(2019新版)人教A版高中数学必修一集合之间的关系
集合的运算(1)
一.知识点:
1.交集的概念
一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做A,B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.
2.交集的图示法
两个集合A,B的交集可用Venn图表示,如图阴影部分.
3.交集的性质
(1)A∩B=B∩A;
(2)A∩A=A;
(3)A∩?=?∩A=?;
(4)如果A?B,则A∩B=A.
4.并集的概念
一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.
5.并集的图示法
集合A与B的并集,可用图(1)或图(2)中的阴影表示.
6.并集的性质
(1)A∪B=B∪A;
(2)A∪A=A;
(3)A∪?=?∪A=A;
(4)如果A?B,则A∪B=B.
7.全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.
8.补集
如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A 在U中的补集,记作?U A,读作“A在U中的补集”.
9.补集的图示法
全集通常用矩形区域表示,全集与它的任意一个真子集之间的关系,可用Venn图表示,如图所示.
10.补集的性质
(1)A∪?U A=U;
(2)A∩?U A=?;
(3)?U(?U A)=A.
小结:
(1)A∩B中的元素是指同时属于集合A和集合B的全部元素,也就是说A∩B是集合A与B的全部“公共”元素所组成的集合.
(2)A∪B中的元素包含三种情况:①x∈A,但x?B;②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B.
(3)?U A包含三层意思:①A?U;②?U A是一个集合,且?U A?U;③?U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合.
考点一:交集、并集的简单应用
例1:已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()
A.{1,4}B.{2,3}
C.{9,16} D.{1,2}
[精解详析](1)∵A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A}
∴B={1,4,9,16}
∴A∩B={1,4}.所以A
练习:若集合A={x|x2﹣4x+3=0},B={2,3,4},则A∩B=()
A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3,4}解:∵A={1,3},B={2,3,4},∴A∩B={3}.故选:C.
作业:
1. 已知集合M={x∈Z|1≤x≤3},N={2,4,6},那么M∩N=()
A.{2}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4,6}解:∵集合M={x∈Z|1≤x≤3}={1,2,3},N={2,4,6},∴M∩N={2}.故选:A.例2:已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x||x﹣1|≤2},则A∩B=()A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1,2}C.{1,2}D.{﹣1,0,1,3}解:∵集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3},
∴A∩B={﹣1,0,1,2}.故选:B.
练习:已知集合A ={x|﹣1≤x ≤2,x ∈Z},集合B ={x|x >0},则集合A ∩B 的子集个数为 ( ) A .1
B .2
C .3
D .4
解:∵集合A ={x|﹣1≤x ≤2,x ∈Z}={﹣1,0,1,2},集合B ={x|x >0},∴A ∩B ={1,2},∴集合A ∩B 的子集个数为22=4.故选:D . 作业:
2.已知集合A ={x|﹣2≤x <1或2<x ≤3},集合B ={﹣2,﹣1,1,2,3},则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A .2
B .3
C .4
D .5
解:∵A ={x|﹣2≤x <1或2<x ≤3},B ={﹣2,﹣1,1,2,3}, ∴A ∩B ={﹣2,﹣1,3},∴A ∩B 中的元素个数为3.故选:B . 例3:已知集合A ={x|0≤x ≤4},B ={x|x ﹣2<0},则A ∩B =( ) A .{x|0≤x <2}
B .{x|x <2}
C .{x|0≤x ≤4}
D .{x|x ≤4}
解:∵A ={x|0≤x ≤4},B ={x|x <2},∴A ∩B ={x|0≤x <2}.故选:A .
练习:已知全集U =R ,集合A =????
??
x ???
???
?? 3-x>0
3x +6>0,集合B ={m|3>2m -1},求:A ∩B. 解:∵A =???
x ????
??
???
?? 3-x>03x +6>0={x|-2
∴A ∩B ={x|-2 3.已知集合A ={x|0<x <2},B ={x|x >1},则A ∩B = . 解:∵集合A ={x|0<x <2},B ={x|x >1},∴A ∩B ={x|1<x <2}. 例4:若集合A ={0,1,2,3},B ={1,2,4},则集合A ∪B =( ) A .{0,1,2,3,4} B .{1,2,3,4} C .{1,2} D .{0} 解析:选A 由并集的概念,可得A ∪B ={0,1,2,3,4}. 练习:已知集合A ={x|x (x 2﹣6x+8)=0},A ∪B ={0,2,4,6},则集合B 中必有的元素 是() A.0B.2C.4D.6 解:∵A={0,2,4},A∪B={0,2,4,6},∴集合B中必有的元素是6.故选:D. 作业: 4. 已知集合A={﹣3,﹣1,0},B={﹣1,0,2},则A∪B=() A.{﹣1,0}B.{﹣3,﹣1,0,1,2} C.{﹣3.﹣2,﹣1,0,2}D.{﹣3,﹣1,0,2} 解:∵A={﹣3,﹣1,0},B={﹣1,0,2},∴A∪B={﹣3,﹣1,0,2}.故选:D. 例5:已知集合A={x|x<﹣1},B={y|y<1},则A∪B=() A.?B.{x|﹣1<x<1}C.{x|x<﹣1}D.{x|x<1} 解:∵A={x|x<﹣1},B={y|y<1},∴A∪B={x|x<1}.故选:D. 练习:已知集合A={﹣5,﹣4,﹣3,2,6},B={x|﹣5≤x≤6},则A∪B=()A.{﹣5,﹣4,﹣3,2,6}B.{﹣5,6} C.{x|﹣5<x<6}D.{x|﹣5≤x≤6} 解:因为A={﹣5,﹣4,﹣3,2,6},B={x|﹣5≤x≤6},所以A∪B={x|﹣5≤x≤6},故选:D. 作业: 5.设集合A={x|x<5},集合B={x|x﹣2≤0},则A∪B=() A.{x|x≤2}B.{x|x<5}C.{x|2<x<5}D.{x|2≤x<5} 解:∵A={x|x<5},B={x|x≤2},∴A∪B={x|x<5}.故选:B. 例6:已知集合M={x|-3 A.{x|x<-5,或x>-3} B.{x|-5 C.{x|-3 解:借助数轴,M∪N={x|-3 练习:若集合A={x|-1 解析:借助数轴可知: A∪B=R,A∩B={x|4≤x<5}. 答案:R{x|4≤x<5} 作业: 6. 设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=() A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}解:∵集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},∴A∪B={x|1≤x<4}.故选:C. 考点二:交集、并集性质的应用 例7:设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R}.若A∩B=B,求a的值. 解:∵A={-2}≠?,∴B=?或B≠?. ①当B=?时,方程ax+1=0无解,此时a=0. ②当B≠?时,a≠0,则B={-1 a},∴- 1 a∈A,即有- 1 a=-2,得a= 1 2. 综上,得a=0或a=1 2. 练习:已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求A∩B; (2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.解:(1)∵B={x|x≥2},∴A∩B={x|2≤x<3}. (2)∵C={x|x>-a 2},B∪C=C?B?C, ∴-a 2<2,故a>-4,即实数a的取值范围是a>-4. 作业: 7.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为() A.1 B.-1 C.1或-1 D.1或-1或0 解析:选D因为集合A={-1,1},B={x|mx=1},当m=0时,B为?,当m≠0时,B= {1 m}且A∪B=A,所以B?A,所以m=0或1 m=±1,故选D. 考点三:利用交集、并集求参数的取值范围 例8:集合A={x|-1 (1)若A∩B=?,求a的取值范围; (2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.