第十章 质心运动定理与动量定理
思 考 题
10-1 分析下列陈述是否正确：
（１） 动量是一个瞬时的量，相应地，冲量也是一个瞬时的量。
（２） 将质量为m 的小球以速度向上抛，小球回落到地面时的速度为。因与
的大小相等，所以动量也相等。
1v 2v 1v 2v （３） 力F 在直角坐标轴上的投影为、、，作用时间从t ＝０到t ＝t x F y F z F １，其冲
量的投影应是111,,t F I t F I t F I z z y y x x ===。
（４） 一物体受到大小为10 N 的常力F 作用，在t ＝3 s 的瞬时，该力的冲量的大小
I = Ft = 30 N ·s。
10-2 当质点系中每一质点都作高速运动时，该系统的动量是否一定很大？为什么? 10-3 炮弹在空中飞行时，若不计空气阻力，则质心的轨迹为一抛物线。炮弹在空中爆炸
后，其质心轨迹是否改变?又当部分弹片落地后，其质心轨迹是否改变?为什么?
10-4 质量为的楔块A 放在光滑水平面上。质量为的杆BC 可沿铅直槽运动，其一
端放在楔块A 上。在思考题10-４附图所示瞬时，楔块的速度为，加速度为，求此时系统质心的速度及加速度。
1m 2m A v A
a
思考题10-4附图 思考题10-5附图 10-5 质点系由三个质量均为m 的质点组成。在初瞬时，
这三个质点位于思考题10-5 附 0t 图所示位置，并分别具有初速度。已知CO BO AO v v v ,,,235.1,200k j i v k v ++==B A i v 30=C 。试 求此时质点系质心的位置及速度。长度单位为m ，时间单位为s 。
6-6 试求思考题10-6附图所示各均质物体的动量，设各物体质量均为m 。
思考题10-6附图
10-7 两个半径和质量相同的均质圆盘A,B ，放在光滑的水平面上，分别受到力 的
作用，如思考题10-7附图所示，且B A F F ,B A F F =。设两圆盘受力后自静止开始运动，在
某一瞬时两圆盘的动量分别为。问下列三个关系式哪一个正确?理由何在?（1）
＜；（2）＞；（3）＝。
B A P P ,A P B P A P B P A P B
P
思考题10-7附图
习 题
10-1 两均质杆AC 及BC ，长均为l ，重各为，在C 处用光滑铰相连。开始时静
止直立于光滑的水平地面上，后来在铅直平面内向两边分开倒下。问倒到地面上时，
C 点的位置在哪里? 设（１）21,W W 21W W =；（２）；（３）。
212W W =214W W
=
题10-1附图 题10-2附图
10-2 船A 、B 的重量分别为2.4 kN 及1.3 kN ，两船原处于静止间距6 m 。设船B 上
有一人，重500 N ，用绳拉船A ，使两船靠拢。不计水的阻力，求当两船靠拢在一
起时，船B 移动的距离。
10-3 匀速转动的电动机重，在转动轴上带一重的偏心轮，偏心距离为e ，电动机
转速为ω。（１）设电动机外壳用螺杆栓在基础上，求作用在螺杆上的最大水平剪力；
（２）不用螺杆固定，问角速度ω为多大时，电动机会跳离地面?
1W 2W 10-4 电动机重，放在光滑的水平基础上，另有一均质杆，长2 l ，重，一端与电
动机的机轴相固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连于重的物体。设机轴的
角速度为ω(ω为常量)，开始时杆处于铅直位置，整个系统静止。试求电动机的水
平运动。
1W 2W 3
W
题10-3附图 题10-4附图
10-5 均质圆盘绕偏心轴O 以匀角速ω转动。重P 的夹板借右端弹簧的推压而顶在圆盘上，
当圆盘转动时，夹板作往复运动。设圆盘重Ｗ，半径为r ，偏心距为e , 求任一瞬时
作用于基础和螺栓的动反力。
题10-5附图 题10-6附图 10-6 小车A 重W ，下悬一摆。摆按规律kt cos 0??=摆动。设摆锤B 的重量为P ，摆长
为l ，摆杆的重量及各处摩擦均忽略不计，初瞬时小车静止，试求小车的运动方程。 10-7 长2 l 的均质杆AB ，其一端B 搁置在光滑水平面上，并与水平成0θ角，求当杆倒
下时，A
点之轨迹方程。
题10-7附图 题10-8附图
10-8 均质杆OA ，长2 l 重W ，绕着通过O 端的水平轴在铅直面内转动，转动到与水平线
成角? 时，角速度与角加速度分别为ω及α，试求这时O 端的反力。
10-9 三块条板Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ，质量各为10 kg 和8 kg ，用槽杆AB 支承如题10-９附图所
示，可分别沿一光滑铅直槽滑动。设已知三块板在图示瞬时的加速度各为，和。试求作用在杆AB 上的铅直力F 的大小和位置(AB 杆质量不计)。
21s m/6.0=a 22s m/1=a 23s m/2.1=a 10-10 在物块A 上作用一常力，使其沿水平面移动，已知物块的质量为10 kg ，与水
平面夹角。经过5
s ，物块的速度从2 m/s 增至4 m/s 。已知摩擦因数f = 0.15，试求力的大小。 1F 1F 0
30=θ1
F
题10-9附图 题10-10附图
10-11 一车沿水平直线轨道行驶，车重W = 50 kN ，开始刹车时速度v ０ = 72 km/h 。设：
（１）刹车时阻力F = 0.1 W ；（２）刹车时阻力F = 2 t （t 以s 计，F 以kN 计）， 试求从开始刹车到停车所经过的时间。
10-12
计算下列各系统在已知条件下的动量。
题10-12附图
（１）重为W 的均质圆轮，轮心具有速度；
0v （２） 非均质圆盘以角速度ω绕O 轴转动，圆盘重W ，质心C 离转动轴的距离OC =
a ；
（３）两质量分别为及的均质带轮用质量为m 的均质胶带相连，其中一个带轮
的转动角速度为ω，带与轮之间没有相对滑动。
1m 2m 10-13 杆AB 长l ，A 端刚连一小球，以匀角速度绕滑块B 上O 点转动，其转动方程为
t 2π=?。滑块B 按规律t b a s 2
πsin +=沿水平直线作谐振动，其中a 和b 均为常数。设小球的质量为，滑块B 的质量为，杆AB 的质量不计，求任一瞬时系统的动量。
1m 2m
题10-13附图 题10-14附图 10-14 椭圆规之尺AB 重，曲柄OC 重，套管A 与B 各重，OC ＝AC ＝BC ＝l 。
曲柄与尺为均质杆。设曲柄以匀角速ω转动。求此椭圆规机构的动量的大小与方向。 12W 1W 2W 10-15 一个质量为5 kg 的弹头，以速度60 m/s 飞行，在O 处爆炸成如题6-15附图
所示方向两块碎片，Oxy 平面为水平面，碎片A 的速度m/s 90=A v 。
试求：（１）碎块A 的质量；（２）碎块B 的速度。
A m
B v 6-16 两小车A 、B 的质量各为600 kg 、800 kg ，在水平轨道上分别以匀速，
运动。一质量为40 kg 的重物C 以俯角３０°、速度落入A 车内，A 车与B 车相碰后紧接在一起运动。试求两车共同的速度。设摩擦不计。
m/s 1=A v m/s 4.0=B v m/s 2=C v
题10-15附图 题10-16附图
10-17 一小车连同货物总重2.5 kN ，在水平轨道上以10.8 km/h 的速度作直线运动一人
重0.6 kN ，以４m/s 的水平速度从车后跳至车上。问人跳上车后，车与人的共同速度多大?此后，人从车上将一重0.2 kN 的物体以相对于车的速度10 m/s 水平向后抛出，问人与车的共同速度多大?
10-18 卡车拉一拖车沿水平直线路面从静止开始加速运动，在20 s 末，速度达到40 km/h 。
已知卡车的质量为5000 kg ，拖车的质量为15000 kg ，卡车与拖车从动轮的摩擦力分别为500 N 与1000 N 。试求加速行驶时，卡车主动轮(后轮)产生的平均牵引力
及卡车作用于拖车的平均拉力。
题10-18附图
10-19 在光滑水平轨道上的小车上放置一物块A ，一颗子弹以m/s 4001=v 的水平速度射
进物块A 中。已知小车的质量为35 kg ，物块A 的质量为30 kg ，子弹的质量为0.3 kg ，物块与小车之间的摩擦因数f ＝0.5。试求：（１）子弹射入并留在A 中后小车与物块的速度；（２）物块A 相对于小车的运动停止时在车上滑动的距离。
10-20 水柱以水平速度打在水轮机的固定叶片上，水流出叶片时的速度为，并与水平
线成θ角，求水柱对于叶片的水平压力，假设水的流量等于Q ，单位体积水重γ。
1v 2
v
题10-19附图 题10-20附图
10-21 一固定水道，其截面积逐渐改变，并对称于图平面。水流入水道的速度，
垂直于水平面；水流出水道的速度m/s 20=v m/s 41=v ，与水平成30°角，已知水道进口处
的截面积等于0.02 m２，求由于水的流动而产生的对水道的附加水平压力。
10-22压实土壤的振动器，由两个相同的偏心块和机座组成。机座重W，每个偏心块重P，偏心距e，两偏心块以相同的匀角速ω反向转动，转动时两偏心块的位置对称于y
轴。试求 振动器在题6-22附图所示位置时对土壤的压力。
题10-21附图 题10-22附图
10-23机车以速度v(v为常量)沿直线轨道行驶。平行杆ABC重W，其质量可视为沿长度均匀分布；曲柄长r，其质量不计；车轮半径为R，在路轨上只滚动不滑动。求由于
平行杆运动而加于铁轨的附加压力的最大值。
题10-23附图
质心运动定理 选择题： 题号：00511001 分值：3分 难度系数等级： 一长度为L的翘翘板的两端分别做了一个小孩和一个大人，大人的质量是小孩的2倍，忽略跷跷板的质量，则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。 (A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人2L/3处 (C) 在距离大人L/2处(D) 由于不知道小孩的质量，无法判断 [ ] 答案：（A） 题号：00512002 分值：3分 难度系数等级： 质心运动定律描述的是： (A) 质点系的质心所遵循的定律(B) 质点系中所有质点所遵循的规律 (C) 质心和所有质点遵循的规律(D) 是关于质心的动量守恒定理 [ ] 答案：（A） 题号：00512003 分值：3分 难度系数等级： 一长度为L、质量为m，且质量沿长度方向均匀分布的翘翘板，两端分别坐了一个小孩和一个大人，大人的质量为2m，小孩质量为m。则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。 (A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人3L/8处 (C) 在距离大人L/2处(D) 在距离大人2L/3处 [ ] 答案：（B） 题号：00513004 分值：3分 难度系数等级： 如图，质量分别为m A=10.0kg和m B=6.0kg的两小球A和Array B，用质量可略去的刚性细杆连接，则系统质心的位置： (A) 在（0，0）处 (B) 在AB的中部处 (C) 在（1.5m，1.9m）处 (D) 在三角形ABO的内心处 [ ] 答案：（C） 题号：00514005 分值：3分
难度系数等级： 已知地球的质量约为月亮质量的81倍，地月距离是地球半径的60倍。忽略月亮的半径，则地月系统质心的位置： (A) 在地球和月亮的中心处 (B) 在地月连线上距离地球E 6082 R 处 (C) 在地球半径以外 (D) 在地球的中心 [ ] 答案：（B ） 判断题： 题号：00521001 分值：2分 难度系数等级： 刚体的一般运动可以看作由质心的平动和绕质心的转动组成。 答案：正确 题号：00521002 分值：2分 难度系数等级： 由若干个质点组成的质点系的质心一定是质点系的几何中心。 答案：错误（和质量分布有关） 题号：00522003 分值：2分 难度系数等级： 两人在光滑的冰面上，初始时刻两人静止，突然其中一人推动另一人，后两人向相反的方向做匀速直线运动运动。假设人作为质点，则在运动过程中，由两人组成的质点系的质心的位置将不断变化。 答案：错误（合外力为0，质心位置不变） 题号：00523004 分值：2分 难度系数等级： 质点系的一对内力不能改变质心的运动状态。 答案：正确（质心运动定律） 题号：00524005 分值：2分 难度系数等级： 如果质点系的质心加速度不等于零，则不能用质心运动定律描述质心的运动。 答案：错误（质心运动定律）
x y O x y O 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 [习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。 解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： 0=∑ix F ， 设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+ 0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t s m m t s m B A )(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37 24 m s == [习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
r C v 3C v → x y 解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 → → → +=1212C C C C v v v ωl v r C =2 12cos C x C v t l v -=ωω → → → +=1313C C C C v v v ωl v r C 23= 13cos 2C x C v t l v -=ωω 因为质点系在水平方向上不受力，所以 0==∑ix x F F 由动量定理得： t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω t m m m m m l v C ωωcos ) (3 21321+++=
动量定理质心运动定理 动量定理质心运动定理 质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。用公式 d(mv),Fdt表达为 (17-7) d(mv),Fdt (17-8) tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区 tt21间为从到，得 t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9) t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。 (e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得 dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即 mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。如果质点的质量不 dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有 上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得 n dm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1ii
nn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于 零。上式中是质点 dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10) 1 这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于 作用在质点系上外力的矢量和。 (e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 R tptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积 分，得 t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11) p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即 这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。 由式(17-10)可知，动量定理在直角坐标轴的投影为 ndp,(e)x,F,ix,dti,1,ndp,y(e)F,,,iydti,1,ndp,(e)zF,,iz,dti,1, (17-12) 如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质点系的动量并不守恒， n(e)F,0,ixpi,1x但在该轴上的投影守恒。例如外力在x轴的投影为零，即， 则为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。 h,1.5m例17-1 如图17-2所示，锤从高度处自由下落到受锻
第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 2018.10.16 多个质点构成的系统，假设系统的质量可以集中于一点，这个点即为质量中心，简称质心。质心是质点系质量分布的平均位置，与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。 一、质心运动定理 设系统由n 个质点组成，各质点的质量分别为n m m m ???21、，位矢分别是n r r r ???21、，则此质点系质心的位置矢量C r 为 n n n C m m m r m r m r m r +???+++???++=212211 因此，质心的加速度 n n n C m m m a m a m a m a +???+++???++=212211 设第i 个质点所受的外力为i F ，第j 个质点对第i 个质点所受的作用力为)(i j f ji ≠，则对每个质点应用牛顿第二定律有 11131211a m f f f F n =+???+++ 22232122a m f f f F n =+???+++ ?????? 将n 个式子相加，并注意到质点间的相互作用力有ij ji f f -=，得 n n n a m a m a m F F F +???++=+???++221121 令F 21=+???++n F F F ，称为质点系所受到的合外力，m m m m n =+???++21，称为质点系的总质量，则 C ma =F 这表明，质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积，这就是质心运动定理。 二、质心运动守恒定理 如果作用于质点系的合外力恒等于零，则质心将处于静止或匀速直线运动状态。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。 