B M
N
D
A
C
O
图5
C E
D B
A O
平面几何证明习题
1. 如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =
， 过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则DAC ∠= ,线段AE 的长为 线段CD 的长为 ，线段AD 的长为 2. 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB ，
则圆O 的半径R = ．
3. 如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且0
4,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ． 4. 如图3, 半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P ,
,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .
5. 如图5, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点A ,且cm AC 22=,过C 的割线
CMN 交AB 的延长线于点D ,CM=MN=ND.AD 的长等于_______cm .
6. 如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点于C ，
AD CE ⊥于D ，若AD ＝1，30ABC ∠=?，则圆O 的面积是
7. 如图，O 是半圆的圆心，直径62=AB ，PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，4=AC ，则=PB ．
8. 如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,6,120AB BC CAB ==
∠=o ,
则AOB ∠对应的劣弧长为 ．
9. 如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于,A B 两点，割线PCD 经过圆心O ，
已知6PA =，22
3
AB =，12PO =，则圆O 的半径是__ ．
10. 如图，已知P 是圆O 外一点，PD 为圆O 的切线，D 为切点，
割线PEF 经过圆心O ，若12,3PF PD ==则圆O 的半径长为 ，
EFD ∠的度数为 ．
11. 如图4，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于点E ． 若32=PA ，30APB ∠=?，则AE = ．
12. 如图，在ABC ?中，DE //BC ，EF //CD ，若
3,2,1BC DE DF ===，则BD 的长为 ，
AB 的长为___________．
l 图5
E D
C O
B
P
C O A
B O
B A P
A
B
O
C
D
E
?
4
图
13. 如图，圆O 是?ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线交于点D ，72=CD ，3==BC AB ， 则线段BD 的长为 ，线段AC 的长为 14．如图，60ACB ∠=°，半径为2cm 的O ⊙切BC 于点
C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA
也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ． 15．如图，A 、B 、c 是⊙0上的三点，以BC 为一边，作∠CBD= ∠ABC，过BC 上一点P ，作PE∥AB 交BD 于点E ．若∠AOC=60°， BE=3，则点P 到弦AB 的距离为_______．
16．四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC,CD 于点P,Q ．则CP:AP= ……( ) A ．1:3 B ．1:4 C ．2:3 D ．3:4
17． 如图,Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =……………………………（ ） A ．
35
x + B ．45
x -
C ．
72
D ．
212125
25
x x -
18. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°， 则∠CAO 的度数是……………… ( ) A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
19. 已知 ?ABC 中，AB=AC, D 是 ?ABC 外接圆劣弧?AC 上的点（不与点A,C 重合），延长
BD 至E 。
（1） 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
（2） 若∠BAC=30，?ABC 中BC 边上的高为2+3，求
?ABC 外接圆的面积。
20. 如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，
P
为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ． （1）∠E = 度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE 的长．
21.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交
A B
C
D
E P
A B
C
D
E
P
Q
R
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，
如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
初一几何证明题 1.如图，AD ∥BC ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD 。 2.如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB 。 3. 已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：CD ∥OB 。 4. 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO ，求证：CD ∥OP 。 B D E /F C A 2G 3B D C A B D /P C A O 23B D /P C O 2
5. 已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：CD ∥EB 。 6. 如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。 7. 已知∠A=∠E ，FG ∥DE ，求证：∠CFG=∠B 。 8.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a ∥b ，c ∥d 。 B D E / C O 23B D /C A 234B D E F C A G 21 3a c d b
9.如图，AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED 。 10、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l 1∥l 2，l 3∥l 5，l 2∥l 4。 11、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB ∥CD 。 12、如图，∠A=2∠B ，∠D=2∠C ，求证：AB ∥CD 。 13、如图，EF ∥GH ，AB 、AD 、CB 、CD 是∠EAC 、∠FAC 、∠GCA 、∠HCA 的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D 。 A B C D F E 21l l l 341 2345l 21A B C D 3 4 E B C D O A B D F E A
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。 求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、
初一下学期几何证明题练习1、如图，∠B=∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF=∠C。（6 解：∵∠B=∠C ∴ AB∥CD（ ） 又∵ AB∥EF（） ∴ ∥（） ∴∠BGF=∠C（） 2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，ED//BC，试说明 ∠1=∠2，以下是证明过程，请填空：（8分） 解：∵CD⊥AB，FG⊥AB ∴∠CDB=∠=90°( 垂直定义) ∴_____//_____ ( ∴∠2=∠3 ( 又∵DE//BC ∴∠=∠3 ( ∴∠1=∠2 ( ) 3、已知：如图，∠1+∠2=180°， 试判断AB、CD有何位置关系？并说明理由。（8分） 4、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30°，你能算出∠EAD、∠ DAC、∠C的度数吗？（7分） D C B A E D
5、如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。 解：∵EF∥AD（已知） ∴∠2= （） 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠3（等量替换） ∴AB∥（） ∴∠BAC+ =180 o （） ∵∠BAC=70 o（已知）∴∠AGD= ° 6、如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系。 解：AB∥CD，理由如下： 过点E作∠BEF=∠B ∴AB∥EF（） ∵∠BED=∠B+∠D（已知） 且∠BED=∠BEF+∠FED ∴∠FED=∠D ∴CD∥EF（） ∴AB∥CD（）7、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o， 求∠EAD、∠DAC、∠C的度数。（6分） 8、如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。（6分）
初一几何证明典型例题 1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2ADBC 2、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABCDEF21证明：连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF (S、 A、S)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在△BEF中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。在△ABF和△AEF中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△AEF。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E 过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝ ∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝CG∴EF＝ACA 4、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝
1.填空完成推理过程： 如图，∵AB ∥EF （ 已知 ） ∴∠A + =1800 （ ） ∵DE ∥BC （ 已知 ） ∴∠DEF= （ ） ∠ADE= （ ） 2．已知：如图，∠ADE ＝∠B ，∠DEC ＝115°． 求∠C 的度数． 3. 已知：如图，AD ∥BC ，∠D ＝100°，AC 平分∠BCD ， 求∠DAC 的度数． 4.已知AB ∥CD ，∠1=70°则∠2=_______，∠3=______，∠4=______ 43 2 1A C D B 5. 已知：如图4， AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DEF 的平分线相交于点P ．求∠P 的度数 A C D E F B D E B C A
H G 2 1 F E D C B A 6.直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠AOC ，∠EOA ：∠AOD=1：4，求∠EOB 的度数． 7．如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ分别交ＡＢ、ＣＤ于Ｍ、Ｎ，∠ＥＭＢ＝50°，ＭＧ平分∠ＢＭＦ，ＭＧ交ＣＤ于Ｇ，求∠１的度数. 8.如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37o，求∠D 的度数． 9.如图，已知：21∠∠＝，ο50＝D ∠，求B ∠的度数。 10.已知：如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝４００ ，∠Ｅ＝３００ ，求∠Ｄ的度数 A B C D E E B A
E D B A C 2 1 F E D B A C 11.如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数. b a 341 2 12.已知等腰三角形的周长是16cm ． （1）若其中一边长为4cm ，求另外两边的长； （2）若其中一边长为6cm ，求另外两边长； （3）若三边长都是整数，求三角形各边的长． 13.如图，AB//CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=370， 求∠D 的度数. 14.AB//CD,EF ⊥AB 于点E ，EF 交CD 于点F ， 已知∠1=600 .求∠2的度数.
几何证明专题讲座 ——如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，?ABC中，∠=?=== C AC BC A D DB A E CF 90，，，。 求证：DE＝DF
C F B A E D 图1 分析：由?ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=?A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=?D CF 45。从而不难发现??D CF D AE ? 证明：连结CD AC BC A B ACB AD D B CD BD AD D CB B A AE CF A D CB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E C D F DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F D B C F E A 图2 证明：连结AC 在?ABC 和?CD A 中，
初一几何典型例题 1、如图，/ AOB=90 , 0M 平分/ AOB ，将直角三角尺的顶点P 在射线0M 上移动，两直角分别与 0A , 0B 相较于C , D 两点, 则PC 与PD 相等吗？试说明理由。 PC=PD 证明：作PE 丄0A 于点 V 0M 是角平分线 ??? PE=PF / EPF=90 V/ CPD=90 ???/ CPE= / DPF V/ PEC= / PFD=90 ???△ PCEPDF ??? PC=PD AF 丄 BE 证明： V CD=CE , CA=CB , / ACD= / BCE=90 ???△ ACD 尢 BCE ???/ CBE= / CAD V/ CBE+ / BEC=90 ???/ EAF+ / AEF=90 ???/ AFE=90 ??? AF 丄 BE E , PF 丄0B 于点F D 在BC 上，连接AD 、BE , AD 的延长线交BE 于点F 。试判断AF 与 0 D 2、如图，把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置, BE 的位置关系。并说明理由。
3、如图，已知直线11 II 12,且13和11、12分别交于A、B两点，点P在直线AB上。 (1)如果点P在A、B两点之间运动，试求出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系，并说明理由; (2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合)，试探究/ 1、/ 2、/ 3之间的关系，请画出图形，并说明理由。解：(1)/ 1 + / 2= / 3; 理由：过点P作11的平行线PQ， V 11 // 12, ???11 // 12 / PQ, ? / 1 = / 4，/ 2= / 5. V/ 4+/ 5= / 3，(2)同理：理由：当点? / 1 + / 2= / 3; / 1-/2= / 3 或/2- / 1 = / 3. P在下侧时，过点P作11的平行线PQ， V 11 // 12 ? 11 // 12 / PQ， ?/ 2=/ 4，/ 1= / 3+/ 4， ?/ 1-/2= / 3; 当点P在上侧时，同理可得/ 2- / 1 = / 3 ? 4、D、E是三角形^ ABC内的两点，连接BD、DE、EC，求证AB+AC > BD+DE+EC 解答：延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GOEC 所以FB+FD+FA+AG+EG+GOBD+FG+EC
初一几何证明题 1.如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB 。 2. 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO ，求证：CD ∥OP 。 3.如图，AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED 。 4、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB ∥CD 。 5、如图，∠A=2∠B ，∠D=2∠C ，求证：AB ∥CD 。 6、如图，EF ∥GH ，AB 、AD 、CB 、CD 是∠EAC 、∠FAC 、∠GCA 、 ∠HCA 的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D 。 B D E /F C A 2G 3B D /P C O 2A B C D F E 2 1A B C D 34E B C D O A B C D F E A G H
G E D A 7、已知，如图，B 、E 、C 在同一直线上，∠A=∠DEC ，∠D=∠BEA ， ∠A+∠D=900，求证：AE ⊥DE ，AB ∥CD 。 8、如图，已知，BE 平分∠ABC ，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500，， 求证：BC ∥AE 。 9、已知，∠D=900，∠1=∠2，EF ⊥CD ，求证：∠3=∠B 。 10、如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠B=∠3，AC ∥DE ，求证：AD ∥BC 。 11.∠ECF ＝900,线段AB 的端点分别在CE 和CF 上，BD 平分∠CBA ，并与 ∠CBA 的外角平分线AG 所在的直线交于一点D ， （1）∠D 与∠C 有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小） （2）点A 在射线CE 上运动，（不与点C 重合）时，其它条件不变， （1）中结论还成立吗？说说你的理由。 B C D E A B C D E A 21B C D F 3E A 2 1B C D 3 E A
几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系； 二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分 解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 ?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CFABC?。求证：已知：如图例1.1所示，DE＝中，DF 图 CD?A4AB?中点，可考虑连结C分析由，易，是等腰直角三角形可知 AB?DCF??DAE?45?DCF?。从而不难发现证明：连结CD AC?BC ??A??B?ACB?90?，AD?DB ?CD?BD?AD，?DCB??B??AAE?CF，?A??DCB，AD?CD ??ADE??CDF?DE?DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的1 / 7 ?EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。DE，连结BG，证中线。本题亦可延长ED 到G，使DG＝说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证边或者角； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角 互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 ∠A?90?，AE?BF，BD?DC。求证：FD，⊥ED
初一几何典型例题 1、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角尺的顶点P在射线OM上移动，两直角分别与OA，OB相较于C，D两点，则PC与PD相等吗？试说明理由。 PC=PD 证明：作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∵OM是角平分线 ∴PE=PF ∠EPF=90° ∵∠CPD=90° ∴∠CPE=∠DPF ∵∠PEC=∠PFD=90° ∴△PCE≌△PDF ∴PC=PD 2、如图，把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置，D在BC上，连接AD、BE，AD的延长线交BE于点F。试判断AF与BE的位置关系。并说明理由。 AF⊥BE 证明： ∵CD=CE，CA=CB，∠ACD=∠BCE=90° ∴△ACD≌△BCE
∵∠CBE+∠BEC=90° ∴∠EAF+∠AEF=90° ∴∠AFE=90° ∴AF⊥BE 3、如图，已知直线l1‖l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上。 （1）如果点P在A、B两点之间运动，试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由； （2）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合)，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系，请画出图形，并说明理由。解：（1）∠1+∠2=∠3； 理由：过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ， ∴∠1=∠4，∠2=∠5. ∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3； （2）同理：∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3． 理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥PQ， ∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，
当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3． 4、D、E是三角形△ABC内的两点，连接BD、DE、EC，求证AB+AC＞BD+DE+EC 解答：延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GC>EC 所以 FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC 即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC 所以AB+AC>BD+DE+EC 5、D为等边△ABC的边BC上任意一点，延长BC至G。作∠ADE＝60°(E.C在AD同侧)与∠ACG的角平分线相交于E，连AE。求证：ADE为等边三角形。 解：如图，作DF‖AC交AB于F. ∵DF‖AC.等边△ABC. ∴等边△BFD.
初一典型几何证明题 1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF ≌△EDF (S.A.S) A B C D E F 2 1 A D B C
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE ＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF ＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C B A C D F 2 1 E A
初一几何证明典型例题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
戴氏教育达州西外校区名校冲刺 戴氏教育温馨提醒： 暑假两个月是学习的最好时机，可以在两个月里，复习旧知识，学习新知识，承上，还能启下。在这个炎热的假期，祝你学习轻松愉快。 初一典型几何证明题 1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、 4、证明：连接BF 和EF A B C D E F 2 1 A D B C
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF≌△
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 已知：∠1=∠2，CD=DE ， EF P 是∠BAC 平 分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 第3题 zai1、填空完成推理过程： [1] 如图，∵AB∥EF（已知） ∴∠A + =1800（） ∵DE∥BC（已知） ∴∠DEF= （） ∠ADE= （） 2．(6分)已知：如图，∠ADE＝∠B，∠DEC＝115°． 求∠C的度数． 3.已知：如图，AD∥BC，∠D＝100°，AC平分∠BCD， 求∠DAC的度数． 4.已知AB∥CD，∠1=70°则∠2=_______，∠3=______，∠4=______ _ 43 2 1 A C D B 5. 已知：如图4， AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的 平分线相交于点P．求∠P的度数 直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOA：∠AOD=1：4，求∠EOB的度数． A C D E F B D E B C A H G 2 1 F E D C B A 4．(6分) 如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ分别交ＡＢ、ＣＤ于Ｍ、Ｎ，∠ＥＭＢ＝50°，ＭＧ平分∠ＢＭＦ，ＭＧ交ＣＤ于Ｇ，求∠１的度数. 如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37o，求∠D 的度数． 4、如图，已知：21∠∠＝， 50＝D ∠，求B ∠的度数。 1. (本题10分)已知：如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝４００，∠Ｅ＝３００ ，求∠Ｄ的度数 A B C D E 第19题 E D C B A E D B A C 2 1 F E D B A C 1. 如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数. b a 341 2 已知等腰三角形的周长是16cm ． （1）若其中一边长为4cm ，求另外两边的长； （2）若其中一边长为6cm ，求另外两边长； （3）若三边长都是整数，求三角形各边的长． 如图，AB//CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=370 ， 求∠D 的度数. AB//CD,EF ⊥AB 于点E ，EF 交CD 于点F ， 已知∠1=600 .求∠2的度数. 10.叙述并证明“三角形的内角和定理”(要求根据下图写出已知、求证并证明) 1.如图所示,把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG 的度数. 索发现: 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠ A,∠C 的关系,?请你从所得的四个关系中任选一个加以说明. P D C B A P D C B A P D C B A P D C B A (1) (2) (3) (4) N M G F E D C B A 谈“怎样学好平面几何证明” [ 08-12-05 08:56:00 ] 编辑：cw2112549 【内容摘要】延时评价能够给学生广阔的思维空间，有利于培养学生的数学思维能力.本文从三个角度论述了数学教师采用延时评价对学生思维发展的重要意义，指出教师在教学实践中要成功地将延时评价与及时评价结合起来. 【关键词】延时评价；及时评价；思维 1.学生有怪问时，延时评价可提供一个敢于释疑的环境 课堂教学中，当学生提出某些古怪、幼稚、甚至是荒诞的“怪论”时，常引来教师迫不及待的否定，无形中扑灭了学生创造的火花，挫伤学生的积极性.因此，教师千万不要及时评价，而应通过延时评价的方法，鼓励学生敢于思考、敢于与众不同、敢于发现和挑战，然后及时转换角色、转换角度，走进学生的内心世界来解决问题. 2 2 x y 例1.1 在学习“双曲线的几何性质”时，总有学生提出这样的问题：“当x=0时，方程- =1 2 2 a b 没有实根，为什么还要将点B1（0，-b）,B2(0,b)在y轴上表示出来，并称 B1 B2 为虚轴？”等等。 这些似是而非的问题是多么富有创意！从教学实践看，怪问就是一颗创造的种子，它埋在学生的心里。这颗珍贵而娇嫩的种子，只有在教师的精心呵护和培育下才会生根发芽。 2.问题有多解时，延时评价可提供一个敢于质疑的环境 在数学学习中，我们经常会碰到可以从不同角度、不同侧面来解决的问题.解决这样的问题时，教师对课堂上学生提出的解决问题的方案要采用延时评价，不能过早地给予及时的终结性的评价，否则会扼杀其他学生创新思维的火花. 2 2 2 2 例2.1已知实数a，b，x，y 满足a +b =4，x+y =9，求ax+by的最大值. 生：令a=2cos α，b=2sin α，x=3cos β，y=3sin β，则ax+by=6(cos αcos β+ sinαsinβ)=6cos(α-β)。故当cos(α-β)=1时，ax+by 的最大值为6 教师一听，答案完全正确，情不自禁地说：“非常正确！和老师想得一模一样.其他同学呢？”哪知道 刚才举起的那些手“唰”地不见了！顿时，教师不知所措，不知道自己到底做错了什么…… 正常情况下，由于受思维定势的影响，新颖、独特的见解常常出现在思维过程的后半段，也就是我们常说的“顿悟”和“灵感”.因此，在教学中，教师不能过早地给予评价以对其他学生的思维形成定势，而应该灵活地运用延时评价，让学生在和谐的气氛中驰骋想象，使学生的个性思维得到充分发展. 3.思维受挫时，延时评价可提供一个敢于析疑的环境 .选择题 1. 如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是( ) (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形 2. 下列给出的各组线段中，能构成三角形的是( ) (A)5 , 12 , 13 (B)5 , 12 , 7 (C)8 , 18 , 7 (D)3 , 4, 8 3 .一个三角形的三边长分别是15 , 20和25 ,则它的最大边上的高为( ) (A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 5 4. 两条边长分别为2和8 ,第三边长是整数的三角形一共有( ) (A)3个(B)4个(C)5个(D)无数个 5. 下列图形中，不是轴对称图形的是( ) (A)线段MN (B)等边三角形(C)直角三角形(D) 钝角ZAOB 6. 直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为( ) (A)125 0(B)135 0(C)145 °(D)150 0 7. 已知Z a , Z 3是某两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角，若Za= 50°,则Z。葡) A . 40 ° B. 50 ° C. 130 ° D . 140 ° 8. 如图，下列推理中正确的是( A. 若Z 1 = Z2,贝U AD //BC B. 若Z 1 = Z2 ,贝U AB //DC C. 若Z A = Z3，贝U AD //BC D. 若Z3 = Z4，贝U AB // DC 9. 下列图形中，可以折成长方体的是（ D. 10. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ） A. B. C_ D 11. 如图1，在AABC中，AB = AC，点D在AC边上，且BD = BC = AD，则Z A的度数为（ ） A . 30 ° B . 36 ° C . 45 ° D . 70 ° 12. 、如图2 , AB II CD , AC ± BC于C,贝U图中与/ CAB互余的角有（） 初一典型几何证明题 1、已知： AB=4，AC=2，D是BC中点， AD是整数，求AD 解：延长 A D到 E,使AD=DE ∵D是 BC中点 A ∴BD=DC 在△ ACD和△ BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC B C D BD=DC ∴△ ACD≌△ BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即 4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2、已知： BC=DE，∠B=∠E，∠ C=∠D，F 是 CD中点，求证：∠1=∠2 A 2 1 B E C F D 证明：连 接BF和 EF ∵BC=ED,CF=DF∠, BCF=∠EDF ∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S) 第1页 共22 页 ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF B E 连接 在△ BEF中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF。 ∵∠ABC=∠AED。 ∴∠ABE=∠AEB。 ∴AB=AE。 在△ ABF和△ AEF中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ ABF≌△ AEF。 ∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知：∠1=∠2，CD=D，E EF//AB，求证： EF=AC A 2 1 F C D E B 点G C作 CG∥EF交 AD的延长线于 过 CG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠ EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC 4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+B，D求证：∠B=2∠C A 共22 页 第2页 几何证明题专项训练1 1、（1）∵∠1=∠A （已知）， ∴ ∥ ，（ ）； （2）∵∠3=∠4（已知），∴ ∥ ，（ ）； （3）∵∠2=∠5（已知），∴ ∥ ，（ ）； （4）∵∠ADC+∠C=180o（已知），∴ ∥ ，（ ）； 2，如图， （1）∵∠ABD=∠BDC （已知），∴ ∥ ，（ ）； （2）∵∠DBC=∠ADB （已知），∴ ∥ ，（ ）； （3）∵∠CBE=∠DCB （已知），∴ ∥ ，（ ）； （4）∵∠CBE=∠A ，（已知），∴ ∥ ，（ ）； （5）∵∠A+∠ADC=180o（已知），∴ ∥ ，（ ）； （6）∵∠A+∠ABC=180o（已知），∴ ∥ ，（ ）； 3、如图，∠1=∠2，AC 平分∠DAB ，试说明：DC ∥AB. 4，如图，∠ABC=∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ， ∠1=∠2，试说明：DE ∥FB. 5．如图2-67，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数． 6、如图2-56 ①∵AB//CD （已知）， ∴∠ABC=_______（ ） ______=______（两直线平行，错角相等）， ∴∠BCD+______=?180（ ） ②∵∠3=∠4（已知）， ∴______∥_____（ ） ③∵∠FAD=∠FBC （已知），∴_____∥_____（ ） 7、如图2-57，直线AB ，CD ，EF 被直线GH 所截，∠1=?70，∠2=?110，∠3=?70．求 证：AB//CD ． 证明：∵∠1=?70，∠3=?70（已知）， ∴∠1=∠3（ ） ∴ ____∥_____（ ） ∵∠2=?110，∠3=?70（ ）， ∴______+_____=____, ∴_____//______, ∴AB//CD （ ）． 8.如图2-58，①直线DE ，AC 被第三条直线BA 所截， 则∠1和∠2是________，如果∠1=∠2，则___//___, 其理由是（ ）． ②∠3和∠4是直线__________、__________， 被直线____________所截，因此____//____． ∠3____∠4,其理由是（ ）． 9.如图2-59，已知AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ， 求证∠1+∠2=?90． 证明：∵ BE 平分∠ABC （已知）， ∴∠2=_________（ ） 同理∠1=_______________, ∴∠1+∠2= 2 1 ____________（ ） 又∵AB//CD （已知）， ∴∠ABC+∠BCD=_____（ ） ∴∠1+∠2=? 90（ ） 10、如图2-60，E 、F 、G 分别是AB 、AC 、BC 上一点． ①如果∠B=∠FGC ，则____//____,其理由是（ ） ②∠BEG=∠EGF ，则_____//____，其理由是（ ） ③如果∠AEG+∠EAF=?180，则____//____，其理由是（ ） 11.如图2-61，已知AB//CD ，AB//DE ，求证：∠B+∠D=∠BCF+∠DCF ． 证明： ∵AB//CF （已知）， ∴∠______=∠________（两直线平行，错角相等）． ∵AB//CF ，AB//DE （已知），∴CF//DE （ ） ∴∠_________=∠_________（ ） ∴∠B+∠D=∠BCF+∠DCF （等式性质）． 几何证明题专项训练2 1、如图，∠B=∠C ，AB ∥EF ，试说明：∠BGF=∠C 。（6分）最新七年级几何证明题
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