抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式
分类号：O241.82 本科生毕业论文（设计） 题目：一类抛物型方程的计算方法 作者单位数学与信息科学学院 作者姓名 专业班级2011级数学与应用数学创新2班 指导教师 论文完成时间二〇一五年四月
一类抛物型方程的数值计算方法 (数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班) 指导教师 摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析. 关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性 Numerical computation methods for a parabolic equation Yan qian (Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Nie hua Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established. Key words: differential method, finite element method, convergence, stability
偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生姓名：向聘
抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族
平行直线jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =和k t t k τ ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域 G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示 网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(())k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 1000 121011000 232121000 3432310001121(12)(12)(12)(12)N N N N N u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f ττττ----?=+-++?=+-++??=+-++? ???=+-++? (1.2.5) 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式(1.2.4)可写成向量形式 10 ,0,1,,1 k k k M φ +?=+=-?=? u Au f u (1.2.6) 其中
太原理工大学硕士研究生学位论文 目录 第一章绪0 (1) 1.1 研宄背景及意义 (1) 1.2 国内外研宄现状 (1) 1.3 本文主要研宄内容 (3) 第二章一类反应扩散方程的整体解和爆破解 (7) 2.1弓丨言 (7) 2.2 整体解的存在性结论 (8) 2.3 爆破解的存在性结论 (13) 2.4 应用 (15) 第三章一类含有梯度项抛物方程在Neumann边界条件下的整体解和爆破解 (19) 3.1 弓言 (19) 3.2 整体解的存在性结论 (20) 3.3 爆破解的存在性结论 (26) 3.4 应用 (28) 第四章一类具有梯度项和边界流的抛物方程整体解和爆破解 (31) 4.1 引言 (31) 4.2 整体解的存在性结论 (32) 4.3 爆破解的存在性结论 (38) 4.4 应用 (40) v 万方数据
太原理工大学硕士研究生学位论文 _文献 (43) 顏 (47) 攻读学位期间发表的学术论文 (49) vi 万方数据
太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1.1研究背景及意义 非线性抛物方程的爆破理论是偏微分方程研宄的重要内容之一，其问题来源于物理、化学和环境保护等诸多领域,主要描述这些领域中物质扩散和热传导等问题.爆破理论的研宄主要包括整体解和爆破解两个方面，其中整体解反映了系统处于稳定状态,爆破解反映了系统处于不稳定状态.在实际问题中，有时既要考虑系统处于稳定状态,也要研宄系统不稳定状态.例如,输电导管在一定的温度条件下一直具有导电的稳定状态，反映了系统存在整体解;利用高温爆破法清理炉灶废弃物,反映了系统存在爆破解. 上述实际问题都是非线性抛物方程的整体解和爆破解的研宄范畴，因此,本文选题具有重要的实际意义. 非线性抛物方程的爆破理论应用于实际问题中，通常方程的整体解对应系统处于稳定状态，而爆破解对应系统处于不稳定状态.在实际系统运转中，有时需要稳定状态工作，那么需要我们研宄系统处于稳定状态的条件，而转化为抽象的数学模型，需要研宄方程整体解存在的充分条件；有时，系统状态需要发生变化，则需要研宄系统处于不稳定状态的条件，进而转化为数学模型需要研宄方程爆破解存在的充分条件.因此，研宄非线性抛物方程的整体解和爆破解在理论和应用中都具有非常重要的意义. 1.2国内外研究现状 近半个世纪，国内外数学界对爆破理论的研宄非常活跃，并取得了许多研宄成果. 自19世纪60年代，国外以S.Kaplan、H.F u jita和 A.Friedm an等为代表的专家学者开始了关于抛物方程的整体解和爆破解问题的研宄(见文献[1]- [3]). 80年代，美国数学家R.P.Sperb在文献[4]中得到了重要的极值原理，为研宄抛物方程爆破问题提供了非常重要的方法.近年来，国内外很多学者应用这种方法研宄了一系列的爆破问题，得到了很多重要的研宄成果(见文献[5]- [17]). 1 万方数据
此文档下载后即可编辑 偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 学生姓名：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例
1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程
22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是自然 数，用两族平行直线 jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=和 k t t k τ ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格 节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解， N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(()) k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) () j j j x u ??==0， k u 0 = k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下：
