绝密★启用前
2020届山东省实验中学高三高考数学预测（4月）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．2
D ．﹣2
答案：D
化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 解：
因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D 点评：
本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）
C ．（﹣1，0]
D ．（﹣1，0）
答案：C
先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 解：
因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C 点评：
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2 B ．4
C ．
1
2
D ．8
答案：B
根据题意得到4511115a a a q a -=-=，3
42116a a a q a q -=-=，解得答案.
解：
4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =??=?或116
12a q =-??
?=??
（舍去）
. 故2
314a a q ==.
故选：B . 点评：
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 4．函数
的图象可能是下面的图象( )
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C 因为
，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，
，所以
，排除D ．选C ．
5．已知函数()32cos f x x x =+，若2(3a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，
c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
答案：D
根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f x 在R 上为增函数，又由2222log 4log 733=<<< 解：
解：根据题意，函数()32cos f x x x =+，其导数函数()32sin f x x '=-， 则有()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立， 则()f x 在R 上为增函数； 又由2222log 4log 733=<<< 则b c a <<；
故选：D ． 点评：
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．
6．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2
=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r
的最
大值是（ ） A ．2 B ．1
C ．3
D ．2
答案：D
如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ?+=-u u u r u u u r u u u r
，计算得
到答案. 解：
如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，13,2??- ? ???B ，13,2C ??
-- ? ???
，设
()cos ,sin P θθ，
则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--?--?+-u u u r u u u r u u u r
222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.
当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .
点评：
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 7．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π+
），则f （x ）的最小值为（ ）
A ．
12
B ．
14
C
D
．
2
答案：A
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π?
?=-+ ??
?，再求最值. 解：
已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π
+
）， =21cos 21cos 2322
x x π?
?
-+
?-??
+
，
=1cos 2111cos 22223x x π??
?-
=-+ ? ????， 因为[]cos 21,13x π??
+
∈- ??
?
， 所以f （x ）的最小值为12
. 故选：A 点评：
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．已知点P 在椭圆τ：22
22x y a b +=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对
称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34
PD PQ =u u u r u u u r
，直线AD 与椭圆τ的另一个交
点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．
12
B
．
2
C
．
2
D
．
3
答案：C
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11
,2y D x ?
?- ??
?，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案. 解：
设()11,P x y ，则()11,A x y --，
()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则1
1,2y D x ?
?- ??
?，设()22,B x y ，
则22
112222
2222
11
x y a b x y a b ?+=????+=??，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，
21212
21212PB
y y x x b k x x a y y -+==-?-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()121112
4PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PB
k k ?=-，即2
241b a -=-，故2234a c =，故3e =.
故选：C . 点评：
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、多选题
9．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）
A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 答案：ABD
本题结合图形即可得出结果． 解：
由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ． 点评：
本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题．
10．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件
1201920201,1a a a >>,
201920201
01
a a -<-,下列结论正确的是( )
A ．S 2019
B ．2019202110a a -<
C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值
D ．数列{}n T 无最大值
答案：AB
计算排除0q <和1q ≥的情况得到01q <<，故201920201,01a a ><<，得到答案. 解：
当0q <时，2
2019202020190a a a q =<，不成立；
当1q ≥时，20192020
1,1a a ≥>，
201920201
01
a a -<-不成立； 故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；
2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；
2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；
故选：AB 点评：
本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.
11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）
A ．直线BM 与平面11ADD A 平行
B ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形
C ．异面直线1A
D 与11A C 所成的角为3
π D ．1MB MD +
答案：ACD
根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案. 解：
如图所示：易知平面11//BCC B 平面11ADD A ，BM ?平面11BCC B ，故直线BM 与平面11ADD A 平行，A 正确；
平面1BMD 截正方体所得的截面为1BMD N 为四边形，故B 错误；
连接1BC ，1A B ，易知11//AD BC ，故异面直线1AD 与11A C 所成的角为11AC B ∠，
1111A B AC BC ==，故113
AC B π
∠=
，故C 正确；
延长DC 到'B 使'1CB =，易知'BM B M =，故11'5MB MD D B +≥=， 当M 为1CC 中点时等号成立，故D 正确； 故选：ACD .
