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考点8 函数与方程、函数模型及其应用
一、选择题
1.(2018·全国卷I高考理科·T9)已知函数f=g=f+x+a,若g
存在2个零点,则a的取值范围是()
A.B.C.D.
【解析】选C.因为g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,图象如下:
要使得y=-x-a与f(x)有两个交点,则有-a≤1即a≥-1.
二、填空题
2.(2018·浙江高考T15)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.
【命题意图】考查分段函数、函数的零点及不等式的解法等知识.
【解析】当λ=2时,分段函数的图象如图所示,得出不等式
f(x)<0的解集是x∈(1,4).
当λ∈(1,3]时,如图所示,有2个零点.
当λ∈(4,+∞)时,如图所示,有2个零点.
答案:(1,4)(1,3]∪(4,+∞)
3.(2018·全国Ⅲ高考理科·T15)函数f=cos在的零点个数
为.
【命题意图】本题考查函数零点的概念以及三角方程的求解,考查逻辑推理能力,运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.试题难度:中.
【解析】令f(x)=cos=0,得3x+=+kπ,即x=+kπ,
当k=0时,x=∈[0,π],当k=1时,x=∈[0,π],当k=2时,x=∈[0,π],
所以f(x)=cos在[0,π]上零点的个数为3.
答案:3
4.(2018·天津高考理科·T14)已知a>0,函数f(x)=若关于x 的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.
【命题意图】本题考查分段函数,二次函数,直线与抛物线的位置关系,考查
数形结合思想,考查考生应用数学手段解决实际问题的能力和运算求解能力等.
【解析】可画出函数f(x)的草图,因为函数f(x)的图象不关于原点对称,而直线y=ax关于原点对称,所以只有当直线与左右两侧的图象一个有两个交点,一个没有交点才符合题设要求.
联立y=x2+2ax+a与y=ax,消去y得:
x2+ax+a=0,Δ1=a2-4a;
同理Δ2=a2-8a;
依题意得:Δ1>0且Δ2<0或Δ1<0且Δ2>0,
解得4 答案:4 5.(2018·江苏高考·T11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为. 【解析】令f(x)=2x3-ax2+1=0⇒a=2x+, 令g(x)=2x+,g'(x)=2->0⇒x>1⇒g(x)在(0,1)上单调减,在(1,+∞)上单调增.因为有唯一零点, 所以a=g(1)=2+1=3⇒f(x)=2x3-3x2+1, 求导可知在[-1,1]上, f(x)min=f(-1)=-4,f(x)max=f(0)=1, 所以f(x)min+f(x)max=-3. 答案:-3 关闭Word文档返回原板块
