r C rT Q == 上式即存储论中著名的经济订购批量（economic ordering quantity ）公式。简称为EOQ 公式，也成为平方根公式，或经济批量（economic lot size ）公式。
结果分析
由于 Q 、T 皆与k 无关，所以此后在费用函数中可略去kr 这项费用。如无特殊需要不再考虑此项费用。
如不考虑购买货物本身的费用， 存贮费用rT C 22
1
准备费用T
C 1
T 时间内总的平均费用为rT C T C T C 212
1)(+= 得准备周期：r C C T 212=，准备批量为2
12C r C rT Q ==； 结果与原模型的求解是一致的。
3 允许缺货模型，备货时间很短
模型是在不允许缺货的情况下推导出来的。本模型是允许缺货，并把缺货损失定量化来加以研究。由于允许缺货，所以企业可以在存储降至零后，还可以再等一段时间然后订货。这就意味着企业可以少付一些存储费用。一般地说当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小，而企业除了支付少量的缺货费用外也无其他损失，这是发生缺货现象可能对企业是有利的。
本模型的假设条件出允许缺货外，其余条件皆与模型一是一样的。
模型建立
设单位时间单位物品存储费用为1C ，每次订购费为3C ，缺货费为2C （单位
缺货损失），R 为需求速度。求最佳存储策略，使得平均总费用最小。
假设最初存储量为S ，可以满足1t 时间的需求，1t 时间的平均存储量为S 21，在1t t -时间的存储为零，平均缺货量为)(211t t R -。由于S 仅能满足1t 时间的需求
1Rt S =，有R
S t =1； 在t 时间内所需存储费R
S C St C 21112121= 在t 时间内的缺货费R
S Rt C t t R C 22212)(21)(21-=- 订购费为3C 平均总费用为??
????+-+=3222
12)(21),(C R S Rt C R S C t S t C
上式中有两个变量，利用多元函数求极值的方法求),(S t C 的最小值。 模型求解
1210C S Rt S C C S t R R ?-??=-=?????
()120,0,0
R t C S C Rt S ≠≠--=
0S =
[]0)(12)(2123222
12=-+??????+-+-=??S Rt C t
C R S Rt C R S C t t C 0,0R t ≠≠
()()22
1232022Rt S S C C C R tR C Rt S ----+-=????
由以上式子得出
0t =
解得
0S =得
()()000min ,,C t S C t S ==结果与前面的求解是一致的，所以是否考虑生产费用在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。
当2C 很大时（不允许缺货），
2212,1C C C C →∞→+
则
000t S C ===
4 结论与讨论
在不允许缺货模型和允许缺货模型中，增加购买货物本身的费用，最优订货周期和订货批量的结果都与原来的一样。由3得当2C 很大时得不允许缺货模
型，所以不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。
制动器试验台的控制方法分析