《结构动力学》论文

《结构动力学》论文

建工学院土木工程0901班

1 引言

结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。1788年，即牛顿的《自然哲学的数学原理》问世一百年后，拉格朗日在总结了这一时期的成果之后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格朗日力学。经典力学分析方法随后的发展主要归功于泊桑，哈密尔顿，雅克比，高斯等人。他们提出新的观念，而这些观念却和哈密尔顿联系在一起，因为质点力学中的基本问题，在这里是用哈密尔顿正则方程来表达的，力学的这一个分支如今称为哈密尔顿力学。也可以这样认为，牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。

经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，迄今已有150余年的历史。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静力学的方法来解决工程实际问题。

随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。

重所周知，1946年在美国诞生了世界上第一台电子计算机。在半个多世纪的时间里，计算机得到了超出人们想象的飞速发展。计算机改变了人们的生活，完善了现代工业体系，也给工程领域带来了深刻的变革。而结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。

作为一门课程，结构动力学的基本体系和内容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学（Single Degree of Freedom Systems）简称为SDOF；多自由度系统

结构动力学（Multi Degree of Freedom Systems）简称为MDOF；连续系统结构动力学（Distributed Parameter Systems）。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。

在结构工程专业的硕士研究生阶段，已经学习了结构动力学这门课程。在博士研究生阶段，所要求掌握的高等结构动力学的内容是在硕士阶段学习知识基础上的深入和提高，重点应在于能够熟练运用结构动力学的基本理论和方法建立大型复杂动力结构体系的数学模型并正确求解。本课程报告将按照结构动力学的基本理论体系作概要性的介绍。

2 经典动力学理论

2．1 基本概念和基本原理

2. 1. 1基本概念

下面列举几个在结构动力学中将反复出现的重要概念。对这些概念的正确理解是深刻掌握结构动力学基本理论的必要前提。

1．自由度：自由度是给定力学系统的重要特征，自由度数等于总的坐标数目减去独立的约束方程数目。

2．广义坐标：任何一组能够明确表示系统位形(Configuration)的参数。

3．真实位移：系统实际所发生的位移，应当满足运动学方程，约束方程和初始条件。

4．可能位移：系统中满足约束方程的无穷小位移，不需满足运动学方程和初始条件。

5．虚位移：任意两个可能位移之差。

6．约束力：由约束物体作用在质点上的力。

7．主动力：除去约束力之外的其它的力。

8．虚功：主动力及约束力在虚位移上所作的功。

9．约束：假定系统相对位置在可能方向上运动的限制。

10．理想约束（无功约束）：是这样一种双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的总虚功为零。

2. 1. 2 虚功原理

由约翰·伯努利在1717年首先作为力学的普遍原理提出，其重要应用是在力学系统的静平衡研究方面。文字表述如下：对于受有理想约束而初始处于静止的定常系统，其静平衡的充要条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的总虚功为零。

公式表述为：∑

=

=?

=

N

i

i i

W

1

0δ

δ

(2.1)

由于对于连续系统保守力所作功等于系统势能的改变量，故将真实力所作功分为保守力所作的功和非保守力所作的功是便于建立系统的平衡方程的，既有下列两式，这是虚功原理的另外一种表述形式，式中V

δ是系统势能的改变。

非保守力

保守力真实力＋＝W W δδδW

(2.2) V

δδ-＝保守力W

(2.3)

2. 1. 3 达朗贝原理

达朗贝原理实质上是牛顿第二定律的另一种表述形式，即：作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和（矢量和）等于零。 公式表述为： 0=-+i i i r m

(2.4)

利用这一原理，可以把一个动力学问题转化为一个静力学问题来求解，即所谓的动静法。在结构动力学中更为普遍应用的是达朗贝原理的拉格朗日形式。

公式表述为： ∑∑===?-=?-N i N i i i i i i i r R r r m F 11

0)( δδ

(2.5)

2. 1. 4 拉格朗日方程

牛顿力学是矢量力学，着重于系统各部分相关的力和运动，在建立动力学方程时需要考虑系统各部分之间的相互作用力且需考虑各约束力。而拉格朗日力学是分析力学，是把系统作为一个整体来考虑，并利用动能，位能等标量函数来描述一个动力学系统。对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程而毋需明显地解出作用于系统各部分的约束力。由于假定动力系统所受到的约束通常都是理想约束，则利用拉格朗日方程在建立动力学方程时就不需要考虑约束力，比直接利用牛顿第二定律建立动力学方程要简洁得多。

若系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q 来描述，则完整系统拉格朗日方程的标准形式为： ),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==??-???? ????

(2.6)

其中，L 叫做拉格朗日函数，表述为系统动能和位能的差。

()()()t q V t q q T t q

q L ,,,,,-=

(2.7)

即(2.6)式也可表示为： ()n i Q q V q T q

T dt d i i i i ,2,1==??+??-???? ????

(2.8)

在导出上述公式时，所强加的限制是坐标i q 为独立的，因此对于非线性系统及线性系统都是正确的。而对于广义坐标数目大于自由度数的完整系统或非完整系统，引入拉格朗日乘子之后也可得到其相应的方程：

()M i Q g f g V g T g T dt d i C j i j j i i i ,2,11==??-??+??-???

? ????∑=λ

(2.9)

其中，i g 表示不独立的坐标，n M >。 2. 1. 5 哈密尔顿原理

哈密尔顿原理是经典动力学中一个十分重要的变分原理，首次发表于1834年。其表达为：在位形空间中完整动力学系统于固定的时间区间0t 到1t 内所经过的实际路径能使积分?=1

0t t Ldt I 对于路径变更来说取驻值，而在路径的端点上这些变更都为零。 从数学分析中可以得知，当()t q

q L ,, 和()t q 具有所要求的平滑度时，而且诸q δ是独立时，则作为0=I δ的充要条件是：),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==??-???? ????

上式实际上就是(2.6)拉格朗日方程。因此哈密尔顿原理和拉格朗日方程对于所假定的系统是等价的，两者可以相互导出，从这个意义上来说，拉格朗日方程是哈密尔顿原理用微分方程来表达的一种形式。哈密尔顿原理把力学的基本方程归结为一个物理概念明确的简单形式0=I δ，表现了自然定律的一种最完美的形式。

2．2 单自由度系统(SDOF)

2. 2. 1 SDOF 系统的数学模型

单自由度系统的数学模型可以由牛顿第二定律来建立，当然也可以由虚位移原理和拉格朗日方程来建立，SDOF 系统的动力学基本方程为：

()t p ku u c u

m r r r =++ (2.10)

方程(2.10)是简单的质—弹—阻尼系统的基本方程，该方程是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程，可以很方便地求出其解析解。如果考虑系统受到一定输入的支座激励，则具有支座激励的SDOF 系统动力学基本方程为：

()z

m t p kw w c w m -=++ (2.11)

2. 2. 2 SDOF 系统的自由振动

SDOF 系统动力学基本方程(2.10)中，质量m 在一般情况下为常量，用m 除(2.10)可以得到一个二阶线性常系数非齐次常微分方程：

()t p k u u u n n n ???? ??=++222ωωξω

(2.12)

式中， m k n =2ω； cr

c c =ξ 上式中， km k m c n

n cr 222===ωω n ω称为无阻尼固有圆频率，单位为弧度/秒；ξ是一个无量纲的参量，称为粘滞阻尼因数；cr c 称为临界阻尼系数。

方程(2.12)的解即系统的总响应是由两个不同性质部分的线性组合。一部分是强迫振动，直接与()t p 有关；另一部分是固有运动即自由振动。二者叠加即为方程的解。因此，SDOF 系统自由振动的基本方程即(2.12)的齐次部分：

022=++u u u n n ωξω

(2.13)

对方程(2.13)求其解可得到无阻尼固有圆频率n ω。根据线性粘滞阻尼因数ξ的大小，可以将粘滞阻尼系统分为三种情况：弱阻尼()10<<ξ，临界阻尼()1=ξ和过阻尼()1>ξ。在弱阻尼的情况下，运动是幅值逐渐衰减的摆动；过阻尼的情况是不发生摆动，并且幅值慢慢地衰减；对于临界阻尼系统，则不发生摆动，并且幅值的衰减比弱阻尼和过阻尼的情况都快。

对于一般的工程结构均属于弱阻尼情况。由于一个实际系统的阻尼通常是由节点的松度，材料的内阻尼等构成的，因此需要采用试验方法确定某些SDOF 系统的动力特性，如无阻尼固有圆频率和阻尼因数。通常采用静态变位测试确定固有圆频率，采用对数衰减法或半幅值法确定阻尼因数。

2. 2. 3 SDOF 系统简谐激励响应

动力响应指在外加动力荷载的激励下，SDOF 系统的受迫运动。也即在求解SDOF 系统自由振动的无阻尼固有圆频率n ω的基础上，对方程(2.12)进行求解。

最简单同时也最重要的外加激励是简谐激励，即外加动力荷载是按照时间的正弦或余弦函数变化的。在简谐激励中，强迫运动又称为稳态响应。对于给定激励幅值为0p 和激励频率为常数Ω的无阻尼SDOF 系统，即t p t p Ω=cos )(0的简谐激励，可以解得系统得总响应为：

t A t A t r U u n n ωωsin cos cos 12120

++Ω??? ??-=

(2.14) 式中，n r ωΩ

= 称为频比，表示简谐激励的激励频率Ω与无阻尼固有圆频率n ω之

比。当r 的值等于1时，无阻尼固有圆频率与外界激励相等，这叫做发生了共振。很明显，当外界激励频率接近共振时，系统响应就变得非常之大。因此，从结构设计的基本原则出发，就是要避免结构发生共振。

对于简单的质—弹—阻尼系统，即可用粘滞阻尼因数ξ来表示系统阻尼时，可以解得系统得总响应为： ()()[]()()t A t A e t r r U u d d t n ωωαξξωsin cos cos 2121212220++-Ω+-=-

(2.15)

2. 2. 4 SDOF 系统一般动力响应

对于SDOF 系统的一般动力激励响应，通常有三种方法可以得到响应的解析表达式：杜哈梅(Duhamel)积分法（时域解），拉普拉斯(Laplance)变换法（拉域解），傅立叶(Fourier)变换法（频域解）。

杜哈梅积分法是以叠加原理为依据的，根据单位脉冲激励的叠加来求解，故仅对线性系统有效。由于任何一个周期函数都可以用傅立叶级数来表示，任何一个非周期函数可以用傅立叶积分来表示，所以通过傅立叶变换，就可以用有限项的叠加来近似给出任意激励函数的简谐叠加，因简谐激励响应由上所述可求得解析解，故通过傅立叶变换可以求解得到任意动力荷载作用下的激励响应。对任意输入的响应，理论上可以采用杜哈梅积分法求解，但积分计算的工作量可能会非常大。在实际工程设计中，外界激励往往是以已知自动记录曲线的形式给出的，例如以时间为函数的地面加速度曲线，而并不是给出其解析表达式，在这种情形下，就只能采用数值计算的方法来求解了。

2．3 多自由度系统(MDOF)

2. 3. 1 MDOF 系统的数学模型

实际上的动力学系统都是连续系统，为了能够在一个连续系统中生成一个N 个自由度的MDOF 模型，可以假定该连续系统的位移能够近似表示为：

()()()

∑==N i i i t u x t x u 1,ψ

(2.16)

其中()x i ψ为假定的N 个振型函数，即相当于把这一连续系统看作包含N 个独立广义坐标()t u i 的MDOF 系统。然后以(2.16)代入动能，位能和非保守力虚功的表达式，应用拉格朗日方程推导得到MDOF 系统的动力学基本方程为：

P Ku u C u M =++

(2.17)

这里应注意所选用的振型函数()x i ψ必须为一组线性独立的函数，每个()x i ψ所具有的导数必须等于位能中所出现的阶数，并且必须满足所有的位移边界条件。

2. 3. 2 MDOF 系统的自由振动

求解MDOF 系统自由振动的动力特性，首先仍然是要求解出系统的无阻尼固有圆频率。这是一个N 阶代数特征值问题，需要求解特征方程()0det 2=-m k ω。其结果为N 次2ω的多项式公式，根为特征值，即固有频率的平方2r ω。这些频率可以从低到高排列：

2222210N r ωωωω≤≤≤≤≤

(2.18)

相应于每一个特征值2r ω将有一个特征向量，即固有模态r ?：

N r r N r ,,2,121 =??????????????=????

(2.19)

模态仅是确定内部的一个定数乘子，可用任何方便的方式度量。

2. 3. 3 MDOF 系统的动力响应

对线性MDOF 系统，且为非耦连阻尼效应时，可采用振型叠加法求解其动力响应。振型叠加法包括振型位移法和振型加速度法，核心思想是：首先解得自由振动下的频率r ω和模态r ?，然后将模态r ?集成为模态矩阵Φ，利用模态矩阵Φ进行坐标变换，将物理坐标变换为主坐标，从而实现动力学方程的解耦。在求得系统的固有频率和模态后，将其正规化，根据模态来集成模态矩阵Φ， []n φφφ,,,21 =Φ (2.20)

在振型叠加的过程中的关键步骤是要导出坐标变换：

()()()

∑==Φ=N r r r t t t u 1ηφη

(2.21)

坐标()t r η称为主坐标。将方程(2.21)代入(2.17)，同时将方程结果乘以T Φ，得

到主坐标的运动方程，即： ()t P K C M =++ηηη

(2.22)

其中： 模态质量矩阵 ΦΦ=m M T

模态阻尼矩阵 ΦΦ=C C T

模态刚度矩

阵 ΦΦ=K K T

(2.23)

模态力向量 ()t p t P T Φ=)(

方程(2.22)为利用主坐标变换之后的解耦的动力学方程，则下面就可以应用SDOF 系统的动力响应求解方法来对其求解了。 3 动力学问题数值求解方法

求解MDOF 系统的自由振动和动力响应往往需要使用数值计算的方法进行求解，下面简单介绍工程结构常用的自由振动的数值求解方法和动力响应的非线性分析方法。

3．1 工程结构自由振动数值求解方法

3. 1. 1 概述

MDOF 系统自由振动方程在数学上来讲就是特征值方程。特征值方程的解不仅给出了系统的特征值，即结构的自振频率和振型（模态），而且通过振型叠加法还能使结构在动力荷载作用下的运动方程解耦。因此，特征值问题的求解技术对于解决结构振动问题是至关重要的。

对于实际的工程结构，自由度数目可能从几个直到几十万个，对这些结构自由振动动力特性的求解就必须依赖于电子计算机，通过一定的方法编制上机程序来求解。从总体上来讲，求解特征值的方法大致可分为三种类型，多项式求根法，向量迭代法，矩阵变换法。此三种类型求解方法的大致分类如下：

1．多项式求根法：如行列式搜索法，Sturm 序列法。

2．向量迭代法：如直接迭代法，逆迭代法(Vianello 法和Stodola 法)，谱漂移

法等。

3．矩阵变换法：如Jacobi 法，Lanczos 法，Givens 法，Householder 法，QR 法

等。

由于在解题中有多种方法可供选择，那么在实际求解之前就必须对以上诸种方法进行选择。总的来说，最直接影响选择特征解的因素是：

1．自由度数目N 的大小。

2．矩阵带宽，系统质量矩阵M 和刚度矩阵K 。

3．所需要解算的特征值和特征向量的数目。

因此，在这里就有必要对一些常用求解方法作大概介绍，以便根据实际需要选择使用。

3. 1. 2 Stodola 法

用Stodola 法求解结构的振型和自振频率是通过向量迭代进行运算的。首先通过

假定初始振型，经过迭代调整一直到获得满意的结果，然后再确定结构的自振频率。如果振型形状事先可以估计，那么，迭代过程收敛较快，事先估计振型形状的正确与否仅影响迭代收敛的快慢而不影响最终的结果。

Stodola法是一种向量的逆迭代法，适用于具有几个到十几个自由度的小型动力系统。是计算结构的最低振型及相应频率的有效方法之一，但其求解的精度随着振型阶次的提高而逐渐降低，一般来讲，迭代所得的后一阶振型的精度要比前一阶振型的精度大致降低一位有效数字。可以通过特征值平移法来改善求解精度上的不足。

3. 1. 3 Holzer法

Holzer法也是一种向量的逆迭代法，适用于具有几个到十几个自由度的小型动力系统。与Stodola法不断调整所假定的振型形状不同，Holzer法反其道而行之，其基本求解思路是：先假定初始振动频率，经过迭代调整直到满足边界条件为止，这时可以得到真正的频率，而振型也就在满足边界条件的过程中确定了。

3. 1. 4 Rayleigh法

用来求解结构系统最小特征值及其相应特征矢量的近似解的最一般的方法就是Rayleigh法。通过广义刚度矩阵和广义质量矩阵的商得到的值又称作Rayleigh商，Rayleigh商的最为重要的性质即它在第一振型附近有一个极小值，可以相当精确的近似等于结构的第一阶特征值，即系统的基频。Rayleigh商的值与结构系统的质量矩阵和刚度矩阵有关，并且和动力激励荷载有关。需要注意的是Rayleigh商将永远大于系统的基频，因此Rayleigh商可以作为系统基频的上限。

3. 1. 5 Rayleigh-Ritz法

虽然应用Rayleigh法可以较为精确地求解得到系统的第一振型，但在结构动力分析中，为了得到较为精确的结果，常常需要一个以上的振型。Ritz把Rayleigh法加以推广，是计算前几个振型的最为方便的方法之一。其基本假设是用一组假设的形状矢量和一组幅值来表示位移矢量，其实质是缩减自由度方法的一种。通过坐标的变换公式，把具有N个自由度的体系转化为用2s个广义坐标和相应的假定Ritz基表示的2s个自由度体系，这样就使得求解变得相对容易些。

用Rayleigh-Ritz法求得的近似频率，对最低几个振型一般精度较高，而对较高阶的振型精度就相对差得多。其解的精度与基矢量的选取有关。

3. 1. 6 子空间迭代法

前述几种求解结构体系自由振动频率和振型的解法大多适用于自由度数目较小的小型动力体系。而对于实际的结构，其自由度的数目往往会达到几千个，甚至有时会达到几十万个。针对如此超大型的结构体系，不可能也没有必要求解其所有的振型和频率，而往往仅需要知道其最低的若干阶振型。因此，为适应这种求解需要，产生了基于多种计算技术基础之上的子空间迭代法。

子空间迭代法可以求解结构体系的前面最低的p阶频率和振型，是用来解决大型结构振动问题的发展较早的富有成效的方法之一。其基本点在于假设r个起始向量同时进行迭代以求得矩阵的前s(s

3. 1. 7 Ritz向量直接迭代法

Ritz向量直接迭代法的基本点是：根据荷载空间分布模式按一定规律生成一组Ritz向量，在将系统运动方程转换到这组Ritz向量空间以后，对于已缩减了的标准特征值问题只要求解一次，再经过坐标系的变换，就可得到原系统运动方程的部分特征值。由于此方法不需要象子空间迭代法一样进行多次迭代，所以称之为直接迭代。

实际计算表明，Ritz向量直接迭代法比子空间迭代法有更高的计算效率，计算工作量经常只有后者的几分之一，甚至十几分之一。并且在计算动力响应时，常常有较高的收敛速度。如果用相同数目的部分振型进行叠加，Ritz向量直接迭代法可以有比子空间迭代法更高的精度。

3. 1. 8 Lanczos方法

Lanczos方法同Ritz向量直接迭代法本质上是一致的，两者采用基本相同的步骤生成一组相互正交的Lanczos向量（Ritz法是Ritz向量）。其主要区别在于初始向量的选取和迭代过程中向量之间相互正交技术的选择，从而会影响到整个求解过程的效率和精度。由于Lanczos方法高效的计算效率和求解精度，该方法近些年来受到越来越多的重视。著名的大型有限元分析软件ANSYS7.0对于大型结构系统特征值的求解，就是把Lanczos方法作为推荐首选方法的。

总之，随着复杂结构系统特征值分析求解的深入研究，Ritz向量直接迭代法，Lanczos法以及其它一些有效算法正处在不断发展之中。

3．2 非线性结构动力响应

3. 2. 1 概述

振型叠加法仅适用于求解线性结构的动力响应，并且还要求结构体系应具有非耦连的阻尼效应。对于工程实际中存在的结构动力响应，比如在强烈地震作用下的建筑物的弹塑性动力时程分析，结构体系就不再允许被看作是线性的。在类似情形，结构的刚度和阻尼不再随时间线性变化，其结果就使得在动力方程中的刚度矩阵和阻尼矩阵中的元素是时间的非线性函数。

因此，为解决类似非线性结构的动力响应问题，就出现了响应的求解方法，其中最一般也最为有效的方法就是逐步积分法，或者叫做直接数值积分法。所谓“直接”，就是指在进行数值计算之前，并没有将原方程经过某种数学上的变换，变成另一种形式再来计算，而是直接对系统的动力学方程求解。下面将简单介绍这种方法。

3. 2. 2 逐步积分法核心求解思想

逐步积分法可用来求解线性和非线性结构体系，并且适用于任意阻尼情况。该方法的核心思想包含以下两点：

1．设想运动方程并不是在任意的时间t都能得到满足，而仅仅在时间间隔为Δt 的若干个离散的时间点上得到满足。

2．在时间间隔Δt内，对于位移，速度，加速度的变化应作出某些假设。

不同的逐步积分法的差异就在于第二点的假设有所不同，当然，计算结果的精度，稳定性和计算的费用也直接和这些假设有关。

在结构系统的动力分析中，原则上可以认为是考虑了与加速度有关的惯性力和与速度有关的阻尼力的作用后，在时刻t的静力平衡。因此，可以这样认为，逐步积分法对在整个时间历程中动力特性表现为非线性的结构进行了微小时间间隔Δt内的线性化。本来，在整个时间历程中，结构体系的刚度矩阵和阻尼矩阵中的元素是时间的

非线性函数。但如果选取的时间间隔Δt 相对于结构的最小自振周期来说足够小，那么在每个微小的时间间隔内，就可以以各个时间间隔的起始点处的切线刚度和切线阻尼来表示结构的刚度和阻尼，用增量平衡方程来代替非线性结构系统的动力学平衡方程来求解，从而可以求得其动力响应。

根据在时间间隔Δt 内，对于位移，速度，加速度的变化作出假设的不同，主要有以下几种逐步积分的求解方法：中心差分法，平均加速度法，线性加速度法和Wilson-θ法。其中Wilson-θ法是用来求解非线性结构动力响应的最为有效的方法。

对于逐步积分法来说，求解的精度，算法的稳定性与计算所需费用是相互制约的。一般情况下，计算所需费用（即计算所需运算量）与求解所需时间步长（间隔）Δt 的步数成比例。因此，在逐步积分的求解过程中，选取一个合适的时间步长是非常重要的。大多情况下，可以将时间步长选定为最短周期的十分之一。

3. 2. 3 线性加速度法

下面简介求解单自由度体系非线性动力响应的线性加速度法。该方法的思路是，把整个振动过程分成很多个时间间隔Δt ，一般称作步长，即一步一步按照相同的程序算出x ，从而得到x 的整个时程值。现在假定已选定了时间步长Δt ，并假设在某一

步开始时的位移i x ，速度i x 和加速度i x

都已算出。那么，为了计算Δt 以后的响应，假定在Δt 范围内加速度按直线规律变化，此时，位移对时间的三阶导数为常数：

()常数=??=?-=+t

x t x x x i i i 1 (3.1)

将位移响应x 在时间t i 开始时按泰勒级数展开，并注意到(3.1)式，则有：

6

232ττττt x x x x x i i i ??+++= (3.2)

对(3.2)式求导运算，可以得到已位移增量表示的速度增量和加速度增量：

()

i i x x t x t x 3662-?-??=? (3.3)

i i x t x x t x 233?--??=?

(3.4)

用来求解位移增量的动平衡方程为：

()()

i i t P x t k ~~?=?

(3.5)

式中， ()()()

()i i i t c t m t t k t k ?+?+=36~2 ()()()??? ???++??? ??+?+?=?i i i i i i i x t x t c x x t m t P t P 2336~

解方程(3.5)，得出位移增量后，再将此值代入(3.4)中，即可得到速度增量。于是下一时段开始时的位移及速度可从这些增量值求得。重复以上计算过程，就可以算得各时刻得位移响应。

在使用线性加速度法进行数值分析中，包含了两个重要假定：一是加速度为线性变化；二是阻尼和刚度特性在时间步长内保持为常量。一般而言，时间步长很短时误差会很小，但这两个假定毕竟都不是完全正确的。误差一般是在增量平衡关系中出现，而这些误差将会逐渐积累。为避免这种误差的过多积累，在分析的每一步中，要利用总的动平衡条件，来计算时间步长起点处的加速度。

线性加速度法的精度取决于步长Δt 的大小。在选取步长大小时，应主要考虑：作用荷载的变化速率；非线性阻尼和刚度特性的复杂性；结构的振动周期。线性加速度法是一种有条件稳定的算法，一般如果能满足10

1≤?T t ，T 为结构的振动周期，则就可获得可靠的结果。

3. 2. 4 Wilson －θ法

由于线性加速度法是有条件稳定的，在数值分析中可能需要试算步长Δt 的大小。因此，如果考虑将其适当修正，就有可能提高求解的精度。Wilson-θ法就是这样一种算法，它的基本假定仍然是加速度按线性变化且其范围延伸到时间步长Δt 之外：

37

.1,≥??=θθτt (3.6)

当1=θ时，该方法就化为标准的线性加速度法。

Wilson-θ法的增量平衡方程类似于线性加速度法的相应方程，此处不再列出。可以证明，只有当37.1≥θ时，该方法时无条件稳定的算法。但θ具体应当取为多大的值合适，一般需要进行试算比较。许多较为复杂的结构体系的动力响应分析，标明Wilson-θ法是一种行之有效的方法，在多数情况下，取4.1=θ可以得出较好的结果。

4 结语

本文简要介绍了高等结构动力学中一些基本概念和方法。目前，结构动力学的发展已经从确定性结构动力学向概率性结构动力学发展，并广泛应用在地震工程当中。应当指出的是，随着计算机硬件的飞速发展，计算理论的进一步研究，结构动力学这门学科始终还处在快速发展过程之中，其理论和方法也必将越来越直接地服务于工程实际。

《结构力学》期末考试试卷(A、B卷-含答案)解析

***学院期末考试试卷 一、 填空题（20分）（每题2分） 1.一个刚片在其平面内具有 3 个自由度； 一个点在及平面内具有 2 自由 度；平面内一根链杆自由运动时具有 3 个自由度。 2.静定结构的内力分析的基本方法 截面法，隔离体上建立的基本方程是 平衡方程 。 3.杆系结构在荷载，温度变化，支座位移等因素作用下会产生 变形 和 位移 。 4.超静定结构的几何构造特征是 有多余约束的 几何不变体系 。 5.对称结构在对称荷载作用下，若取对称基本结构和对称及反对称未知力，则其 中 反对称 未知力等于零。 6.力矩分配法适用于 没有侧移未知量的超静定梁与刚架 。 7.绘制影响线的基本方法有 静力法 法和 机动法 法。 8.单元刚度矩阵的性质有 奇异性 和 对称性 。 9.结构的动力特性包括 结构的自阵频率；结构的振兴型； 结构的阻尼 。 10. 在自由振动方程0)()(2)(2. .. =++t y t y t y ωξω式中，ω称为体系的 自振频率 ，ξ称为 阻尼比 。

二、试分析图示体系的几何组成（10分） （1）（２）答案： （1）答：该体系是几何不变体系且无余联系。 （2）答：该体系是几何不变体系且无多余联系。 三、试绘制图示梁的弯矩图（１０分） （1）（2） 答案： （１）（２） M图 四、简答题（20分） 1.如何求单元等效结点荷载？等效荷载的含义是什么？答案： 2.求影响线的系数方程与求内力方程有何区别？ 答案： 3.动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答案：

4.自由振动的振幅与那些量有关？ 答案 五、计算题（40分） 1、用图乘法计算如图所示简支梁A 截面的转角A 。已知EI=常量。（10分） 答案： 解：作单位力状态，如图所示。分别作出p M 和M 图后，由图乘法得： 2.试作图示伸臂量的By F K M 的影响线。 答案： By F 的影响线 K M 的影响线

结构动力学试卷B卷答案

华中科技大学土木工程与力学学院 《结构动力学》考试卷（B卷、闭卷） 2013～2014学年度第一学期成绩 学号专业班级姓名 一、简答题（每题5分、共25分） 1、刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？ 答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立的振动方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。在便于求出刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。在超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。 2、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？ 答：动力系数是指最大动位移[y(t)]max与最大静位移yst的比值，其与体系的自振频率和荷载频率θ有关。当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样的结果。 3、什么叫临界阻尼？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？ 答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。根据公式即测出第k次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。 措施：○1可改变自振频率，如改变质量、刚度等。○2改变荷载的频率。○3可改变阻尼的大小，使之避开共振。 4、振型正交的物理意义是什么？振型正交有何应用？频率相等的两个主振型互相正交吗？ 答：物理意义：第k主振型的惯性力与第i主振型的位移做的功和第i主振型的惯性力与第k主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。 作用：○1判断主振型的形状特点。○2利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。 5、应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？ 答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一频率与精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。

结构力学期末试题及答案

结构力学期末试题及答案 一、 选择题：（共10题，每题2分，共20分） 如图所示体系的几何组成为 。 （A ）几何不变体系，无多余约束 （B ）几何不变体系，有多余约束 （C ）几何瞬变体系 （D ）几何常变体系 第1题 2.图示外伸梁，跨中截面C 的弯矩为（ ） A.7kN m ? B.10kN m ? C ．14kN m ? D ．17kN m ? 第2题 3.在竖向荷载作用下，三铰拱（ ） A.有水平推力 B.无水平推力 C.受力与同跨度、同荷载作用下的简支梁完全相同 D.截面弯矩比同跨度、同荷载作用下的简支梁的弯矩要大 4.在线弹性体系的四个互等定理中，最基本的是（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.位移反力互等定理 D.虚功互等定理 5.比较图(a)与图(b)所示结构的内力与变形，叙述正确的为（ ） A.内力相同，变形不相同 B.内力相同，变形相同 C.内力不相同，变形不相同 D.内力不相同，变形相同

第5题 6.静定结构在支座移动时，会产生（ ） A.内力 B.应力 C. 刚体位移 D.变形 。 7.图示对称刚架，在反对称荷载作用下，求解时取半刚架为（ ） A.图（a ） B.图（b ） C.图（c ） D.图（d ） 题7图 图（a ） 图（b ） 图（c ） 图（d ） 8.位移法典型方程中系数k ij =k ji 反映了（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.变形协调 D.位移反力互等定理 9.图示结构，各柱EI=常数，用位移法计算时，基本未知量数目是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 第9题 第10题 10.FP=1在图示梁AE 上移动，K 截面弯矩影响线上竖标等于零的部分为（ ） A ．DE 、AB 段 B ．CD 、DE 段 C ．AB 、BC 段 D ．BC 、CD 段 二、填空题：（共10题，每题2分，共20分） 1.两刚片用一个铰和_________________相联，组成无多余约束的几何不变体系。 2.所示三铰拱的水平推力FH 等于_______________。 q q (a) (b)

谈谈数学归纳法 本科论文

本科生毕业论文（设计）册 作者姓名： 指导教师： 所在学部：信息工程学部 专业：数学与应用数学 班级（届）：2014届2班 二〇一四年五月十日

学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者（签名）：指导教师确认（签名）： 年月日年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在年解密后适用本授权书） 论文作者（签名）：指导教师（签名）： 年月日年月日

河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编号：2014230302099 学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班 学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考. 2、论文（设计）的主要内容 （1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型； （2）研究数学归纳法解决的常见题型； （3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧； （4）数学归纳法的推广应用. 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导. 研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议． 4、主要参考文献 [1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999, (2):102-106. [2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38． [3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11． [4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社, 2014:183-201 [5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59． 指导教师: 年月日教研室主任: 年月日

结构力学期末复习题答案

《结构力学》期末复习题答案 一. 判断题：择最合适的答案，将A、B、C或者D。 1.图1-1所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，无多余约束（B）几何不变体系，有多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-1 答：A。 分析：取掉二元体，结构变为下图 DE,DG和基础为散刚片，由三铰两两相连，三铰不交一点，所以组成几何不变体系，无多余约束，因此答案为（A） 2.图1-2所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，有多余约束（B）几何不变体系，无多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-2 答：A。

图中阴影三角形为一个刚片，结点1由两个链杆连接到刚片上，结点2由两个链杆连接到刚片上，链杆12为多余约束，因此整个体系为有一个多余约束的几何不变体系，因此答案为（A） 3.图1-3所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，有多余约束（B）几何不变体系，无多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-3 答：A。 如果把链杆12去掉，整个体系为没有多余约束的几何不变体系，所以原来体系为有一个多余约束的几何不变体系，因此答案为（A） 4.图1-4所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，无多余约束（B）几何不变体系，有多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-4 答：A。

刚片1478由不交一点的三个链杆连接到基础上，构成了扩大的地基，刚片365再由不交一点的三个链杆连接到地基上，因此整个体系为没有多余约束的几何不变体系，因此答案为（A ） 5.图1-5所示的斜梁AB 受匀布荷载作用，0≠θ，B 点的支座反力与梁垂直,则梁的轴力 （A ）全部为拉力 （B ）为零 （C ）全部为压力 （D ）部分为拉力，部分为压力 图1-5 答：C 。 B 点支座反力与梁垂直，对梁的轴力没有贡献，竖直方向匀布荷载总是使AB 梁受压，因此答案为（ C ）。 6.图1-6所示结构C 点有竖直方向集中荷载作用，则支座A 点的反力为 图1-6 （A ）() ↑P F （B ）。 （C ） () ↑P F 31 （D ）()↑P F 3 2 答：B 。 根据B 点弯矩为零，知道A 点反力为零，因此答案为（B ） 7.图1-7标示出两结构几何尺寸和受载状态，她们的内力符合 （A ）弯矩相同，轴力不同，剪力相同 （B ）弯矩相同，轴力不同，剪力不同 （C ）弯矩不同，轴力相同，剪力不同 （D ）弯矩不同，轴力相同，剪力相同

(完整版)结构动力学历年试题

结构动力学历年试题（简答题） 1.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载包括哪几种，请 简述每一种荷载的特点。P2 2.通过与静力问题的对比，试说明结构动力计算的特点。P3 3.动力自由度数目计算类 4.什么叫有势力？它有何种性质。P14 5.广义力是标量还是矢量？它与广义坐标的乘积是哪个物理量的量纲？P16 6.什么是振型的正交性？它的成立条件是什么？P105 7.在研究结构的动力反应时，重力的影响如何考虑？这样处理的前提条件是什么？P32 8.对于一种逐步积分计算方法，其优劣性应从哪些方面加以判断？P132 9.在对结构动力反应进行计算的思路上，数值积分方法与精确积分方法的差异主要表现在 哪里？第五章课件 10.利用Rayleigh法求解得到的振型体系的基本振型和频率及高阶振型和频率与各自的精确 解相比有何特点？造成这种现象的原因何在？P209 11.根据荷载是否预先确定，动荷载可以分为哪两类？它们各自具有怎样的特点？P1 12.坐标耦联的产生与什么有关，与什么无关？P96 13.动力反应的数值分析方法是一种近似的计算分析方法，这种近似性表现在哪些方面？ P132及其课件 14.请给出度哈姆积分的物理意义？P81 15.结构地震反应分析的反应谱方法的基本原理是什么？P84总结 16.某人用逐步积分计算方法计算的结构位移，得到如下的位移时程的计算结果：。。。 17.按照是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可以分为哪两类？这两类的优劣性应该 如何进行判断？P132 18.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载又包括哪些类型， 每种类型请给出一种实例。P2 19.请分别给出自振频率与振型的物理意义？P103 20.振型叠加法的基本思想是什么？该方法的理论基础是什么？P111参考25题 21.在振型叠加法的求解过程中，只需要取有限项的低阶振型进行分析，即高阶振型的影响 可以不考虑，这样处理的物理基础是什么？P115 22.我们需要用数值积分方法求解一座大型的高坝结构的地震反应时程，动力自由度的总数 为25000个，我们如何缩短计算所耗费的机时？P103 23.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？P11及卷子上答案 24.一台转动机械从启动到工作转速正好要经过系统的固有频率（又称为转子的临界转速）， 为减小共振，便于转子顺利通过临界转速，通常采用什么措施比较直接有效？简要说明理由。详解见卷子上答案 25.简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及使用条件分别是什么？若 振型叠加法不适用，可采用何种普遍适用的方法计算体系响应？详解见卷子上答案 26.振型函数边界条件。。。 27.集中质量和一致质量有限元的差异和优缺点，采用这两种有限元模型给出的自振频率与 实际结构自振频率相比有何种关系？P242及卷子上答案 28.人站在桥上可以感觉到桥面的震动，简述当车辆行驶在桥上和驶离桥面的主要振型特征 有何不同？ 29.简述用Duhamel积分法求体系动力响应的基本原理，以及积分表达式中的t和τ有何差

数学归纳法以及其在数论中的应用开题报告

_ 成 绩 评 定 答辩小组评语： 论文首先介绍了五种数学归纳法，并给出相关的例题。紧接着又介绍了数学归纳法在初等数论中的应用且应注意的问题。该生参考了一定的文献资料，对其理解和应用一般，文章篇幅基本符合学院规定，内容基本完整，层次结构安排基本恰当，但论文选题一般且缺乏个人见解。论文选题符合专业培养目标，题目有一定难度，但工作量一般，基本达到了本科毕业论文的要求。 论文观点明确，文字基本通顺，答辩时表达基本清楚，回答问题基本正确，经答辩小组充分讨论，一致同意通过毕业论文答辩。 评定成绩（优秀、良好、中等、及格、不及格）： 答辩小组组长签名： 年 月 日 分学位委员会意见： 分学位委员会主席签名： 年 月 日 洛阳师范学院 本科生毕业论文（设计）基本情况表 __数学科学学院__院（系） 开 题 报 告 姓 名 性别 学 号 专 业 年 级 孙** 女 110412016 数学与应用数学 2011级 题 目 数学归纳法及其在初等数论中的应用 课题来源 （2） 综 述 选题目的、国外研究现状、选题意义、需要解决的主要问题及可行性等。 选题目的：数学归纳法我们从中学就开始接触，但是有时对的原理并非特别清楚。在诸多证明方法中，数学归纳法那种机械又明快的结构，特立独行. 它的思想性价值很高，是从有限通向无限的第一条高速公路，有里程碑式的作用。特别是在初等数论中的应用。 国内外研究现状：在国内外大学教育中，数学归纳法是数学研究中必不可少的一部分，具有特别重要的地位，因此引起了大量学者对它的研究，其研究也是比较完整和全面的。 选题意义：虽然在课本上有许多例题应用数学归纳法，但是并没有详细介绍它的来源和原理，而且它在证明初等数论中的定理和各种各样的数学问题时，还有着非常广泛 的应用，这就是这篇论文产生的必要性。 需要解决的主要问题及可行性：大学课本上关于数学归纳法定理的证明不是十分完整。本文将会补充完整.说明一些定理在初等数论中成立，最后再将这些定理通过一些例题进行应用。 思 路 及 方 法 思路：首先叙述数学归纳法内容和它的定理的证明，在此基础上再用数学归纳法来 证明初等数论中的例题，最后说明应用数学归纳法在初等数论中应该注意的问题。 方法：本论文采用文献研究法，演绎推理，反证法等多种方法。 指导教师签名： 年 月 日 课题来源：（1）教师建议；（2）学生拟定；（3）企业和社会征集；（4）科研单位提供

2019年结构动力学试卷B卷答案

2019年结构动力学试卷B卷答案 华中科技大学土木工程与力学学院 《结构动力学》考试卷（B 卷、闭卷） 2019～2019学年度第一学期成绩学号专业班级姓名 一、简答题（每题5分、共25分） 1、刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？ 答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立的振动 方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。在便于求出 刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。在 超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。 2、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与 内力动力系数是否一样？ 答：动力系数是指最大动位移[y(t)]max与最大静位移yst 的比值，其与体系的自振 频率和荷载频率θ有关。当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内 力动力系数一样的结果。 3、什么叫临界阻尼？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种 措施？ 答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。根据 公式即测出第k 次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。 措施：○1可改变自振频率，如改变质量、刚度等。○2改变荷载的频率。○3可改变阻尼的大小，使之避开共振。 4、振型正交的物理意义是什么？振型正交有何应用？频率相等的两个主振型互相正 交吗？ 答：物理意义：第k 主振型的惯性力与第i 主振型的位移做的功和第i 主振型的惯 性力与第k 主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。 作用：○1判断主振型的形状特点。○2利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。 5、应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解 相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？ 答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一频率与 精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

结构动力学期末复习题_2014

结构动力学期末复习题 1．试用哈密顿原理推证第二类拉格朗日方程。 日方程求出图示系统在指定的广义坐标 下的运动微分方程。若仅考虑小变形振 动，写出其运动微分方程。图中弹簧1 l，弹簧2未变形时的 未变形时的原长为 1 原长为a。 5. 试讨论对于多自由度体系如何形成一致质量矩阵、一致刚度（包括几何刚度）矩阵、一致荷载列阵并分析与集中质量矩阵的区别。 6. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，若结构在运动中保持为弹性，

试述求解该结构弹性动力反应的振型叠加法的原理以及求解步骤。 7. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，结构产生非线性变形，试讨论如果将结构简化为集中质量的串模型，如何采用逐步积分法分析该结构在地震地面运动作用下结构的非线性反应时程，写出线性加速度法、Wilson-θ法、Newmark-β法、中央差分法等几种方法中的一种方法分析求解非线性多自由度体系的动力反应的步骤，并就你所知，讨论用于结构非线性时程反应分析的这些逐步积分方法在稳定性和求解精度方面的优缺点，提出你的改进意见和方法。 8. 9. ()(l A x o =ρ)1()(l x EI x EI o +=试采用 10. kg m 10001=，kg m 5002=m KN k /350=波形，可表示为l z a x s π2sin =，其中，m l 5=。求拖车在满载和空载时的振幅比。

11. 试推导粘性阻尼力在一周内消耗的能量的表达式。 12. 试求振动系统02=++kx x x m n ζω在图示方波激励下的稳态受迫振动。 13. 图示结构，受到如图所示周期性荷载，可表示如下的正弦级数： t b t p n n n ωsin )(1∑∞ ==，其中，n n n p b )1(20 -- =π ，不考虑阻尼，且荷载频率与结构自振频率之比为： 4 3 1=ωω，试求出结构在此荷载作用下的稳态反应。 14. 长为L ，质量为m 的两个相同的单摆用刚度系数为k 的弹簧相连如图，当两摆在铅垂位置时，弹簧没有变形。试求系统在同一铅垂平面内作微幅振动的固有频率和振型，并由求得的振型向量证明振型矩阵对于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。

结构力学试卷答案

试卷1 一、是非题（每题2分，共10分） 1．功的互等定理仅适用于线性变形体系。? ( ????? ) 2. 对图2中a图所示桁架用力法计算时，取图b作为基本体系(杆AB被去掉),则 其典型方程为：。（） 图2 图3 3．图3所示梁在一组移动荷载组作用下，使截面K产生最大弯矩的最不利荷载 位置如图（a）所示。（） 4. 图示结构用位移法求解时，基本未知量数目为3，用力法求解，则基本未知量 数目为5。（） 5.位移法典型方程的右端项一定为零。（） 二、填空题（共18分） 1．图1所示体系是________________体系，它有______个多余约束。（4分） 图1 图2 2．图2所示桁架杆1的内力为。（4分） 3．力法方程中柔度系数代表，自由项代 表。（4分） 4．已知荷载作用下结构的M图如图所示，画出其剪力图。（6分） 图4 M图 Q图 三、作图示结构的M、Q图。d=2m。（20分） 四、用力法计算，并作图示对称结构M图。EI=常数。（20分） 五、用位移法计算图示刚架，并画出M图。（20分） 六、作图示梁的的影响线，并利用影响线求给定荷载作用下的值。(12 分) 课程名称：结构力学I（样卷解答）考试班级：土木02（1、2、3、水建）一、是非题（每题2分，共10分）

1．( √ ) 2. ( ? ) 3． ( ? ) 4． ( ? ) 5． ( √ ) 二、填空题（共18分） 1．_几何不变体系（3分）， 0 （1分） 2． 0 （4分） 3． 基本结构在1=j X 作用下产生的沿i X 的位移（2分） 基本结构在仅荷载作用下产生的沿i X 的位移（2分） 4． 5ql/ 8 （6分） 正负号各1分 三、（20分） 支座反力20KN →, 10KN ↑, 20KN ↓, 10KN ↑ 每个图形10分，每根杆2分 每根杆符号错扣1分 四、． （20分） 2分） （3分） 力法方程 0 IP 111=?+X δ（2分） （2分） （2分） 系数： ;3/23 11EI l =δ （2 分） ;24/4 IP EI ql -=? （2分） 解得： 16/1ql X = （1分） 最后弯矩图

数学(本科)毕业论文题目汇总

数学毕业（学位）论文题目汇总 一、数学理论 1.试论导函数、原函数的一些性质。 2.有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。 3.数学中一些有用的不等式及推广。 4.函数的概念及推广。 5.构造函数证明问题的妙想。 6.对指数函数的认识。 7.泰勒公式及其在解题中的应用。 8.导数的作用。 9.Hilbert空间的一些性质。 10.Banach空间的一些性质。 11.线性空间上的距离的讨论及推广。 12.凸集与不动点定理。 13.Hilbert空间的同构。 14.最佳逼近问题。 15.线性函数的概念及推广。 16.一类椭圆型方程的解。 17.泛函分析中的不变子空间。 18.线性赋范空间上的模等价。 19.范数的概念及性质。 20.正交与正交基的概念。 21.压缩映像原理及其应用。 22.隐函数存在定理的再证明。 23.线性空间的等距同构。 24.列紧集的概念及相关推广。 25.Lebesgue控制收敛定理及应用。 26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27.重积分与累次积分的关系。 28.可积函数与连续函数的关系。 29.有界变差函数的概念及其相关概念。 30.绝对连续函数的性质。 31.Lebesgue测度的相关概念。 32.可测函数与连续函数的关系。 33.可测函数的定义及其性质。 34.分部积分公式的推广。 35.Fatou引理的重要作用。 36.不定积分的微分的计算。 37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。 38.Schwartz不等式及推广。 39.阶梯函数的概念及其作用。 40.Fourier级数及推广。

41.完全正交系的概念及其作用。 42.Banach空间与Hilbert空间的关系。 43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。 44.数学分析中的构造法证题术， 45.用微积分理论证明不等式的方法 46.数学分析中的化归法 47.微积分与辩证法 48. 积分学中一类公式的证明 49.在上有界闭域的D中连续函数的性质 50.二次曲线中点弦的性质 51.用射影的观点指导中学初等几何内容 52.用近代公理分析中学几何中的公理系统 53.球上Hardy空间上的加权复合算子 54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子 55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子 56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子 57.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 58.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 59.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 60.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 61.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 62.试述函数在数学中的地位和作用。 63.阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 64. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用 65.论在数学教学中培养学生的创新精神。 66.初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用 67.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。 68.构造函数证题的妙想与思维方法的特点 69.数学知识的分类及其教学策略 70.数学知识的分类测量与评价 71.关于导函数性态的讨论与研究 72.泰勒公式及其应用 73.概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用 74.随机变量函数的分布密度及其求法 75.用微积分理论证明不等式的方法 76.数学分析中的化归法 77.微积分与辩证法 78.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 79.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 80.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 81.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 82.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2.

结构力学期末复习题及答案

二、判断改错题。 1. 位移法仅适用于超静定结构，不能用于分析静定结构。( × ) 2位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。( × ) .3 位移法的基本结构为超静定结构。( × ) 4. 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。（×） 提示：与刚度无穷大的杆件相连的结点不取为角位移未知量。 1. 瞬变体系的计算自由度一定等零。 2. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。 1、三刚片用三个铰两两相联不一定成为几何不变体系。（×） 2、对静定结构，支座移动或温度改变不会产生内力。（×） 3、力法的基本体系不一定是静定的。（×） 4、任何三铰拱的合理拱轴不一定是二次抛物线。（×） 5、图乘法不可以用来计算曲杆。（×） 6、静定结构的影响线全部都由直线段组成。（√） 7、多跨静定梁若附属部分受力，则只有附属部分产生内力。（×） 8、功的互等定理成立的条件是小变形和线弹性。（√） 9、力法方程中，主系数恒为正，副系数可为正、负或零。（√） 10.三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连，则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。( √） 三、选择题。 1. 体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的 A 条件。 A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分 1、图示结构中当改变B点链杆方向（不能通过A铰）时，对该梁的影响是（ d ） A、全部内力没有变化 B、弯矩有变化 C、剪力有变化 D、轴力有变化

2、图示桁架中的零杆为（ b ） A 、DC, EC, DE, DF, EF B 、DE, DF, EF C 、AF, BF, DE, DF, EF D 、DC, EC, AF, BF 4、右图所示桁架中的零杆为（ b A 、CH BI DG ,, B 、DG DE ,, C 、AJ BI BG ,, D 、BI BG CF ,, 5、静定结构因支座移动，（ b ） A 、会产生内力，但无位移 B 、会产生位移，但无内力 C 、内力和位移均不会产生 D 、内力和位移均会产生 7、下图所示平面杆件体系为（ b ） A 、几何不变，无多余联系 B 、几何不变，有多余联系 C 、瞬变体系 D 、常变体系

结构力学期末考试题库

一、判断题(共223小题） 1。结构的类型若按几何特征可分为平面结构和空间结构。(A) 2、狭义结构力学的研究对象是板、壳结构(B)。 3 单铰相当于两个约束。(A) 4、单刚节点相当于三个约束。(A) 5、静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力。A 6、超静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力B。 7 无多余约束的几何不变体系是静定结构。A 8 三刚片规则中三铰共线为可变体系。B 9 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为静定结构。A 10 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为超静定结构B。 11链杆相当于两个约束。B 12 平面上的自由点的自由度为2 A 13 平面上的自由刚体的自由度为3 A 14 铰结点的特征是所联结各杆可以绕结点中心自由转动。A 15 有多余约束的几何不变体系是超静定结构。A 16 无多余约束的几何可变体系是超静定结构。B 17、无多余约束的几何可变体系是静定结构。B 18刚结点的特征是当结构发生变形时汇交于该点的各杆端间相对转角为零。A 19 三刚片规则中三铰共线为瞬变体系。A 20三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为静定结构。A 21 一个刚结点相当于3个约束。22 一个连接3个刚片的复铰相当于2个单铰。A 23 一个铰结三角形可以作为一个刚片。A 24 一个铰结平行四边形可以作为一个刚片。B 25 一根曲杆可以作为一个刚片。A 26 一个连接４个刚片的复铰相当于2个单铰．B 27 任意体系加上或减去二元体，改变体系原有几何组成性质。B 28 平面几何不变体系的计算自由度一定等于零。B 29 平面几何可变体系的计算自由度一定等于零。B 30 三刚片体系中若有1对平行链杆，其他2铰的连线与该对链杆不平行，则该体系为几何不变体系。A 31 三刚片体系中，若有三对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。B 32 三刚片体系中，若有２对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。A 33 一个单铰相当于一个约束。B 34 进行体系的几何组成分析时，若体系通过三根支座链杆与基础相连，可以只分析体系内部。B 35 三刚片体系中，若有两个虚铰在无穷远处，则该体系一定为几何可变。B 36 有多余约束的体系为静定结构。B 37 静定结构一定几何不变。A 38 超静定结构一定几何不变．A 39 几何不变体系一定是静定结构。B 40几何不变体系一定是超静定结构。B 41力是物体间相互的机械作用。A 42 力的合成遵循平行四边形法则。A 43 力的合成遵循三角形法则。A 44 力偶没有合力。A 45 力偶只能用力偶来平衡。A 46 力偶可以和一个力平衡。B 47 力偶对物体既有转动效应，又有移动效应。B 48 固定铰支座使结构在支承处不能移动也不能转动。B 49 可动铰支座使结构在支承处能够转动，但不能沿链杆方向移动。A 50 结点法求解桁架内力应按照结构几何组成相反顺序来求解。A 51 将一个已知力分解为两个力可得到无数解答。A 52 作用力和反作用力是作用在同一物体上的两个力。B 53 作用力和反作用力是作用在不同物体上的两个力。A 54 两个力在同一轴上的投影相等，此两力必相等B 55 力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩 A 56 力偶在坐标轴上的投影的代数和等于零A 57 一个固定铰支座相当于两个约束。A 58三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为超静定结构 B 59 桁架是“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”。A 60桁架结构的内力有轴力。A 61 拱的合理拱轴线均为二次抛物线。B 62无铰拱属于超静定结构。A 63 三铰刚架和三铰拱都属于推力结构。A 64 简支刚架属于推力结构。B 65 三铰拱属于静定结构。A 66 相同竖向载荷作用下，同跨度拱的弯矩比代梁的弯矩大得多。B 67 桁架结构中，杆的内力有轴力和剪力。B 68 竖向载荷作用下，简支梁不会产生水平支反力．A 69 竖向载荷作用下，拱不会产生水平支反力。B

结构动力学例题复习题

第十六章结构动力学 【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。 图16-6 【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点： 1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。 2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。

【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。 【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。 设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则 )(R I y P D I P +δ+?=?+?+?= 式中，)t (q EI 38454P =?，EI 483 =δ。将它们代入上式，并注意到y m I -=，y c R -=，得 )(48)(38453 4y c y m EI t q EI y --+= 图16-7 经整理后可得 )(t P ky y c y m E =++ 式中，3EI 481k =δ= ，)(8 5)(t q k t P P E =?= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和 实际动荷载引起的位移相等。图a 的相当体系如图f 所示。 【例16-3】 图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和 3 m 质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。 【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。 这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本

数学归纳法论文

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目录 摘要 (1) 1.数学归纳法的定义概述 (2) 1.1常用数学证明方法 (2) 1.2数学归纳法的定义 (3) 2.数学归纳法的步骤 (4) 3.易错分析 (5) 3.1弄不清n k =+时的式子变化 (5) =到1 n k 3.2运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件 (5) 4.运用数学归纳法的典型例题 (5) 5.中学数学中关于数学归纳法的用途 (6) 参考文献 (6) 致谢 (6)

数学归纳法在恒等式中的应用 【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。 【关键词】归纳法猜想恒等式证明方法 【ABSTRACT】Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction in the proof of identity has its very clever side, especially in the proof and nature of the proposition when there is unique. To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - that" this discovery to explore ways of thinking. 【KEY-WORDS】Induction; Suspicion; Identical equation; Proof 1 数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻

结构动力学 期末复习重点

一 1、结构动力学计算的特点？ （对比静力问题）○ 1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。○ 2与静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响。 2、结构动力学是研究什么的？包含什么内容？ 结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和 方法的一门理论和技术学科。 目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。 二、 1、动力系数（有阻尼、无阻尼。简谐、半功率点法、位移计……） 2、动力系数和哪些因素有关 动力放大系数受阻尼比控制，Rd 曲线形状可以反映出阻尼比的影响。主要有两点：其一是峰值大小；其二是曲线的胖瘦。 3、动力系数在工程（隔震、调频减震）的应用 4、如何用动力系数测阻尼比 三、 1、阻尼 阻尼也称阻尼力，是引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的作用。 阻尼的来源：1固体材料变形时的内摩擦，或材料快速反应引起的热耗散；2结构连接部位的摩擦；3结构周围外部介质引起的阻尼。 2.阻尼比常用的测量方法及其优缺点： （1）对数衰减率法：相邻振动峰值比的自然对数值称为对数衰减率。采用自由振动试验，测一阶振型的阻尼比较容易。测量高阶振型阻尼比的关键是能激发出按相应振型的自由振动。 （2） 共振放大法：采用强迫振动试验，通过共振得到（Rd ）max 由于静荷载下的位移较难确定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的处理还是可以用的。（Ust 是零频 时的静位移，不容易测得。） （3） 半功率点（带宽）法：采用强迫振动试验，测出Rd-w/wn 图上振 幅值等于倍最大振幅的点，对应的长度的1/2即为阻尼比。不但能用于单自由度体系，也可以用于多自由度体系，对多自由度体系要求共振频率稀疏，即多个自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率的半功率点时不受相邻自振频率的影响。 3、等效粘滞阻尼比 ○1、粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析计算的优点。○ 2工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效 成粘性阻尼。○3一般采用基于能量等效的原则。○4阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。 m st d u u R 0max 2)(21=≈ζn k k ln 21+≈y y n πξn a b f f f 2-=ζ