有限差分法求解抛物型方程 偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例. §1 差分方法的基本思想 有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组. 有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式. 泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式. 首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记 0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+= 图1 单变量函数离散化 函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++ ++ （1） 或 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+ -+ （2） 式(1)和(2)重新整理可得 2()()()()()2!3! i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'= --- （3）
前言 抛物型方程解的估计及其应用 1前言 数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用． 微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用． 在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的
第25卷 第3期 2008年6月 黑龙江大学自然科学学报 JOURNAL OF NAT URAL SC I E NCE OF HE I L ONGJ I A NG UN I V ERSI TY Vol 125No 13June,2008 一类非线性伪抛物型方程的初边值问题 孙明丽, 刘亚成 (哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨150001) 摘 要:研究了一类非线性伪抛物型方程的初边值问题。首先利用了经典的Galerkin 方法的思想,构造了原问题的近似解,并对非线性伪抛物型方程中的非齐次项函数限定了如下条件:f ′下方有界且g ′上方有界,得到了近似解的几个先验估计;然后证明了原问题整体弱解的存在性与唯一性;最后利用Poincare 不等式及Gr onwall 不等式,得到了问题整体广义解的渐近性质。 关键词:非线性伪抛物方程;初边值问题;整体弱解;存在唯一性;渐近性 中图分类号:O175126文献标志码:A 文章编号:1001-7011(2008)03-0343-04 收稿日期: 2007-07-01 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034);哈尔滨工程大学基础研究基金资助项目(HE UF04012) 作者简介:孙明丽(1982-),女,硕士研究生,主要研究方向:非线性发展方程,E -mail:sunm ingli1221@yahoo https://www.doczj.com/doc/4916859996.html, 通讯作者: 刘亚成(1942-),男,教授 1 引 言 非线性Sobolev -Gal pern 型方程是从实际问题中提出的一类重要的伪抛物型方程,这类方程出现在许多数学物理领域,例如用于模拟热力学过程,岩石裂缝中渗流,土壤中湿气的迁移,以及固体中的扩散问题。因此,对此类方程的研究具有重要的理论与实际意义。 在文献[1-2]中研究的是如下拟抛物方程的初边值问题 u t -Δu t =f (u ),x ∈ Ω,t >0u (x,0)=u 0(x ) u |5Ω=0 其方法是利用Galerkin 方法,利用嵌入定理对f 限定条件后得到了问题的W k,p 解。 在文献[3]中研究的是一维Sobolev -Gal pern 方程的初边值问题,所用的方法是先将问题化为一个非线性积分方程,利用压缩映像原理得到局部解,再用先验估计得到整体解。 在文献[4]中研究的是多维Sobolev -Gal pern 方程的初边值问题u t -Δu t =σ(u x )x ,x ∈ Ω,t >0u (x,0)=u 0(x ) u |5Ω=0 利用Galerkin 方法,要求σ∈C 1 ,σ′ (s )下方有界,得到了整体解的存在和唯一性。而本文研究下述一类非线性伪抛物方程 [5] 的初边值问题 u t -u xx t -u xx =f (u x )x +g (u ) (1)u (x,0)=u 0(x )(2)u (0,t )=u (1,t )=0 (3) 利用Galerkin 方法,证明了若f ∈C 1,f ′ (s )下方有界;g ∈C 1,g ′(s )上方有界,且u 0(x )∈H 2(Ω)∩H 1 0(Ω).则对任一T >0,问题(1)-(3)存在Ω×[0,T ]上的弱解u (x,t ),并且得到了解的渐近性质,本文所研 究的方程是一般的拟抛物方程与Sobolev -Gal pern 型方程的综合,从实质上推广和改进了已有的结果。
一类二维抛物型方程的ADI格式 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的ADI格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；ADI格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]： 其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即ADI格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数L和N，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（Ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（Ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 下面采用von Newmann方法[3]对上述D格式进行稳定性分析. 一般地，低阶项不影响差分格式的稳定性，所以不妨略去项，并对（3）、（5）式消去中间变量得： 利用Taylor展开式求误差，可知此处建立的D格式的截断误差阶为. 参考文献：
