分式方程的增根与无解
甲:增根是什么?
乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．比如
例1、解方程:。①
为了去分母，方程两边乘以，得②
由②解得。
甲:原方程的解是。
乙:可是当时，原方程两边的值相等吗？
甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？
乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。
甲:那为什么会出现这种情况呢?
乙:因为原来方程①中未知数ｘ的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲:如此说来,从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢?
乙:很简单,两个字:检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。
甲：那么,这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢?
乙:原方程无解。
甲:啊?！为什么会无解呢？
乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论ｘ取何值,都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。
甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢?
乙:不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：
例2、解方程，
去分母后化为,解得或,此时，是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。
乙:增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看：
例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。
首先把原方程去分母,化为。③
因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或
若增根为,代入方程③,得，；
若增根为，代入方程③,得,。
故当或时，原方程会有增根。
甲:虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事？
乙：你说的没错,增根与无解都是分式方程的“常客”,它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中,讨论无解的情形时应考虑增根,例如:
例4、已知关于ｘ的方程无解，求m 的值。 先把原方程化为。④
(１)若方程④无解，则原方程也无解,方程④化为，当,而时，方程④无解，此时。 （２)若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根,这时原方程也无解,所以，当方程④的解为
时原方程无解,
代入方程④,得，故。 综合(1）、(2)，当或时，原方程无解。
妙用分式方程的增根解题
在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例．
例1 若关于x 的方程1101
ax x +-=-有增根,则a 的值为_＿_＿＿__＿__＿＿_＿＿＿__. 析解：去分母并整理,得11ax x +=-,因为原方程有增根，增根只能是1x =,将1x =代入去分母后的整式方程,得1a =-．
例2 若关于x 的方程2233
x m x x -=+--无解,则m 的值是_＿__＿____. 析解:去分母并整理，得40x m +-=.
解之，得4x m =-.
因为原方程无解,所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以43m -=，1m =.
例３． 已知方程214x -＋2＝2
k x -有增根，则k =____＿__＿__＿___. 析解:把原方程化成整式方程,得
212(4)(2)x k x +-=-+.
因为原方程有增根，所以增根只能是2x =或2x =-．
将2x =代入212(4)(2)x k x +-=-+,得14
k =-; 将2x =-代入212(4)(2)x k x +-=-+，无解.故应填－
14.
练一练：
1. 如果分式方程11
x m x x =++无解，则m 的值为( ）. (Ａ)1 (Ｂ)0 （C)-１ （D)－2
2. 如果方程
2211x k x x x
++=--有增根1x =，则k ＝_＿＿_____.
答案：1．C;2.1;
分式方程的增根及其应用
一、增根的原因
解分式方程时,有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中,无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,于是就产生了如下两种情况:（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内,那么整式方程的根就是分式方程的根;(２)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根,是分式方程的增根．因此，解分式方程时,验根是必不可少的步骤.
二、利用增根解题
不可否认,增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性,由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根,同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种:
１.已知方程有增根,确定字母系数值
例1:若方程323-=--x m x x 有增根，则m 的值为 ( ） Ａ. -３ B ．3 C.0 D ．以上都不对
析解：把分式方程两边同乘以公分母x －3，得整式方程x －2（ｘ-3）=m ．若原方程有增根,必须使公分母x-3等于0,即x=3,代入整式方程得３=６- ｍ,解得m=3.故应选Ｂ．
点评:方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程;②令公分母为0，求出ｘ的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．
２．已知方程无解，确定字母系数值
例2：若方程132323-=-++--x
mx x x 无解,则m 的值为 （ ) A. －1 B.3 Ｃ．－１ 或3 D ．-1 或5
3- 分析：把分式方程化为整式方程,若整式方程无解,则分式方程一定无解;若整式方程有解,但要使分式方程无解，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值,此时相应的字母系数值使分式方程无解．
解：去分母，得(3-２x)－(2+m ｘ）=３-x,整理，得(ｍ+1） x=-2.若m+1=0,则m ＝ －1,此时方程无解；若m+1≠0，则x=12+-m 是增根.因为12+-m =３,所以m=53-.所以m 的值为-1 或5
3-,故应选D. 点评:方程无解的条件,关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解,但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到.
３．已知方程无增根,确定字母系数值
例3:若解关于x 的方程1
112+=---x x x k x x 不会产生增根,则k 的值为 ( ) A ．2 B.1 C ．不为±2的数 D ．无法确定
析解:去分母，把分式方程化为整式方程，x （ｘ+1）-k=x(x-1)，解关于ｋ的方程,得k=2x.由题意, 分式方程无增根，则公分母x 2-1≠０,即x ≠±1，则ｋ≠±2.故应选C ．
点评:方程无增根,就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0,利用这一点可以确定字母系数值或取值范围．
妙用分式方程的增根求参数值
解分式方程时，常通过适当变形化去分母,转化为整式方程来解,若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根,应舍去,由此定义可知：增根有两个性质:（1)增根是去分母后所得整式方程的根;(２)增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质,可简捷地确定分式方程中的参数(字母）值，请看下面例示：
一、 分式方程有增根,求参数值
例1 ａ为何值时,关于x 的方程3
42-+-x a x x =0有增根? 分析:先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a 的值
解:原方程两边同乘以（x-3）去分母整理,得
x 2-4x ＋a=０（※）
因为分式方程有增根,增根为x=3,把x=3代入（※）得，9-1２+a ＝0 a=３
所以a=3时,3
42-+-x a x x =0有增根。 点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值
例2 m 为何值时，关于x 的方程11-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。
分析:原分式方程有增根，应是使分母为０的x 值。将这样的x 值代入去分母的整式方程可求出m 的值。 解：原方程两边同乘以(x-1)(x-2)去分母整理,得
（１＋m ）x=3m ＋4(※)
因为分式方程有增根,据性质(2)知：增根为ｘ=1或x=２。把x=1代入(※)，解得m=-23；把ｘ=2代入(※)得m=-
２
所以m ＝－23或-2时，原分式方程有增根
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解(无实）,如方程1+x k +１=)2)(1(2-+x x 有增根，可求得k=-32,但分式
方程这时有一实根x ＝38。
二、 分式方程是无实数解,求参数值
例3 若关于x 的方程52--x x =5-x m +2无实数根,求ｍ的值。
分析：因原方程无实数根,将原方程去分母得到整式方程解出的ｘ值为原方程的增根，又x=５是原方程的增根,故可求出ｍ的值
解:去分母，得x-2=ｍ＋2ｘ-1０，ｘ＝-m+８
因为原方程无解,所以ｘ＝-m+8为原方程的增根。
又由于原方程的增根为ｘ=5，所以－m ＋８=5
所以m=3
点评:这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。
分式方程的非常规解法
抓特点选方法
有些分式方程利用一般方法解非常麻烦，若能根据题目的特点,采用一些特殊的方法,就可避免不必要的麻烦，巧妙地求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习题予以说明．
一、分组化简法
例１.解方程：111102345
x x x x --+=++++ 分析：本题的最小公分母为(2)(3)(4)(5)x x x x ++++,若采用一般解法，就会出现高次项数,计算相当繁琐，而且也极易出错，我们注意到
11123(2)(3)x x x x -=++++，11145(4)(5)
x x x x -=++++,在此基础上再通过比较上面两式即可将本题求解.
解:原方程化为:1111()()02345x x x x ---=++++，∴上式可变为:110(2)(3)(4)(5)x x x x -=++++.即11(2)(3)(4)(5)
x x x x =++++， ∴(2)(3)(4)(5)x x x x ++=++，解这个整式方程得: 3.5x =-，当 3.5x =-时,该分式方程中各分式的分母的值均不为0,所以 3.5x =-为原方程的解．
二、拆项变形法
例2．解方程2332+-x x -21-x =x
x x x 24122-+- 分析：本题求解时应首先将题目中的第1，3,4个分式的分母因式分解，再将这几个分式分解成两个分式差的形式，目的是通过整理将其化繁为简，使方程变得简捷易解.
解:原方程变形为:3311122(
)()()21212x x x x x x x --=-+------ 化简后整理得:
143-=x x ，∴3(1)4x x -=,解得:3x =-,当3x =-时，分式方程中的各分式的分母均不为0,故3x =-是原方程的解． 三、利用特殊分式方程a
a x x 11+=+
求解. 分式方程a a x x 11+=+的解为121x a x a ==，，若一个方程等号两边的项分别互为倒数时，则此时便可套用上面的方程的解法求解.
例3．解方程：
2
123113=-+-x x x x 分析:因本题中13-x x 与x x 31-，2与21分别互为倒数,符合方程a a x x 11+=+的特点，故可将该方程转化为这种方程的形式求解. 解：原方程变形为3112132x x x x -+=+-，设则x x 31-=y 1,此时原方程变形为:1122y y +=+，∴2y =或12y =．即321x x =-或3112x x =-，解得：12125x x =-=-，.经检验得：12125
x x =-=-，都是原方程的解.∴原方程的解为12125
x x =-=-，.
与分式方程根有关的问题分类举例
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现,现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
(2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例１. (2000年潜江市）
使关于x 的方程a x x a x 2
2
24222-+-=-产生增根的a 的值是( ) A. 2 ??B. －2 ?C. ±2
? Ｄ. 与a 无关
解:去分母并整理,得： ()a x 22401--=<>
因为原方程的增根为x =2，把x =2代入＜1＞，得a 2=４
所以a =±2
故应选C 。
例２. （199７年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x
+-++=+产生增根,则m 的值是( ) A. -１或-2 Ｂ. －1或2
Ｃ. １或２?? ? D ． 1或-2
解:去分母并整理,得:
x x m 22201---=<>
又原方程的增根是x =０或x =-1，把ｘ=0或x =－１分别代入<1>式，得:
m =2或m =1
故应选Ｃ。
例3． （20０1年重庆市)
若关于x 的方程ax x +--=11
10有增根,则ａ的值为________＿＿。 解:原方程可化为:()a x -+=<>1201
又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1＞，得:
a =-1
故应填“-1”。
例4． （２001年鄂州市）
关于x 的方程x x k x -=+-323
会产生增根,求k 的值。 解：原方程可化为:()x x k =-+<>231
又原方程的增根为x =3,把x =3代入<1>，得:
k ＝3
例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：
()()()115111
2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。 解:原方程可化为： ()()()()x k x k x ++--=-<>151112
把x =1代入＜１＞，得k=３
所以当k=３时，解已知方程只有增根ｘ=1。
评注:由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：
（１）将所给方程化为整式方程；
(２）由所给方程确定增根(使分母为零的未知数的值或题目给出）;
(3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
２． 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围
例6． （２002年荆门市）
当k 的值为_______＿_(填出一个值即可）时,方程x x k x x x
-=--122只有一个实数根。 解：原方程可化为:x x k 2201+-=<>
要原方程只有一个实数根,有下面两种情况:
(1）当方程<1>有两个相等的实数根,且不为原方程的增根,所以由?=+=440k 得k ＝-1。当k=-1时，方程<1>的根为x x 121==-，符合题意。
（2)方程<１>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根,所以由?=+>440k ，得k>-1。又原方程的增根为x =０或x =１,把x =０或x =1分别代入<1>得ｋ=0,或k=３,均符合题意。
综上所述：可填“-１、0、3”中的任何一个即可。
例7. (２002年孝感市）
当ｍ为何值时，关于x 的方程2111
2x x m x x x ---=+-无实根？ 解:原方程可化为：
x x m 2201-+-=<>
要原方程无实根，有下面两种情况：
(1)方程<1>无实数根,由()()?=---<14202
m ，得m <74
; (2)方程<１>的实数解均为原方程的增根时,原方程无实根，而原方程的增根为ｘ=0或x ＝1,把x ＝0或x =1分别代入<１>得m =2。 综上所述：当m <74
或当m=2时，所给方程无实数解。 例8. （200３年南昌市)
已知关于ｘ的方程11x m x m --=有实数根,求ｍ的取值范围。 解:原方程化为：mx x 2101-+=<>
要原方程有实数根，只要方程＜1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。
(1)当m =0时，有x ＝１，显然ｘ=1是原方程的增根，所以m =0应舍去。
(2)当m ≠0时，由?=-≥140m ,得m ≤14
。 又原方程的增根为x ＝０或ｘ＝１,当x ＝0时,方程<1＞不成立;当x m ==10，。 综上所述：当m ≤
14
且m ≠0时，所给方程有实数根。 评注：由以上三例可知,由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是:
（1）将所给方程化为整式方程;
(2)根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围,注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3． 已知分式方程无增根,求字母系数的取值范围 例9. 当a 取何值时,解关于x 的方程:()()
x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 解:原方程可化为：
23012x ax +-=<>
又原方程的增根为ｘ=2或x =-1,把x =２或x =-1分别代入＜1＞得:
a =-52
或a =-1 又由?=+>a 2240知,a 可以取任何实数。
所以,当a ≠-
52
且a ≠-1时,解所给方程无增根。 评注:解答此类问题的基本思路是:
（1)将已知方程化为整式方程;
(2)由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（３)从有实数根的范围里排除有增根的值,即得无增根的取值范围。
4. 已知分式方程根的符号,求字母系数的取值范围
例9． 已知关于ｘ的方程x a x +-=-2
1的根大于0，求a 的取值范围。 解:原方程可化为:22x a =- 所以x a =-12
由题意,得：
120->a 且12
2-≠a 所以a <2且a ≠-2
例１0． 已知关于x 的方程x k x +-=2
2的根小于0，求k 的取值范围。 解：原方程可化为:x k x +=-24
所以x k =+4
由题意,得:k +<40
所以k <-4
评注:解答此类题的基本思路是:
（1）求出已知方程的根；
（２）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围,注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
说明:注意例9与例１0的区别，例9有12
2-≠a ,而例１0无k +≠42这一不等式？请读者思考。
增根在分式方程中的灵活运用
增根是指适合所化的整式方程,但不适合原分式方程的根。由此可见，增根必须同时满足两个条件：（1)是由分式方程转化成整式方程的的根。（2)使最简公分母为零。在解分式方程时，由于可能出现增根,因此我们在解分式方程时要验根，这是增根的基本用途。在近几年中考中出现了一类关于分式方程增根灵活运用的题。下面我们来看两种类型的应用：
（一)由增根求参数的值
这类题的解题思路为:
①将原方程化为整式方程(两边同乘以最简公分母);
②确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值)；
③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
例:（2005扬州中考题)
若方程)1)(1(6-+x x -1
-x m ＝1有增根,则它的增根是( ）
A 、0
B 、1 Ｃ、-1 D 、1或-1
分析：使方程的最简公分母 （x+1）(x －1)=０则x=-1或ｘ＝1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零，还必须是所化整式方程的根。
原方程易化成整式方程：
6-ｍ(x+1）=x 2-1
整理得：
ｍ(x+1）=7－x ２
当x ＝ －1时,此时m 无解;
当x=1时,解得m=３。
由此可得答案为B 。
（二）由分式方程根的情况，求参数的取值范围
这类题的解题思路为
①将原方程化为整式方程。
②把参数看成常数求解。
③根据根的情况,确定参数的取值范围。(注意要排除增根时参数的值)
例:关于x 的方程3-x x -2＝3
-x m 有一个正数解，求m 的取值范围。 分析：把m 看成常数求解,由方程的解是正数，确定m 的取值范围,但不能忽略产生增根时m 的值。 原方程易化为整式方程：
x-2 （x －3)=m
整理得:
x=6－ｍ
∵原方程有解,故6-m 不是增根。
∴６-ｍ≠3 即m ≠３
∵x ＞０
∴m ＜6
由此可得答案为m 的取值范围是ｍ＜６且ｍ≠3。
综上所述关于增根的问题,一定要弄清楚增根的定义,及增根必须满足的条件，和解这类题的思路,相信同学们就不会觉得困难了。