专题10 曲线运动的动力学解
专题7《曲线运动曲直谈》中，我们从运动学角度研究了曲线运动，在那里，我们熟悉了描述曲线运动的运动学方法，对圆周运动与抛体运动的运动学规律做了较深入的研究。在这个专题里，我们将从动力学角度研究曲线运动，即掌握各种曲线运动形成及运动状态变化的原因，这对于人们能动地掌控曲线运动是至为重要的。 牛顿第二定律阐述了力与加速度的普遍关系，通俗地说就是：什么样的力产生什么样的加速度。在曲线运动中，我们通常将物体所受外力沿切线方向分量的代数和t
F
∑称为切向
力，而外力沿法线方向分量的代数和
n
F
∑称为法向力。切向力产生切向加速度、决定曲线
运动物体速率变化的快慢，法向力产生法向加速度、决定物体运动方向变化的快慢。在曲线运动中，牛顿第二定律的切向与法向的分量式（动力学方程）为
t t v F ma m t ?==?∑；2
n n v F ma m ρ==∑。
当物体所受外力与运动速度方向不在同一直线时，物体一定做曲线运动，其中，若物体所受外力为恒力，物体做匀变速曲线运动，例如抛体运动；若物体所受外力方向与运动方向总垂直，则切向加速度为零，物体做匀速率的曲线运动，例如做等距螺旋线运动的物体；再如物体所受总垂直于速度的方向的外力大小不变，则法向加速度大小不变，这就是匀速圆周运动。
动力学方法求解曲线运动的加速度，首先要作好两项分析，即物体的受力情况分析与运动情况分析，当外力与运动方向不在同一直线的情况下，通常将物体所受各力按运动速度的切向与法向作正交分解，通过建立两个方向上的牛顿第二定律的分量式求得。 【例1】如图所示，滑块A 的质量为M ，由于绳子的牵引而沿水
平导轨滑动，绳子的另一端缠绕在半径为r 的鼓轮O 上，鼓轮以等角速度ω转动。不计导轨与滑块间的摩擦，求绳子的拉力T F 与距离x 之间的关系。
【分析与解】先分析滑块A 受力：重力Mg 、导轨支持力N F ，绳子拉力T F ；再分析滑块的运动：速度沿导轨的运动可视作沿绳向绳与轮切点B 的平动及以切点B 为中心的转动的合成，这两个方
向的分运动速度分别为
n v r ω=，tan t v r ωθ=?， 其中θ为对应于x ，绳与导轨的夹角。以切点为中心转动的分运动的向心加速度由该方向的合力产生。如图所示，取AB 方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy ，并按坐标方向正交分解滑块所受各力，则由牛顿第二定律，在x （轴）方向有
2
sin sin cos t T N v F F Mg M x θθθ
+-=。
又由于滑块实际运动方向沿水平导轨，故在竖直方向满足
sin T N Mg F F θ=+。
由以上两式可得
2
2
(tan )(1sin )cos T r F M x ωθθθ
-=，
注意到 s i n
r
x
θ=，cos θ=，
则
2
3
(tan )
cos T r F M x ωθθ
==，
整理后即可得到T F 与x 的关系为
4225222
()
T Mr x F x r ω=
-。
竖直平面内的圆周运动有一些规律性的结论，我们略作些盘点。首先，在竖直平面内发生的圆周运动，是有重力参与提供向心力的，如果没有其他切向力，竖直面上的圆周运动肯定是非匀速率的，机械能是守恒的，在水平直径以上，各点均存在一速度的临界值。如图所示，小物体连接在轻杆一端，在竖直平面内绕杆的另一端做圆周运动，通过水平直径以上位置，杆与水平线间的夹角为θ并正沿圆周向上运动时。将重力沿切向与法向分解，可知，重力的切向分力cos mg θ，方向与速度方向相反，说明物体正做减速率地运动；重力的法向分力sin mg θ与杆的拉力的合力作为向心力，应有
2
sin T v F mg m R
θ+=，
式中R 为圆轨道半径。从该式可知，线速度v 越大，沿轨道运动通过该点时的加速度越
大，所需向心力越大，这要靠杆的拉力来适调，因为杆的拉力是微小形变引起的弹力，是一种“适应性力”而重力则是恒力。若速度v 较小，向心加速度较小，致使只须重力的法向分量提供向心力即可，即
20
sin v mg m R
θ=
，0v
这时杆上的弹力为零．若小物体速度小于0v ，杆上弹性拉力将转为支持力，此时有
2
sin T v mg F m R
θ-=。
故0v 杆恰无形变，弹力为零。杆对小物体的作用效果在“拉”与“推”之间转换的临界速度，而小物体能在竖直面内做完
整的圆周运动的条件是到达最高点时的速度0v =。
若用绳来替换杆，如图甲所示，因绳对小物体不可能产生支持力作用，则在达到临界速度0v 时，绳长仍为R 但已不张紧，这是物体能在半径为R 的竖直圆轨道运动的临界状态，此后绳完全松弛，小物体只受重力作用而做抛体运动。这说明，对应于绳与水平线成θ角的
位置，物体可沿圆周运动的最小速度min v
，在最高点，这一临界速度值应为
再若将杆替换成环形轨道，如图乙所示，小物体沿光滑轨道外侧运动时，由于轨道对小物体
只可能产生“顶”的作用效果，故0v
【例2】一长为a 的细线系着一小球悬挂在O 点静止不动。若使
小球获得一个水平初速度0v =
明：小球的运动轨迹经过悬点O 。
【分析与解】小球运动轨迹会通过悬点O ，是因为线绳在水平直径上方与水平线成某一角度α时，绳恰好不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动，如图所示。我们先来求出绳上张力为
零时，小球达临界速度v =α。整个运动过程中只有重力做功，机械能守恒，则有
22011
(1sin )22
mv m mga α=++，
故 2
03s i n 2a g v a g α=-，sin α=
。
这个位置在距水平直径h =高处，此位置小球的瞬时速度v = 此后，小球做斜上抛运动，以抛出点为原点建立直角坐标系xO y '，我们从斜上抛的竖直方向上的分运动求得当小球在竖直方向的位移为h -时，经历时间为t ，因此有
21
cos 2
h vt gt α-=-，
将3h a =
、cos 3α=、v =
230gt --=。
由此方程解得符合题意的时间t =
sin cos x vt a αα==
=。
，a ）的悬点O 。 【例3】图所示中，A 是一带有竖直立柱的木块，总质量为M ，位于
水平地面上。B 是一质量为m 的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立
柱的顶端。现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置。然后让小球从静止状态自由下摆。如在小球与立柱发生碰撞前，木块A 始终未发生移动，则木块与地面间的静摩擦因数至少为多大？
【分析与解】在小球B 下摆过程中，通过轻绳对木块A 施以竖直向下的压力及水平向左的拉力，随着下摆角度的增大，竖直向下的压力逐渐增大、而水平向左的拉力则是先增大后减小。我们要求的是：小球下摆于任一位置水平拉力与最大静摩擦力恰能平衡，需要的静摩擦因数的最大值。设轻绳长L ，小球摆至与水平线成θ角的位置时绳上张力为T F ，小球B 的速度为v ，此时小球受力情况如图甲所示，对小球列出动力学方程为
2
sin T v F mg m L
θ-=，
又，小球B 下摆过程中机械能守恒，有
2
1sin 2
mgL mv θ=
，
分析木块A 的受力情况如图乙所示，由于木块静止，故有
cos (sin )T fm T F F Mg F θμθ==+。
对应于角度θ，恰能令木块静止的静摩擦因数应符合由以上三式联立的方程
22
3sin cos 3cos 33sin (3)tan cot sin (1cot )3m m m
M m M m M M m θθθμθθθθθ=
==+++??++??
