解一元二次方程
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
知识梳理
讲解用时：30分钟
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
【答案】D
【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程，
由原方程得到：（x﹣2019）2=﹣2019，
①（x﹣2019）2≥0，
﹣2019＜0，①该方程无解，故选：D.
讲解用时：2分钟
解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。
教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】
已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。
A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【答案】D
【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，
n，
mx2+n=0，则mx2=﹣n，即x2=﹣
m
①x2≥0，m≠0，①mn异号，故选：D.
讲解用时：2分钟
n，再解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣
m
根据偶次幂的非负性可得mn异号。
教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】
在实数范围内定义运算“①”，其规则为a①b=a2﹣b2，则方程（4①3）①x=13的根为。
【答案】x1=6，x2=﹣6
【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，
根据新定义可以列方程：
（42﹣32）①x=13，则72﹣x2=13，
∴49﹣x2=13，则x2=36，
①x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6.
讲解用时：3分钟
解题思路：根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根。
教学建议：根据定义转化为一元二次方程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：甘州区校级期中年份：2019【练习2】
定义新运算“①”，对于非零的实数a，b，规定a①b=b2，若2①（x﹣1）=3，则x=。
【答案】1+3或1﹣3
【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，
①a①b=b2，且2①（x﹣1）=3，①（x﹣1）2=3，
①x﹣1=±3，①x1=1+3，x2=1﹣3，
故答案为1+3或1﹣3。
讲解用时：2分钟
解题思路：根据定义a①b=b2把2①（x﹣1）=3转化为一元二次方程，利用直接开平方法求出方程的解即可。
教学建议：根据定义转化为一元二次方程。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无棣县模拟年份：2019【例题3】
三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是。【答案】12或6或15
【解析】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，
方程x2﹣7x+10=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x=2或x=5，
三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，
则周长为12或6或15．
讲解用时：5分钟
解题思路：方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可。
教学建议：先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：和平区一模年份：2019【练习3】
已知a，3是直角三角形的两条直角边，第三边的长满足方程x2﹣9x+20=0，则a 的值为。
【答案】4或7
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法以及勾股定理，
①x2﹣9x+20=0，即（x﹣4）（x﹣5）=0，①x﹣4=0，x﹣5=0，
解得x1=5，x2=4，
①a和3是两直角边时，第三边是5或4，①a=4或7．
故答案是：4或7。
讲解用时：5分钟
解题思路：因式分解法解一元二次方程求出方程的解，得出直角三角形的斜边长，再根据勾股定理求出第三边即可
教学建议：当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：西城区校级期末年份：2019春【例题4】
将一元二次方程﹣x2+6x﹣5=0化成（x﹣m）2=n的形式，则﹣（m﹣n）2019=。【答案】1
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，
由已知方程得x2﹣6x=﹣5，
∴x2﹣6x+9=﹣5+9，则（x﹣3）2=4，
∴m=3，n=4，∴-（m-n）2019=﹣（3﹣4）2019=1．
讲解用时：5分钟
解题思路：先利用配方法得到（x﹣3）2=4，则m=3，n=4，然后利用乘方的意义计算-（m-n）2019的值。
教学建议：熟练掌握配方法的过程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：中山市月考年份：2019春【练习4】
若方程2x2+8x﹣32=0能配方成（x+p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过的象限是。
【答案】第二象限
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法以及一次函数图像的相关知识点，由已知方程得x2+4x=16，则x2+4x+4=20，
∴（x+2）2=20，则p=2，q=﹣20，
直线解析式为y=2x﹣20，此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
讲解用时：5分钟
解题思路：利用配方法得到（x+2）2=20，所以p=2，q=﹣20，则直线解析式为
y=2x﹣20，然后根据一次函数的性质解决问题。
教学建议：通过配方法确定p和q的值，再根据一次函数的图像性质解题。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：和平区校级月考年份：2019秋【例题5】
小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是。
【答案】四、平方根的定义
【解析】本题考查了利用配方法推导一元二次方程求根公式，
小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；
故答案为四；平方根的定义
讲解用时：8分钟
解题思路：用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可；
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方。
教学建议：可先带领学生一起推导。
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：丰台区一模年份：2019【练习5】
2+1=0的两根，则它的周长为。
等腰三角形的边长是方程x2﹣x2
【答案】32+1
【解析】本题考查了一元一次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形的三边关系，
由一元二次方程求根公式解方程x2﹣22x+1=0的两根，
得x1=2+1，x2=2﹣1，
①等腰三角形的边长是方程x2﹣22x+1=0的两根，
①等腰三角形的三边为①2+1，2+1，2﹣1，①2+1，2﹣1，2﹣1，①2+1＞2﹣1+2﹣1，①①不能构成三角形，
①等腰三角形的三边为2+1，2+1，2﹣1，
①它的周长为32+1.
