(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,
同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7)函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
(8)显然指数函数无界。
(9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
底数的平移:
对于任何一个有意义的指数函数:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
即“上加下减,左加右减”
底数与指数函数图像:
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
幂的大小比较:
比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A 与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A 与B之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2大于y1.
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:
<1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。哪么如何判断一个幂与“1”大小呢由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈a〈1且x〈0)时,a^x大于1,异向时a^x小于1.
〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数;
⑵y=(1/4)^x
因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数
复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log (4x-x 2)的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(-∞,0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =-(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、(1)函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________; (2)函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数,且0)(>x f ,下列函数中为增函数的是 ( ) (A ))(1 x f y -= (B ))(2x f y = (C ))(log 2 1x f y = (D )2 )]([x f y =
7、下列函数中,在区间]0,(-∞上是增函数的是 ( ) (A )842+-=x x y (B ))(log 21x y -=(C )1 2+- =x y (D )x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.[1,3] B.[2,3] C.[1,2] D.(-∞,2] 21.函数y= 在区间[4,5]上的最大值是_______,最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数,那么f (2x -x 2 )的单调增区间是 A.(-∞,1] B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数,则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_______。 分析如下: 令u=x 2-ax+3a ,y= u 。 因为y= u 在(0,+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2,+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2,+∞)上是增函数,且对任意x∈[2,+∞),都有u >0。
函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种: 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地,设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2,当21x x <时,总有 (1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数; (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤: (1)设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; (2)作差)()(21x f x f -; (3)变形(普遍是因式分解和配方); (4)断号(即判断)()(21x f x f -差与0的大小); (5)定论(即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性)。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明:设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则
).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明:设1x 、),0(2+∞∈x ,且21x x <,则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x , 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数; 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的,因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时,容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直 接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我
函数单调性的判定方法 学生: 日期; 课时: 教师: 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地,设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2,当21x x <时,总有 (1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数; (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严格减函数。 利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤: (1)设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; . (2)作差)()(21x f x f -; (3)变形(普遍是因式分解和配方); (4)断号(即判断)()(21x f x f -差与0的大小); (5)定论(即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性)。 例1.用定义证明)()(3 R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明:设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则 ).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212 221>++ =++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(212 22 11221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 ~ 例2.用定义证明函数x k x x f + =)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。
高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么,有哪些求函数单调性的方法呢? 方法一:定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x (1)当12x x <时,都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数; (2)若当12x x <时,都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如:根据函数单调性的定义,证明:函数 在 上是减函数。 要证明函数f (x )在定义域内是减函数,设任意1212,x x R x x ∈<且,则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++,12x x <因为 210x x ->所以,且在1x 与2x 中至少有一个不为 0,不妨设20x ≠,那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>,12()()f x f x >所以,故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二:性质法 除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性,则在区间B 上有: 1. f(x)与c?f(x)当c >0具有相同的单调性,当c <0具有相反的单调性; 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数; 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数; 例如,已知f (x )在R 上是减函数,那么-5f (x )为____函数。 这道题很简单,我们根据单调性的性质,很容易就能判断它是增函数。 方法三:同增异减法(处理复合函数的单调性问题) 对于复合函数y =f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域), 可令 t =g(x),则三个函数 y =f(t)、t =g(x)、y =f [g(x)]中, 若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;
判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义: 一般的,设函数y=f(X)的定义域为A,I?A,如对于区间内任意两个值X1、X2, 1)、当X1 =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2?(-∞,+∞),x1 判断函数增减性 组合函数 增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减 复合函数 定义 一般地,对于两个函数()u f y =和()x g u =,当函数()x g u =的值域Rg (?≠Rg )是()u f y =的定义域Df 的子集时,通过变量u ,y 可以表示成x 的函数()[]x g f y =,那么称这个函数为函数()u f y =和()x g u =的复合函数,其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量。 生成条件 ?≠?Rg Df Rg , 定义域 若函数()u f y =的定义域是Df ,()x g u =的定义域是Dg,则复合函数()[]x g f y =的定义域()Dg Df Dy ?= ,即取两个函数定义域的交集。 备注: 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。 周期性 设函数()u f y =的最小正周期为1T ,()x g u =的最小正周期为2T ,则复合函数()[]x g f y =的最小正周期为21*T T ,任一周期可表示为()+∈R k T T k 21**。 增减性 根据()u f y =,()x g u =的单调性决定。 即“增增得增,减减得增,增减得减”,可以简化为“同增异减” 推导: 令()x g t =,则()t f y = ()x g 是增函数,x 越大,()x g 越大,即t 越大 若()t f 是增函数,则()t f 越大,即y 越大 (同增) 若()t f 是减函数,则()t f 越小,即y 越小 (异减) 判断复合函数的单调性的步骤如下: (1)求复合函数定义域; (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指数、对数函数); (3)判断每个常见函数的单调性; (4)将复合函数的定义域分段(每个常见函数在每段定义域上具有单调性); (5)根据“通增异减”求出复合函数的单调性。 例如: 讨论函数3428.0+-=x x y 的单调性。 解:函数定义域为R 令342+-=x x u 则u y 8.0= 指数函数u y 8.0=在定义域R 上是减函数 二次函数342 +-=x x u 在(]2,∞-上是减函数,[)∞+,2上是增函数 因此,函数3428.0+-=x x y 在(]2, ∞-上是增函数,[)∞+,2上是减函数 求导 复合函数()[]x g f y =的导数和函数()u f y =和()x g u =的导数间的关系为 '?'='x u x u y y判断函数增减性
指数函数经典例题(问题详细讲解)