江苏省南京市秦淮区四校联考七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）比﹣1小2的数是（）
A．﹣3B．﹣2C．1D．3
2．（2分）下列各式中运算正确的是（）
A．4m﹣m＝3B．xy﹣2xy＝﹣xy C．2a3﹣3a3＝a3D．a2b﹣ab2＝0 3．（2分）下列等式变形正确的是（）
A．如果mx＝my，那么x＝y B．如果|x|＝|y|，那么x＝y
C．如果﹣x＝8，那么x＝﹣4D．如果x﹣2＝y﹣2，那么x＝y
4．（2分）现实生活中“为何有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过？”，请用数学知识解释图中这一现象，其原因为（）
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
5．（2分）下列各组数中，结果相等的是（）
A．+32与+23B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣32与（﹣3）2D．|﹣3|3与（﹣3）3
6．（2分）若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8cm，则点Q到直线l的距离是（）A．等于8cm B．小于或等于8cm
C．大于8cm D．以上三种都有可能
7．（2分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）
A．B．
C．D．
8．（2分）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，通过观察，用你所发现的规律确定22019的个位数字是（）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）的倒数是．
10．（2分）“社会主义核心价值观”要求我们牢记心间，小明在“百度”搜索“社会主义核心价值观”，找到相关结果约为4280000个，数据4280000用科学记数法表示为．
11．（2分）比较大小：﹣﹣．
12．（2分）若5x6y2m与﹣3x n+9y6和是单项式，那么n﹣m的值为．
13．（2分）若x＝﹣1是关于x的方程2x+a＝1的解，则a的值为．
14．（2分）若∠α与∠β是对顶角，∠α的补角是35°，则∠β的度数为．15．（2分）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和的最大值是．
16．（2分）一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是元．
17．（2分）在同一平面内，∠BOC＝50°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是．
18．（2分）三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a+b、a的形式，也可以表示为0、、b的形式，则字母a表示的有理数是．
三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）（+﹣）÷（﹣）；
（2）﹣14﹣（1+0.5）×÷（﹣4）2．
20．（6分）已知代数式3a﹣7b的值为﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b+1）﹣3b的值．
21．（8分）解方程：
（1）4（x﹣1）﹣3＝7；
（2）﹣＝1．
22．（6分）如图，点A、B、C在直线l上，点M为AB的中点，N为MC的中点，且AB＝6cm，NC＝4cm，求BC的长．
23．（6分）（1）如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和俯视图．
（2）在主视图和俯视图不变的情况下，你认为最多还可以添加个小正方体．
24．（6分）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．（1）过点C画线段AB的平行线CD；
（2）过点A画线段BC的垂线段，垂足为G；
（3）过点A画线段AB的垂线，交BC于点H；
（4）线段的长度是点H到直线AB的距离；
（5）在以上所画的图中与∠B相等的角是．
25．（8分）甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？26．（8分）定义☆运算，观察下列运算：
（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，
（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，
0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13．
（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号，异号．
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，．
（2）计算：（+17）☆[0☆（﹣16）]＝．
（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．
27．（10分）探索新知：
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝；
（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接
写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．
江苏省南京市秦淮区四校联考七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）比﹣1小2的数是（）
A．﹣3B．﹣2C．1D．3
【解答】解：比﹣1小2的数是就是﹣1与2的差，即﹣1﹣2＝﹣3．故选A．
2．（2分）下列各式中运算正确的是（）
A．4m﹣m＝3B．xy﹣2xy＝﹣xy C．2a3﹣3a3＝a3D．a2b﹣ab2＝0【解答】解：A．4m﹣m＝3m，此选项错误；
B．xy﹣2xy＝﹣xy，此选项正确；
C．2a3﹣3a3＝﹣a3，此选项错误；
D．a2b与﹣ab2不是同类项，不能合并，此选项错误；
故选：B．
3．（2分）下列等式变形正确的是（）
A．如果mx＝my，那么x＝y B．如果|x|＝|y|，那么x＝y
C．如果﹣x＝8，那么x＝﹣4D．如果x﹣2＝y﹣2，那么x＝y
