第九章不等式与不等式组
一．基础知识
1.不等式的解集与解不等式
（1）不等式的基本性质：
①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（2）一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合。
（3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
2.不等式组的解集与解不等式组
（1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
（2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
（3）解一元一次不等式组的步骤：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
3.应用问题
列一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：
（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；
（2）解不等式（组）；
（3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。
二、经典例题
例1.解不等式731321x x --≥，并在数轴上表示它的解集
解：去分母，得143136x x --≥()
去括号，得143396x x -+≥
移项后，合并得1133x ≥- 不等式两边同乘以11，得x ≥-3 它的解集在数轴上表示如图：
说明：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似。应特别注意的是，当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。本题可先去分母，此时不要漏乘，再去括号，然后化成ax b >或ax b <的形式，最后得出解集。
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
例2.求不等式组32453122531x x x x ->-+--≥?????的整数解
解：解不等式3245x x ->-，得x <3 解不等式3122531x x +--≥，得
x ≥-75 ∴不等式组的解集为-
≤<753x 其中整数解为－1，0，1，2
说明：不等式组的解集是组成不等式组的每一个不等式解集的公共部分，因此，解一元一次不等式是解一元一次不等式组的基础，会用数轴表示一元一次不等式的解集是正确求出一元一次不等式组解集的可靠保证。
例3.已知：关于x 的方程()()k x k x 2222110--++=有两个不相等的实根，求k 的取值范
围。
分析：这道题往往容易把注意力集中在根的判别式上，因而忽视了“二次项系数不等于0”这一方程条件，使解题出现漏洞，本题虽没有明确指出方程的次数，但从“有两个不相等的实数根”中隐含着方程的次数是2这一事实。
解： 方程有两个不相等的实数根
()()222k 204k+14k 20-≠???=-->?????∴?? ∴>-k 3
2且k ≠±2
例4.解不等式-≤-<3315x
解：将原不等式的两边和中间都加上1，得
-≤<236x 将这个不等式的两边和中间都除以3，得
-≤<232x 所以原不等式解集为-≤<232x
说明：本题的另一种解法：解原不等式相当于解不等式组313315x x -≥--
例5、若方程组3133x y k x y +=++=???的解为x 、y ，且24< A.01 2<- 分析：不等式中的未知数k 隐含在方程组中，因此应从解方程组入手，考虑到要确定x y -的取值范围，故不能简单地求出k 值，而需采用整体的方法来解。两方程相减，得222x y k -=-，即k x y =-+21()，由24< ∴<-<01x y ，选B 例6.乘某城市的一种出租汽车起价是10元（即行驶路程在5km 以内都需付10元车费），达到或超过5km 后，每增加1km 加价1.2元（不足1km 部分按1km 计）。现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少km ？ 解：设从甲地到乙地的路程大约是xkm ，根据题意，得 1610125172<+-≤.().x 解此不等式组，得1011<≤x 答：从甲地到乙地的路程大于10km ，小于或等于11km 。 说明：将生活中的实际问题抽象化，建立恰当的数学模型，再根据模型使问题获解，这是中考着意突出的应用意识考查的热点。此例的设计取材于学生熟悉的生活中的问题，考查了同学们对不等式知识的掌握和应用程度。 三、适时训练 （一）精心选一选 1.下列各式，是一元一次不等式的为（ ） A.x+2y+2020>0 B.-x>2009 C.2009/y-5<0 D.(x-2008)(x+2009)>0 2.下列说法中错误的是 （ ） A.10不是x ≥11的解 B.0是x<1的解 C.x>1是不等式x+2008>2008 D.x=-2009是x+2008<0 3.下列几种说法中正确的是 （ ） A.如果a>b,则ac 2>bc 2(c ≠0) B.如果ax>-a,则x C.如果a D.如果a 4.下列数值：-20，-15，-10，0，15，20中，能使不等式x+30>20成立的数有 （ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.不等式4（2x+m ）>1的解集是x>3,则m 的值为 （ ） A.-2 B.-1/2 C.2 D.1/2 6.a 为有理数且a ≠0，那么下列各式一定成立的是 （ ） A.a 2+1>1 B.1-a 2<0 C.1+1/a>1 D.1-1/a>1 7.已知关于x 的不等式组 x<2 ,无解，则m 的 x>m 取值范围是 （ ） A.m<2 B.m ≤2 C.m>2 D.m ≥2 8.若a2009b-2009a 的解集为 （ ） A.x>-1 B.x>1 C.x<-1 D.x<1 9.若方程3m（x+1）+1=m(3-x)-5x的解是负数，则m得取值范围是（） A.m>-1.25 B.m<-1.25 C.m>1.25 D.m<1.25 10.若a≠0，则下列不等式成立的是（） A.-2a<2a B.-2a<2(-a) C.-2-a<2-a D.-2/a<2/a 11.下列不等式中，对任何有理数都成立的是（） A.x-3>0 B.|x+1|>0 C.(x+5)2>0 D.-(x-5)2≤0 12.如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。下列两个不等式是同解不等式的是（） A.-3x<36与x>-12 B.1/3·x≤1与x≥3 C.2x-2009<6x与-2009≤4x D.-1/2 x+3<0与1/3·x>-2 13.不等式1/4（2x+m）>1=m(3-x)-5x的解是负数，则m得取值范围是（） A.-2 B.-1/2 C.2 D.1/2 14.不等式组-x≤1 的解集是（） x-2<3 A.x≥-1 B.x<5 C.-1≤x<5 D.x≤-1或x>5 15.若a<0，则关于x的不等式|a|x A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1 16.关于x的方程5x-2m=-4-x的解在2与10之间，则m得取值范围是（） A.m>8 B.m<32 C.8 D.m<8或 m>32 17.小明准备用21元钱买笔和买笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，他买了两个笔记本，请你帮他算一算，他最多还可以买笔（） A.4支 B.5支 C.6支 D.7支 18.班委会决定元旦晚会上给每一位同学赠送礼品：音乐贺卡或鲜花，已知音乐贺卡每张5元，鲜花每束2元，全班共40人，班长用150元钱最多只能买音乐贺卡（） A.23张 B.30张 C.14张 D.40张 19.某种出租车的收费标准为起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）。某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地距离最大值是（） A.5千米 B.7千米 C.8千米 D.15千米 20.小红家离学校1600米，一天早晨由于有事耽误，结果吃完饭时只差15分钟就上课了，忙中出错，出门时又忘了带书包，结果回到家又取书包共用了3分钟，只好坐小汽车去上学，小汽车的速度是36千米/时，小汽车行驶了1分3秒时又发生堵车，她等了半分钟后，路还没有畅通，于是下车又开始步行，问：小红步行速度至少是多少时，才不至于迟到（） A．60米/分 B.70米/分 C.80米/分 D.90米/分 （二）细心填一填 1.当a 时，4a+2010/6表示正数。 2．如果点A（x-2008,-2009）在第三象限，那么x的取值范围是 3.如果一个三角形的第三条边长分别为15、17、x，则x得取值范围是 4.不等式3x-2≥4（x-1）的所有非负整数解得和等于 5.若式子4x-3/2的值不大于3x+5的值，则x的 6.若不等式组1 x>m 7.若不等式组 2x-a<1,的解集为-2 x+2>0 8.不等式组 x-4≥0 的解集是 x-6≤0 9.不等式组. x>a, 的解集为x>3,则a的取值范围是 3x+2<4x-1 10.关于x的不等式2x-a≤-3的解集如图所示，则a的值是 11.已知|2x-24|+(3x-y-m)2=0中，0 12小聪与小明玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小聪的身体重量为p（kg）,书包的重量为2kg，小明的身体重q(kg)，怎样表示p、q之间的关系呢 13.一种药说明书上写着：“每日用量60―120mg分3-4次服用”一次服用这种要的剂量a的范围是 14.小红家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费3元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费5元，设小红家每月的用水量是x吨，则可列出不等式 15.一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题-1分，在这次竞赛中，小明获得优秀奖（90或90分以上），则小明至少答对道题。 16.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的生产就超过原来20天的产量，则原来每天最多能生产辆汽车。 17.一位老师说，他班学生的一半在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还生不足6名学生在操场上踢足球，则这个班的学生共有多少人 18.定义一种新运算：aΔb=a·b-a+b+1,如果3Δ4=3×4-3+4+1，试比较大小：（-3）Δ4 4Δ（-3）.（填“<”,”=”,”>”） （三）认真答一答 1 解不等式x-3/2>x+6/5 2 解不等式3（x+2）-1>8-2(x-1),并把它的解集在数轴上表示出来. 3 解不等式组 5x-2>3(x+1), 并求其正数解。 1/2·x-1≤7-3/2·x 4 求不等式组的整数解 x-1/2 +1≥x 的整数解。 x+2>0 5 解不等式组 x+3/2≥x+1, 并求出该不等式组的整数解的和. 1-3(x-1)<8-x 6 如果方程组3x+y=2k+3,的解为x、y,k≤9时，求x-y的取值范围. x+3y=5。 7 已知不等式5x-2<6x+1的最小正正数解是方程3x-3ax/2=6的解，求a的值。 8 k为何值时，等式|-24+3a|+(3a-k/2-b) 2=0中的b是负数？ 9 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两个数大小的方法：若A-B>0，则A>B;若A-B=0，则A=B;若A-B<0，则A 10 是否存在这样的正数a，使方程组3x+4=a,的解是一对非负数。 4x+3y=5 11在一次爆破中，用一条0.5米长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5厘米/秒，引 爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600米以外（包括600米）的安全区域？12某车间生产机器零件，若每天预定计划多做一件，8天所做零件的总数超过100件；若每天 比预定计划少做一件，那么8天说做零件的总数不到90件，问预定计划每天做多少件？（件数是正整数） 13哇哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲乙两家商场给出优惠政策：甲商场全场九折，乙商场20瓶以上的部分8折。若你是消费者，选哪家商场比较合适？ 14.有一群猴子，一天结伴去摘桃子。分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个。你能求出有几只猴子，几个桃子吗？ 15小记者团有48人要在招待所住宿，招待所一楼没住客的客房比二楼少5间，如果全部住在一楼，每间住5人，则住不满；每间住4人，则不够住。如果全部住在二楼，每间住4人，则住不满；每间住3人， 则不够住。招待所一楼和二楼各有几间尚未住客的客房？ 四参考答案 一、精心选一选 1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.A 7.D 8.D 9.B 10.B 11.B 12.A 13.A 14.C 15.C 16.C 17.B 18.B 19.A 20.B 二、细心填一填 1.a>1005/2 2.x<2008 3.2 4.3 5.x≤13/2 6.m≤2 7.-3/2 8.4 13.20≤a≤30 14.3×5+5(x-3)≥15 15.24 16.17 17.55 18.> 三、解答题 1.解：5（x-3）>2(x+6) 2解：3(x+2)-1>8-2(x-1) 5x-15>2x+12 3x+6-1>8-2x+2 3x>27 5x>5 x>9 x>1 画图略3.解：5x-2>3(x+1) ① 4.解：x+2>0① x/2-1≤7-3x/2②x-1/2+1≥x② 由①得x>5/2 由①得x>-2 由②得x≤4 由②得x≤1 所以5/2 5解：x+3/2≥x+1① 6.解：3x+y=2k+3① 1-3(x-1)<8-x②x+3y=5② 由①得x≤1 ②×3-①得 由②得x>-2 8y=12-2k 所以-2 所以x的整数解有-1，0，1 把y=12-2k/8代入②得 为-1+0+1=0 x+3(12+2k/8)=5 X=3k/4+1/2 x-y=3k/4+1/2-12-2k/8=k-1 因为k≤9所以k-1≤8 7.解. 5x-2<6x+1 8 .解：因为|-24+3a|+(3a-k/2-b) 2=0 解得x>-3 所以|-24+3a|=0解得a=8 所以x的最小整数值为x=-2 所以(3a-k/2-b) 2=0 所以方程3x-3ax/2=6的解为x=-2 解得b=24-k/2 把x=-2代入方程得因为b是负数所以b<0 -6+3a=6解得a=4 即24-k/2<0 所以a得值为4 所以k>48 9.解2x2-2x+2009-(x2-2x+2008) 10：.3x+4=a① =2x2-2x+2009- x2+2x-2008 4x+3y=5② = x2+1 由①得x=a-4/3③,把③代 因为x2≥0 所以x2+1≥1 入②得y=5/3-(4a-16)/9 所以2x2-2x+2009> x2-2x+2008 所以x=a-4/3 y=5/3-(4a-16)/9 因为x<0 y<0所以a-4/3<0 5/3-(4a-16)/9<0 所以1/4 0.5厘米/秒=0.005秒 0.5x、0.005≥600 所以x≥6 所以，至少以每秒6的速度才能到达安全区域 12.解：设预定计划每天做x件。8(x+1)>100 解得11.5 8(x-1)<90 因为x为正整数所以x=12，所以预计每天做12件 13.解：设买x瓶矿泉水 当甲<乙时，1.2×0.9x<1.2×20+0.8(x-20)×1.2(x>20), X<160/199(不符合实际) 当乙<甲时，1.2×20+0.8(x-20)×1.2<1.2×0.9x(x>20), x>20 所以，当买20瓶以下时选甲商场，当买余20瓶时选乙商场14.解：设有猴子x只，则有桃3x+59 3x+59<5x 解得59/2 3x+59>5(x-1) 所以3x+59=3×30+59=149 所以有猴子30只有桃子149个 15.解：设一楼有空房x间二楼有空房（x+5）间 5x>48>4x 所以9.6 4（x+5）>48>3（x+5） 所以x=10 所以x+5=15 所以，招待所一楼有空房10间二楼有空房15间.
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