数列题目精选精编
【典型例题】
(一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质
例题1. 已知数列}{n a 满足
1
111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ;
(2)证明:
312n n a -=
. 解:(1)2
1231,314,3413a a a =∴=+==+=.
(2)证明:由已知1
13--=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---
1
2
1313
3
312n n n a ---+=++
++=, 所以证得312n n a -=
.
例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b
a b a b +++成等比数列,求n T .
解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥,
又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1
3
n n a -=
(Ⅱ)设{}n b 的公比为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b =
故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===,
由题意可得2
(51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d ==
∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1)
3222n n n T n n n -=+
?=+
例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2
12322...a a a +++
128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{}
n n b b -+1是等差数列.
⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k *
∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由.
点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,
可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=.
(2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.
解:(1)已知212322a a a +++ (1)
2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2)
128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②
①-②得,1
28n n a -=,求得42n n a -=,
在①中令1n =,可得得41
182
a -==,
所以42n
n a -=(n ∈N*).
由题意18b =,24b =,32b =,所以214b b -=-,322b b -=-, ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---, ∴1n n
b b +-=2)1(4?-+-n 26n =-,
121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+
+-
(4)(2)(28)n =-+-+
+-2714n n =-+(n ∈*N ).
(2)k k b a -=2714k k -+-42k
-,
当4k ≥时,
277
()()24f k k =-+-42k
-单调递增,且(4)1f =, 所以4k ≥时,2
()714f k k k =-+-42
1k
-≥,
又(1)(2)(3)0f f f ===,
所以,不存在k ∈*N ,使得(0,1)k k b a -∈.
例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足:a n 、b n 、a n+1成等差数列,b n 、a n+1、b n+1成等比数列,且a 1 = 1, b 1 = 2 , a 2 = 3 ,求通项a n ,b n 解: 依题意得:
2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②
∵ a n 、b n 为正数, 由②得21211,+++++==
n n n n n n b b a b b a , 代入①并同除以1+n b 得: 212+++=n n n b b b ,
∴ }{n b 为等差数列
∵ b 1 = 2 , a 2 = 3 ,
29,22122=
=b b b a 则 ,
∴
2)1(),1(22)229)(1(22
+=
∴+=--+=n b n n b n n , ∴当n ≥2时,2)
1(1+=
=-n n b b a n n n , 又a 1 = 1,当n = 1时成立, ∴2)1(+=
n n a n
2. 研究前n 项和的性质 例题5.
已知等比数列}{n a 的前n 项和为2n
n S a b =?+,且13a =.
(1)求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式;
(2)设
n n n b a =
,求数列}{n b 的前n 项和n T . 解:(1)2≥n 时,a S S a n n n n ?=-=--1
12
.而}{n a 为等比数列,得a a a =?=-1112,
又31=a ,得3=a ,从而1
23-?=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-. (2)132n n n n n b a -==?, 21123(1)3222n n n T -=++++
23111123
1(23222
22n n n
n n T --=++++
+) ,得211111
1(1)2322
22n n n n
T -=++++
-,
1
1
1(1)2412[
](1)13232212n n n n n n n T +?-=-=---.
例题6. 数列{}n a 是首项为1000,公比为1
10的等比数列,数列{b }n 满足
121
(lg lg lg )k k b a a a k =+++
*
()N k ∈, (1)求数列{b }n 的前n 项和的最大值;(2)求数列{|b |}n 的前n 项和n S '
.
解:(1)由题意:410n
n a -=,∴lg 4n a n =-,∴数列{lg }n a 是首项为3,公差为1
-的等差数列,
∴
12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-
,∴1(1)7[3]22n n n n
b n n --=-=
由100n n b b +≥??≤?,得67n ≤≤,∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为
67
212S S ==.
(2)由(1)当7n ≤时,0n b ≥,当7n >时,0n b <,
∴当7n ≤时,212731132(
)244n n n S b b b n n n -+
'=+++==-+
当7n >时,
12789n n S b b b b b b '=++
+---
-2712113
2()21
44n S b b b n n =-++
+=-+
∴22113
(7)4
411321(7)44n n n n S n n n ?-+≤??'=??-+>??.
例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=,且32a +是2a ,4a 的等差中项. (1)求{n a }的通项公式n a ;(2)若
12
log n n n b a a =,12
n n S b b b =++
+求使
1230n n S n ++?>成立的n 的最小值.
解:(1)设等比数列的公比为q (q >1),由
a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28,a 1q +a 1q 3=2(a 1q 2+2),得:a 1=2,q =2或a 1=32,q =12
(舍)
∴a n =2·2
(n -1)
=2n
(2) ∵12log 2n
n n n b a a n ==-?,∴S n =-(1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ) ∴2S n =-(1·22+2·23+…+n ·2n +1),∴S n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1=-(n -1)·2n +1-2, 若S n +n ·2n +1>30成立,则2n +1>32,故n >4,∴n 的最小值为5.