讲解用时：8分钟
解题思路：先解方程，求得两根为x1=2+1，x2=2﹣1，再根据三角形的三边关系，得等腰三角形的腰为2+1，从而求出周长。
教学建议：能够根据三角形三边关系进行取舍。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：涪陵区校级月考 年份：2019
【例题6】
解方程：
（1）（2x ﹣1）2=9
（2）x 2+3x ﹣4=0（用配方法）
（3）3x 2+5（2x+1）=0（用公式法）
（4）7x （5x+2）=6（5x+2）
【答案】（1）x 1=2，x 2=﹣1 ；（2）x 1=1，x 2=﹣4；
（3）x 1=3105+-，x 2=3105--；（4）x 1=52-，x 2=7
6 【解析】本题考查一元二次方程的解法，
（1）（2x ﹣1）=±3，①x 1=2，x 2=﹣1
（2）x 2﹣3x=4，
①x 2﹣3x+（23）2=4+（23）2，①（x ﹣23）2=4
25， ①x ﹣23=25± ，
①x 1=1，x 2=﹣4 （3）3x 2+10x+5=0，
①a=3，b=10，c=5，①①=100﹣60=40＞0， ①x=
610210±-，①x 1=3105+-，x 2=3105--． （4）（5x+2）（7x ﹣6）=0，①5x+2=0或7x ﹣6=0，
x 1=52-，x 2=7
6． 讲解用时：10分钟
解题思路：（1）利用直接开方法解方程即可；（2）根据配方法的步骤解方程即可；
（3）根据公式法的步骤解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可； 教学建议：根据方程的特点，选择合适的方法解方程。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：蓬溪县期末 年份：2019秋
【练习6】
（1）用配方法解方程：3x 2﹣12x+9=0；
（2）用公式法解方程：3x 2﹣9x+4=0．
【答案】（1）x 1=3，x 2=1；（2）x 1=6339+，x 2=6
339- 【解析】本题考查了解一元二次方程，
（1）两边同除以3，得x 2﹣4x+3=0，
移项，得x 2﹣4x=﹣3，
配方，得x 2﹣4x+4=﹣3+4，
（x ﹣2）2=1，则x ﹣2=±1，
∴x 1=3，x 2=1；
（2）①a=3，b=﹣9，c=4，
①①=b 2﹣4a c=（﹣9）2﹣4×3×4=33＞0，
①方程有两个不相等的实数根为x=3
2339?±， x 1=6339+，x 2=6
339- 讲解用时：8分钟
解题思路：（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；（2）先求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可。
教学建议：熟记解一元二次方程的各个方法。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：惠民县期末 年份：2019秋
【例题7】
关于x 的一元二次方程mx 2+nx=0的一根为x=3，则关于x 的方程m(x+2)2+nx+2n=0的根为 。
【答案】1或﹣2
【解析】本题主要考查一元二次方程的解，由方程根的定义求得m 和n 的关系是解题的关键。
①关于x 的一元二次方程mx 2+nx=0的一根为x=3，
①9m+3n=0，解得n=﹣3m ，且m≠0，
①关于x 的方程m （x+2）2+nx+2n=0为mx 2+4mx+4m ﹣3mx ﹣6m=0，整理可得mx 2+mx ﹣2m=0，
①m≠0，①x 2+x ﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，故答案为：1或﹣2.