， 因(3)tan cot (3)M m M M M m θθ+?=+为定值，则当(3)tan cot M m M θθ+=，
即tan θ=
μ则有最大值
max μ=
。 故在小球B 下摆过程中，要使木块始终与地面保持相对静止，木块与地面之间的静
。
【例4】如图所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，试计算球壳脱离桌子的瞬间，球壳中心的速率。
【分析与解】由题给条件，球壳在静止时，与桌边接触的一点O 为其支点，轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心C 将以支点O 为
轴，以球半径只为转动半径在竖直面内从初速度为零开始做圆周运动，其间重力势能减少，动能增加；当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，球与桌支持点间无挤压，即开始脱离桌子。故球壳“不再接触桌子的瞬时速度”受到两方面关系的制约：即力与运动的因果关系和机械能的守恒关系。
大球壳恰与桌边无挤压时，重力的法向分力承担向心力，设此时球心速度为v ，有
2
cos v mg m R
θ=， ①
由机械能守恒定律，有
(1cos )k mgR E θ-=。 ②
以上两式中，当球壳质心速率为v 时，球壳的动能k E 可视作质心对O 点的转动动能O E 及球壳对质心C 的转动动能C E 之和，前者
21
2
O E mv =，后者C E 我们用微元法来计算。如图所示，取质心C
为坐标原点，球壳转轴为y 轴，在球的x C y --截面圆上，将2π
弧
度均分成n （n →∞）等份，进而将球壳面分割成宽为2dn R n
π
=?
的一条条极细的环带，第i 条环带的周长
2sin 2i C R i
n
π
π=，
则相应环带的质量
2
2sin sin 22442i n i m m m d C R R i
i n
n R n n π
π
ππ
ρππ=??=?
??
= 速率sin 2i i v v r R i R n πω==?，转动动能2
12
i i i E m v =。整个球壳对过C 而垂直于竖直面的轴转动动能为
2
2
11232112112lim 2lim sin (sin )
22422111 lim sin lim (3sin sin 3)
222224
2213sin sin sin sin 13222222 lim 822sin 4n
n
C i i n n i i n n
n n i i n m v E m v i R i n
n R n mv i mv i i n n n n n n n n n n n mv n n n ππππππππππππππ→∞→∞==→∞→∞==→∞=?=?==?-+???=-∑∑∑∑22
13223sin
411 (3)
831 3
n n n mv mv ππ+?
??????????
=-= 将k E 及由①式得2cos v gR θ=，代入②式，得225
(1)6
v mgR mv gR -=。
所以球壳中心的速率v =
【例5】筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下.如索道形状为24x ay =的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看做质量为m 的质点，求箩筐自2x a =处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力。 【分析与解】如图所示，以O （0，0）点为原点，以竖直向上方向为y 轴正方向建立的直角坐标系xOy 中，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线。质量为m 的物体，是从高y a =处沿索道自由下滑的，不计摩擦及其空气阻力由机械能守恒
2
12
mga mv =
，
容易求得箩筐抵达钢索道底部（即抛物线顶点）时的速度大小v 轨道的切向，也就是图示水平相左方向。
为了求这时箩筐对钢索的压力，我们取箩筐为研究对象，在y 方向建立动力学方程。在该方向上合外力引起法向加速度2
N v F mg m
ρ
-=，式中ρ是抛物线顶点处的曲率半径。借
助于初速度为v 的平抛运动，在抛出点物体的法向加速度即为g ，由2
v g ρ
=
可知该抛物线
顶点处的曲率半径2v g ρ=。于是有2
N v F mg m mg ρ
-==，
求出 2N F mg =。
在专题6中，我们曾介绍过做直线加速运动的非惯性系与惯性力，我们知道，引入惯性力后，牛顿第二运动定律i F F ma +=∑非即可适用于非惯性系。这里，我们介绍“惯性离
心力”：做匀角速度转动的非惯性参考系中的惯性力叫做惯性离心
力。如图所示，水平转台以恒定的角速度ω相对于惯性参考系（如地面）转动，平台上一小球用长为l 的绳子与转台的轴相连，地面观察者看到小球与转台一起匀速转动，这是因为绳子对小球的拉力提供了球所需的向心力2T n F ma ml ω==；对于转台上的观察
者而言，他看到小球是静止的，他认为小球除受绳子的拉力外，还受到一个大小与T F 相等、方向相反、沿半径方向背离圆心的力i F ，由于T i F F =，故小球静止。这种在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力，与直线加速运动的参考系中的惯性力一样，惯性离心力是假想的力，是为在匀角速度转动着的非惯性系中简化力学问题的处理而采用的一种等效方法。惯性离心力
2i n F ma m r ω=-=-。
相对于匀角速度转动的参考系静止的物体，引入惯性离心力后，
对转动参考系，仍能满足合力为零的力与运动关系。若物体相对于转动参考系做相对运动而不是静止，则对转动参考系，为使牛顿运动定律适用，除引入惯性离心力外，还要虚设另一称为“科里奥利力”的惯性力。在专题7例3的讲解中，我们曾展示过，当如图所示半径为R 的圆盘，以角速度ω绕盘心O 转动，而质点沿盘上径向槽以恒定速度u 自盘心向外运动，在槽内任一位置A （OA r =）质点加速度由两方面构成：中介参考系以ω匀速转动的牵连加速度
2a r ω=牵连 （方向指向转动中心O ）以及科里奥利加速度2u ω（方向沿盘面且垂直于u ）。对地面观察者而言，这两个加速度都是由质点所受的真实力—盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹力引起的，且2
f F mr ω=，2N F mu ω=。对相对盘静止的观察者而言，质点沿槽做速度为
u 的匀速直线运动，他的解释是，质点除了受盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹力外，还受到惯
性离心力2i F m r ω=-，科里奥利力2k F m u ω=-，于是转动参考系中的观察者就可以解释
质点的运动了：合力为零，质点做匀速直线运动。
科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反。物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力，大小2
k F m u ω=-。
地球是一个转动的非惯性参考系，地球自转的证据之一是傅科摆实验。第一次做这个实验的是法国科学家傅科，他在巴黎一个庙宇的圆屋顶的水平架上用67m 的铁丝下端悬挂了一个大球，让球在竖直面内往复摆动，在球的每一次摆动中，摆动平面都会发生明显的偏转。我国北京天文馆陈列的傅科摆，它的摆长是10m ，每3715min h ，摆平面转动一周。在一些中学，学生们自行设计傅科摆，作为演示地球自转的校园科技景观。图示是宁波效实中学学生设计并将建造的大型校园科技景观傅科摆效果图。
现在我们假设傅科摆实验在北极进行。如图所示，一个悬挂在
北极的傅科摆，给摆球一个水平初速度，摆球开始在初速度所在竖直面内往复运动，考察摆
平面M ，可以发现它相对地球不断地旋转，每昼夜转一周，俯视旋转方向为顺时针。
以太阳为参考系解释这一现象：摆球受到两个实际力的作用，重力mg 和摆线拉力T F 。这两个力都在摆动平面内，不可能使摆平面发生转动，故摆平面是静止的，但由于地球在逆时针自转，故摆平面相对于地球反向转动；地球上的观察者要解释傅科摆现象必须引入科里奥利力：除了重力mg 和摆线拉力T F 外，摆球还
受到一个方向与摆平面、亦即摆球相对地球运动方向垂直的惯性力。例如，当图所示的摆球过平衡位置向右运动时，科里奥利力向外，摆球过平衡位置向左运动时，
科里奥利力向里……这样，北极的这只傅科摆其摆平面在科里奥利力作用下顺时针地转动了。
【例6】如图所示，在以角速度ω绕中心轴O 匀速转动的太空实验室里，一长为l 的细线，一端固定在中心轴O ，另一端系一质量为m 的小球，小球在实验室里以速度v 匀速转动，转动方向与ω相反，求细线上的拉力T F 的大小。
【分析与解】取太空实验室为参考系，小球受到线的拉力T F 和惯性力i F 。设小球对太空实验室的加速度为a '，则由牛顿第二定律，有
T i F F ma '+=。 上式中2i F ml ω=-；而22
()v a l l l
ωω'=-+-，代入上式中即可得
22
2T v F m l m m v l ωω=+-。
例中我们先求出小球对惯性系的角速度为v
l
ω-（负号是因为小球反向转动），进而求
得对惯性参考系的加速度2
()v l l
ω-+，最终得到对太空实验室的加速度为a '。
也可以这样解：太空实验室中，小球做匀速圆周运动，是因为受到绳拉力T F 和惯性力i
F 及科里奥利力k F ，三力均沿径向，则有
2
T i k v F F F m l
++=，
即 22
2T v F m l m v m l
ω
ω-+= 22
2T v F ml m mv l
ωω=+-。
结果与前解一致。
1、长度为l 的不可伸长的细线系在竖直轴的顶端，在线的下端悬挂质量为m 的一重物。再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂质量也为m 的另一个重物，如图所示。竖直轴以恒定角速度ω转动。试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所成角度。
2、如图所示，套管A 的质量为M ，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑动。绳子另一端绕过离杆距离为L 的滑轮B 而缠绕在鼓轮C 上。当鼓轮C 转动时，其边缘上各点的速度大小为0v 。求绳子拉力和距离x 之间的关系。
3、橡皮圈挂在钉子上，如图所示。这时它的长度为2h 。然后使橡皮圈在水平面上旋转起来，当转动角速度达到ω时，它的长度也为2h 。求橡皮圈转动的角速度。
4、如图所示，小物块质量为m ，在半径为r 的圆柱面上沿螺旋线形的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为sin t a g α=，式中α为螺旋线的切线与水平面的夹角，求由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小。
5、如图所示，一轻绳跨越一固定水平光滑细杆，其两端各系一小球，球a 置于地面，球b 从水平位置由静止向下摆动，设两球质量相同。求a 球恰要离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角。
6、长为l 的轻杆上端有一个质量为m 的小重物A ，杆被铰链固接在O 点，如图所示，并处于竖直位置，同时与质量为M 的物体B 互相接触。由于微小扰动使系统发生运动。试问质量之比/M m 为多少的情况下，杆在脱离物体B 的时刻与水平面成角6
π
α=
，这时物体B 的
速度u 为多少？
7、质量均为m 的两个小球固定在长度为l 的轻杆两端，如图所示，直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处。突然发生微小的扰动使杆无初速倒下，求当杆与竖直方向成角α时，A 球对墙的作用力。
8、质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上，如图所示。右支架固定不动，
而左支架以速度v从圆木下面向左滑动。求当两个支点距离AB=时，圆木对固定支架F。（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支架之间的摩擦不计）
的压力
NA
9、一对绕固定水平轴O和O'同步转动的凸轮，使传送装置的水平平板发生运动，如图所示。问凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零件开始移动？当凸轮按顺时针方向转动的情况下，零件将向什么方向移动？零件与平板之间的动摩擦因数为μ。凸轮半径为r。
10、用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为O，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，如图所示。求：
⑴手对细绳做功的功率P；
⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ。
11、一个半径10r cm =的金属小圆环，从高度20h cm =处掉到桌上，如图所示，此小圆环在空气中绕其中心轴旋转，轴在竖直方向，角速度021/rad s ω=。圆环与桌面的碰撞为非弹性的，且碰撞时间很短。小圆环与桌面间摩擦因数0.3μ=，求小圆环与桌面接触到旋转停止所转的圈数。（取210/g m s =）
12、有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆线（长L ）与竖直线所成的夹角都很小。已知在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两质点轨道半径之比。
13、半径为R 的水平圆台，可绕通过圆心O 的竖直光滑细轴CC '转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为A m 的物体A 放在一个槽内，物体A 与槽底间的静摩擦因数为0μ，质量为B m 的物体B 放在另一槽内，此槽是光滑的。AB 间用一长为l （l R <）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连。试求当圆台做匀角速率转动且A 、B 两物体相对圆台不动时，转动角速度ω和物体A 到圆心的距离x 所应满足的条件。（设此时物体A 与槽的侧面之间没有作用力）
14、质量为M 、半径为R 的光滑匀质半球，静止在光滑水平面上，在球顶有一质量为m 的质点，由静止沿球面下滑，求m 离开M 以前的轨迹方程和m 绕球心O 的角速度。
15、轮船以等速率v 沿赤道向东航行，试计算，由此使船上物体重量产生的相对误差，地球自转角速度为0ω。
16、半径为0.5R m =的空心球绕本身的竖直直径旋转，如图所示，角速度为5/rad s ω=。在空心球内高度为
2
R 处有一小木块同球一起旋转，g 取2
10/m s 。求： ⑴实现这一情况所需的最小摩擦因数为多少？
⑵求8/rad s ω=时实现这一情况的条件。
17、一根不可伸长的轻绳，穿上一粒质量为m 的小珠子，绳的一端固定在A 点，另一端系在轻环上，环可以沿水平杆无摩擦自由滑动，如图所元开始珠子被维持在轻环旁边。绳是直的，但未被拉紧，绳子长度为0L ，A 点到杆的距离为h ，绳能承受最大张力为0T 。试求当绳子被拉断时珠子的速度。（摩擦不计）
高一物理运动学专题复习 知识梳理： 一、机械运动 一个物体相对于另一个物体的位置的改变叫做机械运动，简称运动，它包括平动、转动和振动等运动形式． 二、参照物 为了研究物体的运动而假定为不动的物体，叫做参照物． 对同一个物体的运动，所选择的参照物不同，对它的运动的描述就会不同，灵活地选取参照物会给问题的分析带来简便；通常以地球为参照物来研究物体的运动． 三、质点 研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小属于无关因素或次要因素，对问题的研究没有影响或影响可以忽略，为使问题简化，就用一个有质量的点来代替物体．用来代管物体的有质量的做质点．像这种突出主要因素，排除无关因素，忽略次要因素的研究问题的思想方法，即为理想化方法，质点即是一种理想化模型． 四、时刻和时间 时刻：指的是某一瞬时．在时间轴上用一个点来表示．对应的是位置、速度、动量、动能等状态量． 时间：是两时刻间的间隔．在时间轴上用一段长度来表示．对应的是位移、路程、冲量、功等过程量．时间间隔=终止时刻－开始时刻。 五、位移和路程 位移：描述物体位置的变化，是从物体运动的初位置指向末位置的矢量． 路程：物体运动轨迹的长度，是标量．只有在单方向的直线运动中，位移的大小才等于路程。 六、速度 描述物体运动的方向和快慢的物理量． 1．平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值叫做这段时间内的平均速度，即V ＝S/t ，单位：m ／ s ，其方向与位移的方向相同．它是对变速运动的粗略描述．公式V =（V 0＋V t ）/2只对匀变速直线运动适用。 2．瞬时速度：运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度，方向沿轨迹上质点所在点的切线方向指向前进的一侧．瞬时速度是对变速运动的精确描述．瞬时速度的大小叫速率，是标量． 3．速率：瞬时速度的大小即为速率； 4．平均速率：质点运动的路程与时间的比值，它的大小与相应的平均速度之值可能不相同。 七、匀速直线运动 1．定义：在相等的时间里位移相等的直线运动叫做匀速直线运动． 2．特点：a ＝0，v=恒量． 3．位移公式：S ＝vt ． 八、加速度 1．加速度的物理意义：反映运动物体速度变化快慢．．．．．． 的物理量。 加速度的定义：速度的变化与发生这一变化所用的时间的比值，即a = t v ??=t v v ?-12。 加速度是矢量。加速度的方向与速度方向并不一定相同。 2．加速度与速度是完全不同的物理量，加速度是速度的变化率。所以，两者之间并不存在“速度大加速度也大、速度为0时加速度也为0”等关系，加速度和速度的方向也没有必然相同的关系，加速直线运
■专题测试 《曲线运动》专题测试卷（时间：90分钟，满分：120分） 班级姓名学号得分 一、选择题（本题共12小题。每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，有 的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选 错或不答的得0分。） 1．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在同一 坐标系中作出两个分运动的v-t图象，如图1所示，则以下说法正确的是（） A．图线1表示水平方向分运动的v-t图线 B．图线2表示竖直方向分运动的v-t图线 C．t1时刻物体的速度方向与初速度方向夹角为45° D．若图线2的倾角为θ，当地重力加速度为g，则一定有g = θ tan 2．如图2所示，在地面上某一高度处将A球以初速度v1水平抛出，同时在A球正下 方地面处将B球以初速度v2斜向上抛出，结果两球在空中相遇，不计空气阻力，则两球从 抛出到相遇过程中（） A．A和B初速度的大小关系为v1＜ v2 B．A和B加速度的大小关系为a A＞ a B C．A做匀变速运动，B做变加速运动 D．A和B的速度变化相同 3．如图3所示，蹲在树枝上的一只松鼠看到一个猎人正在用枪水平对准它，就在子弹 出枪口时，松鼠开始运动，下述各种运动方式中，松鼠不能逃脱厄运而被击中的是(设树枝 足够高)： A．自由落下 B．竖直上跳 Ｃ．迎着枪口，沿AB方向水平跳离树枝 Ｄ．背着枪口，沿AC方向水平跳离树枝 4．在同一点O抛出的三个物体，做平抛运动的轨迹如图4所示，则 三个物体做平抛运动的初速度v A．v B、v C的关系和三个物体做平跑运动的 时间t A．t B、t C的关系分别是（） A．v A>v B>v C t A>t B>t C B．v A=v B=v C t A=t B=t C C．v A 习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ? ?=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2??=- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得() () () N 1082.710 85.110 63781063788.9132732 63 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 h R v m f +=e 2 一．选择题（共28小题） 1．（2014?陆丰市校级学业考试）某一做匀加速直线运动的物体，加速度是2m/s2，下列关于该物体加速度的理解 D 9．（2015?沈阳校级模拟）一物体从H高处自由下落，经时间t落地，则当它下落时，离地的高度为（） D 者抓住，直尺下落的距离h，受测者的反应时间为t，则下列结论正确的是（） ∝ ∝ 光照射下，可观察到一个下落的水滴，缓缓调节水滴下落的时间间隔到适当情况，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，一般要出现这种现象，照明光源应该满足（g=10m/s2）（） 地时的速度之比是 15．（2013秋?忻府区校级期末）一观察者发现，每隔一定时间有一滴水自8m高的屋檐落下，而且看到第五滴水 D 17．（2014秋?成都期末）如图所示，将一小球从竖直砖墙的某位置由静止释放．用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3…所示的小球运动过程中每次曝光的位置．已知连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d．根据图中的信息，下列判断正确的是（） 小球下落的加速度为 的速度为 ：2 D： 2 D O点向上抛小球又落至原处的时间为T2在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P 23．（2014春?金山区校级期末）一只气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距气球6m处有一小石 2 v0v0D 27．（2013?洪泽县校级模拟）一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过同一较低a点的时间间隔为T a，两次经 g（T a2﹣T b2）g（T a2﹣T b2）g（T a2﹣T b2）D g（T a﹣T b） 28．（2013秋?平江县校级月考）在以速度V上升的电梯内竖直向上抛出一球，电梯内观者看见小球经t秒后到 h= 第五章 第一节 《曲线运动》练习题 一 选择题 １. 关于运动的合成的说法中，正确的是 （ ） A ．合运动的位移等于分运动位移的矢量和 B ．合运动的时间等于分运动的时间之和 C ．合运动的速度一定大于其中一个分运动的速度 D ．合运动的速度方向与合运动的位移方向相同 A 此题考查分运动与合运动的关系，D 答案只在合运动为直线时才正确 ２. 物体在几个力的作用下处于平衡状态，若撤去其中某一个力而其余力的性质（大小、方向、作用点）不变，物 体的运动情况可能是 （ ） A ．静止 B ．匀加速直线运动 C ．匀速直线运动 D ．匀速圆周运动 B 其余各力的合力与撤去的力等大反向，仍为恒力。 ３.某质点做曲线运动时 （AD ） A.在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 B.在任意时间内，位移的大小总是大于路程 C.在某段时间里质点受到的合外力可能为零 D.速度的方向与合外力的方向必不在同一直线上 4 精彩的F 1赛事相信你不会陌生吧!车王舒马赫在2005年以8000万美元的年收入高居全世界所有运动员榜首。在观众感觉精彩与刺激的同时，车手们却时刻处在紧张与危险之中。这位车王在一个弯道上突然高速行驶的赛车后轮脱落，从而不得不遗憾地退出了比赛。关于脱落的后轮的运动情况，以下说法正确的是（ C ） A. 仍然沿着汽车行驶的弯道运动 B. 沿着与弯道垂直的方向飞出 C. 沿着脱离时，轮子前进的方向做直线运动，离开弯道 D. 上述情况都有可能 5.一个质点在恒力F 作用下，在xOy 平面内从O 点运动到A 点的轨迹如图所示，且在A 点的速度方向与x 轴平行， 则恒力F 的方向不可能（ ） A.沿x 轴正方向 B.沿x 轴负方向 C.沿y 轴正方向 D.沿y 轴负方向 ABC 质点到达A 点时，Vy=0，故沿y 轴负方向上一定有力。 6在光滑水平面上有一质量为2kg 2N 力水平旋转90o，则关于物体运动情况的叙述正确的是（BC ） A. 物体做速度大小不变的曲线运动 B. 物体做加速度为在2m/s 2的匀变速曲线运动 C. 物体做速度越来越大的曲线运动 D. 物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大 解析：物体原来所受外力为零，当将与速度反方向的2N 力水平旋转90o后其受力相当于如图所示，其中，是F x 、F y 的合力，即F=22N ，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为2 22== m F a m /s 2=2m /s 2恒定。又因为F 与v 夹角<90o，所以物体做速度越来越大、加速度恒为2m /s 2的匀变速曲线运动，故正确答案是B 、C 两 项。 7. 做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（ ） A.速度 B.加速度 C.速率 D.合外力 A 曲线运动的几个典型例子是匀变速曲线运动像平抛和匀速圆周运动，故 B 、 C 、 D 均可不变化，但速度一定变化。 8. 关于合力对物体速度的影响，下列说法正确的是（ABC ） O A x y 动力学专题训练 20XX 年4月30日 【第1题】一个质量为2kg 的物体，在六个恒定的共点力作用下处于平衡状态．现同时撤去大小分别为15N 和20N 的两个力而其余力保持不变，则此后该物体运动的说法中正确的是（ ） A ．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是5m/s 2 B ．可能做匀减速直线运动，加速度大小是2m/s 2 C ．一定做匀变速运动，加速度大小可能是15m/s 2 D ．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小可能是5m/s 2 【第2题】如图所示，竖直放置在水平面上的轻质弹簧上放着质量为2kg 的物体A 处于静止状态。若将一个质量为3kg 的物体B 竖直向下轻放在A 上的 一瞬间，则B 对A 的压力大小为(g=10m/s 2)（ ） A.30N B. 0 C. 15N D. 12N 【第3题】在真空中上、下两个区域均为竖直向下的匀强电场，其电场线分布如图所示，有一带负电的微粒，从上边区域沿平行电场线方向以速度v0匀速下落，并进入下边区域（该区域的电场足够广），在下图所示的速度一时间图象中，符合粒子在电场内运动情况的是（以v0 方向为正方向）（ ） v 【第4题】如图所示，足够长的水平传送带以速度v 沿顺时针方向运动，传送带的右端与光滑曲面的底部平滑连接，曲面上的A 点距离底部的高度h ＝0.45 m ．一小物块从A 点静止滑下，再滑上传送带，经过一段时间又返回曲面．g 取10 m/s2，则下列说法正确的是（ ） A ．若v ＝1 m/s ，则小物块能回到A 点 B ．若v ＝2 m/s ，则小物块能回到A 点 C ．若v ＝5 m/s ，则小物块能回到A 点 D ．无论v 等于多少，小物块均能回到A 点 【第5题】一质点在xoy 平面内从o 点开始运动的轨迹如图所示则质点的速度（ ） A ．若x 方向始终匀速，则y 方向先加速后减速 B ．若x 方向始终匀速，则y 方向先减速后加速 C ．若y 方向始终匀速，则x 方向先减速后加速 D ．若y 方向始终匀速，则x 方向先加速后减速 【第6题】在地面附近的空间中有水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场的方向垂直纸面向 里，一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN 运动，则（ ） A ．如果油滴带正电，则油滴从M 点运动到N 点 B ．如果油滴带正电，则油滴从N 点运动到M 点 C ．如果电场方向水平向右，则油滴从N 点运动到M 点 D ．如果电场方向水平向左，则油滴从N 点运动到M 点 【第7题】当t=0时，甲乙两车从相距70Km 的两地开始相向行驶，它们的v-t 图像如图所示，忽略汽车 高一物理运动学专题复 习精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 高 一物理运动学专题复习 知识梳理： 一、机械运动 一个物体相对于另一个物体的位置的改变叫做机械运动，简称运动，它包括平动、转动和振动等运动形式． 二、参照物 为了研究物体的运动而假定为不动的物体，叫做参照物． 对同一个物体的运动，所选择的参照物不同，对它的运动的描述就会不同，灵活地选取参照物会给问题的分析带来简便；通常以地球为参照物来研究物体的运动． 三、质点 研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小属于无关因素或次要因素，对问题的研究没有影响或影响可以忽略，为使问题简化，就用一个有质量的点来代替物体．用来代管物体的有质量的做质点．像这种突出主要因素，排除无关因素，忽略次要因素的研究问题的思想方法，即为理想化方法，质点即是一种理想化模型． 四、时刻和时间 时刻：指的是某一瞬时．在时间轴上用一个点来表示．对应的是位置、速度、动量、动能等状态量． 时间：是两时刻间的间隔．在时间轴上用一段长度来表示．对应的是位移、路程、冲量、功等过程量．时间间隔=终止时刻－开始时刻。 五、位移和路程 位移：描述物体位置的变化，是从物体运动的初位置指向末位置的矢量． 路程：物体运动轨迹的长度，是标量．只有在单方向的直线运动中，位移的大小才等于路程。 六、速度 描述物体运动的方向和快慢的物理量． 1．平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值叫做这段时间内的平均速度，即 V ＝S/t ，单位：m ／s ，其方向与位移的方向相同．它是对变速运动的粗略描述．公式V =（V 0＋V t ）/2只对匀变速直线运 动适用。 2．瞬时速度：运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度，方向沿轨迹上质点所在点的切线方向指向前进的一侧．瞬时速度是对变速运动的精确描述．瞬时速度的大小叫速率，是标量． 3．速率：瞬时速度的大小即为速率； 4．平均速率：质点运动的路程与时间的比值，它的大小与相应的平均速度之值可能不相同。 七、匀速直线运动 1．定义：在相等的时间里位移相等的直线运动叫做匀速直线运动． 2．特点：a ＝0，v=恒量． 3．位移公式：S ＝vt ． 八、加速度 1．加速度的物理意义：反映运动物体速度变化快慢．．．．．． 的物理量。 加速度的定义：速度的变化与发生这一变化所用的时间的比值，即a=t v ??=t v v ?-1 2。 加速度是矢量。加速度的方向与速度方向并不一定相同。 2．加速度与速度是完全不同的物理量，加速度是速度的变化率。所以，两者之间并不存在“速度大加速度也大、速度为0时加速度也为0”等关系，加速度和速度的方向也没有必然相同的关系，加速直线运动的物体，加速度方向与速度方向相同；减速直线运动的物体，加速度方向与速度方向相反。 *速度、速度变化、加速度的关系： 高中物理曲线运动知识点归纳 第一章曲线运动 （一）曲线运动的位移 研究物体的运动时，坐标系的选取十分重要.在这里选择平面直角坐标系．以抛出点为坐标原点，以抛出时物体的初速度v 0方向为x 轴的正方向，以竖直方向向下为y 轴的正方向，如下图所示． 当物体运动到A 点时，它相对于抛出点O 的位移是OA ，用l 表示. 由于这类问题中位移矢量的方向在不断变化，运算起来很不方便，因此要尽量用它在坐标轴方向的分矢量来表示它. 由于两个分矢量的方向是确定的，所以只用A 点的坐标(x A 、y A )就能表示它，于是使问题简化. （二）曲线运动的速度 1、曲线运动速度方向：做曲线运动的物体，在某点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．