点评：
本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 12．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点
B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 答案：BD
A .求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断
B .求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可
C .利用参数分离法，构造函数g （x ）22lnx x x
=
+，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可
D .令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ），求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可
解：
A .函数的 的定义域为（0，+∞），
函数的导数f ′（x ）22212
x x x x
-=-
+=，∴（0，2）上，f ′（x ）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f ′（x ）＞0，函数单调递增， ∴x ＝2是f （x ）的极小值点，即A 错误；
B .y ＝f （x ）﹣x 2x =+lnx ﹣x ，∴y ′221x x =-+-122
2
x x x -+-=＜0，
函数在（0，+∞）上单调递减，且f （1）﹣12=+ln 1﹣1=1>0，f （2）﹣21=+ln 2﹣2= ln 2﹣1<0，∴函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确；
C .若f （x ）＞kx ，可得k 22lnx x x +＜
，令g （x ）22lnx x x =+，则g ′（x ）3
4x xlnx
x -+-=， 令h （x ）＝﹣4+x ﹣xlnx ，则h ′（x ）＝﹣lnx ，
∴在x ∈（0，1）上，函数h （x ）单调递增，x ∈（1，+∞）上函数h （x ）单调递减， ∴h （x ）?h （1）＜0，∴g ′（x ）＜0， ∴g （x ）22lnx
x x
=
+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，即C 不正确；
D .令t ∈（0，2），则2﹣t ∈（0，2），2+t ＞2，
令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ）22t =
++ln （2+t ）22t ---ln （2﹣t ）244t t =+-ln 22t
t
+-， 则g ′（t ）()
22
22
22
222222
44822241648(4)2(2)(4)4(4)
t t t t t t t t t t t t t ----++---=
+?=+=-+----＜0， ∴g （t ）在（0，2）上单调递减， 则g （t ）＜g （0）＝0， 令x 1＝2﹣t ，
由f （x 1）＝f （x 2），得x 2＞2+t ，
则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4， 当x 2≥4时，x 1+x 2＞4显然成立，
∴对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞4，故D 正确 故正确的是BD ， 故选：BD ． 点评：
本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
三、填空题
13．已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.
答案：221123
y x -=
设双曲线方程为22
4x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案. 解：
双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：2
2
4x y λ-=，代入点(4,1)，则
12λ=.
故双曲线方程为：221123y x -=.
故答案为：221123
y x -=.
点评：
本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为2
2
4x y λ-=是解题的关键.
14．已知1e u r ，2e u u r 是互相垂直的单位向量，12e -r u u r 与1e +u r λ2e u u r
的夹角为60°，
则实数λ的值是__．
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值． 解：
解：由题意，设1e =u r （1，0），2e =u u r
（0，1），
则12e -=r u u r
，﹣1），
1e +u r λ2e =u u r
（1，λ）
； 又夹角为60°，
12e -r u u r ）?
（1e +u r λ2e u u r
）=λ＝2cos60°，
λ=，
解得λ= 点评：
本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数 为______________.(用数字作答) 答案：5040.
分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为
3214564265144036005040N A A C C A =+=+=。填5040.
点评：
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。
16．已知关于x 的不等式3ln 1x
e
x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取
值范围为_________． 答案：(],3-∞-
先将不等式3ln 1x
e x a x x --≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,转化为3ln 1ln x x e x a x ---…任
意(1,)x ∈+∞恒成立，设()3ln 1
ln x x e x f x x
---=，求出()f x 在()1,+∞内的最小值,即可
求出a 的取值范围. 解：
解：由题可知，不等式3ln 1x
e x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，
即33ln 3ln 31111ln ln ln ln x
x x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x
-----------===?， 又因为(1,)x ∈+∞，ln 0x >，
3ln 1
ln x x e x a x ---∴?
对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 设()3ln 1
ln x x e x f x x
---=，其中()1,x ∈+∞，
由不等式1x e x ≥+，可得：3ln 3ln 1x x e x x -≥-+，
则()3ln 13ln 11
3ln ln x x e x x x x f x x x
----+--=≥=-，
当3ln 0x x -=时等号成立，
又因为3ln 0x x -=在()1,+∞内有解，
()min 3f x ∴=-，
则()min 3a f x ≤=-，即：3a ≤-， 所以实数a 的取值范围：(],3-∞-. 故答案为：(],3-∞-. 点评：
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
四、解答题
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c b
A B c
--=+.
（1）求A 的余弦值； （2）求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）
1
2
；（2
）（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故
sin 2sin cos B B A =，得到答案.
（2）计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 解： （1）
tan tan tan tan A B c b
A B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C
--=+，
即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故
1
cos 2
A =
. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.
1
cos 2A =
，故sin A =，1sin 2S bc A =≤ABC 面积的最大值为点评：
本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 18．已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1
n
a 的等差中项． （1）求证：数列{}2
n
S 为等差数列；
（2）设(1)n
n n
b a -=，求{}n b 的前100项和100T ．
答案：（1）证明见解析； （2）10.
（1）利用已知条件化简出2
21n n n S a a -=，当1n =时，11S =，当2n ≥时，再利用
1n n n a S S -=-进行化简，得出2211,(2)n n S S n --=≥，即可证明出{}2n S 为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列{}n a 的通项公式=n a (1)
(1)
n n n n n b a -===-+，可直接求出{}n b 的前100项和100T ．
解：
解：（1）由题意知12n n n
S a a =+
，即2
21n n n S a a -=，① 当1n =时，由①式可得11S =； 又2n ≥时，有1n n n a S S -=-，
代入①式得()()2
1121n n n n n S S S S S -----=， 整理得2
2
11,(2)n n S S n --=≥， ∴{}2
n
S 是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得2
11n S n n =+-=， ∵{}n a 是各项都为正数，∴=n S n ， ∴11(2)n n n a S S n n n -=-=--≥， 又111a S ==， ∴1=--n a n n ，
则(1)(1)(1)1
n n
n n n b n n a n n -===-+---， 1001(21)(32)(10011002)(1001001)T ∴=-++-++???--+-++-
10010==，
即：10010T =.