例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ,且11,,n n S a +-成等差数列,*
1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.
(I )求数列}{n a 的通项公式; (II )设数列{}n b 满足
1
(3)[()2]n n b n f a =
++,记数列{}n b 的前n 项和为T n
,试比较
52512312n n T +-
与的大小.
解:(I )11,,n n S a +-成等差数列,121n n S a +∴=-① 当2n ≥时,121n n S a -=-②.
①-②得:112()n n n n S S a a -+-=-,13+=∴n n a a ,1 3.
n n a
a +∴= 当n =1时,由①得112221S a a ∴==-, 又11,
a =2
21
3,3,a a a ∴=∴
=
{}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列,13.n n a -∴=
(II )∵()x log x f 3=,1
33()log log 31n n n f a a n -∴===-,
11111
()
(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++,
1111111111111()
224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++
11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-
++
比较
52512312n n T +-
与的大小,只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-
∵*,N n ∈∴当*
19N n n ≤≤∈且时,
525
2(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即 当10n =时,
525
2(2)(3)312,;
12312n n n n T +++==-即 当*
10N n n >∈且时,
525
2(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.
3. 研究生成数列的性质
例题9. (I ) 已知数列{}n c ,其中n
n n c 32+=,且数列{}n n pc c -+1为等比数列,求常数p ;
(II ) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列,n n n b a c +=,证明数列{}n c 不是
等比数列.
解:(Ⅰ)因为{c n +1-pc n }是等比数列,故有 (c n +1-pc n )2=( c n +2-pc n+1)(c n -pc n -1), 将c n =2n +3n 代入上式,得 [2n +1+3n +
1-p (2n +3n )]2
=[2n +2+3n +2-p (2n +1+3n +1)]·[2n +3n -p (2n -1+3n -
1)], 即[(2-p )2n +(3-p )3n ]2
=[(2-p )2n+1+(3-p )3n+1][ (2-p )2n -1+(3-p )3n -
1],
整理得61
(2-p )(3-p )·2n ·3n =0,
解得p =2或p =3. (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ,p ≠q ,c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证2
2c ≠c 1·c 3.
事实上,2
2c =(a 1p +b 1q )2=2
1a p 2+2
1b q 2+2a 1b 1pq ,
c 1·c 3=(a 1+b 1)(a 1 p 2+b 1q 2)= 2
1a p 2+2
1b q 2+a 1b 1(p 2+q 2). 由于p ≠q ,p 2+q 2>2pq ,又a 1、b 1不为零,
因此≠22c c 1·c 3,故{c n }不是等比数列.
例题10. n 2( n ≥4)个正数排成n 行n 列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成
等比数列,并且所有公比相等已知a 24=1,
163,814342=
=a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn
解: 设数列{1k a }的公差为d , 数列{ik a }(i=1,2,3,…,n )的公比为q
则1k a = a 11 + (k -1)d , a kk = [a 11 + (k -1)d]q k -
1
依题意得:???
?
??
???
=+==
+==+=163)2(81)(1)3(3
1143
3
11421124q d a a q d a a q d a a ,解得:a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数,
∴a 11 = d = q = 21 , ∴a kk = k
k
2
n n S 212132122132?++?+?+=
,
1432212132122121+?++?+?+=n n S ,
两式相减得:n n n S 22121
-
-
=-
例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ,记
()*3,.
f n n a n N =∈ (1)求数列}{n a 的通项公式;
(2)设n n n n
n b b b T a b +++==
21,2,若)(Z m m T n ∈<,求m 的最小值;
(3)求使不等式1
2)1
1()11)(11(21+≥+++n p a a a n
对一切*N n ∈均成立的最大实数p .
解:(1)由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ,解得???-==12b a ,
)12(log )(3-=∴x x f *)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==- (2)由(1)得
n n n b 212-=, n n n n n T 2122322523211
321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得
)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++= 1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.
n n 2n n 23n 2321n 2213T +-
=---=∴-, 设*
,232)(N n n n f n ∈+=
,则由 1512132121)32(252232252)
()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*
,232)(N n n n f n ∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时,3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立,3min =∴m
(3)由题意得*
21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立
记
)
1
1()11)(11(1
21)(21n a a a n n F ++++=
,则
()()
1
1n 21n 2)
1n ()1n (4)1n (2)
3n 2)(1n 2(2n 2)
a 1
1()a 11)(a 11(1
n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21
)n (F )
1n (F 2n 211
n n 21=++>
+-++=
+++=
+++++++++=++
)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大
)(n F 的最小值为
332)1(=
F ,332≤∴p ,即332max =p .
(二)证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.