对曲线运动速度方向的理解 如图所示， AB 割线的长度跟质点由A 运动到B 的时间之比，即v ＝Δx AB Δt ， 等于AB 过程中平均速度的大小，其平均速度的方向由A 指向B .当B 非常非常接近A 时，AB 割线变成了过A 点的切线，同时Δt 变为极短的时间，故AB 间的平均速度近似等于A 点的瞬时速度，因此质点在A 点的瞬时速度方向与过A 点的切线方向一致． （三）曲线运动的特点 1、曲线运动是变速运动：做曲线运动的物体速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动是变速运动．（曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线 运动） 2、做曲线运动的物体一定具有加速度 曲线运动中速度的方向(轨迹上各点的切线方向)时刻在发生变化，即物体的运动状态时刻在发生变化，而力是改变物体运动状态的原因，因此，做曲线运动的物体所受合力一定不为零，也就一定具有加速度．（说明：曲线运动是变速运动，只是说明物体具有加速度，但加速度不一定是变化的，例如，抛物运动都是匀变速曲线运动．） （四）物体做曲线运动的条件： 物体所受的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，也就是加速度方向与速度方向不在同一直线上．（只要物体的合外力是恒力，它一定做匀变速运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动） 当物体受到的合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将增大；当物体受到的合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力方向与速度的方向垂直时，该力只改变速度方向，不改变速度的大小． （五）曲线运动的轨迹 做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲， 若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合力的大致方 向．速度和加速度在轨迹两侧，轨迹向力的方向弯曲，但不会达到力的方向．（六）运动的合成与分解的方法 1、合运动与分运动的定义 如果物体同时参与了几个运动，那么 物体实际发生的运动就是合运动，那几个 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 22 sin 21 x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01 dt m KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-????????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 轻绳轻杆模型 一、轻绳模型：“活结”与“死结”绳是物体间连接的一种方式，当多个物体用绳连接的时候，其间必然有“结”的出现，根据“结”的形式不同，可以分为“活结”和“死结”两种。“活结”是绳子间的一种光滑连接，其特点是结的两端同一绳上的张力相等；而“死结”是绳子间的一种固定连接，结的两端绳子上的张力不一定相等。 1.“死结”问题的解决方法：（动态平衡问题） （1）正交分解法：建立直角坐标系，把力分解到X轴和Y轴上，然后水平方向合力为零，竖直方向合力为零列方程组。 （2）力的合成（图解法）：如果物体受3个力作用，那么其中两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反。把这3个力放到三角形中，根据三角形三个边长的变化情况来判断力的变化情况。 （3）拉密定理：物体受到3个力的作用，一个恒力（方向大小不变），一个定力（方向不变大小变），一个变力（方向大小都变化），定力与变力的夹角为θ（即恒力屁股对着的夹角），那么会有：定力与θ角的变化情况相同 当θ角为钝角时，变力与θ角的变化情况相同 当θ角为直角时，变力有最小值。 当θ角为锐角时，变力与θ角的变化情况相反。 无论θ角时从锐角变成钝角，还是钝角变成锐角，变力都是先减小后增加。 2.“活结”问题的解决方法： （1） 无论OB与水平方向的角度如何，OA、OC的拉力都不会变，都等于C的重力。 （2） 轻绳的拉力与MN之间的距离有关，距离越大拉力 大，距离约小拉力越小。如果距离不变（即a点或b 点只是竖直方向移动），那么拉力不变，轻绳与水平 方向的夹角也不会变化。 二、轻杆模型：“活杆”与“死杆”死杆是不可转动，所以杆所受弹力的方向不一定沿杆方向．活杆是可以转动的杆所以杆所受弹力的方向沿杆方向。 1. “死杆”问题的解决方法： 由于死杆是不可转动，所以杆所受弹力的方向不一定沿杆方向，也就是说可以是任意方向， 高中物理《运动学》练习题 一、选择题 1．下列说法中正确的是（） A ．匀速运动就是匀速直线运动 B ．对于匀速直线运动来说，路程就是位移 C ．物体的位移越大，平均速度一定越大 D ．物体在某段时间内的平均速度越大，在其间任一时刻的瞬时速度也一定越大 2．关于速度的说法正确的是（） A ．速度与位移成正比 B ．平均速率等于平均速度的大小 C ．匀速直线运动任何一段时间内的平均速度等于任一点的瞬时速度 D ．瞬时速度就是运动物体在一段较短时间内的平均速度 3．物体沿一条直线运动，下列说法正确的是（） A ．物体在某时刻的速度为3m/s ，则物体在1s 内一定走3m B ．物体在某1s 内的平均速度是3m/s ，则物体在这1s 内的位移一定是3m C ．物体在某段时间内的平均速度是3m/s ，则物体在1s 内的位移一定是3m D ．物体在发生某段位移过程中的平均速度是3m/s ，则物体在这段位移的一半时的速度一定是3m/s 4．关于平均速度的下列说法中，物理含义正确的是（） A ．汽车在出发后10s 内的平均速度是5m/s B ．汽车在某段时间内的平均速度是5m/s ，表示汽车在这段时间的每1s 内的位移都是5m C ．汽车经过两路标之间的平均速度是5m/s D ．汽车在某段时间内的平均速度都等于它的初速度与末速度之和的一半 5．火车以76km/h 的速度经过某一段路，子弹以600m ／s 的速度从枪口射出，则（） A ．76km/h 是平均速度 B ．76km/h 是瞬时速度 C ．600m/s 是瞬时速度 D ．600m/s 是平均速度 6．某人沿直线做单方向运动，由A 到B 的速度为1v ，由B 到C 的速度为2v ，若BC AB =，则这全过程的平均速度是（） A ．2/)(21v v - B ．2/)(21v v + C ．)/()(2121v v v v +- D ．)/(22121v v v v + 7．如图是A 、B 两物体运动的速度图象，则下列说法正确的是（） A ．物体A 的运动是以10m/s 的速度匀速运动 B ．物体B 的运动是先以5m ／s 的速度与A 同方向 C ．物体B 在最初3s 内位移是10m D ．物体B 在最初3s 内路程是10m 8．有一质点从t ＝0开始由原点出发，其运动的速度—时间图象如图所示，则（） A ．1=t s 时，质点离原点的距离最大 B ．2=t s 时，质点离原点的距离最大 C ．2=t s 时，质点回到原点 D ．4=t s 时，质点回到原点 9．如图所示，能正确表示物体做匀速直线运动的图象是（） 10．质点做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s 2，在质点做匀加速运动的过程中，下列说法正确的是（） 42+ 32 【题型总结】 专题五曲线运动 一、运动的合成和分解 1.速度的合成：（1）运动的合成和分解（2）相对运动的规律v甲地=v甲乙+v乙地 例：一人骑自行车向东行驶，当车速为 4m／s 时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到 7m／s 时。他感到风从东南方向（东偏南45o）吹来，则风对地的速度大小为（） A. 7m/s B. 6m／s C. 5m／s D. 4 m／s 解析：“他感到风从正南方向（东南方向）吹来” ，即风相对车的方向是正南方向（东南方向）。而风相 对地的速度方向不变，由此可联立求解。 