∴{}n b 的前100项和10010T =． 点评：
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
60,90DAB ADP ∠=?∠=?，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．
（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF P 平面PCE ，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2
4
时，求直线
PB 与平面ABCD 所成的角． 答案：（1）见解析（2）60?
（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到
//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .
（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m v ，和平面DFC 的法向量n v
，利用向量的夹角公式，求得3a =
，进而得到
PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解.
解：
（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且1
2
FQ CD =
， //AE CD 且1
2
AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四
边形.
所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ?为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，
又90ADP ∠=?，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ?平面
ABCD AD =，
所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)
3,1,0B
，
()0,2,FC a =-u u u v
，(
)
3,1,0CB =
-u u u v ，
设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =v
，
则由00m FC m CB ??=??=?u u u v v u u u v v 得2030y az x y -=??-=，令1x =，则3y =23z =
所以取m
?
=
??
v
，显然可取平面DFC的法向量()
1,0,0
n=
v
，
由题意：
cos,
4
m n
==
v v
，所以a=
由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，
所以PBD
∠为直线PB与平面ABCD所成的角，
易知在Rt PBD
?
中，tan
PD
PBD a
BD
∠===，从而60
PBD
∠=?，
所以直线PB与平面ABCD所成的角为60?.
点评：
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
20．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP=
u u u r
（2，
）
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
答案：（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3，0），理由见解析.
（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（
2
p
，0），利用FP=
u u u r
（2，
），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.
（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y01
01
4x y y
y y
+
=
+和
ML的
方程y02
02
4x y y
y y
+
=
+，因为
A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直
线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1
12
4
y y
=
+（
x
2
1
4
y
-），代入化简求解.
解：
（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p
，0），满足FP =u u u r （2，
的P 的坐标为（22
p +，
，P 在抛物线上， 所以（
2＝2p （22
p +），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2
＝4x ；
（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12
＝4x 1，y 22
＝4x 2，
直线MN 的斜率k MN
1010221010
104
4
y y y y y y x x y y --=
==
--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 20
4
y -），
即y 01
01
4x y y y y +=
+①，
同理可得直线ML 的方程整理可得y 02
02
4x y y y y +=
+②，
将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程
可得01010202122126y y y y y y y y +?
-=?+??+?-=?+?
，消y 0可得y 1y 2＝12，
易知直线k NL 124y y =+，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214
y -），
即y 124y y =
+x 1212y y y y ++，故y 12
4y y =+x 1212
y y ++，
所以y 12
4
y y =
+（x +3），
因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）． 点评：
本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.
其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.
举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；
（ii）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，
，）
答案：(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。
（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解。
解：
（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得
.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间
的人数为
（人）； （2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则
.
，
，
，
，
.
的分布列为 0 1 2 3 4
数学期望.
点评：
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。 22．已知函数2
()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()
()()1112221
2,,P x f x P x f x x
x <，
存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：
12
02
x x x +<
. 答案：(1)见解析(2)见证明
(1)对函数()f x 求导，分别讨论0a ≥，20a -<<以及2a =-，即可得出结果； (2)根据题意，由导数几何意义得到
()()()()11
2
2110122122
ln
2R P x a f x f x x f x k x x a x x x x -===+-+++'-，将证明1202
x x
x +<转化为证明()2121122ln
x x x x x x ->+即可，再令21
x t x =，设()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >，用
导数方法判断出()g t 的单调性，进而可得出结论成立. 解：
（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()()1221x x a a f x x a x x
-+=-+=
'-
， 令()0f x '=，得1x =或2
a
x =-
. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；
1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. ②当20a -<<时，12
a
x -
<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02
a
x <<-
或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ??-
???，增区间为0,2a ?
?- ??
?，()1,+∞.
③当2a =-时，0x >时，()()2
210x f x x
-'=>，函数()f x 单调递增；
此时，()f x 的减区间为()0,+∞.
综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞：
当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a ??- ???，增区间为0,2
a ??- ??
?
.()1,+∞；
当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.
（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021
R P f x f x f x k x x ==
'--
()()2222211121
1ln 1ln x ax a x x ax a x x x ????
-+---+-?
???=-
()211222
ln
2x a x x x a x x =+-++
+
由（1）中()f x '得()121212
222x x a f x x a x x +??
=+-+-
?+?'?. 易知，导函数()()21a
f x x a x
=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数， 所以，要证1202x x x +<
，只要证()1202x x f x f +??
< ??'?
'，
即2
12112
ln
2x a x a x x x x <--+，即证()212112
2ln x x x
x x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =
，则()()
21ln 1
t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()2
22
114
011t g t t t t t -=-
=+'>+ (1)t >， 所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数， 所以()()10g t g >=，即()21ln 01
t t t --
>+，
所以()21ln 1
t t t ->
+，即
ln 2
11
t t t >-+， 即()212112
2ln
x x x x x x ->+. 故有12
02
x x x +<（得证）. 点评：