初中毕业暨高级中等学校招生统一考试
数 学 试 题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
友情提示：
1.作图或画辅助线等需用签字笔描黑.
2.未注明精确度的计算问题，结果应为准确数．．．
. 3.抛物线()的顶点坐标为，对称轴. 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40
分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡．．．
的相应位置填涂） 1. 在－2，－
，0，2四个数中，最大的数是( ▲ ) A. －2 B. － C. 0 D. 2
2．据《2011年三明市国民经济和社会发展统计公报》数据显示，截止2011年末三明市 常住人口约为2 510 000人，2 510 000用科学记数法表示为（▲） A ． B ． C ． Ｄ．
3．如图，AB //CD ，∠CDE =，则∠A 的度数为（▲） A ． B ． C ． D ． 4．分式方程
的解是(▲) A ． B ． C ． D ． 5．右图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（▲）
6．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为（▲） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
2
y ax bx c =++0a ≠???
? ??--a b ac a b 4422，a b
x 2-=1
2
1
2
425110?525.110?62.5110?70.25110?140?140?60?50?40?52
3x x
=+2x =1x =1
2
x =
2x =-720?
7．下列计算错误．．
的是(▲) A ． B ． C ． D ． 8．如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OA =1，∠AOB =，则图
中阴影部分的面积是（▲）
A ．
B ．
C ．
D ． 9．在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们 除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出 1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（▲） A ．
B ．
C ．
D ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在轴上，
若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的 点P 共有（▲）
A ． 2个
B ． 3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在答题卡．．．
的相应位置） 11．分解因式：= ▲ ．
12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，
若BC =6，则DE = ▲ ．
13．某校九（1）班6位同学参加跳绳测试，他们的成绩 （单位：次/分钟）分别为：173，160，168，166，175， 168．这组数据的众数是 ▲ ．
14．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，∠BDE =∠CDF ，
请你添加一个．．条件，使DE =DF 成立．你添加的条件是 ▲ ． (不再添加辅助线和字母) 15．如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线 上，且AB //轴，点P 是轴上的任意一点，
236?=236+=1232÷=822=60?1
36π-133
π-3126π-3123
π-23594913
x 2
x xy +2
(0)y x x
=
>4
(0)y x x
=>y y
则△PAB 的面积为 ▲ ．
16
．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，
a 的值是 ▲ ．
三、解答题（共7题，满分86分．请将解答过程写在答题卡．．．的相应位置） 17. (本题满分14分）
（1）计算：；（7分） （2）化简：．（7分）
18. (本题满分16分)
（1）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来；（8分）
（2）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－2，－1），B （－3，－3），
C （－1，－3）.
①画出△ABC 关于轴对称的△，并写出点的坐标；（4分） ②画出△ABC 关于原点O 对称的△，并写出点的坐标.（4分）
01
1
(21)22
--+--
2112()4416
x x x +÷-+-231,110.2
x x -≤??
?+>??x 111A B C 1A 222A B C 2A
19. (本题满分10分)
为了解某县2012年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生有___▲名；（2分）
（2）补全条形统计图；（2分）
（3）在抽取的学生中C级人数所占的百分比是__▲；（2分）
（4）根据抽样调查结果，请你估计2012年该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为
A 级的人数．（4分）
20．(本题满分10分)
某商店销售A ，B 两种商品，已知销售一件A 种商品可获利润10元，销售一件B 种商品可获利润15元．
（1）该商店销售A ，B 两种商品共100件，获利润1350元，则A ，B 两种商品各销售多
少件？（5分）
（2）根据市场需求，该商店准备购进A ，B 两种商品共200件，其中B 种商品的件数
不多于A 种商品件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A ，B 两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）
21. (本题满分10分)
如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆 经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知∠A =，∠B =， 且2+=．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（5分） （2）若OA =6，，求BC 的长．（5分）
22．（本题满分12分）
已知直线与轴和轴分别交于点A 和点B ，抛物线的顶点
M 在直线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ．
（1）如图①，当点M 与点A 重合时，求：
①抛物线的解析式；（4分）
αβαβ90?3
sin 5
β=25y x =-x y 2
y x bx c =-++
②点N 的坐标和线段MN 的长；（4分）
（2）抛物线在直线AB 上平移，是否存在点M ，使得△OMN 与△AOB 相似？
若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）
23．（本题满分14分）
在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ）， ∠BPE
＝
∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ． （1） 当点P 与点C 重合时（如图①）．求证：△BOG ≌△POE ；（4分）
2
y x bx c =-++1
2
（2）通过观察、测量、猜想：
=
▲ ，并结合图②证明你的猜想；（5分） （3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB =，
求
的值．（用含的式子表示）（5分）
BF
PE
αBF
PE
α
2012年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试
数学试卷参考答案及评分标准
说明：以下各题除本参考答案提供的解法外，其他解法参照本评分标准，按相应给分点评分. 一、选择题(每小题4分，共40分)
1. D
2. C
3. D
4. A
5. B
6. C
7. B
8. C
9. A 10. C 二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 12. 3 13. 168 14. 答案不唯一；如：AB =AC ；或∠B =∠C ；
或∠BED =∠CFD ；或∠AED =∠AFD 等；15. 1 16. 900 三、解答题（共86分） 17．（1）解：原式= ……………6分 =1.
……………7分
（2）解法一：原式= ……………2分 = ……………6分 =. ……………7分
解法二：原式=
……………4分
=
……………6分 =.
……………7分 18．解：（1）解不等式①，得 ，
……………2分
解不等式②，得 -2.
……………4分
不等式①，②的解集在数轴上表示如下：
()x x y +11
122
+
-11(4)(4)(
)442x x x x +-+?-+44
22
x x +-+x (4)(4)(4)(4)
(4)(4)2
x x x x x x ++-+-?+-44
2
x x ++-x 2x ≤x >
……………6分 所以原不等式组的解集为．
……………8分
（2）①如图所示，；
画图正确3分，坐标写对1分； ②如图所示，． 画图正确3分，坐标写对1分；
19．解：（1）100； …………2分
（2）如图所示； …………4分
（3）30%； …………6分 （4）1430×20%＝286（人） …………9分 答：成绩为A 级的学生人数约为286人．…10分
20．解：（1）解法一：设A 种商品销售x 件，
则B 种商品销售（100- x ）件．
……………1分 依题意，得
……………3分 解得x =30．∴ 100- x =70． ……………4分 答：A 种商品销售30件，B 种商品销售70件. ……………5分 解法二：设A 种商品销售x 件， B 种商品销售y 件． ……1分
依题意，得 ……………3分
22x -<≤1(2, 1)A -2(2, 1)A 1015(100)1350x x +-=100,
10151350.
x y x y +=??+=
?
解得 ……………4分
答：A 种商品销售30件，B 种商品销售70件. ……………5分
（2）设A 种商品购进x 件，则B 种商品购进（200- x ）件． ………6分
依题意，得0≤ 200- x ≤3x
解得 50≤x ≤200 ……………7分
设所获利润为w 元，则有
w =10x +15（200- x ）= - 5x +3000 ……………8分
∵- 5＜0，∴w 随x 的增大而减小. ∴当x =50时，所获利润最大
=2750元. ……………9分
200- x =150.
答：应购进A 种商品50件，B 种商品150件，
可获得最大利润为2750元. ……………10分
21.(1)证明:证法一：连接OC (如图①)，∴∠BOC =2∠A=2， ……2分
∴∠BOC+∠B=2+=90．∴∠BCO =90．即OC ⊥BC ． ……4分 ∴BC 是的⊙O 切线． ……5分 证法二：连接OC (如图①)， ∵ OA =OC ， . ∴∠ACO =∠A =． ……1分 ∵ ∠BOC =∠A+∠ACO=2， ……2分 ∴∠BOC+∠B=2+=90．
……3分
∴∠BCO =90．即OC ⊥BC ． ……4分
∴BC 是的⊙O 切线． ……5分 证法三：连接OC (如图①)，
∵OA =OC ，∴∠OCA =∠A =. ……1分 在△ACB 中，
∠ACB =－（∠A +∠B ）=－（+） ∴∠BCO =∠ACB －∠ACO =－（+）－
=－（2+）. ……3分
30,
70.x y =??=?
5503000w =-?+最大ααβ??αααβ??α180?180?αβ180?αβα180?αβ
∵2+=90,∴∠BCO .即OC ⊥BC ． ……4分 ∴BC 是⊙O 的切线. ……5分 证法四：连接OC ，延长BC (如图②)， ∴∠ACE =∠A +∠B =+. …… 1分 又∵OA =OC ，∴∠OCA =∠A =.
…… 2分
∴∠OCE =∠OCA +∠ACE =++=2+=. … 4分 即OC ⊥BC .∴BC 是⊙O 的切线.
… 5分
证法五：过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OC (如图③)， 在△AEB 中，∠EAB +∠B =90. …… 1分 ∵∠CAB =，∠B =，且 2+=90，
∴∠EAB =2.∴∠EAC =∠CAB =. …… 2分 ∵OC =OA ,
∴∠OAC =∠OCA =，∠EAC =∠OCA .
…… 3分
∴OC//AE . ∴OC ⊥BC . …… 4分 ∴BC 是⊙O 的切线. …… 5分 (2)∵OC =OA =6，由(1)知，OC ⊥BC ，在△BOC 中，
=
，∵=，∴=．
…… 8分
∴OB =10． …… 9分
∴BC ===8． …… 10分
22．（1）解：①∵直线与轴和 轴交于点A 和点B ，
∴，． ……1分
解法一：当顶点M 与点A 重合时，∴. ……2分
∴抛物线的解析式是：．即． ……4分 解法二：当顶点M 与点A 重合时，∴. ……2分
αβ?90=αβαααβαβ90Rt ?αβαβ?αααRt sin βOC
OB
sin β35356OB 22OB OC -22
106-25y x =-x y 5(,0)2
A (0,5)
B -5(,0)2
M 25()2y x =--2
25
54
y x x =-+-
5(,0)2
M
∵ ， ∴.