解：∵θ=45°∴V 风对车=7—4=3 m／s ∵V 风对车 +V 车对地 =V 风对地 V 风对 ∴V 风对地= =5 答案：C 2.绳（杆）拉物类问题 m／s V 风对 V 车对 ① 绳（杆）上各点在绳（杆）方向上的速度相等 ②合速度方向：物体实际运动方向 分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩） 垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动 例：如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ 角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？ 解：方法一：虚拟重物M 在Δt 时间内从A 移过Δh 到达Ｃ的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两 个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴O 点做圆周运动到B，位移为Δs1，然后将绳拉过Δs2到C． 1 若Δt 很小趋近于0，那么Δφ→0，则Δs1＝0，又OA＝OB，∠OBA＝β＝2 （180°－ Δφ)→90°．亦即Δs1近似⊥Δs2，故应有：Δs2＝Δh·cosθ ?s 2 因为?t = ?h ?t ·cosθ，所以v′＝v·cosθ 方法二：重物M 的速度v 的方向是合运动的速度方向，这个v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v′运动，如图（2）所示，由图可知，v′＝v·cosθ． （1）（2） V 风对 θ 质点 动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α） 上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 由①、②式消去t ，得 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点 时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += y 分量：dt dV m KV mg =-- 即dt m KV mg dV 1-=+ mg K e KV mg K V t m K 1)(10-+=?-① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=????③ 0t t =时，max y y =， 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平 桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边 缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌 面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同， 沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有 图2-4 通过变量替换有 m dv xg mv l dx = 0,0x v ==，积分00 l v m xg mvdv l =?? 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl = 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用 细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝ 12 g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和 2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示． (1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速 高中物理力学公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 一、力学 1、f = k x ：胡克定律 (x 为伸长量或压缩量，k 为劲度系数，只与弹簧的长度、粗细和材料 有关) 2、 G = mg ：重力 (g 随高度、纬度、地质结构而变化，g 极>g 赤，g 低纬>g 高纬) 3、θcos 2212221F F F F F ++=合 ： 求F 1、F 2的合力的公式 2221F F F +=合 ： 两个分力垂直时 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行定则。分解时喜欢正交分解。 (2) 两个力的合力范围： F 1－F 2 F F 1 +F 2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 推论：三个共点力作用于物体而平衡，任意一个力与剩余二个力的合力一定等值反 向。 解三个共点力平衡的方法： 合成法,分解法，正交分解法，三角形法，相似三角形法 4、摩擦力的公式： (1 )f = N ：滑动摩擦力 （动的时候用，或时最大的静摩擦力） 说明：①N 为接触面间的弹力（压力），可以大于G ；也可以等于G ；也 可以小于G 。 ②为动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、 接触面相对运动快慢以及正压力N 无关。 (2 ) 0 f 静 f m (f m 为最大静摩擦力) 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解，与正压力无关。 大小范围： 说明：①摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方 向相反。 ②摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。 ③摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 ④静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作 用。 5、F=G 221r m m ： 万有引力（适用条件：只适用于质点间的相互作用） G 为万有引力恒量：G = ×10-11 N ·m 2 / kg 2 （1）在天文上的应用：（M ：天体质量；R ：天体半径；g ：天体表面重力 加速度；r 表示卫星或行星的轨道半径，h 表示离地面或天体表面的高 度）） a 、 F 万=F 向 万有引力=向心力 即 由此可得： ①天体的质量： ，注意是被围绕天体（处于圆心处）的质量。 ②行星或卫星做匀速圆周运动的线速度： ，轨道半径越大，线速度越小。 ③ 行星或卫星做匀速圆周运动的角速度： ，轨道半径越大，角速度越小。 ④行星或卫星做匀速圆周运动的周期： ，轨道半径越大，周期越大。 ⑤行星或卫星做匀速圆周运动的轨道半径： ，周期越大，轨道半径越大。 ⑥行星或卫星做匀速圆周运动的向心加速度：2 r GM a =，轨道半径越大，向心加速度越小。 ⑦地球或天体重力加速度随高度的变化：22)('h R GM r GM g +== 特别地，在天体或地球表面：20R GM g = 022) ('g h R R g += 23 24GT r M π= 曲线运动 单元切块： 按照考纲的要求，本章内容可以分成三部分，即：运动的合成和分解、平抛运动；圆周运动；其中重点是平抛运动的分解方法及运动规律、匀速圆周运动的线速度、角速度、向心加速度的概念并记住相应的关系式。难点是牛顿定律处理圆周运动问题。 运动的合成与分解 平抛物体的运动 教学目标： 1．明确形成曲线运动的条件（落实到平抛运动和匀速圆周运动）； 2．理解和运动、分运动，能够运用平行四边形定则处理运动的合成与分解问题。 3．掌握平抛运动的分解方法及运动规律 4．通过例题的分析，探究解决有关平抛运动实际问题的基本思路和方法，并注意到相 关物理知识的综合运用，以提高学生的综合能力． 