2020年高三数学上期末一模试题及答案
一、选择题
1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）
A ．2
B ．-4
C ．2或-4
D ．4
2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x ＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ?==，则1a = ( )
A ．
12
B ．2 C
D ．
2
4．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ?< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198
B ．199
C ．200
D ．201
5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年
B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4
B ．10
C ．16
D ．32
7．ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6
B π
=，4
C π
=
，
则ABC ?的面积为（ ）
A ．2+
B 1
C ．2
D 1
8．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，数列{}n b 满足1
sin
2
n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x
y =?的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*
()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）
A ．2n n S T =
B ．21n n T b =+
C ．n n T a >
D ．1n n T b +<
10．已知x，y均为正实数，且
111
226
x y
+=
++
，则x y
+的最小值为（）
A．20B．24C．28D．32
11．设x y
，满足约束条件
70
310,
350
x y
x y
x y
+-
?
?
-+
?
?--
?
，
，
?
?
…
则2
z x y
=-的最大值为（）.
A．10B．8C．3D．2
12．若变量x，y满足约束条件
1
358
x
y x
x y
≥-
?
?
≥
?
?+≤
?
，
，，则
2
y
z
x
=
-
的取值范围是（）
A．
1
1
3
??
-??
??
，B．
11
1
15
??
--
??
??
，C．
111
153
??
-??
??
，D．
31
53
??
-??
??
，
二、填空题
13．若,a b∈R，0
ab>，则
44
41
a b
ab
++
的最小值为___________.
14．已知lg lg2
x y
+=，则
11
x y
+的最小值是______.
15．已知变数,x y满足约束条件
340
{210,
380
x y
x y
x y
-+≥
+-≥
+-≤
目标函数(0)
z x ay a
=+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为_____________．
16．已知数列{}n a，11
a=，
1
(1)1
n n
na n a
+
=++，若对于任意的[2,2]
a∈-，*
n∈N，
不等式132
1
t
n
a
a
n
+<-?
+
恒成立，则实数t的取值范围为________
17．如图，在ABC
V中，,4
3
C BC
π
==时，点D在边AC上，AD DB
=，
DE AB
⊥，E为垂足若22
DE=，则cos A=__________
18．已知数列{}n a的前n项和为2*
()
2
n
S n n n N
=+∈，则数列{}n a的通项公式n
a=______．
19．若x ，y 满足约束条件1300
x y x y x y -≥-??+≤?
?≥??≥?，则2z x y =-的最大值是__________．
20．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1
lim 2
n n
S →∞
=
，则首项1a 的取值范围是____________．
三、解答题
21．设}{
n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.
（2）设11a =，*2()n
a n
b n N =∈，数列}{
n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有
20n T ≤，求d 的取值范围.
22．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥??
+≥??≤?
，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为
33a -，求实数a 的取值范围.
23．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,7a b ==
，面积
3
S accosB =
. （1）求sin A 的值；
（2）若点D 在BC 上（不含端点），求
sin BD
BAD
∠的最小值.
24．如图，在ABC ?中，45B ?∠=，10AC =,25
cos C ∠=
点D 是AB 的中点, 求
（1）边AB 的长；
（2）cos A 的值和中线CD 的长
25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △33
11b c +的值．
26．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】
∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，
2342S S S =+，12a =，
∴()()()34212122211q q q q
q
--+=
+
--，解得2q =-，
∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．C
解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π??+
???是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
3．D
解析：D 【解析】
设公比为q ，由已知得()2
284
1112a q a q a q ?=，即2
2q
=，又因为等比数列{}n a 的公比为
正数，所以q 2
12a a q =
==
，故选D. 4．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据10a >，991000a a +>，991000a a ?<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】
∵991000a a ?<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()11989910019819819802
2
a a a a S +?+?=
=> ，
()1199199100
19919902
a a S a
+?=
=<，
由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．
5．C
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.
6．C
解析：C 【解析】
由64S S -=6546a a a +=得，()
22
460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而
3522=28=16a a =??，故选C.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得，，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由2
n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos
2
n n π
-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-，
当1n =时，11110a S ==-=；
当2n …时，1n n n a S S -=-22
(1)(1)22n n n n n ??=-----=-??，
上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos
2n n n b a π==2(1)cos 2
n n π
-， ∵函数cos 2
n y π=的周期24
2
T ππ==，
∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)
2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L
02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=?=L ，
故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：332,323n
n
n n S S +=?=?- ，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项
公式：1
32n n a -=? ，
设11n n
b b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=? ，解得：11,2b q == ，
数列{}n b 的通项公式12n n
b -= ，
由等比数列求和公式有：21n
n T =- ，考查所给的选项：
13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .
本题选择D 选项.
10．A
解析：A 【解析】
分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且
111226x y +=++，则116122x y ??+= ?++??
(2)(2)4
x y x y ∴+=+++-
11
6(
)[(2)(2)]422
x y x y =++++-++ 2222
6(2)46(22)4202222
y x y x x y x y ++++=+
+-≥+?-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.
x y ∴+的最小值为20. 故选A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-， 联立70
310x y x y +-=??
-+=?
，解得5,2A
（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28?=. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2
y
z x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示： 由358y x x y =??
+=?，解得11A (，)，由1
x y x
=-??
=?，解得(11)B --，， 而2
y
z x =
-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，
的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13
BC k =， 所以2y z x =
-的取值范围为113??-????
，， 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
二、填空题
13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅
解析：4 【解析】
44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是
222a b =，后一个等号成立的条件是1
2
ab =
，两个等号可以同时取得，则当且仅当
22a b =
=
时取等号）. 【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）
22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，
当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
14．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填
解析：15
【解析】
由lg lg 2x y +=得：100xy =，所以
1111111
()1001005
xy x y x y x y ??+=+=+≥ ???，当且仅当10x y ==时，取等号，故填
1
5
. 15．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：点而目标函数仅在点处取得最大值所以考点：线性规划最值问题
解析：1
(,)3
+∞
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：，点
(22)A ，，而目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，所以
11
33
AB k a a -
>=-∴> 考点：线性规划、最值问题.
16．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-
【解析】 【分析】 由题意可得
11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11
n a
n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-?恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】
解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=
则有11111(1)1
n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有
11111111n n n
n n n a a a a a a n n n n n n ++--?????=-+-+- ? ? ++--?????2211122n a a a a n -???
+?+-+ ??
-???
(1
1111111121n n n n n n ??????=-+-+-+?+ ? ? ?+---??????
11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式
1
321
t n a a n +<-?+恒成立， 即232t a ≤-?对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，
21t a ∴?≤，[2,2]a ∈-恒成立，
∴2211t t ?≤?≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】
本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题
的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为
111
11
n n a a n n n n +-=-++． 17．【解析】在△ABC 中
∵DE⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD∴A=∠ABD∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A 在△BCD 中由正弦定理得即整理得cosA=
解析：
4
【解析】
在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE
=，∴AD
, ∴BD =AD
=
sin A
． ∵AD =BD ，∴A =∠ABD ， ∴∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A ， 在△BCD 中，由正弦定理得
sin sin BD BC
C BDC
=
∠ ，
4sin 2A = ，整理得cosA
18．【解析】【分析】由当n ＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1即可得出【
详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验 解析：*2)1(n n N +∈
【解析】 【分析】
由2*
2n S n n n N =+∈，，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得出．
【详解】
当2n ≥，且*n N ∈时，
()
()()2
212121n n n a S S n n n n -??=-=+--+-??
()
2222122n n n n n =+--++-
21n =+，
又2
11123S a ==+=，满足此通项公式，
则数列{}n a 的通项公式(
)*
21n a n n N =+∈．
故答案为：(
)*
21n n N
+∈
【点睛】
本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．
19．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式
解析：[﹣3，3] 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：
联立13x y x y -=-+=，解得12
x y ==，()1,2B ，
化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22
x z
y =-. 由图可知，当直线22
x z
y =
-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-?=-；
当直线22
x z
y =
-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-?=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].
故答案为：[﹣3，3].
点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
20．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：110,,122????
? ?????
U
【解析】 【分析】 由题得11
(1)2
a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-?即可得解 【详解】
由题意知，1112a q =-，可得11
(1)2a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-?，所以可求得1110,,122a ????
∈ ? ?????
U .
故答案为：110,,122????
? ?????
U
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）2020（2）29-,log 10??∞ ??
?
【解析】 【分析】
（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；
（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】
（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 612
55
a a -=
=-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）22
20120
+，
由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；
（2）设()*
11
2n
a n a
b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n
，
可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n (
)21221212dn d
d
-=
--＜
，
对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得202
12d
≥-，且d ＜0， 解得d ≤29
log 10
． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
22．[]1,1-
【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数a 的取值范围. 【详解】
作出不等式组6003x y x y x -+≥??
+≥??≤?
所表示的可行域如下图所示：
由z ax y =+得y ax z =-+，
Q 目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.
∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，
当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小， 结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线
60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是
[]1,1-.
【点睛】
本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题. 23．（1
；（2）3 【解析】 【分析】
（1）由三角形面积公式得出60B ?=，再由正弦定理即可得出sin A 的值； （2）先由余弦定理得出AD ，再结合正弦定理以及二次函数的性质得出sin BD
BAD
∠的最
小值. 【详解】
（1
）由三角形面积公式得
1sin cos 22
ac B ac B =
，则tan B =()0,B π∈Q ，60B ?∴=
由正弦定理sin sin a b A B
=
得，2sin sin a B A b === （2）由余弦定理得22222cos 230b a c ac B c c =+-?--=，解得1c =-（舍）或
3c =
设x BD =，则2DC x =-，()0,2x ∈
，由余弦定理得cos C =
= 2222cos AD DC AC DC AC ACD =+-?
∠2(2)7(2)14
x x =-+--?
239x x =-+
由正弦定理得sin sin BD AD BAD ABC ==
∠∠ 当32x =时，sin BD BAD ∠
3= 【点睛】
本题主要考查了利用正余弦定理解三角形，属于中档题. 24．（1）2 （2
【解析】 【分析】
【详解】
（（1
）由cos 0ACB ∠=
>可知，ACB ∠是锐角，
所以，sin 5ACB ∠=== 由正弦定理sin sin AC AB B ACB
=∠
,sin 2
sin 5AC AB ACB B =∠== （2）cos cos(18045)cos(135)A C C ???
=--=-
cos sin )C C =
-+= 由余弦定理:
CD === 考点：1正弦定理；2余弦定理． 25．（1）3π；（2
）2
【解析】 【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。 （ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。 【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=。
（2）由ABC n
及A 3π=
得1bcsin 23π=bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=
，所以b c +=，
所以
11b c b c bc ++==
。 【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。 26．（1）22n a n =+；（2）63 【解析】 【分析】
（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；
（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】
（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-?=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628
b q b ===，446282128b b q ==?=， ∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.