又∵，∴. ……3分
∴抛物线的解析式是：． ……4分 ②∵N 在直线上，设，又N 在抛物线上，
∴． ……5分
解得 ， （舍去）
∴． ……6分
过N 作NC ⊥轴，垂足为C (如图①)． ∵，∴． ∴． ． ……7分 ∴． ……8分
（2）存在.
………………10分
. ………………12分 23.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合, ∴OB =OP ， ∠BOC =∠BOG =90°． ……2分 ∵PF ⊥BG ，∠PFB =90°，
∴∠GBO =90°—∠BGO ，∠EPO =90°—∠BGO ， ∴∠GBO =∠EPO ． ……3分 ∴△BOG ≌△POE ． ……4分 （2）
． ……5分 证明：如图②，过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ， ∴∠PNE =∠BOC =90°， ∠BPN =∠OCB ． ∵∠OBC =∠OCB =， ∴ ∠NBP =∠NPB ．
5
2(1)2
b -
=?-5b =2
4(1)04(1)c b ?--=?-254c =-2
25
54
y x x =-+-
25y x =-(,25)N a a -2
2554
y x x =-+-2
252554
a a a -=-+-112a =25
2a =1
(,4)2
N -x 1(,4)2N -1(,0)2
C 4NC =51
222
MC OM OC =-=
-=2222
4225MN NC MC =+=+=1(2,1),M -2(4,3)M 1
2
BF PE =45?
∴NB =NP ．
∵∠MBN =90°—∠BMN ， ∠NPE =90°—∠BMN ，
∴∠MBN =∠NPE ． ……6分 ∴△BMN ≌△PEN ． ……7分 ∴BM =PE ．∵∠BPE =∠ACB ， ∠BPN =∠ACB ， ∴∠BPF =∠MPF ．
∵PF ⊥BM ，∴∠BFP =∠MFP =. 又PF =PF ，
∴△BPF ≌△MPF ． ……8分 ∴BF =MF ． 即BF =
BM ．∴BF =PE ． 即
． ……9分 （3）解法一：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，
∴∠BPN =∠ACB =，∠PNE =∠BOC =90°. ……10分 由（2）同理可得BF =
BM ， ∠MBN =∠EPN ． ……11分 ∵∠BNM =∠PNE =90°，
∴△BMN ∽△PEN ． ……12分
∴
． ……13分 在△BNP 中，，
∴
．即． ∴
． ……14分 解法二：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ， ∴BO ⊥PM ，∠BPN =∠ACB =. ……10分
∵∠BPE =
∠ACB=，PF ⊥BM ， ∴∠EPN=. ∠MBN =∠EPN=∠BPE=.
设， 在△PFB 中， ， ……11分 ∵PF =PE +EF =，∴
……12分
1
2
9012121
2
BF PE =α1
2
BM BN
PE PN
=Rt tan BN
PN
α=tan BM PE α=2tan BF
PE α=1
tan 2
BF PE α=α121
2α12α1
2
α,,BF x PE y EF m ===Rt tan
2
BF
PF
α
=
y m +()tan
2
x y m α
=+
在△BFE 中，， ∴. ∴. .
.
……13分
∴
. 即. ……14分
解法三：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ， ∴ ∠BNP =∠BOC =90°. ∴ ∠EPN +∠NEP =90°.
又∵BF ⊥PE ，∴ ∠FBE +∠BEF =90°.
∵∠BEF =∠NEP ，∴ ∠FBE =∠EPN . …… 10分 ∵PN //AC ，∴∠BPN =∠BCA =.
又∵∠BPE =∠ACB=，∴∠NPE =∠BPE =. ∴∠FBE =∠BPE =∠EPN =.
∵ ，∴ . …… 11分
∵ ，∴ . …… 12分
∵ ，∴ . …… 13分
∴ . ∴ . ∴ .
…… 14分
Rt tan 2
EF m BF x α
=
=tan 2
m x α
=?(tan
)tan
2
2
x y x α
α
=+2
tan
tan 2
2
x y x α
α
=?+?2
(1tan )tan 2
2
x y α
α
-=?2tan
21tan 2x y α
α=
-2tan
21tan 2
BF PE α
α
=-α1212α1
2
α1
2
αsin BF FPB BP ∠=sin 2
BF
BP α=cos PN EPN PE ∠=cos 2PN PE α
=?cos PN
NPB BP ∠=cos PN BP α=?cos cos 2EP BP αα?=?cos cos 2sin 2
BF
EP ααα?=
?sin
cos
22cos BF
PE
α
α
α
?=