例题12. 数列{}n a 中,2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122,*
N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式;
⑵设||||||21n n a a a S +++= ,求n S ;
⑶设n b =1
(12)n n a -**
12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈,是否存在最大的整数m ,使得
对任意*
N n ∈,均有>n T 32m
成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意,n n n n a a a a -=-+++112,}{n a ∴为等差数列,设公差为d , 由题意得2832d d =+?=-,82(1)102n a n n ∴=--=-. (2)若50210≤≥-n n 则,||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
21281029,2n n
a a a n n n +-=+++=
?=-
6n ≥时,n n a a a a a a S ---+++= 76521
2555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+
故
?????+--=40n 9n n n 9S 22
n 56n n ≤≥ (3)11111
()
(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++,
∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+.2(1)n n =+ 若
32n m T >对任意*N n ∈成立,即116n m n >+对任意*
N n ∈成立, *()1N n n n ∈+的最小值是21,1,162m ∴ 即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈,均有 .32n m T > 例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n a n b n =∈N *. (1)判断{}n a 是何种数列,并给出证明; (2)若8131220,a a m b b b +=求. 解:(1)设{}n b 的公比为q ,∵3n a n b =,∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=?=?-。 所以{}n a 是以3log q 为公差的等差数列. (2)∵813,a a m +=所以由等差数列性质可得120813,a a a a m +=+= 123a a a +++… 12020()20 102 a a a m +?+= =? 1220() 10122033a a a m b b b ++ +== 2. 由简单递推关系证明等差等比数列 例题14. 已知数列{}n a 和{}n b 满足:11a =,22a =,0n a > ,n b *n ∈N ), 且{}n b 是以q 为公比的等比数列. (I )证明:2 2n n a a q +=; (II )若2122n n n c a a -=+,证明:数列{}n c 是等比数列; (III )求和:1234 212111111n n a a a a a a -++++++ . 解法1:(I )证:由1 n n b q b += q ==,∴()*N n q a a 2n 2n ∈=+. (II )证:∵2 2n n q a a -=, 22221231n n n a a q a q ---∴== =,2n 2222n 2n 2q a ...q a a --===, 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=. {}n c ∴是首项为5,公比为2q 的等比数列. (III )解:由(II )得2221 1 1 1n n q a a --= ,222211n n q a a -=,于是 12213 21 24 2111111111 ()( )n n n a a a a a a a a a -+++ =+++++++ 24222422121111 111 1 (1)(1) n n a q q q a q q q --= +++++++++ 21223111 (1) 2n q q q -=++++ . 当1q =时,2422 122111311 1(1)2n n a a a q q q -+++ =++++ 32n =. 当1q ≠时,242212 2111311 1 (1) 2n n a a a q q q -+++=++++ 22 31()21n q q ---=-222231[] 2(1)n n q q q --=-. 故 212 22223 1211 11[ 1.(1)n n n n q q a a a q q q -?=?? +++=? 3 -?≠?2-?, ,], 解法2:(I )同解法1(I ). (II )证: 222*1212221221221222()22N n n n n n n n n n n c a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++,又11225c a a =+=, {}n c ∴是首项为5,公比为2q 的等比数列. (III )由解法1中(II )的类似方法得22 2221212()3n n n n a a a a q q ---+=+=, 34212121221234212111 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++, 2222 212442123322k k k k k k k a a q q a a q --+---+==,12k n =, ,,. ∴() 2 n 22n 221q ...q 123a 1...a 1a 1+--+++=+++. 例题15. 设数列0,1,)1(,}{-≠-+=λλλ其中且项和为的前n n n n a S S n a (1)证明:数列}{n a 是等比数列; (2)设数列}{n a 的公比()q f λ=,数列{}n b 满足1b =,b n =f (b n -1) (n ∈N *,n ≥2),求数列 }{n b 的通项公式; (3)设1λ=,1 (1)n n n C a b =-,求数列{}n C 的前n 项和Tn . (1)证明:由11(1)(1)(2)n n n n S a S a n λλλλ--=+-?=+-≥ 相减得:1 1,(2),1n n n n n a a a a n a λ λλλ --=-+∴=≥+∴数列{}n a 是等比数列 (2)解: 1{}n b ∴是首项为112b =,公差为1的等差数列,∴1 2(1)1n n n b =+-=+. 11 n b n ∴=+. (3)解:1λ=时11 111,(),(1)()22 n n n n n n a C a n b --=∴=-= 2111 1 12()3()()22 2 n n T n -∴=+++ + ① ② ①-②得: ∴n n n 21n 2112T 21??? ??-??????????? ??-= 所以:1 14(1())2()22 n n n T n =--. 例题16. OBC ?的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2),设1P 为线段BC 的中点,2P 为线段OC 的中点,3P 为线段1OP 的中点. 对每一个正整数3,n n P +为线段1n n P P +的中点. 令n P 的坐标为(,)n n x y ,121 2 n n n n a y y y ++= ++. (1)求 321,,a a a 及,()N n a n * ∈; (2)证明:41,()4 N n n y y n *+=- ∈ (3)记444,()N n n n b y y n * +=-∈,证明:}{n b 是等比数列. (1)解:因为y 1=y 2=y 4=1, y 3=12,y 5=3 4 ,所以 得a 1=a 2=a 3=2. 又由1 32 n n n y y y +++=,对任意的正整数n 有 a n +1=12312n n n y y y +++++=1121 22n n n n y y y y ++++++=1212 n n n y y y ++++=a n 恒成立,且a 1=2, 所以{a n }为常数数列, a n =2,(n 为正整数) (2)证明:根据1242n n n y y y ++++=, 及121 2n n n y y y ++++=a n =2, 易证得y n +4=1-4n y (3)证明:因为b n +1=4n 48n 4y y ++-=(1-444n y +)-(1-44n y )=1 4 n b -, 又由b 1=48y y -=1- 44 y -y 4=1 4-, 所以{b n }是首项为14-,公比为14- 的等比数列. 【模拟试题】 一、填空题 1. 在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于= . 2. 已知数列的通项52n a n =-+,则其前n 项和n S = . 3. 首项为-24的等差数列,从第10项开始为正,则公差d 的取值范围是 . 4. 在等比数列}{n a 中,3a 和 5a 是二次方程 2 50x kx ++= 的两个根,则642a a a 的值为 . 5. 等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n= . 6. 等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项的和为100,求它的前3m 项的和为________ 7. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ,且7453n n A n B n += +,77 b a = ,若n n b a 为正整数,n 的取值个数为___________。 8. 已知数列{}n a 对于任意* p q ∈N ,,有p q p q a a a ++=,若 11 9a = ,则36a = . 9. 记数列}{n a 所有项的和为)1(S ,第二项及以后各项的和为)2(S ,第三项及以后各项的和为 ,)3(S ,第n 项及以后各项的和为)(n S ,若2)1(=S ,1) 2(=S ,(3)1, 2S =, ()2 1, 2n n S -= ,则n a 等于 . 10. 等差数列}{n a 共有21n +项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项 为_____. 11. 等差数列}{n a 中,0≠n a ,若1>m 且012 1=+-+-m m m a a a ,2138m S -=,则m 的值为 . 12. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和. 已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>,则n 等于 . 13. 已知函数)(x f 定义在正整数集上,且对于任意的正整数x ,都有(2)2(1)f x f x +=+ ()f x -,且(1)2,(3)6f f ==,则(2005)f =__ __. 14. 三个数c b a ,,成等比数列,且(0)a b c m m ++=>,则b 的取值范围是 . 15. 等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ,首项194,0a S ==. (1)若10n n a S +=-,求n (2) 设2 n a n b =,求使不等式122007n b b b ++ +>的最小正整数n 的值. 点拨:在等差数列中d n S a n n ,,,知道其中三个就可以求出另外一个,由已知可以求出首项1a 与公差d ,把n n S a ,分别用首项1a 与公差d ,表示即可. 对于求和公式1() 2 n n n a a S += ,1(1) 2 n n n S na d -=+ 采用哪一个都可以,但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如:已知9109100,0,0,a a a a ><+>判断171820,,S S S 的正负. 问题2在思考时要注 意加了绝对值时负项变正时,新的数列首项是多少,一共有多少项. 16. 等差数列{n a }的前n 项和为n S ,11a =+ 39S =+ (I )求数列{n a }的通项n a 与前n 项和为n S ; (II )设 n n S b n = (* N n ∈),求证:数列{n b }中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 17. 在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,) n n n P x y P x y P x y ,对一切正整数n ,点n P 位 于函数 13 34y x =+ 的图象上,且n P 的横坐标构成以52- 为首项,1-为公差的等差数列{}n x . ⑴求点n P 的坐标; ⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,第n 条抛物线n c 的 顶点为n P ,且过点2 (0,1)n D n +,设与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ,求:12231111n n k k k k k k -+++. ⑶设{}{}|2 ,,1,|4,1N n n S x x x n n T y y y n ==∈≥==≥,等差数列{n a }的任一项 T S a n ?∈,其中1a 是S T ?中的最大数,10265125a -<<-,求{n a }的通项公式. 18. 已知数列{}n a 满足 * 111,21()N n n a a a n +==+∈, (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n a 满足1 2 111 *444(1)()N n n b b b b n a n ---=+∈(n ∈N *),证明:{}n b 是等差 数列. 【试题答案】 1. 42 2. (51)2n n +- 3. 8(,3]3 4. ± 5. 10 6. 210 7. 8.5;5个 解法一:点拨 利用等差数列的求和公式 1()2n n a a n S += 及等差数列的性质 “若2,,,N m p q m p q * =+∈,则 2 q p m a a a += ” 解析:77b a =1131311313 () 13 172 ()132 2a a A b b B +?==+? 解法2: 点拨 利用“若{n a }为等差数列,那么 bn an S n +=2 ”这个结论,根据条件 找出n a 和n b 的通项. 解析:可设(745)n A kn n =+,(3)n B kn n =+,则1(1438)n n n a A A k n -=-=+, (22)n b k n =+,则77b a =(14738)17 (272) 2k k ?+=?+ 由上面的解法2可知n n a b =(1438)127(22) 1k n k n n +=+ ++,显然只需使121n +为正整数即可, 故1,2,3,5,11n =,共5个. 点评:对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握,根据具体的情况能够灵活应用. 反思:解法2中,若是填空题,比例常数k 可以直接设为1. 8. 4 9. 解: ()(1)2111 11222n n n n n n a S S +---=-= - = . 10. 解:依题意,中间项为1+n a ,于是有11(1)319290n n n a na +++=?? =?解得129n a +=. 11. 解:由题设得 m m m m a a a a 2112 =+=+-,而0m a ≠,2m a ∴=,又2138m S -=,121()(21)2(21)382(21) 22m m a a m a m m -+--∴= ==-,10m =. 12. 解:661()6()36(324144)216n n n S S S a a -+-=+=+-=, 136n a a +=, 1() 3242n n n a a S += =. ∴18n =。 13. 解:由(2)()2(1)f x f x f x ++=+知函数* ()()N f x x ∈当x 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列,(1),(3),,(2005)f f f 形成一个首项为2,公差为4的 等差数列,(2005)2(10031)44010f =+-?=. 14. 解:设,b a c bq q ==,则有1,0,1b m b bq m b q q q b ++=≠∴++= . 