讲解用时：8分钟
解题思路：把x=3代入方程可求得m 和n 的关系，再代入所求方程整理可求得答案。
教学建议：本题的关键在于找出m 与n 的关系，可由方程的根构造等式解决。 难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：惠山区校级期中 年份：2019秋
【练习7】
若m ＞n ＞0，m 2+n 2
=4mn ，则mn n m 22 的值等于 。 【答案】23
【解析】本题考查了完全平方公式的运用以及配方法处理一元二次方程， ①m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，
①（m+n ）2=6mn ，（m ﹣n ）2=2mn ， ①m+n=mn 6，m ﹣n=mn 2，
讲解用时：8分钟
解题思路：根据已知条件求得m+n=mn 6，m ﹣n=mn 2；然后将所求的代数式转化为含有m+n 、m ﹣n 的形式的代数式，并将m+n=mn 6，m ﹣n=mn 2代入求值即可。
教学建议：根据已知条件将m+n 、m ﹣n 用所求代数式的分母mn 表示的形式，便于约分，从而求得mn
n m 22 的值。 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：苏州模拟 年份：2019
【例题8】
已知方程x 2﹣3x+1=0
（1）求x+x
1的值； （2）求x ﹣x
1的值； （3）若a 为方程x 2﹣3x+1=0一个根，求2a 2﹣6a+2019的值．
【答案】 （1）3；（2）±5；（3）2019
【解析】本题考查了一元二次方程的解的意义、等式的性质以及完全平方公式，
（1）①x 2﹣3x+1=0，
①x≠0，方程两边同时除以x ，得x ﹣3+x 1=0，①x+x
1=3； （2）①（x ﹣x 1）2=（x+x 1）2﹣4=9﹣4=5，①x ﹣x
1=±5； （3）①a 为方程x 2﹣3x+1=0一个根，
①a 2﹣3a+1=0，①a 2﹣3a=﹣1，
①2a 2﹣6a+2019=2（a 2﹣3a ）+2019=﹣2+2019=2019.
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）由x 2﹣3x+1=0，可知x≠0，将方程两边同时除以x ，得到x ﹣3+x 1
=0，即可求出x+x 1=3；（2）利用完全平方公式得出（x ﹣x 1）2=（x+x
1）2﹣4=9﹣4=5，那么x ﹣x
1=±5；（3）将x=a 代入方程x 2﹣3x+1=0，整理得出a 2﹣3a=﹣1，那么2a 2﹣6a+2019=2（a 2﹣3a ）+2019=2019。
教学建议：经典题型，熟练运用公式进行分析处理。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：洪泽县期末 年份：2019秋
【练习8】
阅读下列材料：
（1）关于x 的方程x 2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以
x 1得：013=+-x x 即31=+x x ，21121122222++=??++=??? ??+x x x x x x x x ，211222-??? ?
?+=+x x x x （2）a 3+b 3=（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）；a 3﹣b 3=（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x 2﹣4x+1=0（x≠0），则x x 1+= ，=+221x x ，=+441x
x ； （2）2x 2﹣7x+2=0（x≠0），求3
31x x +的值。 【答案】（1）4，14，194；（2）
8259 【解析】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，
（1）①x 2﹣4x+1=0，①41=+
x x ， ①（x x 1+）2=16，①161222=++x
x ， ①=+22
1x x 14，①2221??? ??+x x =196， ①=++2144x x 196，①=+441x
x 194． （2）①2x 2﹣7x+2=0，
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决；（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可。
教学建议：灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方）。
难度：5 适应场景：当堂练习 例题来源：郴州模拟 年份：2019
课后作业
【作业1】
方程x2+m=0有实数根的条件是（）。
A．m＞0 B．m≥0C．m＜0D．m≤0
【答案】D
【解析】
方程x2+m=0有实数根的条件是﹣m≥0，即m≤0，故选：D．
讲解用时：2分钟
难度：3 适应场景：练习题例题来源：西陵区校级月考年份：2019秋【作业2】
等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是。【答案】10或6或12
【解析】此题考查了一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，
①x2﹣6x+8=0，①（x﹣2）（x﹣4）=0，
解得：x=2或x=4，
①等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，
①当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10．
当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2=6．
当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4=12．
①这个三角形的周长为10或6或12。
讲解用时：8分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：曲靖一模 年份：2019
【作业3】 定义2
2b a b a +=*，则方程（x*x 2）﹣（x 2*x ）=2的解为 。 【答案】2171±=
x 【解析】此题考查了解一元二次方程﹣公式法， 根据题中的新定义得：2222
x x x x +=*，2222x x x x +=*， 方程变形为22
22222=+-+x x x x ， 整理得：x 2﹣x ﹣4=0，
这里a=1，b=﹣1，c=﹣4，
①①=1+16=17，
讲解用时：8分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：茶陵县校级月考 年份：2019
第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；
（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
第22章 二次根式 22.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2 ≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3≥a a ，12 +x 2、计算 ： (1) 2 )4( (2) 2 )3(4
（3）2 )5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负 数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a 必 须满足 , 才有意义。 （三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x 223x + ③ 2、（133a a --a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 （四）展示反馈 (学生归纳总结) 1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 2．式子)0(≥a a 的取值是非负数。 （五）精讲点拨 1、二次根式的基本性质(a )2 =a 成立的条件是a ≥0，利用这个性质可以求二次根式 的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2 . 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 ________ )(2=a x -- 21x -
