北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
A. 10+ B ．10+ C. 14++ D. 14++ 【答案】B
【解析】
根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥
其中ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB=AD=2，BC=4，即PA ⊥平面ABCD ，PA=2。且CD =,，
PD =,PB =,,PC =,底面梯形的面积为
(24)2
62
+?=，1
2222PAB S ?=??=,12222PAD S ?=??=,1
42
PBC S ?=?=,侧面三角形
DPC 中的高DO ==，
所以1
2
PDC S ?=?=，所以该几何体的总面积为
62210++++=+，选B.
2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是
边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A
B C ．3
4
D ． 【答案】C
【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，
1324
=。选C. 3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
的表面积为 ．
【答案】75+
【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，
，底面梯形的上底为4，下底为5，腰CD =
=,所以梯
形的面积为(45)3
27
2
2
S +?=
=，梯形的周长为34512+++=+，所以四个侧
面积为12)448+?=
+，所以该几何体的表面积为27
482752
++?=+。
4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的 表面积是
C. 6
D. 6+
【答案】D
5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，某
的等腰直角三角形，则
该三棱锥的四个面的面积中最大的是
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，
,所以四个面中面积最大的为BCD ?，且BCD ?是边长为为2的
正三角形，所以1222BCD S ?=
??= A. 6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左
视图如图所示，则棱BD 的长为_________.
【答案】【解析】取AC 的中点，连结BE,DE 由主视图可知,BE AC BE DE ⊥⊥.DC ABC ⊥且
4,2DC BE AE EC ====.所以
64
B C =
=，
即
2
B D =
。
7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平
面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥
B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ
C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β
D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C
【解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α?当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。
8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是
（A）16+B）12+（C）8+D）4+
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，
棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为
1
2224
2
???=，侧面积为
(2228
++?=+8412
++=+ B.
9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示．该四面体的六
（A）B）（C）（D）
【答案】C
【解析】由三视图可知该四面体为V ABC
-,其中
2EC CB ==,23AE =,2VC =,,AE BE VC ABE ⊥⊥.所以六条棱中，
最大的为VA
或者AB .
22222(23)216
AC AE EC =+=+=,所以
222216220
VA AC VC =+=+=，
此
时
2025
VA ==。22222(23)428AB AE EB =+=+=,所以282725AB ==>，
所以棱长最大的为27，选C.
10.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．
124 B ．112 C ．16 D ．1
2
【答案】A
【解析】过2P 做2P O ⊥底面于O,连结1OP , 则1OP AB ⊥，即1OP 为三棱锥211P P AB -的
高，设101AP x x =<<，，则由题意知1//OP AD ,所以有
1
1OP BP AD AB
=，即11OP x =-。三
角
形
1112
AP B S x ?=
，所以
四面体
121
P P AB 的体积为
11211111111
(1)(1)()33266224
AP B x x S OP x x x x ?+-?=?-=-≤=，当且仅当1x x =-，即12x =时，取等号，所以四面体121
PP AB 的体积的最大值为1
24
，选A.
11、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ．
38 B ．4 C ．2 D ．3
4
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为
1
436
2
??=，所以该几何体的体积为
1
624
3
??=，选B.
二、解答题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥E ABCD
-中，底面ABCD是正方形，,
AC BD O
与交于点EC ABCD F
底面，
^为BE的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD AE
^；
（Ⅲ）若,
AB=在线段EO上是否存在点G，使CG BDE
平面
^？若存在，求出EG
EO
的值，若不存在，请说明理由．
O
F
E
D
C B
A
【答案】解：（I）连接OF.
由ABCD是正方形可知,点O为BD中点.
又F为BE的中点，
G
A
B
C
D
E
F
O
所以OF∥DE………………….2分
又,,
OF ACF DE ACF
平面平面
趟
所以DE∥平面ACF………….4分
y
(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^
由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^
又=,,AC EC C AC EC
ACE 平面，
翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分
又AE ACE 平面，ì
所以BD AE ^…………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD -
中，,AB CO AB CE =
=
=， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^?
因为,CG EO CG ACE 平面，^
所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.
由G 为EO 中点，得
1
.2
EG EO =…………………………………………… 14分 解法二：
由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C DBE -
由已知,AB =设(0)CE a a =>，
则
(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a
,0),,,0),(0,,),,).
O a BD BE a EO a uu u r uur uu u r =-=-=-设G 为线段
EO 上一点，且(01)
EG
EO
λλ=<<，则,),EG EO a a a λλuuu r uu u r ==- ,(1)),CG CE EO a a a λλuuu r uur uu u r =+=-…………………………..12分
由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uu u r uu u r ，CG BE ^uu u r uur
.
