物体的动态平衡问题解题技巧
省高中 恩谱
一、总论
1、动态平衡问题的产生——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词——缓慢转动、缓慢移动……
2、动态平衡问题的解法——解析法、图解法
解析法——画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；
图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。
3、动态平衡问题的分类——动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、其他特殊类型
二、例析
1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形
【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为F N1，球对木板的压力大小为F N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中
A ．F N1始终减小，F N2始终增大
B ．F N1始终减小，F N2始终减小
C ．F N1先增大后减小，F N2始终减小
D ．F N1先增大后减小，F N2先减小后增大
解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F N1、F N2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；
【解析】小球受力如图，由平衡条件，有
0sin 2N =-mg F θ0cos 1N 2N =-F F θ
联立，解得：θsin 2N mg F =
，θ
tan 1N mg
F = 木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知F N1、F N2都一直在减小。选B 。
F N1
F
mg θ
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和F N1的方向，然后按F N2方向变化规律转动F N2，即可看出结果。
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形
成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F N1的方向始终水平向右，而
F N2的方向逐渐变得竖直。 则由右图可知F N1、F N2都一直在减小。
【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。设F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在
θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则
A ．F 先减小后增大
B ．F 一直增大
C ．F 一直减小
D ．F 先增大后减小
解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F 随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论； 【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有 0sin N =-+mg F F θ0cos f =-F F θ 其中
N f F F μ=
联立，解得：θ
μθμsin cos +=mg
F
由数学知识可知)
cos(12αθμμ-+=mg
F ，其中μα1tan =
当μ
αθ1
arctan
==时，F 最小，则θ从0逐渐增大到90°的过程中，
F 先减小后增大。选A 。
解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。
【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，由N f F F μ=可知，μβ=tan 。
由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三 角形，其中重力mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成β角。
则由右图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。
2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三角形的三边平行——相似三角形
【例2】半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小
F N
F
mg
F f
θ
F N2
mg F
F
mg
F f
F 合θ
β
F
F 合 mg β
球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N F 和绳对小球的拉力T F 的大小变化的情况是
A 、N F 变大，T F 变小
B 、N F 变小，T F 变大
C 、N F 变小，T F 先变小后变大
D 、N F 不变，T F 变小 解法一：解析法（略）
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与O AO '?的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形O AO '?相似。则有。
L
F R F h R mg T N ==+ 其中，mg 、R 、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，N F 不变，
T F 变小。
3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定
——圆与三角形
【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A ，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置O ，这时两绳套AO ，BO 的夹角小于90°，现在保持弹簧秤A 的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置O ，就应该调整弹簧秤B 的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是 A 、增大B 的拉力，增大β角 B 、增大B 的拉力，β角不变 C 、增大B 的拉力，减小β角 D 、B 的拉力大小不变，增大β角
解法一：解析法（略）
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”——保持长度不变F A 将F A 绕橡皮条拉力F 端点转动形成一个圆弧，F B 的一个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结
果。
【解析】如右图，由于两绳套AO 、BO
的夹角小于90°，在力的三角形中，F A 、
F B 的顶角为钝角，当顺时针转动时，F A 、F B 的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。
但β角先减小，再增大。故选ABC 。
由图可知，这个过程中F B 一直增大，
4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另
F N mg
F f
F
F B
F A
o
A B βαB
A
β
α
O
F
F B F A
β α F N mg
F f
O
O ’
F T2
mg
F T1
α 两个力的方向夹角保持不变——圆与三角形（正弦定理）
【例4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置顺时
针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA 绳的拉力F T1，CB 绳的拉力F T2的大小变化情况是 A 、F T1先变小后变大 B 、F T1先变大后变小 C 、F T2一直变小 D 、F T2最终变为零
解法一：解析法1——让整个装置顺时针转过一个角度α，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出F T1、F T2随α变化的关系式，然后根据的变化求解。
【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设AC 绳与竖直
方向夹角为α，则由平衡条件，有
0)cos(cos 2T 1T =--+mg F F αθα 0)sin(sin 2T 1T =--αθαF F
联立，解得
θαθsin )sin(1T -=
mg F ，θ
α
sin sin 2T mg F =
α从90°逐渐减小为0°，则由上式可知：F T1先变大后变小，F T2一直变小。
解法二：解析法2——画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，F T1、
F T2的夹角(180°－θ)保持不变，设另外两个夹角分别为α、β，
写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据α、β的变化规律得到F T1、F T2的变化规律。
【解析】如图，由正弦定理有
T1T2sin(π)sin sin F F mg
θαβ
==-
整个装置顺时针缓慢转动90°过程的中θ角和mg 保持不变，α角从30°增大，β角从90°减小，易知F T1先变大后变小，F T2一直变小。
解法三：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按F T1、F T2的方向变化规律滑动，即可看出结果。
【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的F T2为直径的圆周，易知F T1先变大到最大为圆周直径，然后变小，F T2一直变小。答案为：BCD 5、其他类型
【例5】如图所示．用钢筋弯成的支架，水平虚线MN 的上端是半圆形，MN
的下端笔直竖立．一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物G ．现将轻绳的一端F T2
mg
F T1
mg
F T1 F T2
mg
F T1
F T2 β α
θ A C
M
N B
G
固定于支架上的A 点，另一端从C 点处沿支架缓慢地向最高点B 靠近（C 点与A 点等高），则绳中拉力
A ．先变大后不变
B ．先不变后变大
C ．先不变后变小
D ．保持不变
解法一：解析法——分两个阶段画受力分析图，绳端在段、NB 段，在段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易知这个夹角保持不变，则易看出结果；在NB 段，左右两侧绳与水平方向夹角也相同，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。
（解析略）
解法二：图解法——画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是一个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的变化规律。
【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个等腰三角形。
由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中力先保持不变，后逐渐减小。选C 。
三、练习
1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力F 、半球面对小球的支持力F N 的变化情况是（ ）
A ．F 增大，F N 减小
B ．F 增大，F N 增大
C ．F 减小，F N 减小
D ．F 减小，F N 增大
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F 的方向始终水平向左，而F N 的方向逐渐变得水平。
则由上图可知F 、F N 都一直在增大。 故B 正确
2、如图2所示是一个简易起吊设施的示意图，AC 是质量不计的撑杆，A 端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A 点正上方，C 端吊一重物。现施加一拉力F 缓慢将重物P 向上拉，在AC 杆达到竖直前（ ）
A ．BC 绳中的拉力F T 越来越大
B ．B
C 绳中的拉力F T 越来越小 C ．AC 杆中的支撑力F N 越来越大
D ．AC 杆中的支撑力F N 越来越小
F T =G
F 1
F 2
F T =G
F 1
F 2
mg
F N F N mg
F F F T1=G
F N
F T
F T1=G
【解析】C 点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与ABC ?的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形ABC ?相似。则有。
BC
F AC F AB
G T N == 其中，G 、AC 、AB 均不变，BC 逐渐减小，则由上式可知，N F 不变，T F 变小。B 正确
3、质量为M 、倾角为θ的斜面体在水平地面上，质量为m 的小木块（可视为质点）放在斜面上，
现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F 作用于小木块，拉力在斜面所在的平面绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ）
A ．小木块受到斜面的最大摩擦力为22)sin (θmg F +
B ．小木块受到斜面的最大摩擦力为F -mg sin θ
C ．斜面体受到地面的最大摩擦力为F
D ．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ
【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的
分量mgsin θ始终不变，其与F 和F f 构成一个封闭的三角形，当F 方向变化时可知当F 与mgsin θ方向相反时F f 最大，其值为F+mgsin θ。对于C ，D 选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力F 水平向左时摩擦力最大值为F 。故C 正确。
4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O 为圆心．对圆弧面的压力最小的是
A ．a 球
B ．b 球
C ．c 球
D ．d 球
【解析】小球受力分析如图所示，其中小球重力相同，F N1方向始终指向圆心，F N2方向始终垂直于F N1，这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示，从a 位置到d 位置F N1与竖直方向夹角在变小，做出里的动态三角形，易得a 球对圆弧面的压力最小。A 正确。
5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材．如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点．由于长期使用，导致两根支架向发生了稍小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高．座椅静止时用F 表示所受合力的大小，F 1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比（ ）
A ．F 不变，F 1变小
B ．F 不变，F 1变大
C ．F 变小，F 1变小
D ．F 变大，F 1变大
F
mg sin θ
F f
mg sin θ
F f
G
F 1
F 1 G
F 1
F 1 mg N1F N2 mg F N1 F N2
【解析】座椅受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。两根支架向发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小，从图中可以得到则绳中力F 1逐渐减小，由于座椅仍静止所受合力F 始终为零。选A 。
6、如图所示，在倾角为θ的固定粗糙斜面上，一个质量为m 的物体被水平力F 推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan θ，求力F 的取值围。
【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力F f 和弹力F N 合成为一个力F 合，则F 合的方向允许在F N 两侧最大偏角为α的围，其中μα=tan 。将这三个力按顺序首尾相接，形成如图所示三角形，图中虚线即为F 合的方向允许的变化围。
由图可知：)tan()tan(αθαθ+≤≤-mg F mg
即：
mg F mg θ
μθθ
μθθμθθμθsin cos cos sin sin cos cos sin ++≤≤+- 7、如图所示，在倾角为θ的固定粗糙斜面上，一个质量为m 的物体在拉力F 的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，为使物体加速度大小为a ，试求力F 的最小值及其对应的方向。
【解析】物体受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，由N f F F μ=可知，μα=tan 。
将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中mg 、ma 不变，F 合的方向不变。当F 取不同方向时，F 的大小也不同，当F 与F 合垂直时，F 取最小值。
由几何关系，得：αθαcos )sin(min ma mg F ++=，解得：2
min 1)sin cos (μ
θθμ+++=
ma
mg F
8、如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为3
2(设
最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2
。则
ω的最大值是
A ． 5 rad/s
B ． 3 rad/s
C ．1.0 rad/s
D ．5 rad/s
【解析】垂直圆盘向下看，物体受力如图所示，静摩擦力F f 和重力沿圆盘向下的分力mg sin30°的合
α F a mg F F 合 ma F N
mg
F f
F 合 F F N mg
F f
合F
F
F 合 mg θ
αα α mg F
F 合 ma
α+θ α
力即向心力ma 。将这两个力按顺序首尾相接，与它们的合力ma 形成闭合三角形，其中mg sin30°保持不变、ma 大小不变，静摩擦力
30cos f mg F μ≤。
由图易知，当小物体转到最低点时，静摩擦最大，为
30cos 30sin 2
fm mg r m mg F μω≤+=，解得
rad/s 0.1≤ω。故选C 。