【解答】解：A、当m＝0时，mx＝my，但x不一定等于y，故A错误；
B、如果|x|＝|y|，那么x＝y或x＝﹣y，故B错误；
C、如果﹣x＝8，那么x＝﹣16，故C错误；
D、两边都减2，故D正确；
故选：D．
4．（2分）现实生活中“为何有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过？”，请用数学知识解释图中这一现象，其原因为（）
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【解答】解：现实生活中“为何有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过？”，
其原因是两点之间，线段最短，
故选：D．
5．（2分）下列各组数中，结果相等的是（）
A．+32与+23B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣32与（﹣3）2D．|﹣3|3与（﹣3）3
【解答】解：A、+32＝9≠+23＝8，错误；
B、﹣23＝﹣8＝（﹣2）3，正确；
C、﹣32＝﹣9≠（﹣3）2＝9，错误；
D、|﹣3|3＝27≠（﹣3）3＝﹣27．错误；
故选：B．
6．（2分）若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8cm，则点Q到直线l的距离是（）A．等于8cm B．小于或等于8cm
C．大于8cm D．以上三种都有可能
【解答】解：根据题意，点P到l的距离为P到直线l的垂线段的长度，其垂足是P到直线l上所有点中距离最小的点；
而不能明确PQ与l是否垂直，则点P到l的距离应小于等于PQ的长度，即不大于8cm．故选：B．
7．（2分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：B．
8．（2分）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，通过观察，用你所发现的规律确定22019的个位数字是（）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128′′′
可知，2n的个位数字以“2，4，8，6…”重复出现，2019÷4＝504…3，
所以22019的个位数字是8；
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）的倒数是．
【解答】解：1÷（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
10．（2分）“社会主义核心价值观”要求我们牢记心间，小明在“百度”搜索“社会主义核心价值观”，找到相关结果约为4280000个，数据4280000用科学记数法表示为 4.28×106．
【解答】解：数据4280000用科学记数法表示为4.28×106，
故答案为：4.28×106．
11．（2分）比较大小：﹣＞﹣．
【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，
而＜，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＞．
12．（2分）若5x6y2m与﹣3x n+9y6和是单项式，那么n﹣m的值为﹣6．【解答】解：由题意可知：6＝n+9，2m＝6，
∴n＝﹣3，m＝3，
∴n﹣m＝﹣6，
故答案为：﹣6
13．（2分）若x＝﹣1是关于x的方程2x+a＝1的解，则a的值为3．【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的方程2x+a＝1的解，
∴﹣2×1+a＝1，
解得a＝3．
故答案是：3．
14．（2分）若∠α与∠β是对顶角，∠α的补角是35°，则∠β的度数为145°．【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，
∴∠α＝∠β，
∵∠α的补角为35°，
∴∠α＝180°﹣35°＝145°，
则∠β＝145°．
故答案为：145°．
15．（2分）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和的最大值是8．
【解答】解：根据所给出的图形可得：
2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的两个面，则原正方体相对两个面上的数字和最大值是8；
故答案为：8．
16．（2分）一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是120元．
【解答】解：设这件衬衫的成本是x元，则标价为（x+60）元，售价为（0.8x+48）．根据题意可得：（0.8x+48）﹣x＝24，
解得：x＝120．
即这件衬衫的成本价是120元．
故答案是：120．
17．（2分）在同一平面内，∠BOC＝50°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是20°或70°．
【解答】解：∵OA⊥OB
∴∠AOB＝90°，
如图1，∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC＝40°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠COA＝20°，
∴∠BOD＝50°+20°＝70°，
如图2，∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°+∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠COA＝70°，
∴∠BOD＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°或70°．
18．（2分）三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a+b、a的形式，也可以表示为0、、b的形式，则字母a表示的有理数是﹣1．
【解答】解：由题意可知：a+b，a中有一个为0，且，b中有一个为1，
当a＝0时，则ab＝0，不成立；
∴a+b＝0．
∵a+b＝0．
∴ab＜0．
∴b＝1．
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1
三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）（+﹣）÷（﹣）；
（2）﹣14﹣（1+0.5）×÷（﹣4）2．
【解答】解：（1）原式＝（+﹣）×（﹣18）
