2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
1
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，2 只有一个选项符合
3 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 4
1、设cos 1sin ()x x x α-=?，()2
x π
α<
，当0x →时，()x α（ ）
5
（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 6
（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小
7
【答案】（C ） 8
【考点】同阶无穷小 9
【难易度】★★
10
【详解】cos 1sin ()x x x α-=?，21cos 12x x --
11
21
sin ()
2
x x x α∴?-，即1sin ()2
x x α- 12
∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα
13
1
()
2
x x α∴-，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）. 14
2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2
lim [()1]n n f n
→∞-=（ ）
15
（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 16
【答案】（A ）
17
【考点】导数的概念；隐函数的导数 18
【难易度】★★
19
【详解】当0x =时，1y =.
20
002
()1
2(2)1(2)(0)
lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x x
n
→∞→∞→→---'-==== 21
方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得
22
1
sin()()10xy y xy y y
''-++
?-= 23
将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''==
24
所以，2
lim [()1]2n n f n
→∞-=，选（A ）.
25
3、设sin [0,)
()2[,2]x f x πππ?=??
，0()()x F x f t dt =?，则（ ）
26
（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点
27
（C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导
28
【答案】（C ）
29
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 30
【难易度】★★
31
【详解】2
2
(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππ
ππ-==+=???，(0)2F π+=，
32
(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.
33
()()()lim
0x
x f t dt f t dt
F x π
π
ππ
-
-
→-'==-??，0
()()()lim
2x
x f t dt f t dt
F x π
π
ππ
+
+
→-'==-??，
34
()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.
35
4、设函数1
111(1)()1ln x e x f x x e x x αα-+?
<
()f x dx +∞?收敛，则（ ）
36
（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< 37
【答案】（D ）
38
【考点】无穷限的反常积分 39
【难易度】★★★ 40
【详解】1
1
()()()e e
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
=+?
??
41
由1
()f x dx +∞
?
收敛可知，1
()e f x dx ?与()e
f x dx +∞
?
均收敛.
42
1
1
1
1
()(1)e
e
f x dx dx x α-=-?
?
，1x =是瑕点，因为
1
1
1
(1)e
dx x α--?
收敛，所以
43
112αα-
44
111()(ln )
ln e
e
e
f x dx dx x x x α
αα
+∞
+∞
+∞
-+==-?
?
，要使其收敛，则0α>
45
所以，02α<<，选D.
46
5、设()y
z f xy x
=
，其中函数f 可微，则
x z z y x y ??+=??（ ） 47
（A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2
()f xy x
- 48
【答案】（A ）
49
【考点】多元函数的偏导数 50
【难易度】★★
51
【详解】22()()z y y f xy f xy x x x ?'=-+
?，1
()()z f xy yf xy y x ?'=+? 52
221
[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x
??''∴+=-+++?? 53
11
()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x
'''=-
+++=，故选（A ）. 54
55
6、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记
56
()(1,2,3,4)k
k D I y x dxdy k =-=??，则（ ）
57
（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 58
【答案】（B ）
59
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 60
【难易度】★★
61
【详解】根据对称性可知，130I I ==.
62
2
2()0D I y x dxdy =->??（
0y x ->）
，4
4()0D I y x dxdy =-
63
因此，选B.
64
65 7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） 66
（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 67
（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 68
（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 69
（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
70
【考点】等价向量组 72
【难易度】★★
73
【详解】将矩阵A 、C 按列分块，1(,
,)n A αα=，1(,
,)n C γγ=
74
由于AB C =，故11
1111(,
,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ?? ?
=
? ???
75
即1111111,
,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=+
+
76
即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.
77
由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.
78
8、矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ??
?
? ???
相似的充分必要条件是（ ）
79
（A ）0,2a b ==
80
（B ）0,a b =为任意常数
81
（C ）2,0a b ==
82
（D ）2,a b = 为任意常数
83
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 85
【难易度】★★
86
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征87 值.
88
由20000000b ?? ? ? ???的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ?? ?= ? ???
的特征值也是2，b ，89
0.
90
因此，2
21
1
1
1
220224011020
a
a
E A a b a b a a a a a
-----=---=---=-=---0a ?=
91
将0a =代入可知，矩阵10100101A b ??
?
= ? ???
的特征值为2，b ，0.
92
此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.
93
94 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. 95
9、1
0ln(1)lim(2)x x x x
→+-
= . 96