教学重点：平抛运动的特点及其规律 教学难点：运动的合成与分解 教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程： 一、曲线运动 1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。 当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动，如平抛运动。 当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动．（这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．） 如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直． 2．曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。需要重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。 二、运动的合成与分解 1．从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。重点是判断合运动和分运动，这里分两种情况介绍。 一种是研究对象被另一个运动物体所牵连，这个牵连指的是相互作用的牵连，如船在水上航行，水也在流动着。船对地的运动为船对静水的运动与水对地的运动的合运动。一般地，物体的实际运动就是合运动。 第二种情况是物体间没有相互作用力的牵连，只是由于参照物的变换带来了运动的合成问题。如两辆车的运动，甲车以v甲＝8 m／s的速度向东运动，乙车以v乙＝8 m／s的速度向北运动。求甲车相对于乙车的运动速度v甲对乙。 2．求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。 3．合运动与分运动的特征： ①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等 ②独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。 4．物体的运动状态是由初速度状态（v0）和受力情况（F合）决定的，这是处理复杂运动的力和运动的观点.思路是： 高中物理力学部分知识点归纳 1、基本概念：力、合力、分力、力的平行四边形法则、三种常见类型的力、力的三要素、时间、时刻、位移、路程、速度、速率、瞬时速度、平均速度、平均速率、加速度、共点力平衡（平衡条件）、线速度、角速度、周期、频率、向心加速度、向心力、动量、冲量、动量变化、功、功率、能、动能、重力势能、弹性势能、机械能、简谐运动的位移、回复力、受迫振动、共振、机械波、振幅、波长、波速 2、基本规律：匀变速直线运动的基本规律（12个方程）；三力共点平衡的特点；牛顿运动定律（牛顿第一、第二、第三定律）；万有引力定律；天体运动的基本规律（行星、人造地球卫星、万有引力完全充当向心力、近地极地同步三颗特殊卫星、变轨问题）；动量定理与动能定理（力与物体速度变化的关系—冲量与动量变化的关系—功与能量变 化的关系）；动量守恒定律（四类守恒条件、方程、应用过程）；功能基本关系（功是能量转化的量度）重力做功与重力势能变化的关系（重力、分子力、电场力、引力做功的特点）；功能原理（非重力做功与物体机械能变化之间的关系）；机械能守恒定律（守恒条件、方程、应用步骤）；简谐运动的基本规律（两个理想化模型一次全振动四个过程五个物理量、简谐运动的对称性、单摆的振动周期公式）；简谐运动的图像应用；简谐波的传播特点；波长、波速、周期的关系；简谐波的图像应用； 3、基本运动类型：运动类型受力特点备注直线运动所受合外力与物体速度方向在一条直线上一般变速直线运动的受力分析匀变速直线运动同上且所受合外力为恒力 1. 匀加速直线运动 2. 匀减速直线运动曲线运动所受合外力与物体速度方向不在一条直线上速度方向沿轨迹的切线方向合外力指向轨迹内侧（类）平抛运动所受合外力为恒力且与物体初速度方向垂直运动的合成与分解匀速圆周运动所受合外力大小恒定、方向始终沿半径指向圆心（合外力充当向心力）一般圆周运动的受力特点向心力的受力分析简谐运动所受合外力大小与位移大小成正比，方向始终指向平衡位置回复力的受力分析 4、基本方法：力的合成与分解（平行四边形、三角形、多边形、正交分解）；三力平衡问题的处理方法（封闭三角形法、相似三角形法、多力平衡问题—正交分解法）；对物体的受力分析（隔离体法、依据：力的产生条件、物体的运动状态、注意静摩擦力的分析方法—假设法）；处理匀变速直线运动的解析法(解方程或方程组)、图像法（匀变速直线运动的s-t图像、v-t图像）；解决动力学问题的三大类方法：牛顿运动定律结合运动学方程（恒力作用下的宏观低速运动问题）、动量、能量（可处理变力作用的问题、不需考虑中间过程、注意运用守恒观点）；针对简谐运动的对称法、针对简谐波图像的描点法、平移法 5、常见题型：合力与分力的关系：两个分力及其合力的大小、方向六个量中已知其中四个量求另外两个量。斜面类问题：（1）斜面上静止物体的受力分析；（2）斜面上运动物体的受力情况和运动情况的分析（包括 重点高中物理运动学专题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 运动学 第一讲基本知识介绍 一．基本概念 1．质点 2．参照物 3．参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点） 4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v 绝=v 相 +v 牵 二．运动的描述 1．位置：r=r(t) 2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t) 3．速度：v=lim Δt→0 Δr/Δt.在大学教材中表述为：v=d r/dt, 表示r对t 求导数 ４．加速度a=a n +a τ。 a n :法向加速度，速度方向的改变率，且a n =v2/ρ,ρ叫 做曲率半径，（这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a τ : 切向加速度，速度大小的改变率。a=d v/dt 5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。（a对t的导数叫“急动度”。） 6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较 好 三．等加速运动 v(t)=v 0+at r(t)=r +v t+1/2 at2 一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾 经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v 沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的 包络线。此抛物线为在大炮上方h=v2/2g处，以v 平抛物体的轨迹。） 练习题： 一盏灯挂在离地板高l 2,天花板下面l 1 处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大小 的速度v 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。） 四．刚体的平动和定轴转动 1．我们讲过的圆周运动是平动而不是转动 2．角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt 3．有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量 4．同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧， V A =V B +V AB ,在AB连线上大学物理质点动力学习题答案
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