高等数学AⅠ
吉林大学数学学院 金今姬
第二章多元函数的微分学及其应用
一、偏导数
二、全微分
三、复合函数的微分法
四、隐函数微分法
五、方向导数与梯度
六、多元微分学的几何应用
七、多元函数的Taylor公式与极值问题
§4隐函数微分法
4.1 由方程式确定的隐函数的微分法4.2 由方程组确定的隐函数的微分法4.3 Jacobi行列式的性质
本节讨论 :
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程012
2=?+y x 除了(-1,0),(1,0)外, 能确定隐函数;
在(-1,0),(1,0)的任何邻域内,y 都有两个值2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
所以不能确定隐函数;
2
1x y ?±=
4.1 由方程式确定的隐函数的微分法
定理4.1 设函数),(00y x P ),(y x F ;0),(00=y x F 则(1)方程00),(x y x F 在点=单值连续函数 y = f (x ) ,,)(00x f y =(2)函数y = f (x )在点x 0的某邻域内具有连续的偏导数，
y x F F x y ?=d d (隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足
),(00≠y x F y ②满足并且()[],0,≡x f x F
))(,(≡x f x F 两边对 x 求导
0d d ≡??+??x
y y F x F y
x F F x y ?=d d 0
≠y F ,0),()(所确定的隐函数为方程设==y x F x f y 在),(00y x 的某邻域内则
在定理条件中0),(00≠y x F y 是重要的，
由此条件及F y 的连续性，使在点P 0的某邻域U(P 0)内有0),(00≠y x F y 这样，对该邻域内固定的x ，按满足F (x,y )=0为对应法则,必对应唯一的y 值，从而保证了隐函数的存在性.
从而在该邻域内对固定的x ，F (x,y )关于y 是严格单调的.
若F ( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,=2
2
d d x
y 2
y
x
x y y x x F F F F F ??
=32
2
2y
x
y y y x y x y x x F F F F F F F F +??
=y x F F ?)(y x F F y ???
+)(2y
x y
x
y y y y x F F F F F F F ???
二阶导数 :
)(y x F F x ???x y x
x y d d 则还有
隐函数存在定理可推广到三元以及三元以上 方程的情形:定理4.2 设函数),,(000z y x P ),,(z y x F ;0),,(000=z y x F 则(1)方程P z y x F 在点0),,(=单值连续函数z= f (x,y ) ,,
),(000z y x f =(2)函数y = f (x )在点P 的某邻域内具有连续的偏导数，,z
x
F F x z ?=??① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足
),,(000≠z y x F z ②满足并且
.z
y F F y z
?=??
)),(,,(≡y x f y x F 两边对 x 求偏导
x F z
x F F x z ?=??z
y F F y z ?=??同样可得
,0),,(),(所确定的隐函数是方程设==z y x F y x f z 则
z F +x
z
??0
≡0),,(000≠z F z y x 的某邻域内在
例4.1 验证方程12
2=+y x 在点(0,1)的某邻域内
可确定一个单值可导隐函数,)(x f y =解: 令,1),(2
2
?+=y x y x F ,0)1,0(=F ,2x F x =连续 ,由隐函数存在定理知,2)1,0(=y F 0
≠①,)(x f y =一个隐函数 则
y F y 2=②在(0,1) 的某邻域内方程能确定
且并求()().,'
''x f x f ()y x F F x f ?='
y x ?=()?????????=y x dx d x f ''2'y xy y ?=2y
y x x y ????
??????=322y x y +?=31y ?=
)
(,12
2x y y y x ==+两边对 x 求导
两边再对 x 求导
导数的另一求法— 利用隐函数求导
22'
=+yy x 0
222'
'2
'=++yy y y
x y ?
='
y y y 2
''
'1+?=y
y x y 2
'
'1????
?????+?=3
2
2y x y +?=31y ?=
例4.2 设,042
2
2
=?++z z y x 解1: 令,4),,(2
22z z y x z y x F ?++=当
求.
22
x
z
??042),,(≠?=z z y x F z 时，z x F F x z ?=??422??=z x ,2z
x ?=22
x z ????
?
??????=z x x 2()()222z x z
x z ???+?=()()
.223
2
2z x z ?+?=
解2：利用隐函数求导
422=?????+x
z
x z z x z x z ?=??2 22z x x z ?=??2+22
)(2x z ??222x
z z ??+0
422
=???x z 2)(1x z ??+32
2)
2()2(z x z ?+?=再对 x 求导
例4.2 设,042
2
2
=?++z z y x 求.
22
x
z
??
例4.3 设解：视u 为x,y,z 的函数，对该方程两端关于y 求偏导数,得
(
)
,0,,,2
=??u y z x y x F 其中F 是 类函数,且
()
2C ,0'
4≠F 求.22y
u ??(),
02'4
'
2
=?+y u y F F .2'4
'2F
F
y u y +=对上式再对y 求偏导数,注意到
仍然是x,y,x-z,'4'2,F F u y ?2
的函数，得()()[
]
()(),
02222'
4''44''42''24''22=?+??++?+yy y y y u F u y u y F F u y F F '
'42
''24'4
'2,2F F F
F u y y =?=?其中
()()[
]
()(),
02222'4
''44
''42''24
''22
=?+??++?+yy y y y u F u y u y F F u y F F '
'42
''24'4
'2,2F F F
F u y y =?=?其中(),022'4''442
'4
'2''24'4
'2''22
=?+???
?????+?yy u F F F
F F F F F .
212'
'443'4
2'2''242'4
'2''22'4F F
F F F F F F u yy +?+=
4.2 由方程组确定的隐函数的微分法
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.??
?==0
),,,(0
),,,(v u y x G v u y x F ???==),(),(y x v v y x u u 由 F 、G 的偏导数组成的行列式
v
u v
u G G F F v u G F J =
??=),(),(称为F 、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即
定理4.3,
0),,(000=z y x F 的某一邻域内具有连续偏导数；设函数),,(000z y x P ),,(,),,(z y x G z y x F 则(1)方程组0),,(,0),,(==z y x G z y x F ③① 在点②内可唯一确定一对一元函数y=y (x ),z=z (x )，他们满足满足:
)
,(),(≠??=
P
z y G F P J ;0),,(000=z y x G ,)(00y x y =()()()()0,,(,0),,(≡≡x z x y x G x z x y x F ;
)(00z x z =在点P 0的某邻域
(2)函数在点x 0的某邻域内是 类函数，并且
()1C
dx
dy ,z
y z y z
x z x
G G F F G G F F ?
=dx
dz .
z
y
z y x y x y G G F F G G F F ?
=()()()(),,,,,z y G F z x G F ?????=()()()()
,,,,,z y G F x y G F ?????=
()()??
?≡≡0
))(,,(0))(,,(x z x y x G x z x y x F x
d dz dx dy ,??
?==0
),,(0
),,(z y x G z y x F 有隐函数组则两边对 x 求导得,)
()
(??
?==x z z x y y 设方程组的线性方程组，其系数行列式为
??
?dx dy ?x d dz ?dx
dy ?x d dz ?x F y F +z F +0=x G y G +z
G +0
=故得
这是关于()()
.,,z y G F J ??=
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
6．2 多元函数微分法 6．2．3 隐函数及其微分法 一、相关问题 1.下面各方程和方程组能确定几个几元函数？ （1）0), (=y x F ； （2）0),,(=z y x F ； （3）?? ?==0 ),,(0) ,,(z y x G z y x F ； （4）?? ?==0 ),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5）?? ?? ?===),(),(),(v u z z v u y y v u x x 二、相关知识 1.如何确定隐函数的因变量及自变量？ 2.求隐函数的偏导数的方法有哪些？ 3.一般来说m 个n m +元方程可以确定几个几元函数？如何确定因变量和自变量？ 三、练习题 1.方程组22222z x y x y z ?+= ???++=? 在点（1，-1, 2）附近能否确定隐函数？并求隐函数的导数。 解 记 ()()2 2 2 ,,,,,22 z F x y z x y G x y z x y z =+-=++-，则 F , G 连续，且具有连续的偏导数；记()01 ,1,2P -，则 ()()()()00 0022,0,0; ||4011,p p x y F G F P G P x y ?====≠?， 根据隐函数组存在定理，必存在隐函数组()() x x z y y z =???=??且可以用以下方法求得隐函数的导数。 由方程组 ()()222 ,,0 2 ,,20z F x y z x y G x y z x y z ?=+-=???=++-=? 两边对 z 求导，视x 与 y 为z 的函数，得 ()()()()'' '' 220 10 xx z yy z z x z y z ?+-=??++=??
隐函数的微分法习题 1. 书上习题8 33. 2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由 0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x f 。 3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy 和0=-xz e z 所确定，求dx du 。 4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定： 2=-xy e xy 和dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求du 。 6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。
1. 书上习题8 33. 证明由方程组所???'=+-=++) (cos sin )(ln sin cos ααααααf y x f z y x ⑴确定的函数),(y x z z =满足方程式222)()(z y z x z =??+??，其中),(y x αα=，)(αf 为任意可微分的函数。 在（1）两边同时对x 求偏导数： x f x z z x y x x ??'=???+???+???-ααααααα)(1cos sin cos 把)(αf '代入得到： αcos 1-=???x z z 即αc o s z x z -=?? α222cos )(z x z =??， 同理 可得 α222s i n )(z y z =??， 故 222)()(z y z x z =??+??。
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第二章多元函数的微分学及其应用 一、偏导数 二、全微分 三、复合函数的微分法 四、隐函数微分法 五、方向导数与梯度 六、多元微分学的几何应用 七、多元函数的Taylor公式与极值问题
§4隐函数微分法 4.1 由方程式确定的隐函数的微分法4.2 由方程组确定的隐函数的微分法4.3 Jacobi行列式的性质
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程012 2=?+y x 除了(-1,0),(1,0)外, 能确定隐函数; 在(-1,0),(1,0)的任何邻域内,y 都有两个值2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 所以不能确定隐函数; 2 1x y ?±=
4.1 由方程式确定的隐函数的微分法 定理4.1 设函数),(00y x P ),(y x F ;0),(00=y x F 则(1)方程00),(x y x F 在点=单值连续函数 y = f (x ) ,,)(00x f y =(2)函数y = f (x )在点x 0的某邻域内具有连续的偏导数， y x F F x y ?=d d (隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足 ),(00≠y x F y ②满足并且()[],0,≡x f x F
))(,(≡x f x F 两边对 x 求导 0d d ≡??+??x y y F x F y x F F x y ?=d d 0 ≠y F ,0),()(所确定的隐函数为方程设==y x F x f y 在),(00y x 的某邻域内则
第五节 隐函数微分法 教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论； (2) 会求隐函数的导数和偏导数。 教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时 一、一个方程的情形 1.(,)0F x y = 定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y ， ②00(,)0F x y =， ③00(,)0y F x y ≠， 则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有 y x F F dx dy -=. （1） 说明： 1）定理的条件是充分的，如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x = 2）若③换成00(,)0x F x y ≠，则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且 .y x F dx dy F =- 定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导： 设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数 ()y f x =，则有恒等式 (,())0,F x f x ≡ 两边对x 求导，得 0,x y dy F F dx +=由00(,)0y F x y ≠，得 y x F F dx dy -=。 隐函数的求导公式
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
河北地质大学课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数偏导数方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一
河北地质大学 课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ． 例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
单值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0cos x y x y y x -=-=-==-， 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，