三、刚体的转动定律 刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体，是一种理想模型。图为一绕固定轴转动的刚体，P 为刚体上某一质点，其质量为i m ，到转轴的距离为i r ，受到刚体外的外力为i F ，内力为i f ，则对P 点有 i i i i a m f F =+ i a 为质点P 运动的加速度，由于质点P 绕固定轴做圆周运动，其切线加速度it a 满足 βθ? i i it i i i i i r m a m f F ==+sin sin β为刚体转动的角加速度，上式每一项都乘以i r 得 βθ?2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+ i i i r F ?sin 是外力i F 对转轴的力矩，i i i r f θsin 是内力i f 对转轴的力矩。 对组成刚体的每个质点都可以写出以上形式的方程，将这些方程累加可得 βθ?∑∑∑=+2 sin sin i i i i i i i i r m r f r F 由于内力是成对出现的，且每对内力都是等值、反向、共线的，故有 0sin =∑i i i r f θ 而∑i i i r F ?sin 是刚体所受各外力对转轴的力矩的矢量和，即合外力矩， 用M 表示，2 i i r m ∑是由刚体本身的质量分布情况所决定，称为刚体对此转轴的转动惯量，用I 表示，则上式可简写为 βI M =
第 2 章质点和质点系动力学 2.1 牛顿运动定律惯性系质心运动定理21牛顿运动定律 2.2动量定理动量守恒定律 22 2.3角动量定理角动量守恒定律 2.4功能原理和机械能守恒定律 1
i i r m r ∑ = i c m ∑m m r r c ?= d k z j y c c +m x ?d 2 2 2m x m ++m x c = () c x x m -=22杠杆原理
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm 古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！”阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理他把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”逻辑论证杠杆原理： （1）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡（2）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重端下倾）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量距端下倾（3）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距端下倾（4）一重物的作用与几个重物的作用等效，只要重心的位置保持不变（5）相似图形的重心以相似的方式分布…… 他从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，现了杠杆原理：“二重物平衡时它们离支点的距离与重量成反比“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。 阿基米德发明：他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水 利用杠杆原理制造远近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城3 利用杠杆原理制造远、近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城外达3年之久
F a m c =c a m F =外
A 巧用质心和质心系求解竞赛题 湖南省浏阳市第一中学（410300）张学明 应用质心和质心系解答竞赛题是一中重要的解题方法。特别是系统所受外力为零时，质心做匀速直线运动，抓住这个特点来求解有关力学问题往往能化难为易，化繁为简。下面举例说明。 例1、如图，一水平放置的圆环形刚性套槽固定在桌面上。槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为1m 、2m 、3m ，其中1322m m m ==接触，而它们之间的摩擦可以忽略不计。开始时三球处在槽中I 、II 、III 的位置，彼此之间距离相等，2m 、3m 静止。1m 以初速度2 0R v π= 沿槽 运动，R 为圆环的内半径和小球半径之和。设各球间的碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期T 。 分析与解答： 此题的常规解法是逐一应用动量守恒，找出系统的运动规律。从而求出周期。该方法比较麻烦。如果注意到三个小球在运动过程中在圆的切线方向不受力。故可以认为系统的质心 作匀速圆周运动。系统运动一个周期，即质心运动一个圆周。设质心的速率为c v 105032101R v m m m v m v c π==++= ，所以周期s v R T c 202== π 例2、在光滑水平面上有两个质量均为m 的物体A 和B ，B 上有一劲度系为k 的轻弹簧。物A 以速度0v 向静止的物体B 运动，并开始压缩弹簧，求：从开始压缩弹 簧到最大压缩量过程中物体B 的位移。 分析与解答： 先求出弹簧的最大压缩量。当两物体速度相等时，弹簧压缩量最大。此时两物体速度为v 设最大压缩量为m x 。由动量守恒和能量守恒得： mv mv 20= （1） 22202 122121m kx mv mv += （2） 由（1）（2）得：k m v x m 20 = 在运动过程中相对于地面来说。A 、B 两物体都做复杂的变加速运动。现在以质心为参考系来研究A 、B 两物体的运动规律。注意到系统不受外力，质心做匀速直线运动。其中质心位于AB 两物体的中点处，