一、中考数学压轴题
1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2
23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在
点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点
D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t
的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若
72
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CG AG =
，求点P 的坐标．
2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点
D 作D
E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，
PDE
ABMC 1
S
S 9
=四边形． 3．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13． （1）求直线AD 和BC 之间的距离；
（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．
4．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，
PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．
（1）求边AD 的长；
（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．
5．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．
（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；
（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；
（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1
2
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．
6．如图，直角三角形ABC ?中，90460ACB AC A ∠?=∠?＝，，＝，O 为BC 中点，将
ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿
A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．
（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使
//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0 图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值． （2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在 BC 上以每秒 3 的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 7．如图1，抛物线2 3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶 点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F . （1）求顶点D 的坐标； （2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N . ①若直线CM 将BCD ?分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标； ②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标． 8．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形， 60C ?∠= （1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形 ''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形: （2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为 AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直 接写出此时,H I 点的坐标. 9．如图，在ABC 中，90ABC ∠=?，AB BC <，O 为AC 中点，点D 在BO 延长线上，CD BC =，AE BC ∥，CE CA =，AE 交BD 于点G ． （1）若28DCE ∠=?，求AOB ∠的度数； （2）求证：AG GE =； （3）设DC 交GE 于点M ． ①若3AB =，4BC =，求::AG GM ME 的值； ②连结DE ，分别记ABG ，DGM ，DME 的面积为1S ，2S ，3S ，当AC DE 时，123::S S S = ．（直接写出答案） 10．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上． （1）求证：CD=CF ； （2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长． 11．如图，抛物线2 14 y x bx c = ++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5 2 - ）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ． (1) 求抛物线2 14 y x bx c = ++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由; ②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值． 12．如图1，已知抛物线218 33 y x x c =- -+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接 ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1 ，已知4 tan 3 BDE ∠=，求点E 的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在 线段EG 上，连接DH ，EDH EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点 K ，若EK EG =，求点K 的坐标． 13．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=?，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且 60ECF ∠=?． （1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=； （2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求 FM ； （3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由． 14．综合与探究： 如图1，抛物线24832 999 y x x =- ++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作 //PF AD ，交x 轴于点F ． （1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标； （2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ． ①当3DM MF =时，求m 的值； ②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ． （1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系； （2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数． 16．AB 是 O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ， 连接CD 交AB 于E ， （1）如图(1)求证：90AEC ∠=?； （2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接 MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠ （3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度 17．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ． （1）求A ，B ，C 三点坐标； （2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标； （3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）． 18．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点(3)A ，，点 ()0, 3B ，点(0,0)O (I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处． ①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标； ②连接AF ，当AEF ?为直角三角形时，求E 点坐标： (Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ?沿OP 所在的直线折叠，得到 'A OP ?，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)． 19．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点 C ，且OB OC =，()2,0A -． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=?，连接OF 、CP 、 PB ，FOB ?的面积为 3600 169 ，求PBC ?的面积． 20．如图，平面直角坐标系中，抛物线2 28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作 EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?，在 射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式． 21．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，tanA ＝33 ． （1）求弦AC 的长； （2）D 是AB 延长线上一点，且AB ＝kBD ，连接CD ，若CD 与⊙O 相切，求k 的值； （3）若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发，沿AB 方向运动，同时动点Q 以3 2 cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜10 3 ），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ 为Rt △？ 22．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠． (1)若80A ∠=?，则BDC ∠的度数为______； (2)若A α∠=，直线MN 经过点D ． ①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)； ②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中 NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由： ③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)． 23．问题提出 （1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究 （2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点 C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点, D E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值． 问题解决 （3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点 P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨 道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和( ) BB CC DD ''' ++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明． 24．如图，二次函数2 3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为 A ，且与y 轴相交于C 点 （1）则m =_________；C 点坐标为___________； （2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由． （3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标； ②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大． 25．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）． （1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ； （2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、中考数学压轴题 1．C 解析：（1）21322y x x =--；（2）1m t =-；（3）933,28P ?? ??? 【解析】 【分析】 （1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式； （2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ； （3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN ⊥BE 于点N ，过点P 作PM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明 Rt △PME ≌Rt △ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK ⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK ≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=72BG=6m ，过点G 作GL ⊥x 轴于点L ，在Rt △ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入33 22 t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标. 【详解】 解：（1） 22223(23)(1)4y ax ax a a x x a x a =--=--=--， ∴顶点C 的坐标为(1,4)a -， 点C 的纵坐标为2-， 42a ∴-=-， 1 2 a ∴= ， 21322 y x x ∴= --； （2） 点P 的横坐标为t ， 213 (,)22P t t t ∴--， 213 22 y x x = --与x 轴的交点为(1,0)A -，(3,0)B ， ∴设AP 的直线解析式为y kx b =+， 则有201322k b kt b t t -+=???+=--??， 解得3232t k t b -?=???-?=?? ， 33 22 t t y x --∴= +， //CD y 轴交AP 于点D ， (1,3)D t ∴-， 321CD t t ∴=-+=-， 1m t ∴=-； （3）如图：设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ， CD 垂直平分AB ，ED AD =， //DH BE ∴，1 2 DH BE =， BE x ∴⊥轴， 2(3)26BE t t ∴=-=-， 过点F 作FN BE ⊥于点N ，过点P 作PM BE ⊥交BE 的延长线于点M ， EF BF =， 1 32 EN BN BE t PM ∴== =-=， EP FE =， Rt PME Rt ENF(HL)∴???， MPE FEN ∴∠=∠， 90FEN MEP MPE MEP ∴∠+∠=∠+∠=?， 90PEF ∴∠=?， 45EPF EFP ∴∠=∠=?， 过点C 作CK CG ⊥交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ， 90KCG ∴∠=?， 45K KGC ∴∠=∠=?， CK CG ∴=， 90AHC BHC ∠=∠=?，2AH BH CH ===， 45CAH ACH HBC HCB ∴∠=∠=∠=∠=?， 90ACB ∴∠=?，AC CB =， 90KCA ACG GCB ∴∠=?-∠=∠， ()ACK BCG SAS ∴???， 45BGC K AGC ∴∠=∠=∠=?，AK BG =， 90KGB ∴∠=?， 令8AG m =，则CG =， CK CG =，90KCG ∠=?， 14KG m ∴=， 6BG AK KG AG m ∴==-=， 过点G 作GL x ⊥轴于点L ， 在Rt ABG ?中，104AB m ===， 25 m ∴=， 165 AG ∴= ， 11 861022ABG S m m m GL ?=??=??， 4825 GL ∴= ， AL ∴= 3925 OL AL AO ∴=-=， 39( 25G ∴，48 )25 ， AG 的解析式为33 22 t t y x --= +， ∴ 483393 252252 t t --=?+， 9 2 t ∴= ， 9(2P ∴，33 )8 ． 【点睛】 本题考查二次函数的综合题．熟练掌握二次函数的图象及性质，通过辅助线构造三角形全等，逐步求出G 点的坐标从而求出t 的值是解题的关键． 2．C 解析：（1）2 1 y x 343 =-+（），顶点M 3,4；（2）P 3,2（）；（3）1m ＝2， 2m ＝1 【解析】 【分析】 （1）由点C 的坐标，可求出c 的值，再把() A 3,0、() B 33,0代入解析式，即可求出a 、b 的值，即可求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可求出顶点M 的坐标； （2）因为A 、B 关于抛物线的对称轴对称，连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ，设对称轴与x 轴交于点H ，证明PHB COB ∽，即可求出PH 的长，从而求出点P 的 坐标； （3）根据点A 、B 、M 、C 的坐标，可求出ABMC S 四边形，从而求出PDE S 3=OC ＝ 3，OB ＝33OCB ∠＝60，因为DE //PC ，推出 ODE ∠＝60，从而得到OD ＝3m -，)OE 33m =-，根据PDE DOE PDOE S S S =-四边形，列出关于 m 的方程， 解方程即可. 【详解】 （1）∵抛物线y ＝2ax bx c a 0++≠（）过()A 3,0-、() B 33,0，() C 0,3三点， ∴c ＝3， ∴3a 3b 3027a 33b 30 ?-+=??++=??， 解得 1 a 3 23 b 3 ? =- ?? ? ?= ?? ． 故抛物线的解析式为()2 2 1231 y x x3x34 333 =-++=--+， 故顶点M为() 3,4． （2）如图1， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P． 设对称轴与x轴交于点H， ∵PH//y轴， ∴PHB COB ∽． ∴ PH BH CO BO =． 由题意得BH＝23，CO＝3，BO＝33， ∴ PH23 333 =， ∴PH＝2． ∴() P3,2． （3）如图2，∵() A3,0 -、() B33,0，() C0,3，() M3,4， ∴ABMC S 四边形 ＝ () AOC MHB COHM 111 S S S3334342393 222 ++=??++??=梯形 ．∵ABMC S 四边形 ＝PDE 9S， ∴PDE S 3=． ∵OC ＝3，OB ＝33， ∴OCB ∠＝60． ∵DE //PC ， ∴ODE ∠＝60． ∴OD ＝3m -，()OE 33m =-． ∵PDOE S 四边形＝()()COE 133S 333m 3m 2= ??-=-， ∴PDE S ＝()()2 DOE PDOE 333S S 3m 3m -= ---=四边形 2333 m m 0m 3322- +<<（） ． ∴2333 m m 322 - +=， 解得1m ＝2，2m ＝1． 【点睛】 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和四边形面积求法等知识，熟练运用方程思想方法和转化思想是解题关键． 3．A 解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685 s 或7 2s 【解析】 【分析】 （1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在RtDEC 中可求得DE 的长，即AB 的长，即AD 与BC 间的距离； （2）四边形QDCP 为平行四边形，只需QD=CP 即可； （3）存在3大类情况，情况一：QP=PD ，情况二：PD=QD ，情况三：QP=QD ，而每大类中，点P 存在2种情况，一种为点P 还未到达点C ，另一种为点P 从点C 处返回． 【详解】 （1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ∵∠B=90°，AD ∥BC ∴AB ⊥BC ，AB ⊥AD ∴AB 的长即为AD 与BC 之间的距离 ∵AD=16，BC=21， ∴EC=5 ∵DC=13 ∴在Rt DEC 中，DE=12 同理，DE 的长也是AD 与BC 之间的距离 ∴AD 与BC 之间的距离为12 （2）∵AD ∥BC ∴只需QD=PC ，则四边形QDCP 是平行四边形 QD=16－t ，PC=21－2t 或PC=2t －21 ∴16－t=21－2t 或16－t=2t －21 解得：t=5s 或t= 373 s （3）情况一：QP=PD 图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F ∵PQ=PD ，PF ⊥QD ， ∴QF=FD ∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90° ∴四边形ABPF 是矩形， ∴AF=BP 由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2 t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP ∴8+ 2t =2t 或8+2 t =42－2t 解得：t= 16 3或t=685 情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F 同理QD=16－t ，PF=AB=12 BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t 则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26 ∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()2 2212226PD t =+- ∵PD=QD ， ∴2 2 PD QD = ∴()()2 2 216t 12162t =+-－或()()2 2 216t 12226t =+-－ 解得：2个方程都无解 情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F 同理：QD=16－t ，FP=12 BP=2t 或BP=42－2t QF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t 在Rt QFP 中，222 12PQ t =+或()2 2212423PQ t =+- ∵PQ=QD ， ∴2 2 PQ QD = ∴()2 2216t 12t =+－或()()2 2 216t 12423t =+-－ 第一个方程解得：t=7 2 ，第二个方程解得：无解 综上得：t=163或685 或72 【点睛】 本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度． 4．D 解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜10 3 )；（2） 176 9 或32 【解析】 【分析】 （1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长； （2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围； （3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可． 【详解】 （1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H ∵∠C=45°，DH⊥BC ∴△DHC是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8 ∴HC=8 ∴BH=BC－HC=6 ∴AD=6 （2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G ∵EF∥AD,∴EF∥BC
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