所以，221
(1)0,0,12
a a λλλ解得，（）
-+-== ，
故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1
.2
EG EO =…………………… 14分 2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，
点E 在棱CD 上，且1
3
CE=CD ．
（Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；
（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在点P ，使DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不
存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角11A-B E-A 的余弦值为
30
6
，求棱AB 的长．
【答案】证明：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A B C D 中，
因为11A B ⊥面11A D DA ，
所以111A B AD ⊥． ……………………2分 在矩形11A D DA 中，因为12AA =AD=， 所以11AD A D ⊥．
所以1AD ⊥面11A B D ． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）如图，在长方体1111ABCD-A B C D 中，以1D 为原点建立空间直角坐标系1D xyz -． 依
题
意
可
知
，
11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)
D A D ，(2,0,2)A ，
设AB 的长为x ，则11(0,,0),(2,,0)C x B x ，
2
(0,,2),(0,,2)3
C x E x ．
假设在棱1AA 上存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ．
设点P (2,0,)y ，则(2,0,-2)DP y =
， (0,0,-2)AP y =
．
易知112
(-2,-,2),(-2,,0)33
B E=x AE x = ．
设平面1B AE 的一个法向量为(,,)a b c =n ，
则100
B E =AE =??????? n n ，即1-2-203
2-2+03a xb c =a xb =?+??????
．………………………………………………7分 令3b =得，3,2a x c x ==，所以3
(,3,)2x x =n ．
因为DP ∥平面1B AE ，等价于0DP ?=
n 且DP ?平面1B AE ．
得32+(-2)02x y x ?=，所以2
3
y =．
所以4(0,0,-)3AP = ，43AP = ，所以AP 的长为4
3
．………………………………9分
（Ⅲ）因为CD ∥11A B ，且点E CD ∈，
所以平面11A B E 、平面11A B D 与面11A B CD 是同一个平面． 由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B D ，
所以1(2,0,2)D A =
是平面11A B E 的一个法向量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面1B AE 的一个法向量为3
(,3,)2
x x =n ．
因为二面角11A-B E-A
，
所以cos θ=
，解得x =
故AB
的长为． …………………………………………………………14分 3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，E 是AB 的中点，
MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM
（Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；
（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； （Ⅲ）求二面角M
EC D --的大小.
【答案】解：（Ⅰ）连结BD ，则AC BD ⊥. 由已知DN ⊥平面ABCD ，
因为DN DB D = ，
所以AC ⊥平面NDB .……………………2分 又因为BN ?平面NDB ，
所以AC BN ⊥.……………………4分
（Ⅱ）CM 与BN 交于F ，连结EF .
由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，
所以F 是BN 的中点. 因为E 是AB 的中点，
所以//AN EF .…………………………7分 又EF ?
平面MEC
，
AN ?平面
MEC
，
所以//AN 平面MEC . ……………………………………………………………9分 （Ⅲ）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，E , (0,2,0)C ，
M -. 2.0)CE =- ，(0,EM =- .…………………………………………10分
设平面MEC 的法向量为(,,)x y z =n .
则0,0.CE EM ??=???=?? n n 所以20,0.y y z -=?=??
令2x =.所以=n .……………………………………12分
又平面ADE 的法向量(0,0,1)=m ，
C
所以1
cos ,2
?<>=
=m n m n m n . 所以二面角M EC D --的大小是60°. ………………………………………14分
4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】
在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点.
（Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；
（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）证明：连接BD
∵1111ABCD A B C D -是长方体， ∴1D D ⊥平面ABCD ，
又AC ?平面ABCD ∴1D D AC ⊥
………………1分
在长方形ABCD 中，AB BC =
∴BD AC ⊥ ………………2分
又1BD D D D =
∴AC ⊥平面11BB D D ， ………………3分 而
1D E ?平面11BB D D ∴1AC D E ⊥ ………………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则
1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1),(1,1,0)A D E B ,1(0,1,1),(1,0,2),(1,1,1)AE AD DE ==-=
设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =
，则 1
00n AD n AE ?=??=?? 200
x z y z -+=??+=? 令1z =，则(2,1,1)n =- ………………7分
cos ,n DE n DE n DE
<>===
………………9分 所以 DE 与平面1AD E
………………10分
（Ⅲ）假设在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E .
设P 的坐标为(,0,0)(01)t t ≤≤，则(1,1,0)BP t =--
因为 BP ∥平面1AD E
所以 BP n ⊥ ， 即0BP n = ， 2(1)10t -+=，解得1
2
t =， ………………13分
所以 在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ,此时DP 的长1
2
.……14分
5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，
3BC =，z
y
x D 1
C 1
B 1
A 1
E
D C
B A
D 1
C 1
B 1
A 1
E
D C
B
A
90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小.
【答案】解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点， ∴DE//BC ．
DE ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，
∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ， PA=PB ，
∴ PD ⊥ AB ． …………………………….5分 //DE BC ，BC ⊥ AB ，
∴
DE ⊥ AB ． .... ........
又 PD DE D = ，
∴AB ⊥平面PDE ．................................................8分 PE ?平面PDE ，
∴AB ⊥PE ． ......................................................9分 （Ⅲ） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ，
∴ PD ⊥平面ABC ．............................................10分 如图,以D 为原点建立空间直角坐标系
∴B (1,0,0)，P (0,0,3)，E(0,
3
2
,0) , ∴PB =(1,0,，PE =(0, 3
2, ）． 设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =
，
∴0,
3
0,2x y ?=??-=??令z = 得1(3,n =
． ........11分 DE ⊥平面PAB ，
∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =
．…………...................12分
设二面角的A PB E --大小为θ，
由图知，121212||1
cos cos ,2n n n n n n θ?=<>==
?
，
所以60,θ=?即二面角的A PB E --大小为60?． .................14分
6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，
12,AB AC AA ===E 是BC 中点. E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ?的中位线，
所以1//EO A B
………………2分
又EO ?平面1AEC ，1A B ?平面1AEC
所以1//A B 平面1AEC ………………4分
（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系
所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E
设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--
，
因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ?=
，解得1m =，所以1AM = ……8分
（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==
，
设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =
， 则有10
AE n AC n ??=???=?? ，得00x y y z +=??+=?，
令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-
， …………10分
因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为 (0,2,0)AC =
…11分
所以cos ,||||
AC n AC n AC n ?<>==
…13分
平面1AEC 与平面1ABB A 1
…………14分 7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，
36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ?沿DE 折起到1A DE ?的位置，使1A D CD ⊥，如图2．
（Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；
（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；
（Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．
【答案】（Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE
BC AD DE ∠=?∴⊥
1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥?=∴⊥面.
由1,.BC BCDE A D BC ?∴⊥面
1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥?=∴⊥面. （Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系………1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ． 设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，
因为(0,3,0),CB =
1(2,0,4)CA =
所以30
240
y x z =??+=?，
令2x =，得=0,=1y z -.
所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． 设BE 与平面1A BC 所成角为θ．
则4
sin =cos 5
BE θ
所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为4
5
． …………………9分
（Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，
1A B ==…………………12分 当=3x 时,1A B 的最小值是
即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为 …………………14分 8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，
AC =BC =2，AB =，CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
N
图1 图2 A 1
B C
D E
z y x
N M
C 1
B 1
A 1
C
B A
（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ； （Ⅱ）若N 是AB 上一点，且
1
AN CM
AB CC =
，求证： CN //平面AB 1M ；
（Ⅲ）若5
2
CM =
，求二面角A-MB 1-C 的大小． 【答案】（Ⅰ）因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，
所以 CC 1⊥BC ． …………1分 因为 AC =BC =2
，AB =，
所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ，
所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………3分 因为 AM ?平面ACC 1A 1， 所以 BC ⊥
AM ． ……………………4分 （Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则
NP ∥CC 1，且ANP ?∽1ABB ?． ……………5分 于是有1
NP AN BB AB
=
．
由已知
1AN CM AB CC =，有11
NP CM
BB CC =
． 因为 BB 1=CC 1．
所以 NP =CM ．
所以 四边形MCNP 是平行四边形． ……………6分 所以 CN //MP ． ………………7分 因为 CN ?平面AB 1M ，MP ?平面AB 1M ， ……………8分 所以 CN //平面AB 1 M ． ……………9分
（Ⅲ）因为 BC ⊥AC ，且CC 1⊥平面ABC ，
所以 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C -xyz ．…………………10分
因为 5
2
CM =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，
B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5
(2,0,)2
AM =- ，13
(0,2,)2
B M =-- ．
……………………11分
设平面1AMB 的法向量(,,)x y z =n ，则0AM ?=
n ，10B M ?= n ． 即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.
2
x y z x y z ?-?????--???，
令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-． ……………………12分
又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA
，
M
P
C 1B 1A 1N C
B
A
所以
cos ,||||
n n >=n CA CA CA ?<=
． ……………………13分
由图可知二面角A -MB 1-C 为锐角， 所以 二面角A -MB 1-C 的大小为
4
π
． ……………………14分
9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为
，
为棱PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；
（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O
因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点． 所以 EO PB //． ………………3分 因为 ?PB 平面EAC ，?EO 平面EAC ， 所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥．分
因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，
所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分
所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分
（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．
由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．……9分
设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．
所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．
设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
EA AC ??=???=??
n n 所以 ??
?=+-=-．
044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． …………11分 易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ……………12分
所以 |||cos ,|||||?=
=
〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，
所以二面角B AC E --的余弦值为11
11
3-． ……………14分
解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ．
因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．
由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示
的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分
设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．
所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=．
设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
EA AC ??=???=??
n n 所以 ??
?=+-=-．
044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ……………11分 易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． …………12分
所以|||cos ,|||||?==
〈〉n v n v n v ． ……………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，
所以二面角B AC E --的余弦值为11
11
3-． …………14分
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A （Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E 2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g. 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ． 2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为 A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1（2019北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°； 2019真题汇编--立体几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ， △ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图， 该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN (2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C （2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。 历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题） 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为() A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
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