第!"卷第#期纺织高校基础科学学报$%&’!"()%’# *++,年!*月-./01/102312/45673.859:2;:082630<27/0:0 = ============================================================= 2/>?@’(*++,文章编号A!++"B C,#!D*++,E+#B+,+,B+, 具有非线性记忆的抛物型方程解的F&%GH I 容跃堂!(成涛!(* D!’西安工程科技学院理学院(陕西西安J!++#C K*’西安交通大学理学院(陕西西安J!++#L E 摘要A讨论了N D O E不具单调性的条件下(具有非线性记忆的抛物型方程解的F&%GH I’ 关键词A非线性记忆K抛物型方程K F&%GH I 中图分类号A P!J Q’*L文献标识码A R 文献S!T曾考虑了半线性抛物型方程 U O V W U X Y D U E 混合问题解的F&%GH I(在此基础上(文献S*T对如下的具有非线性记忆的抛物型方程 U O V W U X Z O+N D O[\E Y D U D](\E E^\X_D]E 在一定条件下(讨论了解的F&%GH I问题(并对某特殊的Y D U E给出了解的F&%GH I估计(而文献S,T去掉文献S*T中N D O E单调下降的条件(允许N D O E单调增加(在一定条件下(讨论了解的F&%GH I(并给出了解的F&%GH I估计’本文中讨论在N D O E不具单调性时(解的F&%GH I问题’ 假设‘ O V ab D+(O E(c O V d ab D+(O E’ 考虑如下的抛物型方程混合问题 U O V W U X Z O+N D O[\E Y D U D](\E E^\X_D]E(D](O E e‘f(D!E U D](+E V U+D]E(]e a(D*E U D](O E V+(D](O E e c f’D,E 假定 Y e g!(Y D+E h+(Y i D j E h+(Y k D j E h+(j l+(D#E Ne g!(N D j E h m h+(且存在+n O!n O*n o n O*p(使得 N i D O E V l+(+n O n O!( n+(O!n O n O*( oo n+(O*p[!n O n O*p( l+(O*p q r s n O’ D Q E _e g!(_l+(]e a(D"E U+e g*D a t E(U+l+(]e a(U+u d a V+’D J E 且v w h+(使得 M收稿日期A*++,B+L B+, 基金项目A陕西省教育厅专项基金资助项目D+!x y!,J E 作者简介A容跃堂D!L"!B E(男(陕西省宝鸡市人(西安工程科技学院教授’ 万方数据
偏微分方程数值解 所在学院:数学与统计学院 课题名称:抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生：向聘
抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程: 2 u a 2 x 其中a 是常数，f(x)是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1) 的定解分为两类： 第一，初值问题(Cauchy 问题)：求足够光滑的函数u x, t ，满足方程(1.1.1) 和初始条件： u x, 0 x , x (1.1.2) 第二，初边值问题(也称混合问题)：求足够光滑的函数u x,t ，满足方程(1.1.1) 和初始条件： u x, 0 x , 0 x l (1.1.3) 及边值条件 u0,t ul,t 0， 0 t T (1.1.4) 假定f X 和 x 在相应的区域光滑，并且于0,0，l,0两点满足相容条件， 则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 F 面考虑如下热传导方程 u(0.t) u(L,t) 0 u(x,0) (x) 其中，0 x l ，0 t T, a (常数)是扩散系数。 f(x),0 t T (1.1.1) (1.2.1)
取h秸为空间步长, M为时间步长，其中N，M是自然数，用两族
平行直线x X j jh , j 0,1, , N 和t t k k , k 0,1, , M 将矩形域 G 0 x l; 0 t T 分割成矩形网格。其中 X j ,t k 表示网格节点；G h 表示 网格点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；G h 表示位于闭矩形G 中的网格 节点的集合；h 表示G h - G h 网格边界点的集合。 u k 表示定义在网点x j ,t k 处的待求近似解，0 现在对方程进行差分近似: （一） 向前差分格式 若记 则显格式（1.2.4）可写成向量形式 U 其中 U j j X j , k k U 0 =U N =0 (1.2.3) 计算后得： 1 U j rU j 1 (1 2r)U k k r V 1 f j (1.2.4) 其中，r 各，j 0,1, , N 1，k h 0,1, ,M 1。 显然, 这是一个四点显示格式， 每一层各个节点上的值是通过一个方程组求 k 1 k U j U j h 2 k k k U j 1 2U j U j 1 a (f j f (X j )) 解到的。方程组如下: (1.2.2) 0 rU 2 (1 2r )U 0 0 叫 f 1 0 rU a (1 2r)U 0 rU 1 f 2 (1 0 rU 4 2r)U a rU 2 f 3 M 1 U N 1 0 「U N (1 2「)U N 1 「U N 2 f N (1.2.5) k k k k T u U 1 ,U 2, , U N 1 X 1 , X 2 , T X N 1 ， f f X ! , f X 2 , T X N 1 1 u Au 0,1,L ,M 1 (1.2.6)
偏微分方程数值解复习提纲 一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法. 二.基本概念: (1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径; (2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶; (3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件; (4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度； (5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度； (6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法； (7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳 定性、网格的P`e clet数; (8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件； (9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法； (10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解； (11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性. 