当0q >时,113m q b q =++≥,而0b >, 03m b ∴<≤ ; 当0 m b ≤-,而0m >,0<∴b ,则0m b -≤<, 故 [,0)(0,] 3m b m ∈-?. 15. 解:(1)由919360S a d =+=,得:1,5n d a n =-=-, 又由(1) 10,4(1)(1)4(1)102 n n n n a S n n -+=-+--++ ?-=-. 即27300n n --=,得到10n =. (2)由n n b -=52 若n ≤5,则12n b b b ++ +≤12531b b b +++=,不合题意 故n >5,5122(21) 31200721 n n b b b --++=+ >- 即52989n ->,所以n ≥15,使不等式成立的最小正整数n 的值为15 16. 解答:(I )由已知得111339a a d ?=?? +=+? ?,2d ∴=, 故21(n n a n S n n =-=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 n n S b n n = = 假设数列{}n b 中存在三项,,p q r b b b (p q r ,,互不相等)成等比数列,则2 q p r b b b =. 即2 ((q p r =. 2()(20q pr q p r ∴-+-- p q r *∈N ,,, 2020q pr q p r ?-=∴?--=?,, 22()()02p r pr p r p r +∴=-=∴=,,. 与p r ≠矛盾. 17. 解:(1) 53(1)(1)22n x n n =-+-?-=-- 13535 33,(,3) 4424n n n y x n P n n ∴=?+=--∴---- (2)n c 的对称轴垂直于x 轴,且顶点为n P . ∴设n c 的方程为: 223125(),24n n y a x ++=+ - 把)1,0(2 +n D n 代入上式,得1=a ,n c ∴的方程为:22 (23)1y x n x n =++++. 32|0'+===n y k x n ,111111() (21)(23)22123n n k k n n n n -∴==-++++ 1223 1111 n n k k k k k k -∴ +++ 1111111 [()()( )]25779 2123n n =-+-++-++ =11111()25231046n n -=- ++. (3){|(23),,1}N S x x n n n ==-+∈≥, {|(125),,1}N T y y n n n ==-+∈≥{|2(61)3,,1}N y y n n n ==-+-∈≥ ,S T T ∴=T 中最大数117a =-. 设}{n a 公差为d ,则10179(265,125)a d =-+∈--,由此得 *248 12,12()9N n d a T d m m - <<-∈∴=-∈又 *24,724()N n d a n n ∴=-∴=-∈ 18. (1)解:* 121(),N n n a a n +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项,2为公比的等比数列. 12.n n a ∴+= 即 21(*)N n n a n =-∈. (2)证:12111 44 (4) (1).n n k k k k n a ---=+ 12(...)42.n n k k k n nk +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②-①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③ 21(1)20.n n nb n b ++-++=④ ③-④,得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+= *211(),N n n n n b b b b n +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列. 数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )② 数列经典题目集锦一 一、构造法证明等差、等比 类型一:按已有目标构造 1、 数列{a n },{b n },{c n }满足:b n =a n -2a n +1,c n =a n +1+2a n +2-2,n ∈N * . (1) 若数列{a n }是等差数列,求证:数列{b n }是等差数列; (2) 若数列{b n },{c n }都是等差数列, 求证:数列{a n }从第二项起为等差数列; (3) 若数列{b n }是等差数列,试判断当b 1+a 3=0时, 数列{a n }是否成等差数列?证明你的结论. 类型二: 整体构造 2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,且(S n +1+λ)a n =(S n +1)a n +1对一切n ∈N * 都成立. (1) 若λ=1,求数列{a n }的通项公式; (2) 求λ的值,使数列{a n }是等差数列. 二、两次作差法证明等差数列 3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ,已知11,6,1321===a a a , 且* 1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+,(其中A ,B 为常数). (1)求A 与B 的值;(2)求数列{}n a 为通项公式; 三、数列的单调性 4.已知常数0λ≥,设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足:11a =,() 1 1131n n n n n n a S S a a λ+++= +?+(*n ∈N ). (1)若0λ=,求数列{}n a 的通项公式; (2)若11 2 n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立,数λ的取值围. 5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,其前n 项和为n S ,若1564a a =,5348S S -=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)对于正整数,,k m l (k m l <<),求证:“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序 后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设数列{}n b 满足:对任意的正整数n ,都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L 1 3246n n +=?--, 且集合*| ,n n b M n n N a λ??=≥∈???? 中有且仅有3个元素,求λ的取值围. 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D .189 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为 41的等差数列,则 |m -n |等于( ). A .1 B .43 C .21 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ). A .4 005 B .4 006 C .4 007 D .4 008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若 35a a =95,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D .2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则 212b a a 的值是( ). A .21 B .-21 C .-21或21 D .4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ). 一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2, (1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1. 数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和,一般有下列几种方法: 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列,通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列求和公式求和,从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式,使一些项相互拆消,只剩下有限的几项,裂项时可直接从通项入手,且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合,使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???,,,,的前n 项和 例2、求和:222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ? 例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和:()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和:()11113242n S n n =+++??+ 例8、数列{} n a 的通项公式n a =,求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和:()23230n n S x x x nx x =++++≠ 精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数,4352,,4a a a 成等差数列,且2322a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()25 2123n n n b a n n += ++,求数列{}n b 的前n 项和n S . 2.已知数列{}n a 满足:11a =,且对任意∈n N *都有 n a ++ += . (Ⅰ)求2a ,3a 的值; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; n n a a ++∈n N *). 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ (1)求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ (2)设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证:121+=+n n b b ; (3)求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4.设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n .(1)求数列}{n a 的通项公 式;(2)证明:对于一切正整数n ,121+≤+n n b a . 5: 已知数列{}n a 是等差数列,() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 (1)判断数列{}n c 是否是等差数列,并说明理由;(2)如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的 通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在,求出k 的取值范围; 高考复习数列专题: 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1.已知数列{}a n 对任意的p ,q ∈N * 满足a p +q =a p +a q ,且a 2=- 6,那么a 10=( ) A .-165 B .-33 C .-30 D .-21 2.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln(1+1 n ),则a n =( ) A .2+ln n B .2+(n -1)ln n C .2+n ln n D .1+n +ln n 3.若数列{a n }的前n 项积为n 2 ,那么当n ≥2时,{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -1 B .a n =n 2 C .a n = n +12 n 2 D .a n = n 2n -1 2 4.在数列{a n }中,a n +1=a n +2+a n ,a 1=2,a 2=5,则a 6的值是( ) A .-3 B .-11 C .-5 D .19 5.已知数列{a n }中,a n =n -79n -80 (n ∈N *),则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A .a 1,a 50 B .a 1,a 8 C .a 8,a 9 D .a 9, a 50 二、填空题 6.若数列{}a n 的前n 项和S n =n 2 -10n (n =1,2,3,…),则此数 列的通项公式为________;数列{}na n 中数值最小的项是第__________项. 7.数列35,12,511,37,7 17,…的一个通项公式是 ___________________________. 8.设数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +n +1,则通项a n =__________. 三、解答题 9.如果数列{}a n 的前n 项和为S n =3 2a n -3,求这个数列的通项 公式. 10.已知{a n }是正数组成的数列,a 1=1,且点(a n ,a n +1)(n ∈N + )在函数y =x 2 +1的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若列数{b n }满足b 1=1,b n +1=b n +2a n ,求证:b n ·b n +2<b 2 n +1. 高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . (2)证明:由已知1 13--=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L , 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{ }n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{ }n b 的各项为正, 其前n 项和为n T ,且315T =,又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公比为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式, 可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. 高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+2 11 ,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+, 其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++,求n a 。 数列·例题解析 【例1】 求出下列各数列的一个通项公式 (1)14(2)23,,,,,…,,,,…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252 ,,,,…,,,,… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列,其通项公式为2n -1,而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ,所以,已知数列的 通项公式为:.a =2n 12 n n+1- (2)从所给数列的前四项可知,每一项的分子组成偶数列,其通项公式为2n ,而分母组成的数列3,15,35,63,…可以变形为1×3,3×5,5×7,7×9,…即每一项可以看成序号n 的(2n -1)与2n +1的积,也即(2n -1)(2n +1),因此,所给数列的通项公式为: a n n n n =-+22121()() . (3)从所给数列的前5项可知,每一项的分子都是1,而分母所组成的数列3,8,15,24,35,…可变形为1×3,2×4,3×5,4×6,5×7,…,即每一项可以看成序号n 与n +2的积,也即n(n +2).各项的符号,奇数项为负,偶数项为正.因此,所给数列的通项公式为: a n n n n =-+()() 112·. (4)所给数列可改写为,,,,,…分子组成的数列为124292162252 1,4,9,16,25,…是序号n 的平方即n 2,分母均为2.因此所 给数列的通项公式为.a =n n 2 2 【例2】 求出下列各数列的一个通项公式. (1)2,0,2,0,2,… (2)10000,,,,,,,, (131517) (3)7,77,777,7777,77777,… (4)0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222,… 解 (1)所给数列可改写为1+1,-1+1,1+1,-1+1,…可以看作数列1,-1,1,-1,…的各项都加1,因此所给数的通项公式a n =(-1)n+1+1. 所给数列亦可看作2,0,2,0…周期性变化,因此所给数列的 通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一.a =2(n )0(n )n ??? (2)100012345所给数列,,,,,,,…可以改写成,,,,,,…分母组成的数列为,,,,,,,…是自然13151711021304150617 67 数列n ,分子组成的数列为1,0,1,0,1,0,…可以看作是2, 02020,,,,,…的每一项的构成为,因此所给数列的通项公式为.1211211211()()-+=-+++n n n a n (3)7777777777777779所给数列,,,,,…可以改写成×,79 7979797979 79797979 79 ×,×,×,×…,可以看作×-,×-,×-,×-,×-,…因此所给数列的通项公式为-.99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n (4)所给数列0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222,…可以改写 成×,×,×,×,×,…可以看作×-,×-,×-,×-,×-,…因此所给数列的通式公式为.2929292929 2929292929 291110 0.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a =n ()-n 类型一:迭加法求数列通项公式 1.在数列中,,,求. 解析:∵, 当时, , , , 将上面个式子相加得到: ∴(), 当时,符合上式 故. 总结升华: 1. 在数列中,,若为常数,则数列是等差数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式, 而的和是可求的,则可用多式累(迭)加法得. 举一反三: 【变式1】已知数列,,,求. 【答案】 【变式2】数列中,,求通项公式. 【答案】. 类型二:迭乘法求数列通项公式 2.设是首项为1的正项数列,且 ,求它的通项公式. 解析:由题意 ∴ ∵,∴, ∴, ∴,又, ∴当时, , 当时,符合上式 ∴. 总结升华: 1. 在数列中,,若为常数且 ,则数列是等比数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等比数列. 2.若数列有形如的解析关系,而 的积是可求的,则可用多式累(迭)乘法求得. 举一反三: 【变式1】在数列中,,,求. 【答案】 【变式2】已知数列中,, ,求通项公式. 【答案】由得,∴, ∴, ∴当时, 当时,符合上式 ∴ 类型三:倒数法求通项公式 3.数列中, ,,求. 思路点拨:对两边同除以得即可. 解析:∵,∴两边同除以得, ∴成等差数列,公差为d=5,首项, ∴, ∴. 总结升华: 1.两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而 恰是等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项. 2.若数列有形如的关系,则可在 等式两边同乘以,先求出,再求得. 举一反三: 【变式1】数列中,,,求. 【答案】 1.(2009安徽卷文)已知为等差数列,,则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且·=2,=1,则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数,所以,故,选B 3.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n 项和,已知,,则等于( ) A .13 B .35 C .49 D . 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= === 数列综合练习题 一.选择题(共23小题) 1.已知函数f(x)=,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是() A.[,4)B.(,4)C.(2,4) D.(1,4) 2.已知{a n}是递增数列,且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是()A.(﹣,+∞)B.(0,+∞)C.[﹣2,+∞)D.(﹣3,+∞) 3.已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a11>0,则f(a9)+f(a11)+f(a13)的值() A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0 D.可正可负 4.等比数列{a n}中,a4=2,a7=5,则数列{lga n}的前10项和等于() A.2 B.lg50 C.10 D.5 5.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是() A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知正项等比数列{a n}满足:a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n,使得=4a1,则+的最小值为() A.B.C.D. 7.已知,把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状,记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=() A.B.C.D. 8.设等差数列{a n}满足=1,公差d∈(﹣1,0),若当且仅当n=9时,数列{a n}的前n项和S n取得最大值,则首项a1的取值范围是() A.(π,)B.[π,]C.[,]D.(,) 9.定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{a n},{f (a n)},仍是等比数列,则称f(x)为“等比函数”.现有定义在(﹣∞),0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=3x,②f(x)=,③f(x)=x3,④f(x)=log2|x|, 则其中是“等比函数”的f(x)的序号为() A.①②③④B.①④C.①②④D.②③ 10.已知数列{a n}(n∈N*)是各项均为正数且公比不等于1的等比数列,对于函数y=f(x),若数列{lnf(a n)}为等差数列,则称函数f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的三个函数:①f(x)=;②f(x)=e x;③f(x)=;④f(x)=2x,则为“保比差数列函数”的是() A.③④B.①②④C.①③④D.①③ 11.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,则a n=() A.B.3n﹣2 C.D.n﹣2 12.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1﹣a n=a n+1a n,那么a31等于() A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣ 13.如果数列{a n}是等比数列,那么() A.数列{}是等比数列B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lga n}是等比数列D.数列{na n}是等比数列 14.在数列{a n}中,a n+1=a n+2,且a1=1,则=()A.B.C.D. 15.等差数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则() A.A+C=2B B.B2=AC C.3(B﹣A)=C D.A2+B2=A(B+C) 16.已知数列{a n}的通项为a n=(﹣1)n(4n﹣3),则数列{a n}的前50项和T50=() 数列经典例题(裂项相消法) 数列裂项相消求和的典型题型 1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A .100101 B .99101 C .99100 D .101 100 2.数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中, 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A .-10 B .-9 C .10 D .9 3.等比数列}{n a 的各项均为正数,且6 22 321 9,132a a a a a ==+. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和. 4.正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T . 5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1 2,4224 +==n n a a S S . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T . 6.已知等差数列}{n a 满足:26 ,7753 =+=a a a .}{n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; 《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列,,,则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案:B 解析:设的公差为. ∵,,∴两式相减,得,.∴,. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和,若,公差, ,则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的:考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案:D 解析:由得,,即,将, 代入,解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是( ) A.若,则数列有最大项 B.若数列有最大项,则 C.若数列是递增数列,则对任意,均有 D.若对任意,均有,则数列是递增数列 考查目的:考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案:C 解析:根据等差数列的前项和公式,可得,因为,所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时,该抛物线开口向下,所以这群孤立的点中一定有最高点,即数列有最大项;反之也成立,故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的,举出反例:等差数列-1,1,3,5,7,…满足数列是 递增数列,但.对于选项D的命题,由,得, 因为此式对任意都成立,当时,有;若,则,与矛盾,所以一定有,这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题 4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和,且,,则 . 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:81. 解析:设的公差为. 由,,得,. ∴,故. 5.(2008湖北理)已知函数,等差数列的公差为. 若 ,则 . 考查目的:考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质,考查运算求解能力. 答案:. 解析:∵是公差为的等差数列,∴,∴ ,∴,∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,,则 ____. 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:10. 解析:设等差数列前项和为. ∵,∴;∵ ,∴. ∴,故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为,且,求: ⑴的通项公式及前项和; ⑵. 考查目的:考查等差数列通项公式、前项和的基本应用,考查分析问题解决问题的能力. 答案:⑴;.⑵ 解析:设等差数列的公差为,依题意,得,解得. ⑴; ⑵由,得. 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22 n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2.若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和,对任意正整数 2(1)n a n =-+,34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式; 解: 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习:1. 已知正项数列{a n },其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列,求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3 又10S n -1=a n -12+5a n -1+6(n ≥2),② 由①-②得 10a n =(a n 2-a n -12)+6(a n -a n -1),即(a n +a n -1)(a n -a n -1-5)=0 ∵a n +a n -1>0 , ∴a n -a n -1=5 (n ≥2) 当a 1=3时,a 3=13,a 15=73 a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n -3 三、累加法 一、 经典例题剖析 考点一:等差、等比数列的概念与性质 例题1.(1)数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n a +++= (n=1,2,3…), (1)求证{ b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。 (2)数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+,探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项 121a a =+(a 是常数,且1a ≠-),24221+-+=-n n a a n n (2n ≥),数列{}n b 的首项1b a =,2n a b n n +=(2n ≥)。 (1)证明:{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列; (2)设n S 为数列{}n b 的前n 项和,且{}n S 是等比数列,求实数a 的值; (3)当a>0时,求数列{}n a 的最小项。 例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ,()),2(2 111N n n a a a n n n n ∈≥--=--. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)设21 n n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n S ; (Ⅲ)设2 )12(sin π-=n a c n n ,数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:对任意的*∈N n ,74 高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)
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