3-1变化率与导数、导数的运算
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B
2．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )．
A ．(0,0)
B ．(1,1)
C ．(0,1)
D ．(1,0)
解析 由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 3
－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)． 答案 D
3．(2012·黄石模拟)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )． A ．e 2 B ．e C.ln 2
2 D ．ln 2 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案 B
4．(2011·江西)曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )． A ．1 B ．2 C ．e D.1e 解析 ∵y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 答案 A
5．(原创题)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )等于( )．
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x 解析 ∵f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝cos x ，
f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，…
∴f n (x )＝f n ＋4(x )，故f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x ， ∴f 2 013(x )＝f ′2 012(x )＝cos x . 答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2012·苏州十校联考)已知函数f (x )＝f ′? ????π2sin x ＋cos x ，则f ? ????
π4＝________.
解析 由已知：f ′(x )＝f ′? ??
??
π2cos x －sin x .
则f ′? ????π2＝－1，因此f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ? ????π4＝0.
答案 0
7．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点的切线方程为__________．
解析 由y ＝ln x 得，y ′＝1
x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝0
8．若过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
解析 y ′＝e x ，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0
＝e x 0，即e x 0
x 0
＝e x 0，∴x 0＝1.因此切
点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e 三、解答题(共23分)
9．(11分)求下列函数的导数：
(1)y ＝x e 1－cos x ；(2)y ＝x cos x －sin x ；(3)y ＝sin x cos x ； (4)y ＝x 2e x ；(5)y ＝(x ＋1)(1
x
－1)；(6)y ＝x (1＋|x |)． 解 (1)∵y ＝x e 1－cos x ，
∴y ′＝e 1－cos x ＋x e 1－cos x (sin x )＝(1＋x sin x )e 1－cos x . (2)∵y ＝x cos x －sin x ，
∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . (3)∵y ＝sin x cos x ＝1
2sin 2x ，
∴y ′＝(1
2cos 2x )·2＝cos 2x .
(4)∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x . (5)∵y ＝1－x x ＝1x －x ＝x －12－x 12，
∴y ′＝－12x －32－12x －1
2.
(6)∵y ＝x ＋x |x |＝???
x ＋x 2
，x ≥0，
x －x 2
，x ＜0.
∴y ′＝???
1＋2x ，x ≥0，
1－2x ，x ＜0.
10．(12分)求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n ，(n ∈N *)； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (3)y ＝e x ＋1e x －1；
(4)y ＝2x sin(2x ＋5)．
解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －
1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －
1.
(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·? ????1＋2x 21＋x 2＝1
1＋x 2
. (3)∵y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x
(e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.
(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．
B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·安徽江南十校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )．
A ．－e
B ．－1
C ．1
D ．e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.
答案 B
2．(2010·江西)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )．
A ．26
B ．29
C ．212
D ．215 解析 函数f (x )的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212，故选C. 答案 C
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.
解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8， x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8， ∴f ′(1)＝2. 答案 2
4．(2012·郑州模拟)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a 、b 、c 是两两不等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )
＝________. 解析 ∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，
∴f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )， ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )
＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c
(c －a )(c －b ) ＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0.
答案 0
三、解答题(共22分)
5．(10分)利用导数证明：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n
n ＝n ·2n －1. (提示：(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ) 证明 (1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n . ∴[(1＋x )n ]′＝C 1n ＋2C 2n x ＋…＋n C n n x
n －1， 即n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…＋n C n n x n －1，令x ＝1， 则C 1n ＋2C 2n ＋…＋n C n n ＝n ·
2n －1. 6．(12分)(2012·苏州十校联考)设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7
4x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b
x 2，于是?????
2a －b 2＝12，a ＋b 4＝7
4，
解得???
a ＝1，
b ＝3.
故f (x )＝x －3
x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，
由f ′(x )＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝? ?
???1＋3x 20(x －x 0)，
即y －? ?
???x 0－3x 0＝? ??
??1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为? ?
???0，－6x 0.
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12??????
－6x 0|2x 0|
＝6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为
教学准备 1. 教学目标 知识与技能 1.理解平均变化率的概念. 2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念. 3.理解导数的概念 4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 过程与方法 理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率． 情感、态度与价值观 感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力． 2. 教学重点/难点 教学重点 平均变化率的概念． 教学难点 平均变化率概念的形成过程． 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程 教学过程设计
创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【分析】 （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
第10讲变化率与导数、导数的计算[最新考纲] 1．了解导数概念的实际背景； 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1 x，y＝x 2，y＝x3，y＝x 的导数； 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数]的导数. 知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δy Δx＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx为 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或. ②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)称函数f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?????? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(u )·v ′(x )． 辨 析 感 悟 1．对导数概念的理解 (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．(√) 2．导数的几何意义与物理意义 (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (5)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝0.(×) (6)(·广东卷改编)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为2x －y ＋1＝0.(√) 3．导数的计算 (7)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .(×) (8)(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导函数是y ′＝－x sin x ．(√) (9)[f (ax ＋b )]′＝f ′(ax ＋b )．(×) [感悟·提升] 1．“过某点”与“在某点”的区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点． 2．导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
1. 1.1变化率问题课前预习学案。知道平均变化率的定义。，课本中的问题1,2 预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1 气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描 述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水 h 与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段 时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot 问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用 ___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________ 于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 1.学习目标理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; .