初三数学上册全册教案（北师大版） 北师大版九年级数学上全册精品教案 证明 ．你能证明它们吗？3课时 ．直角三角形2课时 ．线段的垂直平分线2课时 ．角平分线1课时 你能证明它们吗? 教学目标： 知识与技能目标： ．了解作为证明基础的几条公理的内容。 ．掌握证明的基本步骤和书写格式． 过程与方法 ．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。 ．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。 情感态度与价值观 ．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯． 重点、难点、关键 ．重点：探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问
题． ．难点：探究问题的证明思路及方法． ．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路． 教学过程： 一、议一议： ．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ ．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？ 给出公理和定理： ．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。 ．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸． 二、回忆上学期学过的公理 本套教材选用如下命题作为公理: 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 两边夹角对应相等的两个三角形全等; 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 三边对应相等的两个三角形全等; 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等。 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF 求证：△ABc≌△DEF 证明：∵∠A+∠B+∠c=180°， ∠D+∠E+∠F=180° ∴∠c=180°- ∠F=180°- 又∵∠A=∠D,∠B=∠E ∴∠c=∠F 又∵Bc=EF ∴△ABc≌△DEF 推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 随堂练习： 做教科书第4页第1，2题。 课堂小结： 通过这节课的学习你学到了什么知识？ 作业： 基础作业：P5页习题1.11、2。 你能证明它们吗 教学目标：
《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
21.1 一元二次方程 【教学目标】 知识与技能 1.了解整式方程的意义，理解一元二次方程及其有关概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容； 3.了解一元二次方程根的意义和用法。 过程与方法 1.通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示，一方面让学生了解对应用问题的处理方法，另一方面，通过这类方程和前面所学的方程的比较，让学生学会学习新知的方法——类比法； 2.通过对类比法的说明，培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识； 3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程，体会数学建模的应用。 情感、态度与价值观 1.经历在应用过程中归纳概念的过程，培养学生体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力，逐步感知数学的应用能力和数学美。 2.通过对一元二次方程定义的讲解，培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。【教学重难点】 重点：一元二次方程的概念和一般形式。 难点：正确识别一元二次方程和列一元二次方程。 【教法与学法导航】 ?教学方法 激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法 ?学习方法： 动手操作法，自主探究法，互动学习法，发现法，合作探究与讨论归纳法 【教学准备】 ?教师准备： PPT课件（开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容），每个学生一份长10cm,宽5cm的矩形纸各一张。 ?学生准备： 刻度尺剪刀 【教学过程】 一、问题探索—导入新知 （一）利用多媒体展示问题1和问题2： （师：请同学们思考大屏幕上这两个问题） 问题1.如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动 1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． 1 (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3) ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程 2x －1＝3 的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动 2 探究新知
根据题意列方程． 1．教材第2页问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？
板块一 一元二次方程的概念 1.一元二次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 2.一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． 3.一元二次方程根的考察 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。 （将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 4.一元二次方程的识别： 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2． 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠． 要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程． 板块二 一元二次方程的解法 1.直接开平方法 对于形如2x m =或2()ax n m +=（0a ≠，0m ≥）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解 如2x m =（0m ≥）的解为x =，即1x =2x =如2()ax n m +=（0m ≥）转化为ax n +=ax n +或ax n +=进行求解 当0m <时，方程2x m =和2()ax n m +=均无解 2.配方法 通过配方的方法把一元二次方程转化为形如2()ax b m +=的形式，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程。 用配方法解一元二次方程的步骤如下： （1）把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边 （2）根据等式的性质把二次项的系数化为“1” （3）把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式。 用配方法解一元二次方程比较麻烦，建议优先考虑其他的方法 3.公式法：x = （2b -4ac ≥0） 一元二次方程的概念及解法 新知学习
新人教版初中数学九上圆周角教学设计 一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析，确定本节教学重点是： 直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理 的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答 问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学 习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学 生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法 的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求 知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。 学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角 等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。 鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。 四、教学支持条件设计 教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。
第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x ＋1＝0 (4)x 2 ＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？ (3)归纳一元二次方程的概念．
一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项 系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的 a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。 当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。 5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。 练习 一、选择题。（每小题5分，共30分） 1、方程2x －9＝0的解是 （ ） A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是（ ） Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --=
人教版九年级上册数学 全 册 教 案
第二十一章一元二次方程 21. 1一元二次方程 教学目标 知识技能 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 数学思考与问题解决 通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识． 情感态度 使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣． 重点难点 重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别． 教学设计 活动一：创设情境 1．什么是方程？什么是一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？ (1)3x＋4＝1；(2)6x－5y＝7；(3)4 3x－ 5 y＝0；(4) 1 5y＝5；(5)x 2－70x＋825＝0；(6)7＋ 3 y－2＝4；(7)x(x＋5)＝150；(8) 4x 5－ y 3＝0. 3．什么是“元”？什么是“次”？ 活动二：一元二次方程及其相关概念的学习 自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题：
1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________． 2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘1 2？所列方程为________，化简后为________． 3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程． 4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a ≠________)．为什么？ 5．说出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？ 设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台． 活动三：尝试练习 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)3x ＋2＝5y －3；(2)x 2＝4；(3)3x 2－5 x ＝0；(4)x 2－4＝(x ＋2)2；(5)ax 2＋bx ＋c ＝0. 2．方程2x 2＝3(x －6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( ) A ．2，3，－6 B ．2，－3，18 C ．2，－3，6 D ．2，3，6 (答案：1.略；2.B.) 活动四：知识拓展 例 关于x 的方程(m ＋1)x |m|＋1＋3x ＝6，当m ＝________时，该方程是一元二次方程． 分析：要使(m ＋1)x |m|＋1＋3x ＝6为一元二次方程，除了考虑未知数的最高次数为2，还要想到m ＋1≠0.解题过程略． 活动五：课堂小结和作业布置 课堂小结： 1．一元二次方程的概念是什么？一个一元二次方程必须同时满足三个要素：(1)整式；(2)方程整理后含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是二次． 2．一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、
第二十一章《一元二次方程》检测题 姓名： 分数： 一.选择与填空（每题3分，共60分） 1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A.()()12132+=+x x B.02112=-+x x C.02=++c bx ax D.21y x += 2.一元二次方程2(1)2x -=的解是（ ） A.11x =- 21x =- B.11x = 21x = C.13x =，21x =- D.11x =，23x =- 3.方程2x(3)=5(3)的根是( ) 25 3 C 1252=3 2 5 4.方程2220x x --=的根的情况是（ ） A.方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根 C.方程没有实数根 D.无法确定 5.关于x 的一元二次方程(1)x 22 -1=0的一个根是0,则a 的值是( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D. 2 1 6.若12 44x x + 9,则x 2的值是（ ）. A.4 B.-2 C.4或-2 D. ±3 7.已知m 方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于 （ ） 1 B.0 C.1 D.2 8.一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根， 则这个三角形的周长是（ ） A.11 B.11或13 C.13 D.11和13 9．某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m 元，则原价是（ ） （A ）22.1m 元 （B ）1.2m 元 （C ）28.0m 元 （D ） 0.82 m 元 10．如果关于x 的方程 2 –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞–14 B ．a ≥–14 C ．a ≥–14 且a ≠0 D．a ＞ –14 且a ≠0 11. 使分式2 56 1x x x --+ 的值等于零的 x 是( )A.6 1或6 1 6 12. 若关于y 的一元二次方程2 -43=34有实根,则k 的取值范围是( ) >-7 4 ≥-74 且k ≠0 C ≥-74 >74 且k ≠0 13. 一元二次方程x x 6122=-的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 14.若方程x 2 -60的一根为1,则,另一根是. 15. 若方程2x 2-87=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长,则这个直角三角形的斜边长是. 16.当时,方程(1)20有实根,这时实根是 . 当时,方程无实根. 17. 若一元二次方程2 0(a ≠0)有一个根为1,则;若有一个根为-1,则 b
第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即5322要写成53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ±或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2=h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)无实数根。当Δ≥0时，式子
第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5 （1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：