＝（﹣9）+（﹣6）﹣（﹣3）
＝（﹣9）+（﹣6）+3
＝﹣12；
（2）原式＝﹣1﹣×÷16
＝﹣1﹣×
＝﹣1﹣
＝﹣．
20．（6分）已知代数式3a﹣7b的值为﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b+1）﹣3b的值．
【解答】解：2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b+1）﹣3b
＝4a+2b﹣2+a﹣20b+5﹣3b
＝9a﹣21b+3
＝3（3a﹣7b）+3
因为3a﹣7b＝﹣3
所以，原式＝3×（﹣3）+3＝﹣6．
21．（8分）解方程：
（1）4（x﹣1）﹣3＝7；
（2）﹣＝1．
【解答】解：（1）去括号得，4x﹣4﹣3＝7，
移项得，4x＝7+4+3，
合并同类项得，4x＝14，
系数化为1得，x＝．
（2）去分母得，3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝12，
去括号得，3x+6﹣4x+6＝12，
移项、合并同类项得，﹣x＝0
系数化为1得，x＝0．
22．（6分）如图，点A、B、C在直线l上，点M为AB的中点，N为MC的中点，且AB＝6cm，NC＝4cm，求BC的长．
【解答】解：由点M为AB的中点，得
AM＝AB＝×6＝3cm．
由N为MC的中点，得
MC＝2NC＝2×4＝8cm，
由线段的和差，得
AC＝AM+MC＝3+8＝11cm，
BC＝AC﹣AB＝11﹣6＝5cm
BC的长为5cm．
23．（6分）（1）如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和俯视图．
（2）在主视图和俯视图不变的情况下，你认为最多还可以添加3个小正方体．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）最多还可以添加3个小正方体．
故答案为：3．
24．（6分）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．（1）过点C画线段AB的平行线CD；
（2）过点A画线段BC的垂线段，垂足为G；
（3）过点A画线段AB的垂线，交BC于点H；
（4）线段HA的长度是点H到直线AB的距离；
（5）在以上所画的图中与∠B相等的角是∠GAH．
【解答】解：（1）直线CD为所作，
（2）线段AG为所作；
（3）直线HA为所作；
（4）线段HA的长度是点H到直线AB的距离；
故答案为：HA．
（5）∵∠BAH＝∠AGB＝90°，
∴∠B+∠AHB＝90°，∠B+∠BAG＝90°，
∴∠B＝∠GAH，
即在以上所画的图中与∠B相等的角是∠GAH，
故答案为：∠GAH．
25．（8分）甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？
【解答】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得
120x＝80（x+1），
解得x＝2，
则慢车行驶了3小时．
设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣）小时，由题意得
120（y﹣1﹣）+80y＝720×2，
解得y＝8，
8﹣3＝5（小时）．
答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时．
26．（8分）定义☆运算，观察下列运算：
（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，
（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，
0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13．
（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号得正，异号得负．
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果为正数．
（2）计算：（+17）☆[0☆（﹣16）]＝+33．
（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．
【解答】解：（1）（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，两正数或两负数进行☆运算时，结果为正数．
（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，一正数一负数进行☆运算时，结果为负数．
∴两数进行☆运算时，同号得正，异号得负．
0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13，0和一个负数进行☆运算时，结果为正数；一个正数和0进行☆运算时，结果为正数；
∴0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果为正数．
故答案为：得正；得负；结果为正数．
（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]＝（+17）☆（+16）＝+33
故答案为：+33
（3）①若a＜0，则2☆a＝﹣（2+|a|）＝﹣（2﹣a）＝﹣2+a
∴2×（﹣2+a）﹣1＝3a
解得：a＝﹣5
②若a＝0，则2☆a＝+2
∴2×2﹣1＝3a
解得：a＝1，不成立
③若a＞0，则2☆a＝+（2+a）＝2+a
∴2×（2+a）﹣1＝3a
解得：a＝3
综上所述，a的值为﹣5或3．
27．（10分）探索新知：
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝α或α或α；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
故答案为：是
（2）∵∠MPN＝α，
∴∠MPQ＝α或α或α；
故答案为α或α或α；
深入研究：
（3）依题意有
①10t＝60+×60，
解得t＝9；
②10t＝2×60，
解得t＝12；
③10t＝60+2×60，
解得t＝18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）依题意有
①10t＝（5t+60），
解得t＝2.4；
②10t＝（5t+60），
解得t＝4；
③10t＝（5t+60），
解得t＝6．
故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．