变化率与导数教案 Prepared on 24 November 2020
第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101) ()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，
∴x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的 斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常 数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+) ()(00 (5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这 个常数称为t=t 0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．
2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1
1 ●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；
一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x ＝x0 . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x0)有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数， f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．() (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．() (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2
3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念 [提出问题] 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点 A 的坐标为(x 1，y 1)，点 B 的坐标为(x 2，y 2)． 问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：Δy 的大小能否判断山路的陡峭程度？ 提示：不能． 问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1可近似地刻画． 问题4：能用Δy Δx 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 提示：因Δy Δx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大， 山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx 越大，山路越陡；反之，山路越缓． 问题5：从点A 到点B 和从点A 到点C ，两者的Δy Δx 相同吗？ 提示：不相同．
[导入新知] 函数的平均变化率 对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1，x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从 f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2－f x 1 x 2－x 1 称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率． 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2.类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为 Δy Δx . [化解疑难] 1．正确理解增量Δx 与Δy Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，不是Δ与x 的乘积，Δx 的值可正，可负，但不能为0.Δy 是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有变化． 2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度. [提出问题] 一质点的运动方程为s ＝8－3t 2 ，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝ 8－＋Δt 2 －8＋3×1 2 Δt ＝－6－3Δt . 问题2：当Δt 趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． [导入新知] 1．瞬时速度的概念 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度： 设物体运动的路程与时间的关系是s ＝s (t )，当Δt 趋近于0时，函数s (t )在t 0到t 0 ＋Δt 之间的平均变化率s t 0＋Δt －s t 0 Δt 趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速 度． 2．导数的定义
第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx
表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常 数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ 1 x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年广东T12，辽宁T12等． 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：
称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
课时跟踪检测（十七） 变化率与导数、导数的运算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3) D ．(1，－3) 解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 2．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0 解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，∴f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0. 3．(2018·温州模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C ．12 017 D ．2 0182 017 解析：选D 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017 .故选D. 4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′????π2＝sin π2＋π2cos π2 ＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2 ，所以1×????－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：2 5．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 33－b 2 x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a 在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________． 解析：因为a ＞0，b ＞0，f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.
第1讲变化率与导数、导数的计算 [学生用书P39] 一、知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝ x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? ??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )． 3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 二、习题改编 1．(选修2-2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 2．(选修2-2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2 x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝ 2 （x ＋2） 2，所以y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 3．(选修2-2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3 t (t 是时间，s 是位移)，则该 机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．
【巩固练习】 一、选择题 1．（2015春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ） A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B.一个函数 C.一个常数，不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率。 2.（2015春 淄博校级月考）在曲线2 2y x =+的图象上取一点（1,3）及邻近一点()1,3x y +?+?，则 y x ?? 为（ ） A. 12x x ?+ +? B. 2x ?+ C. 1x x ?-? D. 1 2x x ?-+? 3.一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体的位移为s ?，那么t s t ??→?0lim 为 （ ） A ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度 B ．时间t 时该物体的瞬时速度 C ．当时间为t ?时该物体的速度 D ．从时间t 到t t +?时位移的平均变化率 4. 已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ） A. )()(00x f x x f y -?+=?叫函数增量 B. x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00叫函数在[x x x ?+00,]上的平均变化率 C. )(x f 在点0x 处的导数记为y ' D. )(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f ' 5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为2 18 s t =， 则t=2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．14 6． 设()4f x ax =+，若'(1)2f =，则a=（ ） A ．2 B ．－2 C ．3 D ．不确定 7．（2015秋 泗县校级期末）若()f x 在(),-∞+∞可导，且 (2)() 13lim x f a x f a x ?→+?-=?，则'()f a =（ ） A. 23 B.2 C.3 D.32
第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题 1．1.2导数的概念 双基达标(限时20分钟) 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于 ()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析Δy Δx＝ f(1＋Δx)－f(1) Δx＝ 2(1＋Δx)2－2 Δx＝4＋2Δx. 答案 C 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 解析v＝(3＋2.12)－(3＋22) 0.1＝4.1. 答案 B 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A
4．已知函数y ＝2＋1 x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝? ? ???2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －1 2 5．已知函数y ＝2 x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝1 3. 答案 1 3 6．利用导数的定义，求函数y ＝1 x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝??????1(x ＋Δx )2＋2－? ???? 1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2 ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2 x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2. 综合提高 (限时25分钟) 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为 ( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B 8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.1 3f ′(1) D ．f ′(3)
第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2013年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝ li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数
称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ； 若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ； 若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ； 若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ； 若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x . 5．导数四则运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 一个区别 曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则 (1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范
让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。 1 第十节变化率与导数、导数的运算 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)导数的几何意义： 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2.基本初等函数的导数公式 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
1.1变化率与导数 1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的平均变化率 阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题． 1．函数的平均变化率 (1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．
2．平均变化率的几何意义 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1 所示． 图1-1-1 【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 (2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) Δy Δx 2.斜率 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( ) (2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( ) (3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程 度．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念 阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度 (1)物体在__________的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时， Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，Δs Δt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .
113 第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义 及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方 程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所 以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的容 以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限 逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --= ， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：t t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤：