天津市部分区2018-2019学年度第一学期期末考试
高三数学（理）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}04|{2≤-=x x A ，集合}01|{>-=x x B ，则=B A （ ） A ． )2,1( B ． ]2,1( C ．)1,2[- D ．)1,2(-
2.“4
π
α=
”是“02cos =α”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
3.设变量y x ,满足约束条件??
?
??≤--≥-+≥01209320
y x y x x ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是（ ）
A ．),6[+∞
B ．),5[+∞
C ．]6,5[
D ． ]5,0[
4.阅读如图所示的程序框图，若输入的b a ,分别为1，2，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
A ．
320 B ．516 C. 27 D ．8
15 5.已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的一个焦点为)0,2(-F ，且双曲线的两条渐近线的
夹角为0
60，则双曲线的方程为（ ）
A ．132
2=-y x B ．12622=-y x C. 1322=-y x 或1322=-y x D ．1322
=-y x 或12
622=-y x 6.在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B C 2sin sin =，且2=b ，3=c ，则a 等于（ ） A ．
2
1
B ．3 C. 2 D ．32 7.如图，平面四边形ABCD 中，090=∠=∠AD
C ABC ，2==C
D BC ，点
E 在对角线AC
上，44==AE AC ，则?的值为（ ）
A ． 17
B ．13 C. 5 D ．1
8.已知函数x
x
e e x
f -+=)(（其中e 是自然对数的底数），若当0>x 时，1
)(-+≤-m e x mf x
恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．)31
,0( B ．]31,(--∞ C. ),31[+∞ D ．]3
1,31[-
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.已知i 为虚数单位，则
=+-i
i
12 ． 10.在6
)1
2(x
x -的展开式中2
x 的系数为 ．（用数字作答）
11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为 ．
12.已知曲线3x y =与直线)0(>=k kx y 在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则
=k ．
13.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线???==t
y t x 442
（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛
物线上，动点Q 在圆??
?=+=α
α
sin cos 3y x （α为参数）上，则||||PQ PF +的最小值为 ．
14.已知函数?????>≤+=0
|,ln |0
,131
)(x x x x x f ，若函数0)(=-ax x f 恰有3个零点，则实数a 的取值
范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数x x x x x f cos sin 32sin cos )(22+-=，R x ∈. （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 在区间]4
,6[π
π-
上的最大值与最小值.
16.某大学现有6名包含A 在内的男志愿者和4名包含B 在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.
（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的概率；
（2）设X 表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.
17. 在如图所示的几何体中，AC DE //，0
90=∠=∠ACD ACB ，32==DE AC ，
2=BC ，1=DC ，二面角E AC B --的大小为060.
（1）求证：⊥BD 平面ACDE ；
（2）求平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）的大小；
（3）若F 为AB 的中点，求直线EF 与平面BDE 所成的角的大小. 18. 已知}{n a 是等比数列，满足21=a ，且432,2,a a a +成等差数列. （1）求}{n a 的通项公式；
（2）设n n na b 2=，数列}{n b 的前n 项和为n S ，4
7
92)(2-+-=n S n n n g ),2(*N n n ∈≥，
求正整数k 的值，使得对任意2≥n 均有)()(n g k g ≥.
19. 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为1F ，离心率为21，1F 为圆
0152:22=-++x y x M 的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，过2F 且与l 垂直的直线1l 与圆M 交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的取值范围. 20. 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，R a ∈. （1）讨论)(x f 的单调性；
（2）当2
1-=a 时，令)(21)(2
x f x x g --=，其导函数为)('x g ，设21,x x 是函数)(x g 的两个零点，判断2
2
1x x +是否为)('x g 的零点？并说明理由.
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试
高三数学（理）参考答案
一、选择题: 1－8CABDC CDB 二、填空题： 9．
1322i - 10．240 11．36 12．4 13．3 14．11,3e ??????
三、解答题：
（15）解：（Ⅰ）()22cos sin cos f x x x x x =-+
cos22x x =
12cos 222sin 2226x x x π????=+=+ ? ? ?????
所以22
T π
π=
=，所以()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）由,64x ππ??
∈-
????，得22,663x πππ??+∈-????
， 所以当2,662x π
ππ??+
∈-????，即,66x ππ??
∈-????
时，函数()f x 单调递增； 当22,623x π
ππ??+
∈????，即,64x ππ??
∈????
时，函数()f x 单调递减； 且当266
x π
π
+
=-
，即6
x π
=-
时，1
sin 262
x π?
?
+
=- ?
?
?，此时()=1f x -； 当26
2
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，sin 216x π?
?
+
= ??
?
，此时()=2f x ;
当226
3x π
π+
=
，即4x π=时，sin 262x π?
?+= ??
?，此时()f x 所以当6
x π
=-
时，()f x 取得最小值1-；当6
x π
=
时，()f x 取得最大值2
（16）解：（I ）记参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M ，