三.基本方法与技巧: (1)比较函数与利用最大值原理的误差分析; (2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理； (3)修正方程分析、能量法分析； (4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件； (5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar′e-Friedrichs不等式; (6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系; (7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理. 四.基本格式: (1)二维Poisson方程的五点差分格式; (2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法； (3)具有热守恒性质的格式； (4)ADI格式与LOD格式； (5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendro?格式、盒式格式和蛙跳格式；
实验二（习题2.2） 1、 题目 用Crank-Nicolson 差分格式计算抛物型方程 22u u t x ??=?? 01x << 满足初始条件 0|sin t u x π== 01x ≤≤ 和边界条件 01||0x x u u ==== 0t > 在 0.1,0.2t =处的解，0.1,0.1t k x h ?==?==。 2、 程序 #include
抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 = 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。
注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ???? ≡ ?????） ： 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式 ()24.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2h a r τ = 为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ 此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到 1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0 1-j ru +j f τ 于是，利用初值() j j j x u ??==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1 j u ， 1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=k N u =0算出2j u ， 1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ， 1,,1,0-=M k ） 。 由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并 视k j u 为()k j t x u ,的近似值。 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1' 可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ()=u R k j () ()[]k j k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +??? ? ??????? ??--)~,~(2112122=()2 h O +τ。 其中(,)j k x t 是矩形11+-< 2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人 抛物型方程有限差分方法的应用 摘要 抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。 关键字：抛物型方程，差分格式，应用 Abstract Parabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation. Keywords: parabolic equation, difference scheme, application 0 前言 抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。如果要研究抛物型方程，我们一般从以下几个方面来研究，分别是：定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。但是由于所学知识有限，所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。 1 抛物型方程有限差分法 1.1 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 (1.1) 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()()x x u ?=0,，∞<<∞-x （1.2） 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的adi格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；adi格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]：其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即adi格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数l和n，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 利用taylor展开式求误差，可知此处建立的d格式的截断误差阶为. 参考文献： [1]管秋琴.一类二维抛物型方程的有限差分格式[j]. 赤峰学院学报（自然科学版）. 2010，26（1）：7. [3]戴嘉尊，邱建贤. 微分方程数值解法[m]. 南京：东南大学出版社 .2002. 作者简介： 舒阿秀（1977―），女，安徽旌德人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，主要从事偏微分方程数值解的研究。抛物型方程有限差分方法的应用-报告概论
一类二维抛物型方程的ADI格式
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