数列的通项公式
教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用
1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时.
教 法:讨论、讲练结合.
第一课时
一．常用方法与技巧：
（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数.
（2）运用好公式： 1
1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?
快速练习:
1.写出下面数列通项公式（记住）：
1,2,3,4,5,… =
n a ______________.
1,1,1,1,1,… =
n a ______________.
1,-1,1,-1,1,… =
n a ______________.
-1,1,-1,1,-1,… =
n a ______________.
1,3,5,7,9,… =
n a ______________.
2,4,6,8,10,… =
n a ______________.
9,99,999,9999,… =
n a ______________.
1,11,111,1111,… =
n a ______________.
1,0,1,0,1,0,… =
n a ______________. 2.求数列的通项公式的常用方法:
(1).观察归纳法. 利用好上面的常用公式.
(2).叠加法:
例1.数列1n 1{}13,n n a a a a -==+中，，求数列 .n a 通项公式
例2.11{}1
,n n n a a a a n -==+数列中，，求数列 .n a 通项公式
(3)叠乘法:
1n 1{}12,n n a a a a -==例3.数列中，，求数列
.n a 通项公式
1n 1{}1131,n n a a a a -=+=+例4.数列中，，（）求数列 .n a 通项公式
(4).构造成等差或等比数列法:
1n 1{}121,n n a a a a -==+例5.数列中，，求数列
.n a 通项公式
1
1n 1{}121
n n n a a a a a --==
+例6.数列中，，，求数列
.n a 通项公式
三.巩固提高
1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中,x 的值是 A.19 B.20 C.21 D .22 1n 1{}1(2n-1),n n a a a a -==+
2.数列中，，求数列 _____.n a =通项公式
3.已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，
若11
9
a =
，则36a = ． 3.已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则
n a = ．
5.已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，
则n a = ． 6.已知数列{}n a 的11a =，
1(2)1n n a n
n a n -=≥+， 则35a a += ．_____.n a =
7.已知111
1,(2),(1)
n n a a a n n n -=-=
≥-求数列{n a }通项公式n a .
第二课时
快速练习:
填空：
1.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=(2)n ≥ 则n a = ．
2.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=+(2)n ≥ 则n a = ．
3.数列{}n a 满足:11=a 且113--+=n n n a a (2)n ≥ 则n a = ．
4.数列{}n a 满足:11=a 且113n n n a a --=?(2)n ≥， 则n a = ．
二．求数列的通项公式的常用方法 (5) 活用公式
??
?≥-==-)
2()1(1
1
n S S n S a n n n
例7.已知数列{}n a 的前n 项和21
()2
n S n n =+，
则n a = ．
例8.已知数列{}n a 的前n 项和21
()12
n S n n =++,
则n a = ．
例9. 已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+, 则n a = ．
11{}1(2),.n n n n a a a S n a -==≥例10.数列满足，且求
三．巩固提高
1.已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =?，则n a = ．
2.数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1)1(log 2+=+n S n ， 求.n a
3.若n s 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n 且=，则{}n a 是
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等比数列，而且也是是等差数列
D.既不是等比数列又不是等差数列
4.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 1).写出数列{}n a 的前5项; 2).求数列{}n a 的通项公式.
3).若1,,{}.n n n n n b a c nb c n =+=n 求的前项和S
5.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且
*125()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比
数列．
教学目标:使学生掌握数列前n 项求和的常用方法，培养学生的逻辑分析能力和创新能力. 教学重点:掌握运用公式法、错位相减法、裂项相消法、
倒序相加法、分组求和法、累加（累积）法等对数列进行求和.
教学难点:将数列转化为等差或等比数列求和，及错位相减法.
教学时数:3课时.
教 法:讨论、讲练结合. 一.知识回顾
（一）数列求和的常用方法
1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列.
2.裂项相消法:适用于???
???+1n n a a c 其中{}n a 是各项不为0
的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等. 3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列.
4.倒序相加法:类似等差数列前n 项和公式推导方法.
5.分组求和法、
6.累加（乘）法等 （二）.常用结论
1).1
(1)
1232
n
k n n k n =+=++++=
∑L 2).
21
(21)135(21)n
k n n n =-=++++-=∑L
3).2
2
2
2
2
1
1
123(1)(21)6n
k k n n n n ==++++=++∑L
4).11
1)1(1+-=+n n n n
)2
1
1(21)2(1+-=+n n n n
二.课前热身
1.已知数列{}n a 的通项公式为31n a n =-,求数列{}n a 的
前n 项和n S .
2.已知数列{}n a 的通项公式为n a =3n ,求数列{}n a 的前n 项和n S .
三.思考与归纳
思考1. 对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).2313521
,
,,,,.2222n
n n -L L n 求数列的前项和S
2).求数列{}n n 2?的前n 项和
3).设n n n a 2
1
?=，则=n s ______________.
思考2.
对下列数列求和，并小结求和方法与思路：
1).已知数列}{n a 的通项公式为1
(1)
n a n n =+，求前n 项
的和；
2).已知数列}{n a 的通项公式为n a =，求前
n 项的和． 3).1111447(32)(31)
n n +++=??-?+L .
思考3.对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).已知数列{}n a 的通项221n n a n =+-，则它前n 项的和n S = .
2).22111
()()()_________.n n x x x y y y
+++++=L
3).12(235)(435)(235)_____.n n ----?+-?+-?=L
4).2(1)(2)()n a a a n -+-+-=L ___________ 思考4. 解下列各题，并小结解题方法与思路： 1.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
请证明它的前n 项和公式为：1
1(1)(1)(1)1n n na q s a q q q
=??
=-?≠?-?
2.已知等比数列{}n a ，
1231(1)(2)2n n n T na n a n a a a -=+-+-+???++，已知11T =， 24T =.
（1）求数列{}n a 的首项和公比； （2）求数列{}n T 的通项公式
3.已知数列{}n a 满足???-???---,,,,123121n n a a a a a a a 是
首项为1公比为3
1
的等比数列
1).求n a 的表达式.
2).如果n n a n b )12(-=,求{}n b 的前n 项和n s
3.数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122
*N n ∈
1).求数列{}n a 的通项公式；
2).设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；
巩固练习
1.设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是 （ ）
A.)1(3--=n n na S n n
B.13(1)n S na n n =+-
C.1(1)n S na n n =+-
D.)1(-+=n n na S n n
2.数列??????-132,,,,1n x x x x 的前n 项之和是
A.x x n --1
1 B.x x n +--1
11 C.x x n +--211
D.以上均不正确
3.数列{}n a 前n 项的和b S n n +=3(b 是常数),若这个数列是等比数列，那么b 为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.1
4.等比数列{}n a 中,已知对任意自然数n ，
12321-=+???+++n n a a a a ,则2222123n a a a a +++???+=
A.2)12(-n
B.)12(31-n
C.14-n
D.)14(3
1
-n
5.求和：
111112123123n
+
+++=+++++++L L .
6.数列1111
1,2,3
,4,3
9
2781
L 的前n 项和是 .
7.数列
=-+???++++=-132)12(7531n n q n q q q s
8. 数列{}n a 满足12a =，12n n n a a +=+，则通项公式n a = ，前n 项和n S = .
9.2222222210099654321-++-+-+-Λ＝ .
10.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++L L L 的通项公式n a = ， 前n 项和n S = .
11.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=. 1).求{}n a ，{}n b 的通项公式；
2).求数列n n a b ??
????
的前n 项和n S ．
12.已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=， 1).求数列{}n a 的通项公式；
2).令n n n b a x =(x R ∈)，求数列{}n b 前n 项和n S 的公式.