例析立体几何中的排列组合问题
春晖中学过月圆
在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点
1．1 共面的点
例1（1997年全国高考（文））
四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）
A．30种 B．33种 C．36种 D．39种
解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。
所以与点A共面的四点组合共有个。
答案：B
点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。
1．2 不共面的点
例2（1997年全国高考（理））
四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线
例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）
A．18对 B．24对 C．30对 D．36对
分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。
例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。
侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；
例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线；
例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数两遍。共有。
法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构成四面体的个数为：故共有异面直线。
答案：D
点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。
3 平面
例4 α、β是两个平行平面，在α内取4个点，在β内取5个点，这9个点最多能确定多少个平面？
解析：
例5（2002年全国高考）
从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
解析：
4 模型
4．1 平面多边形
例6（2004年高考·湖南卷）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）
A．56 B．52 C．48 D．40
解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点。以B为直角顶点的三角形有：,,,,,共6个，故正方体中共有。
答案：C
点评：在中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。
4．2 空间多面体
例7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有____________。
5 其它
例8（2005年高考·江苏卷）
四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
A．96 B．48 C．24 D．0
解析：如图所示，与每条侧棱异面的棱分别为2条。例如侧棱SB与CD、AD棱异面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个
仓库中，计种。从而安全存放的不同放法种数为（种）
答案：B
[点评]本题用四棱锥的8条棱的关系来处理化工产品的存放种数，
立体几何中组合问题的几种解法 解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。 1 直接求解法 例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种? 分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。 解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。 ∴所求方法N=210-60-3-6=141(种) 本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1] 例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥? 解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。 解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。 2 从几何概念上求解［2］ 例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个? 此题易错解，仿上例。
m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中 有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个 步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合． 表示．规定： 0! = 1 ． 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示． 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总 结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 /////////解决排列组合问题常见策略 学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。 较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。 排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。 集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。 常用方法： 一. 合理选择主元 例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同 的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。 二. “至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。 例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？ 解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有： （种） 三. 注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。 例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类： 第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）； 第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）； 第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。 1 / 4word. 立体几何中的排列组合问题解法举隅 立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解 例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ） A. 12对 B. 24对 C. 36对 D. 48对 解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧 棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1 6C 种; 第二步, 从底面6 条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B. 二．分类求解 例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种 解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033 5 C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B. 例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿. 排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3 例析立体几何中的排列组合问题 春晖中学过月圆 在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。 1 点 1．1 共面的点 例1（1997年全国高考（文）） 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（） A．30种 B．33种 C．36种 D．39种 解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。 所以与点A共面的四点组合共有个。 答案：B 点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。 1．2 不共面的点 例2（1997年全国高考（理）） 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（） A．150种 B．147种 C．144种 D．141种 解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。 点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。 2 直线 例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理）） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。 例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线； 例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线； 排列组合问题之分组分配问题 （一）（五个方面） 一、非均匀分组（分步组合法） “非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。 例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人； ②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。 解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2 6C 种，最后由剩下的4人为一 组，有44C 种。由分步计数原理得分组方法共有1 2 4 764105C C C =（种）。 % ②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有3 5C 种，分组方法共有23 75210C C =（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523 753210C C C =（种）。 二、均匀分组（去除重复法） “均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。 ㈠全部均匀分组（去除重复法） 例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法 解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3 4C 种。又有2组都 是3人，每22 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33 74 2 2 70C C A =（种）。 也可先选后分。不同的分法共有33663 7 2 2 70C C C A ?=（种）。 ㈡部分均匀分组（去除重复法） 、 例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法 解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4 4C 种，又有3堆都是2个 元素，每3 3A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有 222 4 108643 3 3150C C C C A ?=（种）。 【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是 均匀的，都有m m A 种顺序不同的分法只能算一种分法。】 三、编号分组 ㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法） 例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法 解：分组方法共有232 752420C C A =（种）。 排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何 一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】 技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 ．．． 是（） 分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ A C B D 分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A ． 21 B ．87 C ．12 11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211 112121311=????-=V ， 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（1） C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（2） 立体几何与排列组合 1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是?ACB 1的 （ ） A 重心 B 外心 C 内心 D 垂心 2．长方体三条棱分别为a,b,c,若长方体所有的棱长度之和为24，一条对角线为5，体积为2，则c b a 1 11++等于 （ ） A 411 B 114 C 211 D 11 2 3．已知，正四棱锥侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为1θ，相邻两侧面所成的二面角为2θ，则 （ ） A 212 θπ θ-= B 2 2 2 1θπ θ- = C 21θθ= D 2 2 1θθ= 4．在北纬450圈上，有甲、已两地。它们的经度分别为东经1400和西经1300，地球的半径是R ，则甲、已两地球面距离是 （ ） A R π21 B R π41 C R π23 D R π3 1 5．若三棱锥A －BCD 的侧面ABC 内一动点P 与底面BCD 的距离与到AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ） 6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB =CF ：FD = λ （0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ） A.大于90° B.小于90° C.等于90° D.与 λ 的值有关 7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．26 8 6 C A B ．2 28 3C A C ．2 2 8 6 C A D ．2 28 5C A 8.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为 （ ） 隔板法解决排列组合问题 Prepared on 22 November 2020 “隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有 序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种 （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以 不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每 盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。 排列组合常用方法总结 导读：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！ 排列组合常用方法总结 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法 中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 例析立体几何中的排列组合问题 过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法， 下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 点 1．1 共面的点 11997年全国高考（文））（例 A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（ A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点， 每个面上的个顶点，个点共面。点条棱有 34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333 点与这条棱对棱的中点共面。条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在 A共面的四点组合共有个。所以与点 B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有 把每条棱上的算在内。1．2 不共面的点 21997年全国高考（理））（例 104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141 种．种．种．种． 410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中 4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。形，它的个顶点共面，有 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。 D答案：。点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则 反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。2 直线 例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理）） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A．18对B．24对C．30对D．36对 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。 例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线； 例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线； 例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数 两遍。共有。 法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构 故共有异面直线。成四面体的个数为：D 答案：点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是 利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。3 平面 立体几何排列组合二项式定理知识点 1.多面体 :.()()定义由若干个多边形组成的封闭体叫做多面体 定义:由两个平行全等的多边形,不在这两个面上的棱都平行. 直棱柱底面平行全等,侧面为矩形,侧棱平行相等垂直底面 分类正棱柱底面平行全等正多边形,侧面为矩形,侧棱平行相等垂直底面棱柱四棱柱(平行六面体,直四棱柱,长方体,正四棱柱,正方体) 多面体()()S c l l h V S h ???????????????=?=???=????侧底面周长底面积 直棱柱的侧面积计算 棱柱的体积 定义:由一个面为多边形,不在这个面上的棱有一个公共点. 正棱锥底面正多边形,侧面全等等腰三角形,侧棱相等交一点分类三棱锥(正三棱锥,正四面体) 棱锥''1213S c h h V S h ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??????????????????? =???????? ???=?????? ???侧底面周长底面积 正棱锥的侧面积(为斜高)计算 棱柱的体积 1.祖暅原理(夫叠棊成立积,缘幂势既同,则积不容异), 2.斜二测画法. 2旋转体 2:(),.(),(),().:(,):2,22,ABCD AB AB CD AD CD S rl S r rl V S h πππ??????==+=?????侧全底 定义矩形及内部绕旋转一周所得的旋转体直线轴线段母线,侧面线段和的旋转面底面圆柱性质无数条母线平行轴垂直底面 计算体积 定义:Rt ABC(及内部)绕直角边AB 旋转一周,所得的旋转圆锥常 见旋转体201 ,,3:(),.:0----:----rl r rl V S h O AB OA πππ???????==+=??? 侧全底体.直线AB(轴),斜边AC(母线,侧面),直角边BC 的旋转面(底面).性质:(无数条母线交于顶点,与轴和底面成等角) 计算:S S 体积 定义半圆及内部绕直径旋转一周所得的旋转体经度经线半圆面与经线半圆面的二面角大小经度纬度与赤道圆面的线面角大小纬球 1123:(,,44,:3(,)O OO S R V R R AOB ππθθ?????????? ? ? ? ?? ???? ?? ???? ?? ???=???????==???? ????∠=????? 表度性质平面截球截面为圆 体积 计算 球面距离弧度 太奇MBA 数学助教 李瑞玲 一．分组（分堆）与分配问题 将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。 将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。一．基本的分组问题 例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本 （部分平均分组问题） 分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。现把六本不同的书标上 6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况： （1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4） （5,6）（3,4）（1,2） 由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种 情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组 的顺序，即除以3 3 P ,于是最后知分法为156 90 332 22426==P C C C . (2)先分组，分组方法是603 32516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很 关键的问题） 由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即 共有60332516=C C C 。 （3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需 要好好考虑） 现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）5 6 （1,2,3,4）6 5 2）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下 5 （1,2,3，4）6 6（1,2,3,4）5 3）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下 5 6（1,2,3,4） 6 5（1,2,3,4） 由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为 高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524 教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的 排列组合中的分组、分配问题 学习目标： 1、体会分组、分配问题的联系与区别 2、体会算两次思想在平均分组问题中的应用 学习过程: 例1： （1）把4本不同的书平均分给2个人，有几种分法？ （2）把4本不同的书平均分成2堆，有几种分法？ 分析：（1）从人的角度： 第1人有24C 种，第2人有22C 种，根据分步乘法原理得分法数2224C C N ?= 从书的角度：先把书平均分成2堆，再把书进行排队，把书平均分成2堆有3种223A N ?= （2）把书平均分成2堆有3种，注意：不是24C ，而是 2224A C 例2： （1）把6本不同的书平均分给3个人，有几种分法？ （2）把6本不同的书平均分成3堆，有几种分法？ （3）把6本不同的书分给3个人，其中一人3本，一人2本，一人1本，有几种分法？ （4）把6本不同的书分成3堆，其中一堆3本，一堆2本，一堆1本，有几种分法？ 分析： （1）的本质是平均分配问题 （2）的本质是平均分组 （3）的本质是不平均分配 （4）的本质是不平均分组 从人的角度去分析（1）：第1人有26C 种，第2人有24C 种，第3人有2 2C 种，根据分步乘法 原理得分法数222426C C C N ??= 从书的角度：先把书平均分成3堆，再把书进行排队，把书平均分成3堆的方法数可用列举法，但数字大时要找好方法。现设把6本书平均分成3堆得方法数为x ，把3堆书排队的方 法数为33A 。根据算两次得到结果一致得：22242633C C C A x ??=? 33 222426A C C C x ??= “平均分组”对学生来说是难点。 练习1：现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法？ （1）分成3组，一组4本，一组3本，一组2本（1260） （2）分给3个人，一人4本，一人3本，一人2本（7560） （3）平均分成3组（280）排列组合常用方法总结
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