六年级下册数学试题-小升初重点考点讲练—立体几何：立体几何表面积与体积常用方法总结：三视图法、切片法

如图，甲、乙两容器相同，甲容器水的高度为锥高的，乙容器中水的高度为锥高的，1

323

比较 甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水较多？多的是少的几倍？

(★★)

一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是10厘米，瓶里酒深15厘米。把酒瓶塞紧后使其口朝下倒立，这时酒深25厘米，酒瓶的容积是多少？(π取

3)

如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，所得到的多面体表面积是______

平方厘米。

【举一反三】(年第八届走美初赛六年级试题)21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体

如右图。它的表面积是 ______平方厘米。

小明用若干个大小相同的正方体堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左，从上面看如下图右，那么这个几何体至少用______

块。

有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔。求这

个立体图形的内、外表面的总面积及体积。

(★★★)

★★)(“希望杯”五年级第 2 试)

(★★★★)

(★★★★★)

测试题

1．一个长方体木块，长宽高分别是6厘米，8厘米，10厘米，把它加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？

A．94.2B．75.36C．100.48D．78.5

2．一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm.酒瓶的容积是多少？（π取3）

A．1256B．1570C．1500D．1314

3．图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的,求这个立体图形的表面积？

A．1000B．950C．1050D．1100

4．如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少多少块？

A．20B．24C．18D．16

5．下图是一个5×4×4的长方体，若上面有2×1×4、2×1×5、3×1×4的穿透的洞，则剩下部分的体积为多少立方厘米。

A．24B．48C．56D．40

立体几何表面积和体积习题(一)

立体几何周考（一） 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（） A．180B．200C．220D．240 2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 ,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为（）

A ． B ． C ． D ． 3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 4 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ） A ．棱柱 B ．棱台 C ．圆柱 D ．圆台 5 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 （ ） A ．108cm 3 B ．100 cm 3 C ．92cm 3 D ．84cm 3 6 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点, 则P 到各顶点的距离的不同取值有 （ ）

A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 7 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（ ） A ．16 B ．13 C ．23 D ．1 8 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图的矩形,则该正方体的正视图的面积等于（ ） A B ．1 C D 9．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ） 图 2

空间几何体的表面积和体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。

分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得： PF PE AB CD =

8.空间几何体的表面积和体积练习题

一、选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的 A.31 B.41 C.91 D.161 2．正六棱锥底面边长为a ，体积为323a ，则侧棱与底面所成的角等于 A. 6π B.4π C.3 π D.125π 3．有棱长为6的正四面体S-ABC ，C B A ''',,分别在棱SA ，SB ，SC 上，且S A '=2，S B '=3，S C '=4，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.91 B.81 C.41 D.31 4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是 A ．32. B. 14 C. 5 D.6 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为α，则角α的取值范围是 A ．(]??90,0 B (]??270,180 C (]??180,90 D Φ 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A ．25与2 B.2与2 3 C.5与 4 D.2与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为T ，则S T 等于 A ．91 B.94 C. 41 D.31 8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是 A ．1，2，3 B ．2，4，6 C ．1，4，6 D ．3，6，9 9.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是 A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 12 9. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方 形，且BCF ADE ??、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该 多面体的体积为 A.3/2 B.33 C.34 D.23 10．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的 内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别交于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的 表面积分别是21S S 、，则必有 A.S 1S 2 C. S 1=S 2 D.21S 与S 的大小关系不能确定 D B A O E F

立体几何 空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积 考点 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 【复习指导】 本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题． 基础梳理 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 2. (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A．4πS B．2πS C．πS D.23 3 πS 解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π ， 又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS. 答案 A 2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )． A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为2a2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2. 答案 B

立体几何图形的表面积和体积

立体几何图形的表面积和体积 学习要求 1. 认识长方体和正方体。 2. 会求长方体和正方体的表面积： （1） 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2） 正方体的表面积=棱长×棱长×6 3. 会求长方体和正方体的体积： （1） 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示：V=a.b.h 。 （2） 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示：V=a.a.a=a 3 （3） 长方体和正方体的体积计算方法可以统一起来，即长方体（或正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为：V=Sh 。 4. 认识常用的体积单位：立方厘米、立方分米和立方米，知道体积单位间的进率和换算。 ×1000 ×1000 立方米 立方分米 立方厘米 ÷1000 ÷1000 5. 认识常用的容积单位：升（L ）和毫升（mL ），1L=1000mL ，1L=1dm 3，1mL=1cm 3。 讲练互动 例1 看图求表面积。 （1） (2) 4cm 3cm 3cm 6cm 6cm 分析：（1）（2）分别是由两个长方体、两个正方体组成的图形，可以先算出两个长方体、正方体的表面积，再减去重叠在一起的两个表面，也可以按面的个数直接计算。 解：（1） （6×4＋6×5＋5×4）×2×2－5×4×2=256（cm 2）或 5×6×4＋5×4×2＋6×4×4=256（cm 2） （2） 3×3×6×2－3×3×2=90（cm 2）或 3×3×10=90（cm 2） 即时练习1 看图求表面积 （1） （2） 5cm

例2 一根长方体木料，长4米，横截面的面积是0.08平方米。这根木料的体积是多少？ 分析：这根木料的体积可以用公式“长方体的体积=底面积×高”求出，这里的横截面积就是底面积。 解：0.08×4=0.32（立方米） 答：这根木料的体积是0.32立方米。 即时练习2一个正方体，其中一个表面的面积为36cm2，这个正方体的体积是多少？ 例3已知一个长方体蓄水池的容积为12000m3，池底为正方形，其面积为400m2，这个蓄水池的高是多少米？ 分析：根据长方体体积的计算公式：V=Sh，其中S=400m2，可知h=V÷S=12000÷400。 解：12000÷400=30（米） 答：这个蓄水池的高是30米。 即时练习3一个正方体的棱长为30分米，它的表面积为多少平方米？体积为多少立方米？基础过关训练 一、填空。 1.长方体有（）个面，（）条棱，（）个顶点。在一个长方体中，相对的面（），相对的棱（）。 2.正方体是由6个完全相同的（）围成的立体图形。它有（）条棱，它们的长度（）；有（）个顶点。 3.长方体、立方体六个面的面积之和叫做它们的（）；物体所占空间的大小，叫做物体的（）。 4.1.25升=（）毫升 3.8立方分米=（）毫升4.5立方米=（）立方分米750立方厘米=（）立方分米 5400立方厘米=（）毫升=（）升 3.85升=（）立方分米=（）立方厘米 5.一个正方体的棱长是5厘米，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 6.一个长方体的体积是120立方厘米，长8厘米，宽5厘米，高（）厘米。 二、选择题。 （1）把一根长方体木料锯成4段，共增加了（）的面积。 A. 3个面 B. 4个面 C. 6个面 D. 8个面 （2）你见过火柴盒吗？一个火柴盒的体积约为15（）。 A. 立方米 B. 立方分米 C. 立方厘米 D. 立方毫米 （3）把3个棱长为2厘米的立方体，粘合成长方体，这个长方体的表面积比原来三个立方体的表面积之和减少（）。 A. 4 B. 6 C.8 D. 16 （4）大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的棱长的（）倍。 A. 2 B. 4 C.6 D. 8

空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积 矗教学目标) 能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积； 用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题? ㈱?知识梳理〕 一、展开图定义 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该 多面体的平面展开图. 二、特殊几何体的定义 1. 直棱柱：__________的棱柱叫做直棱柱. 2. 正棱柱：__________的直棱柱叫做正棱柱. 3. 正棱锥：底面是，并且顶点在底面的 _______ 是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 正棱锥的性质： (1)正棱锥的侧棱相等； (2)侧面是全等的等腰三角形； (3)侧棱、高、底面构成直角三角形. 4. 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台. 正棱台的性质： (1) 正棱棱台的侧棱长相等 (2) 侧面是全等的等腰三角形； (3) 高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形. 三、侧面积与表面积公式 1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式 ⑴设直棱柱高为h,底面多边形的周长为 c,则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧= ch,即 直棱柱的侧面积等于它的_______ 和—的乘积. (2)设正n棱锥的底面边长为 a,底面周长为c,斜高为h',则正n棱锥的侧面积的计算公 式: 和乘积的一半. (3)设正n棱台下底面边长为 a、周长为c,上底面边长为a'、周长为c',斜高为h',则正 n棱台的侧面积公式: (4) 棱柱、棱锥、棱台的表面积 (或全面积)等于底面积与侧面积的和，即 S表= ____________ +

空间几何体表面积和体积练习题

空间几何体的表面积和体积练习题 题1 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面半径之比为( ) A.49 B.94 C.427 D.274 题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则此球的体积为________． 题3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋233 D ．4π＋233 题4 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积．( ) A ．与x ，y 都有关 B ．与x ，y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关 D ．与y 有关，与x 无关 题5 直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的32 ，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积． 题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2 题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积． 题8 正四棱台的高为12cm ，两底面的边长分别为2cm 和12cm ．（Ⅰ）求正四棱台的全面积；（Ⅱ）求正四棱台的体积． 题9 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积． 题10 如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，求棱锥C A DD ''-的体积与剩余部分的体积之比． 题11 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积=底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。

4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 ：S 全 2a ； (2)体积 ： V=312； (3)对棱中点连线段的长 ： d= 2 a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径 ： R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ） A. π288 3cm B. π192 3cm C. π288 3cm 或 π192 3cm D. π1923cm 8.一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ） A. 4s π B. S π2 C. S π D. S π332

高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题

空间几何体的表面积和体积例题解析 一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π 。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。∴点O 在∠BAD 的平分线上。

空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：?? ?=++=++24 )(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－ 29=2 9， ∴A 1O= 223，平行六面体的体积为2 2 345? ?=V 230=。 题型2：柱体的表面积、体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是

(教师版)立体几何专题一：表面积体积计算

立体几何专题复习一：空间几何体的表面积与体积 【高考会这样考】 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 【复习指导】 本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题． 基础梳理 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 考向一几何体的表面积 【例1】?(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()． A．48 B．32＋817 C．48＋817 D．80 [审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积． 解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为

空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题

第1讲空间几何体的三视图及表面积 和体积的计算问题 高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问. 真题感悟 1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3，则它的表面积是() A.17π B.18π C.20π D.28π 解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)

切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个1 4圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×1 4π×22＝17π. 答案 A 2.(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A.90π B.63π C.42π D.36π 解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示. 将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1 2，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×1 2＝63π.

法二 (估值法)由题意知，1 2V 圆柱

高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题

高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题 班级 姓名 学号 得分 一、选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的 A.3 1 B.4 1 C.9 1 D. 16 1 2．正六棱锥底面边长为a ，体积为3 2 3a ，则侧棱与底面所成的角等于 A.6π B.4π C.3π D. 12 5π 3．有棱长为6的正四面体S-ABC ，C B A ''',,分别在棱SA ，SB ，SC 上，且S A '=2，S B '=3，S C '=4，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.9 1 B.8 1 C.4 1 D. 3 1 4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是 A ．32. B. 14 C. 5 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为α，则角α的取值范围是

A ．(]??90,0 B (]??270,180 C (]??180,90 D Φ 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A ．2 5与2 与2 3 与 4 与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为T ，则S T 等于 A ．91 B.9 4 C. 4 1 D. 3 1 8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别 是 A ．1，2，3 B ．2，4，6 C ．1，4，6 D ．3，6，9 9.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是 A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 12 9. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边 长为1的正方形，且BCF ADE ??、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 A.3/2 B.33 C.34 D.23

空间几何体的表面积和体积练习题

一、 知识回顾 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积 = 侧面积 + ______________； （2）圆柱：r 为底面半径，l 为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆锥：r 为底面半径，l 为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆台：r ’、r 分别为上、下底面半径，l 为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. （3）柱体体积公式：________________________；（S 为底面积，h 为高） 锥体体积公式：________________________；（S 为底面积，h 为高） 台体体积公式：________________________； （S ’、S 分别为上、下底面面积，h 为高） 二、 例题讲解 题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD 绕着它的底 边AB 所在的直线旋转一周所得的几何体的表面 积是______________；体积是______________。 图（1） 题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示， 求这个正三棱柱的表面积与体积 左视图 主视图 8 B

图（2） 题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ?，BCF ?均为正三角形，EF 3233342 36cm4cm 1111D C B A ABCD -11B A 11D AB E - 图（4） 3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正 视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形． E A B D C F C B A D C 1 B 1 E A 1 D 1

空间几何体的表面积和体积

1.3 空间几何体的表面积和体积 学习目标： 1、掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式，能直观感知空间几何体的展开图的形状，并能初步运用于实际问题之中。 2、了解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积的计算公式，能直观感知空间几何体的形初步运用于实际问题之中。 ［知识要点］ 一、空间几何体的表面积 问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A 出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B （线段AB 是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？ 平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。 （一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积 1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 P ◆S 直棱柱侧 ＝ch 其中c 为棱柱的底面周长，h 直棱柱的高。 2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 性质： （1）正棱锥的侧棱长相等。 （2）侧棱和底面所成的角相等。 棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。 ◆S 正棱锥侧＝1 2ch ′（其中c 为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高） 3、正棱台 定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。 侧面展开图是由各个侧面组成的。 S 正棱台侧＝ 1 2（c ＋ c’）h’ （其中c ，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。

（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积 把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。 1、圆柱的侧面积 ◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 2、圆锥的侧面积 ◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 3、圆台的侧面积 ◆如果圆台的上、下面半径是 r r '、，周长分别是c c '、，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 二、柱锥台的体积公式 长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？ 1、祖暅原理 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。 G` O ` G O 2、柱体的体积公式 3、锥体的体积公式

高中立体几何 空间几何体的表面积和体积

高中立体几何 第二节空间几何体的表面积和体积 A组基础题组 1.(2016广东3月适应性考试)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.12 B.6 C.4 D.2 2.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为() A. B. C.2π D.4π 3.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为() A. B. C. D. 4.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 5.(2017福建南平模拟)如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2的正方形(含一条对角线),则该几何体的侧面积为() A.8(1+) B.4(1+) C.2(1+) D.1+ 6.(2016山西太原一模)如图,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,若四面体A'-BCD的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为() A.3π B.π C.4π D.π 7.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且=,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC 的体积为. 8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.

8.空间几何体的表面积和体积练习题

一、知识回顾 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积= 侧面积+ ______________； （2）圆柱：r为底面半径，l为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆锥：r为底面半径，l为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆台：r’、r分别为上、下底面半径，l为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. （3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________； （S’、S分别为上、下底面面积，h为高） 二、例题讲解 题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底 边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面 积是______________；体积是______________。 图（1） 题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示， 求这个正三棱柱的表面积与体积 图（2） 左视图 俯视图 主视图 8

题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ?，BCF ?均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ） A ． 32 B ．33 C ．34 D ．2 3 图（3） 1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为 2、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中， 棱长为2，E 为11B A 的中点，则 三棱锥11D AB E -的体积是____________. 图（4） 3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正 视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S 。 图（5） （选做题）4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm ， 高为6cm ，在其中有一个高为xcm 的内接圆柱。 E A B D C F C B A D C 1 B 1 E A 1 D 1

空间几何体的表面积与体积练习题.及答案(优.选)

空间几何体的表面积与体积专题 一、选择题 1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )． A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16 解析 每个面的面积为：12×2×2×3 2＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3. 2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.3 2倍 解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝4 3πR 3，知体积扩大到原来的22倍． 3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A. 1423 B.2843 C.280 3 D.140 3 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13 ×? ?? ??12×2×2×2＝ 284 3 . 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－ 2π3 B ．8－π 3 C ．8－2π D. 2π 3 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半 径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π 3 . 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π 2 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分 别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12 ×3＝24－3π2. 6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )