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【智博教育原创专题】恒成立问题练习题

1.对任意的实数x ，不等式12x x a +-->恒成立，则实数a 的取值范围为 (3)-∞-，

2.函数()f x 是奇函数，且在[1,1]-上单调递增，又(1)1f -=-，若2()21f x t at ≤-+ 对所有的[1,1]a ∈-都成立，则实数t 的取值范围为 (,2]{0}[2,)t ∈-∞-??+∞

3.已知三个不等式①2430x x -+<，②2680x x -+<，③2290x x m -+<，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则m 的取值范围为 9m ≤

4.若当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c 的取值范围是（）

.11A c -

11c ≤≤

.1C c ≤

.1D c

【解析】由0m n c ++≥，可以看作是点(,)P m n 在直线0x y c ++=的右侧，而点(,)P m n 在圆22(1)1x y +-=上，实质相当于是22(1)1x y +-=

在直线的右侧并与它相离或相切。

01011c c ++>??∴∴≥≥，故选D 。

5.（2010天津）设函数2()1f x x =-，对任意22,,()4()(1)4()3x x f m f x f x f m m ??∈+∞-≤-+????

，恒成立，则实数m 的取值范围是。【解析】依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-在3[,)2

x ∈+∞上恒定成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立。当32

x =时函数2321y

x =--+取得最小值53-，

所以22154m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥ 6.若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围为 [1,9]a ∈ 7.★已知二次函数2()22f x ax x a =--，若()0f x >的解集为{},|13,A B x x A B =<

(,2)(,)7

-∞-?+∞【提示】在区间[]1,3x ∈上，max ()0f x >。 8.★已知函数21

()ln ,()2,02

f x x

g x ax x a ==+≠，且()()()

h x f x g x =-存在单调递减区间，则a 的取值范围 (1,0)(0,)-?+∞ 9.设不等式210mx x -+>在区间(1,3)上对一切x 恒成立，则实数m 的取值范围为。

【解析】不等式210mx x -+>在区间(1,3)上恒成立，即21x m x

在(1,3)x ∈时恒成立。设221111()

),(1,3)24x g x x x x -==--+∈（，当112x =，即2x =时，min 11(),44g x m =∴>。 10.⑴已知函数y (,1)-∞,则实数m 的取值范围。【解析】本题应属于不等式恒成立问题，即当(,1)x ∈-∞时，1240x x m ++?≥恒成立，即不等式

214x x m +≥-当(,1)x ∈-∞时恒成立。设2

2111111(),(,1),1,()42

2422x x x x g x x x +??=-=-++∈-∞<>???? , 21113()()2244g x ∴<-++=-,又3(),4

m g x m ≥∴≥-。 ⑵ ★（恰成立）已知22()x x a f x x ++=，当[)1,,()x f x ∈+∞的值域是[)0,+∞,则实数____a =3-

【解析】一个恰成立问题,这相当于22()0x x a f x x

++=≥的解集是[)1,x ∈+∞。 ①当0a ≥时,由于1x ≥时, 22()23x x a a f x x x x

++==++≥,与其值域是[)0,+∞矛盾, ②当0a <时, 22()2x x a a f x x x x

++==++是[)1,+∞上的增函数,所以,()f x 的最小值为(1)f , 令(1)0f =,即120,3a a ++==-。

11.已知不等式22622

kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围为 12.设函数329()62

f x x x x a =-+-，对于任意实数,()x f x m '≥恒成立，则m 的最大值为【解析】2'()396,f x x x =-+ 对',()x R f x m ?∈≥,即239(6)0x x m -+-≥在x R ∈上恒成立,

8112(6)0m ∴?=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34

-。 13.若不等式10ax -<对[]1,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为

14.已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2],()2x f x ∈-≥恒成立，求a 的取值范围。

【解析】本题可以化归为求函数()f x 在闭区间上的最值问题,只要对于任意min [2,2],()2x f x ∈-≥。若[2,2],()2x f x ∈-≥恒成立min min 2[2,2],()22()(2)732

a x f x f x f a ?-≤-???∈-≥???=-=-≥?或

2min 222()()32

a a a f x f a ?-≤-≤????=-=--≥?或min 22()(2)72a f x f a ?->???==+≥?，即a

的取值范围为[5,2--+。 15.若对任意实数x 和任意0,2θ??∈????

，恒有22(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥，则实数a 的取值范围

【解析】由均值不等式得原不等式21(32sin cos sin cos )4a a a θθθθ?+--≥?72

a ≥。 16.若对所有的[),x e ∈+∞都有ln x x ax a ≥-成立，则实数a 的取值范围为

【解析】由题意有ln 1x x a x ≤-在[),x e ∈+∞上恒成立，令ln ()1

x x f x x =-，于是只需要满足[][)2

min 1ln ()(,),()(1)x x a f x x e f x x --'≤∈+∞=-，此时既不好找()f x '的零点，也不好判断它的正负，[)11()1ln ,()1,,,10,()0,()g x x x g x x e g x g x x x

''=--=-∈+∞∴->> 令在[),x e ∈+∞是增函数，()()2,()0,()g x g x e f x f x '≥=-∴>∴在[),x e ∈+∞上为增函数，[]min ()(),1

e f x f e a e ∴==∴-的范围为1

e a e ≤-。 17.函数44()12ln 3

f x x x x c =--对任意的0x >不等式2()f x c ≥-恒成立，则实数c 的取值范围为

恒成立与存在性问题的基本解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导

高中数学专题练习-存在与恒成立问题

高中数学专题练习-存在与恒成立问题 [题型分析·高考展望]“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究. 常考题型精析题型一恒成立问题例1(·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a). (1)求g(a)； (2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.

点评恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值. 变式训练1(·山东)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若?x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围.

题型二存在性问题例2(·辽宁)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－8 3(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)·ln(3－2x π). 证明：(1)存在唯一x0∈(0，π 2)，使f(x0)＝0； (2)存在唯一x1∈(π 2，π)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π. 点评“存在”是特称量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题. 变式训练2(·浙江)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R). (1)当b＝a2 4＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式； (2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围.

含参不等式恒成立问题学考压轴题(函数专题)

个性化教案学生姓名年级科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容函数专题:含参不等式恒成立问题个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00a ; 2）0)(对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。类型2：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f （1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立? ??>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈-?????对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

存在性与恒成立

专题训练恒成立存在性问题知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方；题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0<