动量和能量的综合应用
一. 教学内容：
动量和能量的综合应用
二. 重点、难点：
1. 重点：分过程及状态使用动量守恒和能量规律
2. 难点：动量和能量的综合应用
【典型例题】
[例1]（1）如图，木块B 与水平桌面的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后，留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧（质量不可忽略）合在一起作为研究对象（系统），此系统从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的整个过程中，动量是否守恒。
（2）上述情况中动量不守恒而机械能守恒的是（ ）
A. 子弹进入物块B 的过程
B. 物块B 带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达最大的过程
C. 弹簧推挤带着子弹的物块B 向右移动，直到弹簧恢复原长的过程
D. 带着子弹的物块B 因惯性继续向右移动，直到弹簧伸长量达最大的过程
答案：（1）不守恒；（2）BCD
解析：以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。在水平方向，弹簧被压缩是因为受
到外力，所以系统水平方向动量不守恒。由于子弹射入木块过程，发生剧烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒。
[例2] 在光滑水平面上有A 、B 两球，其动量大小分别为10kg ·m/s 与15kg ·m/s ，方向均为向东，A 球在B 球后，当A 球追上B 球后，两球相碰，则相碰以后，A 、B 两球的动量可能分别为（ ）
A. 10kg ·m/s ，15kg ·m/s
B. 8kg ·m/s ，17kg ·m/s
C. 12kg ·m/s ，13kg ·m/s
D. －10kg ·m/s ，35kg ·m/s
答案：B
解析：① A 与B 相碰时，B 应做加速，故p B ′＞p B ，即B 的动量应变大，故A 、C 不对，
因A 、C 两项中的动量都不大于p B ＝15kg ·m/s 。② A 、B 相碰时，动能不会增加，而D 选项
碰后E k ′＝B
A B A m m m m 2152102352012
222+>+ 故不合理。
[例3] 在光滑的水平地面上，质量m 1=0.1kg 的轻球，以V 1=10m/s 的速度和静止的重球发生正碰，重球质量为m 2=0.4kg ，若设V 1的方向为正，并以V 1’和V 2’分别表示m 1 和m 2的碰后速度，判断下列几组数据出入不可能发生的是（ ）
A. V’1=V’2=2m/s
B. V’1=0，V’2=2.5m/s
C. V’1=－6m/s ，V’2=4m/s
D. V’1=－10m/s ，V’2=5m/s
答案：D
解析：A 选项为完全非弹性碰撞，碰后共速；B 选项为非弹性碰撞，碰后动能比碰前小；
C 选项为完全弹性碰撞，碰后动能与碰前相等；
D 选项碰后的动能比碰前多，不可能。
[例4] 当A 追上B 并与B 发生正碰后B 的动量增为s m kg p B /10?='
，则A 与Ｂ的质量比m A ：m B 可能为（ ）
A. 1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:6
答案：BC
解析：由动量守恒定律，碰撞后A 球动量必为
由题意分析有：， 据此可排除选项D 。
对选项A 不妨设M A =m 则M B =2m 则又即 碰撞前 碰后 此时，显然不符合动能关系，故A 也排除。同理可验证选项B 、C 满足动能关系，因此正确答案为选项B 、C
[例5] 光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以V 0=6m/s 的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg 的物块C 静止在前方，如图所示。B 与C 碰撞后二者粘在一
起运动，在以后的运动中，当弹簧的弹性势能达到最大为 J 时，物块A 的速度是 m/s 。 A B C
解析：本题是一个“三体二次作用”问题：“三体”为A 、B 、C 三物块。“二次作用”过
程为第一次是B 、C 二物块发生短时作用，而A 不参加，这过程动量守恒而机械能不守恒；第二次是B 、C 二物块作为一整体与A 物块发生持续作用，这过程动量守恒机械能也守恒。对于第一次B 、C 二物块发生短时作用过程，设B 、C 二物块发生短时作用后的共同速度为V BC ，则据动量守恒定律得：BC C B B V m m V m )(0+= （1）
对于第二次B 、C 二物块作为一整体与A 物块发生持续作用，设发生持续作用后的共同速
度为V ，则据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
m A V 0+V m m m V m m C B A BC C B ))(++=
+（ （2） 2220)(2
1)(2121V m m m V m m V m E C B A BC C B A P ++-++=（3） 由式（1）、（2）、（3）可得：当弹簧的弹性势能达到最大为E P =12J 时，物块A 的速度V=3 m/s 。
[例6] 质量分别为m 1和m 2的小车A 和B 放在水平面上，小车A 的右端连着一根水平的轻弹簧，处于静止。小车B 从右面以某一初速驶来，与轻弹簧相碰，之后，小车A 获得的最大速度的大小为v 。如果不计摩擦，也不计相互作用过程中的机械能损失。求：
（1）小车B 的初速度大小。
（2）如果只将小车A 、B 的质量都增大到原来的2倍，再让小车B 与静止小车A 相碰，要使A 、B 小车相互作用过程中弹簧的最大压缩量保持不变，小车B 的初速度大小又是多大？
A B
解析：（1）设小车B 开始的速度为v 0，A 、B 相互作用后A 的速度即A 获得的最大速度v ，系统动量守恒m 2v o =m 1v+m 2v 2 相互作用前后系统的总动能不变
22220122111222m v m v m v =+ 解得：1202
()2m m v v m += （2）第一次弹簧压缩最短时，A 、B 有相同的速度，据动量守恒定律，
有m 2v 0=（m 1+m 2）v 共，得02
12v m m m v ?+=共 此时弹簧的弹性势能最大，等于系统总动能的减少
)
(2)()(21212120212021221202m m v m m v m m m m m v m E +=?+?+-=? 同理，小车A 、B 的质量都增大到原来的2倍，小车B 的初速度设为v 3，A 、B 小车相互作用过程中弹簧的压缩量最大时，系统总动能减少为
221231231212
22E'2(22)m m v m m v m m m m ?==++＝ 由ΔE ＝ΔE'，得小车B
的初速度12302
)v =24m m v m += [例7] 如图，质量为M 的障碍物静放在水平光滑地面上，一质量2M m =
的球以速度v 0冲向障碍物，若障碍物弧面光滑且最低点与水平地面相切。求小球能沿着障碍物弧面冲上多大高
度？（弧面为1/4圆弧）
答案：g
v 320 解析：由于水平方向不受外力作用，系统在水平方向上动量守恒，可以求出两者共同的末速v （因为最后运行到最高点时，两者的速度相同）： mv 0＝（m ＋M ）×v 。再用能量守恒定律：初动能＝末动能＋小球势能变化，可以求出小球上升高度h 。
[例8]（07广东）如图所示，在同一竖直平面上，质量为2m 的小球A 静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H=2L 。小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动。离开斜面后，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B 发生弹性碰撞，碰撞后球B 刚好能摆到与悬点O 同一高度，球A 沿水平方向抛射落在水平面C 上的P 点，O 点的投影O′与P 的距离为L/2。已知球B 质量为m ，悬绳长L ，视两球为质点。重力加速度为g ，不计空气阻力。求：⑴ 球B 在两球碰撞后一瞬间的速度大小；⑵ 球A 在两球碰撞后一瞬间的速度大小；⑶ 弹簧的弹性力对球A 所做的功。
解析：⑴ 由碰后B 刚好能摆到与悬点O 同一高度，应用动能定理或机械能守恒定律可得：
gL v B 2=
⑵ 利用弹性碰撞公式，设与B 碰前瞬间A 的速度是v 0，可得v A = v 0/3，v B = 4v 0/3，可得gL v 2430=及gL v A 24
1= ⑶ 由A 平抛的初速度和水平位移，可求得下落高度是L 。A 的初动能等于弹力做的功，A 上升过程用机械能守恒：2022132v m L g m W ??+
??==mgL 857
[例9]（08北京）有两个完全相同的小滑块A 和B ， A 沿光滑水平面以速度v 0与静止在平面边缘O 点的B 发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B 运动的轨迹为OD 曲线，如图所示。
（1）已知滑块质量为m ，碰撞时间为?t ，求碰撞过程中A 对B 平均冲力的大小；
（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，物制做一个与B 平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD 曲线重合的位置，让A 沿该轨道无初速下滑（经分析A 在下滑过程中不会脱离轨道），
a. 分析A 沿轨道下滑到任意一点时的动量P A 与B 平抛经过该点时的动量P B 的大小关系；
b. 在OD 曲线上有一点M ，O 和M 两点的连线与竖直方向的夹角为45?，求A 通过M 点时的水平分速度和竖直分速度。
v
解析：（1）mv A ＋mv B ＝mv 0，12 mv A 2＋12 mv B 2＝12 mv 02，解得：v A ＝0，v B ＝v 0，对B 有：
F ?t ＝mv 0，所以F ＝mv 0?t
，（2）a. 设该点的竖直高度为d ，对A 有：E kA ＝mgd ，对B 有：E kB ＝mgd ＋12 mv 02，而P ＝2mE k ，所以P A
b. 对B 有：y ＝12 gt 2，x ＝v 0t ，y ＝g 2v 0
2 x 2，在M 点，x ＝y ，所以y ＝2v 02
g ，因轨迹相同，所以在任意点它们的速度方向相同，对B 有：v xB ＝v 0，v yB ＝2gy ＝2v 0，v B ＝ 5 v 0，对A 有：
v A ＝2gy ＝2v 0，所以v xA ＝v xB v A /v B ＝2 5 5 v 0，v yA ＝v yB v A /v B ＝4 5 5 v 0。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1. 一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A 并留在A 中，A 和木块B 用一根弹性良好的轻弹簧连在一起，如图，则在子弹打击木块A 及弹簧压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统（ ） A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量不守恒，机械能守恒
C. 动量守恒，机械能不守恒
D. 均不守恒
2. 质量为M 的均匀木块静止在光滑水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同步枪和子弹的射击手。首先左侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d 1，然后右侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d 2，如图。设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与木块之间的作用力大小均相同。当两颗子弹均相对木块静止时，下列说法正确的是（ ）
A. 最终木块静止，d 1=d 2
B. 最终木块向右运动，d 1 C. 最终木块静止，d 1 D. 最终木块向左运动，d 1=d 2 3. 将质量为2m 的长木板静止地放在光滑的水平面上，如图（a ）所示，一质量为m 的小铅块（可视为质点）以水平初速度v 0由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止，铅块运动中所受的摩擦力始终不变，现将木板分成长度与质量均相等的两段1、2后紧挨着仍放在水平面上，让小铅块仍以相同的初速度v 0由木块1的左端开始滑动，如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A. 小铅块仍能滑到木板2的右端与木板保持相对静止 B. 小铅块滑过木板2的右端后飞离木板 C. 小铅块滑到木板2的右端前就与木板保持相对静止 D. 图（b ）所示过程产生的热量少于图（a ）所示过程产生的热量 4. 如图，光滑水平面上有大小相同的A 、B 两球在同一直线上运动.两球质量关系为m B =2m A ， 规定向右为正方向，A 、B 两球的动量均为6 kg ·m/s ，运动中两球发生碰撞，碰撞后A 球的动量增量为－4 kg ·m/s.则（ ） A. 左方是A 球，碰撞后A 、B 两球速度大小之比为2∶5 B. 左方是A 球，碰撞后A 、B 两球速度大小之比为1∶10 C. 右方是A 球，碰撞后A 、B 两球速度大小之比为2∶5 D. 右方是A 球，碰撞后A 、B 两球速度大小之比为1∶10 5. 在光滑水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线。2、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v 0射向它们。设碰撞中不损失机械能，则碰后三个小球的速度可能值是（ ） 6. A 、B 两滑块在一水平长直气垫导轨上相碰，用频闪照相机在t 0=0，t 1=△t ，t 2=2△t ，t 3=3△t 各时刻拍摄四次，摄得如下图所示的照片，已知m B =2 3m A ，由此可判断（ ） A. 若碰前B 静止，碰撞发生在60cm 处，t=2.5△t 时刻 B. 若碰后B 静止，碰撞发生在60cm 处，t=0.5△t 时刻 C. 若碰前B 静止，碰撞发生在60cm 处，t=0.5△t 时刻 D. 若碰后B 静止，碰撞发生在60cm 处，t=2.5△t 时刻 7. 如图，质量为M 内有半径为R 的半圆形轨道的槽体放在光滑平面上，左端紧靠一台阶，质量为M 的小物体从A 点由静止开始下滑，轨道内侧光滑，求小物体上升的最大高度。 8. 如图，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s 。已知男演员质量m 1和女演员质量m 2之比m 1∶m 2=2，秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C 点比O 点低5R 。 9. 图中滑块与小球的质量均为m ，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O 由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l 。开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球与滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘性物质的挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动。当轻绳与竖直方向的夹角为60 时小球达到最高点，求： （1）从滑块与挡板接触到速度刚好减为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量； （2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。 10. 光滑水平面上静置一质量为M 的木块一质量为m 的子弹以水平速度V 1射入木块，以V 2速度穿出，木块速度变为V ，对这个过程，下列说法正确的有（ ） A. 子弹对木块做的功等于22 1MV B. 子弹对木块做的功等于子弹克服阻力做的功 C. 子弹对木块做的功等于木块获得的动能与子弹跟木块间摩擦生热的内能之和 D. 子弹损失的动能等于木块的动能跟子弹与木块间摩擦转化的内能之和 【试题答案】 1.C 2. C 3. CD 4. A 5. D 6. AB 7. 2R 8. s=8R 9.（1）2） 12 mgl 10. AD
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