川师附中2014年自主招生考试
数学测试题
本卷满分150分 考试时间120分钟
三
题号一二1
2
3
4
5
总 分复 核
得分阅卷教师
一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）
1、下列图中阴影部分面积与算式的结果相同的是………………【 】
2
131242-??
-++ ???
2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】
① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个
D. 4
3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按
半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【 】
A 、甲比乙更优惠
B 、乙比甲更优惠
C 、甲与乙相同
D 、与原标价有关4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右
滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为【 】
A 、2π
B 、π
C 、
D 、4
325、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则m n m n
+等于……………………………………………………………………………【 】A 、36 B 、37 C 、38 D 、39二、填空题（每小题6分，共48分）
1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。
2、若化简的结果为，则的取值范围是 。
16812+---x x x 52-x x 3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。
笔试
实践能力成长记录
甲908395乙889095丙908890
4、已知点是一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内的交点，点在 轴的负半轴上，且（A x y =x
y 2
=
B x OB OA =为坐标原点），则的面积为 。
O AOB ?5、如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值是 。
212x px ++p 6、如右图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足。延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP =（），△BPQ 与△CPR 的面积之和为，把表示为x 01x ≤≤y y 的函数是 。
x
7、已知为方程的两实根，12x x ，2420x x ++=则 。
3121455x x ++=8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多
道。
三、解答题（本大题6小题，共72分）
1、（10分）在中，，。的垂直平分线分别交、于、两点，连结，如果，求：ABC ?AC AB = 45=∠A AC AB AC D E CD 1=AD BCD ∠tan 的值。
2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。
甲乙价格（万元／台）75每台日产量（个）
100
60
⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？
⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中，。为了合理利用这块钢板．将在五边形EAB 2=AF 1=BF CD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
4、（12分）如图所示等腰梯形中，∥，,对角线与交于,, 点分别是ABCD AB CD AD CB =AC BD O 60ACD ∠= S P Q 、、的中点。
OD OA BC 、、求证：△是等边三角形。PQS
5、（12分）如右图，直线OB 是一次函数的图像，点A 的坐标是（0，2），点C 在直线OB 2y x =上且△ACO 为等腰三角形，求C 点坐标。
6、（14分）已知关于x 的方程有两个正整数根（m 是整数）。018)13(3)1(22=+---x m x m △ABC 的三边a 、b 、c 满足，，。32=c 0822=-+a m a m 0822=-+b m b m 求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积。
师大附中2014年高一自主招生考试
数学试题参考答案
一、1、B ，2、B ，3、B ，4、C ，5、B
二、1、2 2、 3、甲、乙 4、 5、6
7、7 8、2041≤≤x 27,8,13±±±242)x x -+三1、有已知可得均为等腰直角三角形，计算得，在直角三角形中，。CDE ADE ??和12-=BD BCD 12tan -==
∠CD
BD
BCD 2、（1）设购买台甲机器，则，所以。即取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙x 34)6(57≤-+x x 2≤x x 机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。
（2）按方案①，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案②，所需资金（万元），日产量为
3056=?360606=?325571=?+?（个）；按方案③，所需资金为（万元），日产量为（个）。所以，选择方案
4006051001=?+?344572=?+?4406041002=?+?②。
3、如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设 DN ＝x ，PN ＝y ，则面积 S ＝xy ， ① 因为点P 在AB 上，由△APQ ∽△ABF 得
，即．2
1
)4(24=---x y y x 210-= 代入①，得，
y y y y S 102)210(2+-=-= 即．
225
)25(22+--=y S 因为3≤y ≤4，而y ＝不在自变量的取值范围内，所以y ＝不是最值点，
252
5
当y ＝3时，S ＝12；当 y ＝4时，S ＝8．故面积的最大值是S ＝12．此时，钢板的最大利用率是80％。
4、连CS
。
∵ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ，
∴AO=BO,CO=DO.
∵∠ACD=60°，∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形.
Q
N
M
P A F B
C
D
E
∵S 是OD 的中点，∴CS ⊥DO.
在Rt △BSC 中，Q 为BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，∴SQ=BC.12
同理BP ⊥AC.
在Rt △BPC 中，PQ=BC.
12
又SP 是△OAD 的中位线，∴SP=AD=BC.1212
∴SP=PQ=SQ.
故△SPQ 为等边三角形.
5、若此等腰三角形以OA 为一腰，且以A 为顶点，则AO=AC 1=2. 设C 1（），则得，解得，得C 1（） ,2x x 222(22)2x x +-=85
x =816
,
55
若此等腰三角形以OA 为一腰，且以O 为顶点，则OC 2=OC 3=OA=2.
设C 2（），则得，解得得C 2'',2x x '2'22(2)2x x +='x = 又由点C
3与点C 2关于原点对称，得C 3（ 若此等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C 4（）.1
21,12
所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：
（），C 4（）816,
551
,12
6、（1）方程有两个实数根，则，解方程得
012≠-m ，．由题意，得 即161+=
m x 13
2-=m x 11,2,3,6,11,3,m m +=??-=????==.
4,2,5,2,1,0m m 故．
2=m （2）把代入两等式，化简得，，2=m 0242=+-a a 0242=+-b b 当时，．
b a =22±==b a 当时，、是方程的两根，而△＞0，由韦达定理得，
b a ≠a b 0242=+-x x ＞0，＞0，则＞0、＞0．
4=+b a 2=ab a b ①，时，由于b a ≠32=c 2
222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝．
12
1
=ab ②，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去．22-==b a 32=c )22(2-<32③，时，因＞，故能构成三角形．
22+==b a 32=c )22(2+32
S
△ABC ＝12
?=综上，△ABC 的面积为1或．
2129+